ANNO ACCADEMICO 2017/2018 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA III appello 7/9/2018 1

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1 ANNO ACCADEMICO 7/8 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA III appello 7/9/8 Esercizio. I giocatori A e B giocano con un mazzo di 4 carte, senza le figure, con le seguenti regole: - ad ogni turno ognuno dei due pesca una carta senza rimetterla nel mazzo - se le due carte hanno valori diversi, chi ha estratto la carta più alta vince e il gioco termina - se le due carte hanno lo stesso valore, si passa al turno successivo. Indichiamo con X la v.a. che conta il numero di volte che i giocatori pescano.. Quanto vale P (X = )? e P (X = )?. Gli eventi A pesca un 9 al primo turno e {X > } sono indipendenti?. Sapendo che A ha vinto al primo turno, qual è la probabilità che abbia pescato un 9? Esercizio. Sia p(x) un polinomio di grado e sia f(x) = p(x).. Dire se f è continua, se è limitata superiormente e/o inferiormente e se ha degli zeri.. Fissato p(x) = x x +, determinare (a) l insieme dei punti in cui f è derivabile (b) gli eventuali asintoti di f. Esercizio. Sia f(x) = log(x x + ).. Trovare l insieme di definizione di f. Calcolare una primitiva di f. Durata: ore e minuti. Scrivere subito sul foglio: nome, cognome e numero di matricola.

2 Esercizio 4. Sia a > un parametro reale e sia φ: R R definita da: x 6 φ(x) = (ax x a ) < x < a x a. Dire per quali valori di a la funzione φ è la densità di una v.a. reale X.. Per a =, determinare la media, la varianza e la mediana di X.

3 SOLUZIONI Esercizio.. La probabilità dell evento {X = } è data da P (X = ) = P (X > ) = ( ) 4 ) = = ( 4 dove la probabilità del complementare è ottenuta osservando che i casi possibili equivalgono a tutti i modi di scegliere due carte tra 4, mentre i casi favorevoli equivalgono a tutti i modi di scegliere due carte tra le 4 di un numero fissato, moltiplicato per i numeri disponibili. Nota bene: Questo non è l unico modo per svolgere l esercizio. Ad esempio, uno può calcolare la probabilità che X = osservando che questa equivale al prodotto = 9, dove è dato dal fatto che la prima carta può essere qualsiasi, mentre 6 9 stesso numero della prima, cioè 6 carte buone su 9 rimaste. è dato dal fatto che la seconda carta non deve avere lo Calcoliamo ora la probabilità dell evento {X = }. Per farlo utilizzeremo la legge delle alternative, quindi P (X = ) = P (X = X > )P (X > ) + P (X = X = )P (X = ). È chiaro che P (X = X = ) =, dunque otteniamo P (X = ) = P (X = X > )P (X > ). Calcoliamo il primo fattore stando attenti al fatto che ora le carte sono 8, di cui dello stesso numero della mano precendente e le altre 6 con i numeri rimanenti. La probabiltà è quindi data da P (X = X > ) = 9( ( 4 ) + ) ) = 55 7 = dove la probabilità del complementare è ottenuta osservando che i casi possibili equivalgono a tutti i modi di scegliere due carte tra 8, mentre i casi favorevoli sono dati dalla somma di tutti i modi di scegliere due carte tra le 4 di un numero fissato diverso da quello della mano precendente, moltiplicato per i ( 8

4 9 numeri disponibili, più il caso in cui il numero sia lo stesso della mano precedente, cioè due carte su due. Dunque otteniamo P (X = ) = = Nota bene: D ora in poi possiamo supporre che A sia il primo giocatore a pescare nel primo turno. Questo perchè la probabilità che il giocatore A peschi un determinato numero n non è influenzata dall ordine di gioco del primo turno. Infatti: P (A pesca n pesca per primo) = 4 4 = P (A pesca n pesca per secondo) = 4 4 Torniamo all esercizio. Per capire se i due eventi sono indipendenti, calcoliamone le probabilità. Allora = =. Sia A9 l evento A pesca un 9 al primo turno. P (A9) = Sappiamo già che P (X > ) =, calcoliamo ora la probabilità dell evento intersezione. Osserviamo che dunque A9 {X > } = {sia A che B pescano 9 al primo turno}, P (A9 {X > }) = ( 4 ) ) =. Ricordiamo che due eventi E ed E sono indipendenti se e solo se ( 4 P (E E ) = P (E )P (E ). Quindi in questo caso i due eventi sono indipendenti.. Sia AV l evento A vince al primo turno. Allora sappiamo P (A9 AV ) = P (AV A9) P (A9). P (AV ) 4

