I Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica 2012/13 Nome: 30 gennaio

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1 I Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica /3 Nome: 3 gennaio 3 Se non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare tutti i risultati visti a lezione compresi quelli di cui non è stata fornita la dimostrazione. PATE I Esercizi,, 3 Esercizio. Nei quesiti seguenti, con dado si intende un dado regolare a sei facce e con moneta si intende una moneta equilibrata. a Si determini la probabilità p risp. q che lanciando due dadi risp. tre dadi il punteggio totale sia 5. b Gaia è indecisa su quanti dadi lanciare. Per sciogliere questo dilemma, affida la scelta al lancio di una moneta: se esce testa, ne lancia due; se invece esce croce, ne lancia tre. Se accade che il punteggio totale ottenuto è pari a 5, ritenete più probabile che Gaia abbia lanciato due dadi oppure tre? O forse le due eventualità sono equiprobabili? Si motivi quantitativamente e, se si vuole, anche qualitativamente la risposta. Soluzione. a Lo spazio di probabilità naturale è dato dall insieme Ω = {,, 3,, 5, } risp. Ω = {,, 3,, 5, } 3, munito della probabilità uniforme. Si ottiene p = 3 = 9 risp. q = = 3, perché ci sono risp. modi possibili di ottenere un punteggio totale pari a 5 lanciando due risp. tre dadi. b Introducendo gli eventi A := Gaia sceglie due dadi e B := il punteggio totale è pari a 5, si ha PA = e PB A = p, PB Ac = q per il punto precedente. Quindi Per la formula di Bayes e di conseguenza PB = PB APA + PB A c PA c = p + q. PA B = PB APA PB = p p = p + q p + q, PA c B = PA B = q p + q. Quindi, sapendo che si è verificato B, ossia che il punteggio totale è pari a 5, l eventualità condizionalmente più probabile è che Gaia abbia lanciato due dadi, perché p > q e dunque PA B > PA c B.

2 Esercizio. Dieci coppie di sposi partecipano alla seguente lotteria. A ciascuna delle venti persone viene consegnato un biglietto, e tra questi ce ne sono sei speciali. Se in una coppia sia il marito che la moglie ricevono un biglietto speciale, la coppia vince un viaggio per le isole Dodo; altrimenti, la coppia in questione non vince niente. [Può essere utile numerare le persone da a, indicando ad esempio ogni marito con un numero dispari e la rispettiva moglie con il numero pari successivo. In questo modo, la prima coppia corrisponde a {, }, la seconda a {3, }, ecc.] a Si calcoli la probabilità p che una coppia fissata ad esempio, la prima vinca il viaggio. b Si calcoli la probabilità q che due coppie fissate distinte ad esempio, le prime due vincano entrambe il viaggio. Introduciamo ora, per ogni i {,..., }, la variabile aleatoria X i che assume il valore se la coppia i-esima vince il viaggio, e se non lo vince. Indichiamo quindi con S il numero di coppie che vincono il viaggio, e con T il numero di coppie che non lo vincono. c Si calcolino EX i e CovX i, X j per ogni i, j {,..., }. d Si deducano ES e VarS. e Si ricavino infine ET e VarT. N.B. Se lo si desidera, la risposta a un quesito può essere lasciata espressa in termini delle risposte ai quesiti precedenti. Soluzione. a Sia Ω := {ω {,..., } : ω = } l insieme dei sottoinsiemi di {,..., } con elementi, munito della probabilità uniforme. Sappiamo che Ω =. Sia A i := l i-esima coppia vince il viaggio. L evento A coincide con l insieme degli ω Ω che contengono e. Ogni tale ω è determinato dalla scelta dei rimanenti punti in {3,,..., }, che può essere fatta in 8 modi. Quindi 8 p = PA = = 5 9. È charo che il risultato è lo stesso per qualsiasi coppia fissata, ossia PA i = p per ogni i. b Ogni ω A A contiene per costruzione i punti,, 3, e pertanto restano da scegliere i rimanenti punti in {5,..., }, scelta che ha esiti possibili. Un discorso analogo si può fare per A i A j con i j, pertanto q = PA i A j = A i A j = = 5 3 Ω c Si ha X i = Ai Bep quindi EX i = p e, per i = j, CovX i, X i = VarX i = p p. Se i j si ha EX i X j = E Ai A j = PA i A j = q, quindi CovX i, X j = EX i X j EX i EX j = q p. d Si ha S = X X = i= X i pertanto ES = EX i = EX = p, VarS = i= i= VarX i + i j= CovX i, X j = = VarX + 9 CovX, X = p p + 9 q p. e Dato che T = S, si ha ET = ES e VarT = VarS, per le proprietà di trasformazione di valor medio e varianza.

