PROBLEMA 2 (soluzione a cura di E. Castagnola e L. Tomasi, con l uso della calcolatrice grafica TI-Nspire CX (non CAS)

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1 Esame di Stato Liceo Scientifico Prova scritta di Matematica giugno 08 PROBLEMA (soluzione a cura di E. Castagnola e L. Tomasi, con l uso della calcolatrice grafica TI-Nspire CX (non CAS)

2 Soluzione ) Cominciamo con l osservare che per qualsiasi valore del parametro k il punto di ascissa 0 di k ha coordinate (0, 9), mentre il punto di ascissa, dipendente da k, ha coordinate (, k + 8). La derivata prima della nostra funzione f () x è data da Nel punto di ascissa 0 risulta f (0) cioè y = kx + 9. Analogamente la retta s k ha equazione k = +. fk ( x) x k = k e nel punto di ascissa f k () = k. Pertanto la retta r k ha equazione r k: y 9 = kx s k: y k 8 = ( k )( x ) cioè y = (k )x +. Le coordinate del punto di intersezione si trovano risolvendo il sistema che ha come soluzione sempre. x = e y = ( k ) x + y = kx + 9 y = k+ 9. Quindi il punto M ha coordinate M, k+ 9, cioè l ascissa vale k 4 ) Per k = l ordinata di M vale 9 + 0, mentre per k = vale La disuguaglianza k vale a maggior ragione per k >. Per k = risulta f ( x) = x + x + 9 e f ( x) x = +. La funzione è un polinomio di terzo grado e quindi è definita per ogni x R. Utilizzando la calcolatrice grafica possiamo inserire nell ambiente grafico la nostra funzione e visualizziamo

3 Nella finestra standard il grafico è poco significativo ma possiamo adattare opportunamente la finestra di visualizzazione Questo grafico lascia intuire che si tratta di una funzione in generale decrescente con un probabile punto di flesso nell intorno del punto di ascissa 0. Ingrandiamo opportunamente la zona che ci interessa

4 Questo grafico chiarisce le idee: possiamo supporre l esistenza di un punto di flesso di coordinate (0, 9) e di un minimo relativo con asissa negativa e di un massimo relativo con ascissa positiva di valore opposto rispetto all ascissa del minimo. Analizziamo il grafico con gli strumenti della calcolatrice Questo fornisce una prima conferma di quanto previsto. Studiamo ora la nostra funzione con gli strumenti dell analisi. Risulta innanzi tutto lim f( x) = + e lim f( x) =. x x + Studio della derivata prima: f ( x) = 0 x + = 0 x = e x = f ( x) 0 x e f ( x) 0 x o x. Pertanto x = è l ascissa del punto di minimo e 8 e del massimo sono minimo, 9 x = è l ascissa del punto di massimo. Le coordinate del minimo 8+ e Massimo, 9 La derivata prima, il cui grafico è una parabola con la concavità rivolta verso il basso, è crescente per x < 0 e decrescente per x > 0, quindi il grafico della nostra funzione ha la concavità verso l alto per x < 0 e la concavità verso il basso per x > 0 e quindi il punto di coordinate (0, 9) è un punto di flesso. Derivata seconda f ( x) 6x = e questo conferma quanto appena detto. Con la calcolatrice grafica possiamo inserire nel nostro ambiente grafico anche la derivata prima.

5 Questo conferma quanto dedotto per via analitica. Possiamo anche verificare nell ambiente calcolo quanto dedotto nell ambiente grafico ) Dai risultati del punto ) deduciamo che le nostre rette hanno equazione: r: y = x + 9 e s: y = x + 9 e si intersecano nel punto M,. Le due rette tangenti la curva grafico della funzione e l asse delle ascisse suddividono il triangolo T in diverse zone. Rappresentiamo graficamente questa situazione

6 La probabilità cercata sarà data dal rapporto tra ) l area della figura piana delimitata dalle due rette tangenti r e s e dal grafico della nostra sull intervallo [0, ] a cui dobbiamo aggiungere l area del triangolo mistilineo TCD, essendo C il punto di intersezione della nostra cubica con l asse delle ascisse la cui ascissa vale approssimativamente.4 e infine l area del triangolo DCB essendo D il punto di intersezione della tangente s con la retta perpendicolare all asse x e passante per C e risulta D(.4, 6.5) e ) l area del triangolo che abbiamo indicato con MAB. L area del triangolo è di determinazione immediata 9 84 Area(MAB) = + 9 =. Per il calcolo della somma delle aree sopra indicate dobbiamo procedere come segue: 0.4 ( x x x 9) dx + (8 x + + x x 9) dx dove l ultimo termine rappresenta l area del triangolo BCD. Svolgendo i calcoli otteniamo come risultato.09. Quindi la probabilità data dal rapporto fra le aree vale circa %. Questi calcoli si possono controllare anche nell ambiente calcolo della calcolatrice Inoltre, sempre nell ambiente calcolo otteniamo

7 in accordo con quanto trovato per via grafica. OSSERVAZIONE. È abbastanza insolito incontrare un problema di maturità in cui si richiede la determinazione approssimata di uno zero di un polinomio di terzo grado 4) Supponiamo in generale che la nostra funzione f ( x) = P ( x) sia un polinomio di grado n. Allora la sua derivata prima n f ( x) = Qn ( x) sarà un polinomio di grado n. La pendenza della retta normale in un generico punto del grafico è nx ( ) =. La retta normale in un punto della curva di ascissa x0 e passante per l origine O avrà Q ( x) data da equazione n y = Q x ( x ) n 0 Nei punti di intersezione dovrà essere soddisfatta l uguaglianza x = Pn ( x). Q ( x ) n 0 In altre parole dovremo cercare quei valori di x0 per i quali è soddisfatta l uguaglianza x = Q ( x ) P ( x ). 0 n 0 n 0 Ma questa è un equazione di grado n e quindi le soluzioni, cioè i punti di intersezione, saranno al massimo n.