5 Per calcolare P (AV A9), basta osservare che l evento coincide con B pesca un numero minore di 9, che sono carte sulle 9 rimaste (Ricorda: A ha già pescato il 9!) Per calcolare P (AV ), basta osservare che la probabilità che A vinca è la stessa che B vinca. Dunque è la metà della probabilità che non si pareggi. Perciò abbiamo: P (A9 AV ) = P (AV A9) P (A9) P (AV ) = 9 ( ) = = 8 45 Esercizio. Per semplicità, scriviamo il polinomio p(x) come p(x) = ax + bx + cx + d dove a, b, c, d sono numeri reali. Essendo il grado del polinomio, abbiamo a.. Poichè sia la radice cubica che p(x) sono funzioni continue in tutto R, anche f lo è in tutto R, in quanto composizione di funzioni continue. Nota bene: Il dominio della radice cubica è tutto R, quindi non dobbiamo imporre condizioni sul suo argomento! Per capire se la funzione è limitata, calcoliamo i limiti agli estremi del dominio { lim f(x) = +, se a > x +, se a < lim f(x) = x {, se a > +, se a < dunque la funzione non è limitata ne superiormente ne inferiormente. Concentriamoci ora sulla ricerca degli zeri. Per semplicità possiamo supporre che a >. Per affrontare il caso a < basta prendere al posto di f(x), f(x) e seguire lo stesso ragionamento. Nota bene: Le funzioni f(x) e f(x) sono simmetriche rispetto all asse x, quindi hanno gli stessi zeri! 5

6 Ci piacerebbe applicare il teorema degli zeri, per farlo però abbiamo bisogno di un intervallo chiuso e limitato su cui lavorare. Fissiamo un valore M >. Poichè lim f(x) = +, dalla definizione di limite, sappiamo che esiste un x + x > tale che x > x, f(x) > M. Scegliamo quindi b > x e otteniamo f(b) > M >. Analogamente poichè lim f(x) =, sappiamo che esiste un x < tale che x x < x, f(x) < M. Scegliamo quindi a < x e otteniamo f(a) < M <. Possiamo ora applicare il teorema degli zeri alla nostra funzione f : [a, b] R. Dunque esiste un elemento x (a, b) tale che f(x ) =, pertanto la nostra funzione ha sempre almeno uno zero. a Per la derivabilità dobbiamo prestare attenzione. Sappiamo che i polinomi sono sempre derivabili, mentre la radice cubica z ha un punto di non derivabilità in z =. Quindi la funzione f(x) è derivabile in tutti i punti in cui p(x) perchè composizione di funzioni derivabili, mentre dobbiamo controllare cosa succede nei punti in cui p(x) = utilizzando la definizione. Per prima cosa individuiamo questi punti risolvendo la seguente equazione: x x + =. Per il punto precedente, sappiamo che ammette almeno uno zero. Osserviamo che x = è chiaramente uno zero del polinomio, quindi otteniamo la seguente scomposizione x x + = (x )(x + x ). Il delta del secondo termine è = 4( ) = 9 da cui le due soluzioni sono x = e x =. Riassumendo, gli zeri del polinomio p(x) sono (contato con molteplicità doppia) e. Controlliamo ora se la funzione è derivabile in quei punti. una funzione y = f(x) è derivabile in x = x seguente limite f(x) f(x ) lim. x x x x Ricordiamo che se e solo se esiste finito il 6

7 Sia x =. Allora lim x ± x x + x x ± (x ) (x + ) x ± x x ± (x + ) (x ) = ±. da cui otteniamo che x = è un punto di non derivabilità. Sia x =. Allora lim x ± x x + x + x ± x ± (x ) (x + ) x + x ± (x ) (x + ) = +. da cui otteniamo che x = è un punto di non derivabilità. (x ) (x + ) = (x ) (x ) (x + ) (x + ) = b Poichè la funzione è continua in tutto R e i limiti per x ± sono infiniti, non ci sono ne asintoti verticali ne orizzontali. Dobbiamo controllare la presenza di quelli obliqui. Calcoliamo quindi m = f(x) lim x ± x x ± x x + x x + x x x ± x = q = lim f(x) mx x ± x ± x x + x Per calcolare il seguente limite, ricordiamo la formula per la differenza di cubi A B = (A B)(A + B + AB). Posto A = x x + e B = x, moltiplichiamo e dividiamo per A + B + AB, ottenendo ( x x + ) x x ± (x x + ) + x x x + + x = x ± x ( ) + x ( ) = x ( x + x ) x x da cui otteniamo l asintoto obliquo y = mx + q y = x. 7

