ESAME DI STATO 2018 PROVA DI MATEMATICA. Svolgimento del problema 1

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1 ESAME DI STAT 8 PRVA DI MATEMATICA Svolgimento del problema Parte La funzione y = f (x) ha per grafico il segmento Γ in figura che giace sulla retta di equazione y = x +, con x [; ] Verifichiamo che la funzione f (x) = x + soddisfa le condizioni date: a) f () = + = ; b) f () = + = ; c) < x < < x < < x < + < x < < f (x) < La curva Λ in figura si ottiene tracciando in ordine: il grafico Γ della funzione y = x +, con x [; ]; il grafico simmetrico a Γ rispetto all asse y, che corrisponde alla funzione di equazione +, con x [ ; ]; il grafico simmetrico a Γ rispetto all asse x, la cui funzione associata ha equazione, con x [; ]; il grafico simmetrico a Γ rispetto all origine, la cui funzione associata ha equazione y = x, con x [ ; ] y + x y = x + y = x Quindi troviamo: { y = x +, con x [ ; ] e y ; Λ : y = x, con x [ ; ] e y < ; Zanichelli 8

2 ESAME DI STAT 8 PRVA DI MATEMATICA Svolgimento del problema che in modo più sintetico si può esprimere come y = x + In forma implicita, l equazione della curva Λ è allora: x + y = Parte Supponiamo che y = f (x) sia una funzione polinomiale di secondo grado continua e derivabile su R Dunque il grafico è una parabola di equazione y = ax + bx + c, con a, b, c R, a Imponiamo che verifichi le condizioni a) e b): a) f () = a + b + c = c = ; b) f () = a + b + c = a + b + c = ; e l ulteriore nuova condizione f () = : f (x) = ax + b f () = a + b = b = Mettiamo a sistema: c = a + b + c = b = c = a = b c b = a = b = c = In conclusione, f (x) = x + La parabola ottenuta è simmetrica rispetto all asse y, ha vertice in (; ), concavità verso il basso e f () =, quindi anche la condizione c) è verificata Passiamo ora all analisi della parte colorata L area dell intera mattonella Q è pari a 4 e il 55% di 4 è, 55 4 = 5 Vediamo se l area grigia delimitata dal grafico della funzione y = x + per x e dalle curve simmetriche è pari a 5 Sfruttando le simmetrie della curva chiusa, l area grigia si può ottenere calcolando l integrale: ( ) [ 4 x + dx = 4 ] 3 x3 + x = 4 [ 3 ] + = 4 3 = Quindi non è possibile realizzare quanto richiesto adoperando una funzione polinomiale di secondo grado Supponiamo ora che y = f (x) sia una funzione polinomiale di terzo grado, quindi della forma y = ax 3 + bx + cx + d, con a, b, c, d R, a, continua e derivabile su R Imponiamo che la funzione verifichi le condizioni di costruzione a) e b): Zanichelli 8

3 ESAME DI STAT 8 PRVA DI MATEMATICA Svolgimento del problema a) f () = a + b + c + d = d = ; b) f () = a + b + c + d = a + b + c + d = ; e l ulteriore condizione f () = : f (x) = 3ax + bx + c f () = 3a + b + c = c = Quindi: d = a + b + c + d = c = d = a + b = c = b = a c = d = Scriviamo l equazione della cubica in funzione del parametro a: y = ax 3 ( + a)x + Per determinare a imponiamo che l area grigia definita dalla polinomiale di terzo grado parametrica sia pari a 5 : [ ] 4 ax 3 ( + a)x + [ a a ] + 3 = 5 a = 7 5 dx = [ a x4 + a ] 3 x3 + x = 5 Sostituendo il valore di a trovato otteniamo il seguente polinomio di terzo grado: f (x) = 7 5 x3 5 x + Vediamo se questa funzione polinomiale di terzo grado verifica la condizione c): < f (x) < per < x < sserviamo che f (x) = 5 x 4 5 x e studiamone il segno: f (x) > 7x 8x > x < x > 8 7 Ne segue che f (x), nell intervallo [; ], è strettamente decrescente Inoltre, poiché f () = e f () =, possiamo concludere che < f (x) < per ogni x ]; [ In conclusione, la funzione polinomiale di terzo grado trovata soddisfa tutte le condizioni richieste Per disegnare la mattonella risultante, usiamo le simmetrie rispetto agli assi e all origine, analogamente a quanto fatto nella parte 3 Zanichelli 8

