UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA

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1 UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di Laurea Magistrale in Scienze della Nutrizione Umana Corso di Statistica Medica, anno 205- P.Baldi Lista di esercizi 5, 8 febbraio 20. Esercizio Si fanno 25 estrazioni da un urna contenente 5 palline numerate da a 5 (ogni volta la pallina viene rimessa nell urna. a Qual è la probabilità che il numero 3 si presenti meno ( di 0 volte? b Qual è la probabilità che i numeri 2 e 3 si presentino insieme tra 240 e 20 volte (estremi compresi? Esercizio 2 Due dadi vengono lanciati 30 volte. a Mostrare che la probabilità di ottenere 7 in un singolo lancio è uguale a. b In media quante volte si otterrà 7 nei 30 lanci? c Usando l approssimazione normale, qual è la probabilità che nei 30 lanci il 7 compaia più di volte? d Mostrare che la probabilità di ottenere 2 oppure 2 in un singolo lancio è uguale a 8. e In media quante volte si otterrà 2 oppure 2 nei 30 lanci? f Usando l approssimazione normale dire se è più probabile che nei 30 lanci il 7 compaia più di volte oppure che il 2 o il 2 compaiano più di 2 volte? Consiglio: se non si riesce a risolvere subito i punti a e d, li si può dare per buoni e andare avanti. Esercizio 3 Gli intervalli di tempo tra due richieste di servizio a un centralino seguono una legge esponenziale di media 2 minuti. Cioè se si indicano T,..., T n,... gli intertempi tra due chiamate successive, si suppone che le v.a. T i siano indipendenti ed esponenziali di media 2 minuti. Qual è la probabilità che in 2 ore giungano più di 380 chiamate? Qual è la probabilità che ne giungano meno di 350? (Domanda preliminare: quanto vale la varianza di una v.a. esponenziale di media 2? Vedi gli appunti alle pag Esercizio 4 Una società produttrice di componenti elettronici vuole pubblicizzare che i suoi prodotti sono affidabili ed in particolare che tutti superano un certo test di qualità tranne una proporzione del 3%. Per potere essere al riparo da controlli decide quindi di fare un test sulla sua produzione. a Supponiamo che la vera proporzione di pezzi che non superano il controllo sia p = 2.5%. Qual è la probabilità che in un campione di numerosità 00 vi siano più

2 (> di 3 componenti che non superano il controllo? Quale sarebbe il valore fornito dall approssimazione normale? Perché l approssimazione normale non si può applicare in questo caso? b Supponiamo sempre che la vera proporzione di pezzi che non superano il controllo sia p = 2.5%. Dare un approssimazione della probabilità che in un campione di numerosità 000 vi siano più (> di 30 pezzi che non superano il controllo. Esercizio 5 Una popolazione è formata da due gruppi, A e B. La proporzione di A nella popolazione è del 52%. Dalla popolazione viene scelto un campione di n individui. a Supponiamo n = 00. Qual è la probabilità che nel campione vi sia almeno il 50% d individui di A? b E se fosse n = 400? c Come cambierebbero i risultati precedenti se non si facesse la correzione di continuità? 2

3 Soluzioni Esercizio. a Se poniamo X i = se alla i-esima estrazione si ottiene il 3 e X i = 0 altrimenti, allora il numero di estrazioni che danno 3 sulle 25 è S = X X 25. Le v.a. X i sono dunque di Bernoulli B(, 5 ; in particolare hanno media 5 e varianza 5 ( 5 = Usando l approssimazione normale e la correzione di continuità (le v.a. X i sono a valori interi si trova ( ( P(S = = (.45 = b Basta ripetere la costruzione di a: X i = se alla i-esima estrazione si ottiene 2 oppure 3 e X i = 0 altrimenti. Ora le v.a. X i sono di Bernoulli B(, 2 5, hanno media 2 5 e varianza 25. Dunque, sempre usando l approssimazione normale con la correzione di continuità, ( ( P(240 S = ( ( = = (0.8 ( 0.8 = = 0.80 ( 0.80 = 0.. Esercizio 2. a I possibili risultati del lancio di due dadi sono tutte le coppie (,, (, 2,...,(, 5,(,, che sono in tutto 3. Tra di queste quelle che danno somma uguale a 7 sono (,, (2, 5, (3, 4, (4, 3, (5, 2, (, che sono. Dato che siamo in una situazione di equiprobabilità (tutti questi possibili risultati sono equiprobabili, la probabilità sarà 3 =. b Il numero di 7 in 30 lanci è una v.a. binomiale B(30, (30 prove indipendenti ripetute in ciascuna delle quali il risultato d interesse, cioè l uscita del 7 si può verificare con probabilità. Il numero medio richiesto non è altro che la speranza matematica di questa v.a. e cioè 30 = 0. c Indichiamo con S la v.a. numero di volte che si ottiene 7. L approssimazione normale (formula (3.34 degli appunti dà ( P(S > = P(S.5 = = (0.92 = 0.82 =