3 3 Esercizio 3. Siano X e Y variabili aleatorie reali indipendenti, entrambe con distribuzione N,. Definiamo S := X, T := Y, U := S + T. a Si mostri che S e T hanno entrambe distribuzione Gamma,. Si spieghi perché sono variabili aleatorie indipendenti. [Sugg. Si esprima la funzione di ripartizione di S in termini di quella di X, e poi si ricavi la densità] b Dopo aver spiegato perché la variabile aleatoria U è assolutamente continua, si mostri che essa ha densità f U x = e x/. c Si determini per quali valori di α si ha EU α <. Soluzione 3. a Le variabili aleatorie S e T sono indipendenti e hanno la stessa distribuzione, perché sono ottenute applicando la stessa funzione misurabile alle variabili aleatorie indipendenti e con la stessa distribuzione X e Y. Chiaramente F S s = per s <, mentre per s F S s = PS s = PX s = P s X s = F X s F X s. Dato che F X è di classe C, con derivata F X x = π e x /, segue che F S è C a tratti, pertanto S è assolutamente continua con densità data per s da f S s = F Ss = s f X s + s f X s = π s e s, mentre f S s = per s <. Questa è proprio la densità di una Gamma,, perché Γ = π. b Per un risultato visto a lezione, U Gamma, = Exp, perché somma di due variabili aleatorie Gamma, indipendenti. La densità di una Exp è proprio e x/. c Dato che U è una variabile aleatoria q.c. positiva, il valor medio EU α è sempre ben definito in [, + ]. Inoltre EU α = x α f U x dx = x α e x/ dx = α z α e z dz, col cambio di variabili x = z. L integrale è finito su ogni compatto di,, perché la funzione integranda è continua; inoltre è finito sul dominio [, +, perché z α e z < e z/ per z sufficientemente grande. Infine, per z c è una singolarità se α <, che è integrabile se e solo se α >. In definitiva, EU α < se e solo se α > e in tal caso EU α = α Γα+.

4 PATE II Esercizi, 5, Esercizio. Sia X, Y un vettore aleatorio bidimensionale assolutamente continuo, con densità f X,Y x, y = x + y Dx, y, dove D := {x, y : x >, y >, x + y < }. a Si determini la distribuzione della variabile aleatoria Z := X + Y, riconoscendola come notevole. b Si mostri che le componenti X e Y hanno la stessa densità fx = log x, x. c Si mostri che la funzione di ripartizione F = F X di X soddisfa la relazione F x x log per x. x d Siano ora {X k } k N variabili aleatorie reali i.i.d. con la stessa distribuzione di X. Definiamo per n N la variabile aleatoria reale W n := n log n min{x,..., X n }. Si mostri che W n converge in distribuzione per n verso un limite notevole. Soluzione. a Applicando la formula mostrata a lezione, Z ha densità f Z z = f X,Y x, z x dx = z Dx, z x dx = z,zx dx, z =, z, cioè Z U,. b X e Y hanno la stessa densità per simmetria, data da x [ ] x fx = f X,Y x, y dy =, x x + y dy =,x logx+y c Si ha F x = x ft dt = x logt dt = x logx + da cui si ottiene che F x x log x, come richiesto: infatti F x x log = + x log per x, x d Per t si ha F Wn t =, mentre per t > t n F Wn t = F. n log n Per il punto precedente F x x log x, pertanto t t n log n F n log n n log n log t = t n log n = t { } log log n log t + t n log n n, pertanto lim F W n n t = x = log dt = x log x +, { } log n + log log n log t lim t n = e n n t = F W t, con W Exp. Ciò significa che W n W Exp in distribuzione. x, x.

