Esame di Stato - Liceo Scientifico Prova scritta di Matematica - 22 giugno 2017

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1 Esame di Stato - Liceo Scientifico Prova scritta di Matematica - giugno 7 Problema Risoluzione con calcolatrice grafica Punto La funzione assegnata oscilla tra - e, è una funzione dispari, periodica di periodo T=4, continua su tutto R e non derivabile nei punti di ascissa k, k Z. Il primo limite non esiste perché non vale la definizione di limite finito a più infinito. Non è vero che per ogni, esiste un M, tale che per ogni M si abbia f ( ) l. Per falsificare questa definizione basta prendere un. Il secondo limite invece esiste. Lo si dimostra con il Teorema del confronto utilizzando questa disuguaglianza che vale per : f( ) e passando al limite per che tende a. Il valore del secondo limite è quindi : f( ) lim. Il grafico della funzione g( ) f '( ) sono punti angolosi per la funzione f( ): nell intervallo,4 è una funzione a scalini e non esiste in = e in =3 perché

2 Il grafico della funzione h( ) f ( t) dt nell intervallo,4 è una funzione rappresentata dal seguente grafico: Ha un massimo per = e tale massimo vale ; si annulla ovviamente per = e per =4. E simmetrica rispetto alla retta di equazione =. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale è derivabile nel suo dominio. Punto Il profilo della pedana, pensato come una funzione, deve avere punti angolosi in a (oltre che in 3 a, 5 a,... ). Ragioniamo su a. La ruota quadrata in questo punto deve avere una diagonale perpendicolare all asse delle ascisse. La derivata prima sinistra in questo punto è: f ' ( a) sinh( a) sinh(ln( )). La derivata prima destra nello stesso punto vale (basta ripetere calcoli analoghi ai precedenti. Quindi le rette tangenti Il periodo della funzione s( ) sin( b), con b, è T. Quindi 4. Ne segue b. b b La funzione è pertanto s ( ) sin. Disegniamo i grafici delle funzioni f( ) ed s ( ) nello stesso sistema di assi cartesiani. Otteniamo il seguente grafico: L area di ciascuna regione rappresente già la probabilità perché si deve fare il rapporto con l area del quadrato di lato.

3 Si ha pe ( ) 5% p( E) sin d,36 3,6% p( E3) sin d,36 36% Punto 3 f ( ) Consideriamo la funzione nell intervallo [,]. Quindi pe ( ) diminuisce perché diventa /3 (il quadrato di un numero compreso tra e è minore del numero: ). Si ha che pe ( 3) aumenta, per lo stesso ragionamento precedente, perché nell intervallo [,] si ha sin sin. Esattamente si ha: pe ( 3). Quindi pe ( ) aumenta, ed esattamente si ha: p( E) sin d,(6) Punto 4 La funzione h ( ) h( ) f ( t) dt nell intervallo e dal seguente grafico: 3,3 è rappresentata dalla seguente espressione

4 Con il metodo dei gusci cilindrici, il volume del solido di rotazione si ottiene nel seguente modo: 3 3 V h( ) d d d Osservazioni sull uso della calcolatrice grafica nella risoluzione del problema Facciamo riferimento alla calcolatrice grafica TI-84 Plus CE-T (della Teas Instruments). La calcolatrice grafica poteva essere utile per tracciare i grafici delle funzioni richieste in questo problema, soprattutto nel Punto e nel Punto3. Per il Punto, si può osservare questo grafico. Per quanto riguarda il punto 3, si può fare il seguente grafico. Per il punto 4, si poteva disegnare il grafico della funzione integrale, come nel seguente grafico.

5 Giudizio sul problema Livello di difficoltà Basso Medio Alto Si tratta di un problema contestualizzato L argomento è presente nelle Indicazioni Nazionali per i Licei Scientifici? No In modo forzato In modo accettabile Sì No Ben contestualizzato Non è esplicitato / Non è chiaro Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre È un argomento presente nei libri di testo? Mai Non sempre Sempre Formulazione Scorretta Ambigua Poco chiara Corretta Verifica conoscenze / abilità/ competenze fondamentali? Per la risoluzione del problema è utile usare una calcolatrice grafica? Sì Solo parzialmente No Molto chiara SI No Parzialmente Risoluzione del problema a cura di L.Tomasi