4 d Se riprendiamo il ragionamento di a, vediamo che solo le coppie (, e (, corrispondono al conseguimento di 2 oppure 2. Dunque la probabilità richiesta è 3 2 = 8. e Il numero di apparizioni di 2 oppure 2 segue una legge binomiale B(30, 8, che ha media 30 8 = 20. f Indichiamo con W la v.a. numero di volte che si ottiene 2 oppure 2. L approssimazione normale (formula (3.34 degli appunti dà ( P(W > 2 = P(W 2 = = (.33 = = 0.9 = Esercizio 3. Dire che giungono più di 380 chiamate in 2 ore è lo stesso che dire che la 380-esima chiamata arriva prima della fine della 2-esima ora (cioè prima del 720-esimo minuto. La probabilità richiesta è dunque P(S dove S 380 = T T 380. Si può dunque applicare l approssimazione normale (la formula (3.34 degli appunti che dice che ( µ P(S σ. 380 Per applicarla occorre conoscere la media µ e la varianza σ 2 delle v.a. T i. La media la sappiamo già = 2. Sappiamo che la media di una v.a. esponenziale di parametro λ è λ. Dunque qui λ = 2. La varianza vale invece λ 2. Dunque σ 2 = 4 e σ = 2. L approssimazione normale dà quindi ( P(S = (.02 = = Dire che giungono meno di 350 chiamate in 2 ore è lo stesso che dire che la 350-esima chiamata arriva dopo il 720-esimo minuto. Ovvero ( P(S = P(S = (0.53 = 380 = 0.9 = Nota bene non si deve fare la correzione di continuità (vedi pag degli appunti dato che le v.a. T i non sono a valori continui. 4

5 Esercizio 4. a Se la proporzione di pezzi che non superano il controllo è p = 0.03, allora il numero, X, di pezzi che non superano il controllo in un campione di 00 segue una legge binomiale B(00, Dunque la probabilità di osservare almeno 4 pezzi scadenti è ( P(X = 0 + P(X = + P(X = 2 + P(X = 3 Ora ( 00 P(X = 0 = = ( 00 P(X = = = = ( 00 P(X = 2 = = = ( 00 P(X = 3 = = = e dunque P(X 4 = = 0.24 L approssimazione normale avrebbe dato ( P(X 4 = P(X 3 0 = L approssimazione normale qui non si può usare perché non è rispettata la regoletta np 5 (qui np = = 2.5. b Qui invece si ha np = = 25 e dunque è lecito usare l approssimazione normale (e il calcolo esatto con le probabilità della binomiale sarebbe davvero lungo. Si ha dunque, indicando con Y il numero di pezzi che non superano il controllo in un campione di 000, ( P(X 3 = P(X 30 = = (. = 0.87 = Il calcolo esatto, con l uso di un software opportuno avrebbe dato il valore Esercizio 5. Se poniamo { se lo i-esimo individuo del campione è di tipo A X i = 0 se no 5

6 allora, per i dati del problema le v.a. X,..., X n sono indipendenti e di legge B(, 0.52 (la probabilità di scegliere proprio un individuo del gruppo A è proprio Questa legge ha media 0.52 e varianza 0.52( 0.52 =. a Viene chiesto di calcolare la probabilità che sia X X Usando l approssimazione normale (con la correzione di continuità abbiamo ( P(X X = P(X X = = (.5 = 0.9. b Gli stessi argomenti danno ora ( P(X +...+X = P(X +...+X = = (.85 = c Avremmo, per n = 00, ( P(X X = (.4 = 0.5. mentre per n = 400 ( P(X X = (.80 = Confrontando con i valori della funzione di ripartizione delle leggi binomiali forniti da R, si vede che l approssimazione normale con correzione di continuità dà dei valori praticamente esatti.