8 Esercizio.. Sia f(x) = log(x x + ). Per determinare l insieme di definizione, dobbiamo imporre sia che l argomento della radice sia non negativo, sia che l argomento del logaritmo sia positivo. Risolviamo dunque il seguente sistema { x x x + > Sostituendo t = x, abbiamo che la seconda disequazione diventa t t + >. Poichè il delta dell equazione associata è negativo e il coefficiente di t è maggiore di zero, la disequazione è sempre verificata. Otteniamo dunque che l insieme di definizione di f è [, + ).. Per calcolare una primitiva, risolviamo il seguente integrale utilizzando la sostituzione t = x t = x t dt = dx log(x x + )dx = t log(t t + )dt. Utilizziamo il metodo della risoluzione per parti g (t)h(t)dt = g(t)h(t) g(t)h (t)dt Con le seguenti funzioni g (t) = t g(t) = t, h(t) = log(t t + ) h(t) = t t t + ottenendo t log(t t + )dt = t log(t t + ) t t t t + dt. Risolviamo ora solo il secondo integrale osservando che la divisione del polinomio t t per il polinomio t t + da come risultato t + e resto t t t t t + dt = (t + )(t t + ) t dt = t t + = t t + + t t t + dt = t + t = t + t t t t + dt (t+) dt+ t + t t + dt = t t + dt t t t + dt = 8

9 Ricordiamo che vale la seguente formula: g (x) dx = log( g(x) ). g(x) Applicandola con g(t) = t t + >, otteniamo t t t t + dt = t t log(t t + ) = t t log(t t + ) 4 ( ) t dt + 4 ( ) dt t + = t t log(t t + ) 4 Ricordiamo che vale la seguente formula: g (x) dx = arctan(g(x)). g(x) + Applicandola con g(t) = t, otteniamo ( ) dt t + t t t t + dt = t t log(t t + ) ( ) t arctan + c da cui sostituendo t = x e mettendo tutto insieme, otteniamo: log(x x+)dx = x log(x x+) x x+ log(x x+)+ arctan ( x )+c Dunque per ottenere una primitiva, basta scegliere un valore di c, ad esempio c = 4. Esercizio 4.. Ricordiamo che una funzione φ: R R è densità di una variabile aleatoria reale, se valgono le seguenti condizioni φ(x) per ogni x R, esista l integrale improprio + φ(x) dx e sia =. 9

10 Verifichiamo la prima condizione, ricordando che a > per ipotesi 6 x(a x) x(a x) x a a dato che questo è l intervallo in cui φ(x) = 6 a x(a x), la prima condizione è verificata per ogni a >. Verifichiamo la seconda condizione, sfruttando il fatto che al di fuori dell intervallo (, a) la funzione vale zero + φ(x)dx = a 6 a (ax x )dx = 6 a a = 6 ( ) a a a = ax x dx = 6 [ ] ax a a x = 6a a 6 = Dunque anche la seconda condizione è verificata per ogni a >. Da questo segue che la funzione φ è la densità di una variabile aleatoria per ogni a >.. Calcoliamo la media E[X] della v.a. X: E[X] = + = 4 xφ(x) dx = [ x x4 4 ] = 4 4 x(x x ) dx = 4 ( 6 6 ) = = x x dx = Calcoliamo ora la varianza V [X] della v.a. X: V [X] = = 4 + (x E[X]) φ(x) dx = 4 [ x5 (x ) (x x ) dx = ( x 4 + 4x 5x + x) dx = x4 5x + x = ( ) = 5 ] =

11 Per trovare la mediana < M <, dobbiamo risolvere la seguente equazione M φ(x) dx = 4 M x x dx = ] M [x x = M M = M M + = È chiaro che M = è una soluzione, quindi scomponendo otteniamo M M + = (M )(M M ) Poichè le soluzioni dell equazione M M = sono ± che non appartengono all intervallo (, ), la mediana è M =.. Nota bene: Un altro modo per trovare la mediana è quello di osservare che la funzione φ(x) = x x è una parabola con concavità rivolta verso il basso e zeri in x =,. Essendo simmetrica rispetto al suo asse, che è la retta x =, l area sottesa al suo grafico sarà la metà dell area totale proprio in corrispondenza dell asse. Da cui M =.