4 ESAME DI STAT 8 PRVA DI MATEMATICA Svolgimento del problema Parte 3 Verifichiamo che la famiglia di funzioni a n (x) = x n, con n N {}, x [; ] rispetta le condizioni a), b) e c) a) a n () = n = ; b) a n () = n = ; c) < x < < x n < < x n < < x n < + < x n < < a n (x) < Verifichiamo che anche la famiglia di funzioni b n (x) = ( x) n, con n N {}, x [; ] rispetta le condizioni a), b) e c) a) b n () = ( ) n = n = ; b) b n () = ( ) n = n = ; c) < x < < x < < x < + < x < < ( x) n < < b n (x) < Sia ora A(n) = 4 Allora: ( x n ) dx = 4 4n lim A(n) = lim n + n + n + = 4 [ ] ( x xn+ = 4 ) = 4n n + n + n + In termini geometrici, questo vuol dire che l area A(n), quando n tende all infinito, tende all area del quadrato Q Quindi la mattonella limite risulta completamente grigia 4 Zanichelli 8

5 ESAME DI STAT 8 PRVA DI MATEMATICA Svolgimento del problema a 4 a a 3 a Sia invece B(n) = 4 ( x) n dx Ponendo x = t dx = dt, abbiamo: B(n) = 4 Allora: t n dt = 4 4 lim B(n) = lim n + n + n + = [ t n t n+ dt = 4 n + ] = 4 n + In termini geometrici, questo vuol dire che l area B(n), quando n tende all infinito, tende ad annullarsi Quindi la mattonella limite risulta completamente bianca 5 Zanichelli 8

6 ESAME DI STAT 8 PRVA DI MATEMATICA Svolgimento del problema b b b 3 b 4 Parte 4 Consideriamo le funzioni a (x) = x e b (x) = ( x) Le mattonelle corrispondenti A e B sono rappresentate sotto, insieme alla diagonale lungo cui la macchina sorvola per tornare alla posizione iniziale dopo aver depositato il colore S a S b R a R b Mattonella A Mattonella B Nel caso in cui una goccia di colore cada in un punto della diagonale d di una mattonella A, la probabilità che cada sulla parte bianca è P a = RaS d, dove d = e S(; ) 6 Zanichelli 8

7 ESAME DI STAT 8 PRVA DI MATEMATICA Svolgimento del problema Visto che R a : si ha R a ( 5 ; y = x < x < ) 5 tteniamo allora che ( 5 ) ( + 5 P a = Analogamente dove P b = RbS d, x + x = < x < ) = ( ) 5 x, = ± 5 < x < 5 3 = = 3 5, R b : y = ( x) < x < x + x = x < x < x 3x + = < x < Vale: x 3x + = x, = 3 ± 9 4 ( 3 5 quindi R b ; 3 ) 5 Quindi: P b = ( ) ( ) = = 3 ± 5, ( ) 3 5 = 5 = 5 Se indichiamo con E a, E b gli eventi E a = «cade una goccia su una mattonella di tipo A», E b = «cade una goccia su una mattonella di tipo B», le rispettive probabilità sono: p(e a ) = p(e b ) = % = 5 7 Zanichelli 8

8 ESAME DI STAT 8 PRVA DI MATEMATICA Svolgimento del problema Quindi P a p(e a ) = = 3 5 7, 64% è la probabilità che una mattonella di tipo A risulti danneggiata, mentre 5 P b p(e b ) = 5 5 =, 36% è la probabilità che una mattonella di tipo B risulti danneggiata Pertanto il numero di mattonelle danneggiate è circa 5 7, 64% + 5, 36% = 5 % = 8 Zanichelli 8