5 5 Esercizio 5. Si ricordi che, per ogni variabile aleatoria reale positiva X, vale la formula EX = + PX > t dt. a Si deduca che, se X è una variabile aleatoria reale positiva, { < + se EX < ε > : PX > εn = + se EX =. n N Siano ora {X n } n N variabili aleatorie reali positive, definite sullo stesso spazio di probabilità e con la stessa legge ma non necessariamente indipendenti. Sia m := EX [, + ] e definiamo W n := X n n. b Se m < +, si mostri che W n q.c.. c Se m = + e in aggiunta le variabili aleatorie {X n } n N sono indipendenti e dunque i.i.d., si mostri che W n q.c.. Che cosa si può dire sulla convergenza in probabilità di W n? d Per concludere, si dia un esempio di successione {T n } n N di variabili aleatorie i.i.d. tale che log T n q.c.. n Si noti che è sufficiente specificare la distribuzione di T come si preferisce: discreta, assolutamente continua,.... Soluzione 5. da cui segue che a La funzione t PX > t è decrescente, pertanto per ogni ε > e n N PX > εn ε εn εn ε n N PX > εn EX = PX > t dt PX > εn ε, PX > t dt ε n N PX > εn. Questo mostra che la convergenza/divergenza della serie n N PX > εn è equivalente a EX < / EX = +. b Per un criterio visto a lezione, corollario del lemma di Borel-Cantelli, per avere W n q.c. basta mostrare che per ogni ε > PX > εn < n N P W n > ε = n N PX n > εn = n N il che avviene se EX <, per il punto precedente. c Per il punto precedente, in questo caso n N P W n > ε = n N PX n > εn = n N PX > εn =. Dato che gli eventi { W n > ε} sono indipendenti, per Borel-Cantelli si ha P lim sup{ W n > ε} n =, ε >. Questo chiaramente mostra che W n q.c. abbiamo anche visto un criterio a lezione. Tuttavia continua a valere la convergenza in probabilità W n. Infatti per ε > P W n > ε = PX n > εn = PX > εn = F X εn, e dato che lim x + F X x = per ogni funzione di ripartizione, si ha P W n > ε.

6 d Per il punto precedente, è sufficiente che Elog T n = +. Ad esempio, si può scegliere F Xn x = x [, x, così che PX n > x = x per x >. Ponendo T n := e Xn, si ha Elog T n = EX n = PX n > x dx = +.

7 7 Esercizio. Si consideri la catena di Markov X = {X n } n N a valori nell insieme E = {,, 3,, 5}, corrispondente al seguente grafo: 5 3 a Si scriva la matrice di transizione della catena, si identifichino le classi di comunicazione e si classifichino gli stati transitori, ricorrenti positivi, ricorrenti nulli, determinandone il periodo. b Si mostri che esiste un unica probabilità invariante e la si determini, notando che non è reversibile. Se la catena parte inizialmente dallo stato, per tempi lunghi è più probabile trovarla nello stato o nello stato 3? Soluzione. a La catena è irriducibile e finita, quindi tutti gli stati sono ricorrenti positivi e hanno lo stesso periodo. Per determinarlo, si noti che si ha p p p > e p 3 p 3 p 3 p >, e dato che il M.C.D. tra e 3 vale, la catena è aperiodica. b Essendo irriducibile e ricorrente positiva, esiste un unica probabilità invariante. Imponendo l equazione π i = k E π kp ki per i =,, 3, si ottiene π = π π = π + π 3 π 3 = π + π, π = π + π 5 da cui, ponendo π := α, si ricava facilmente π = α π = α π = 3 α. π 3 = α π = α Imponendo che π + π + π 3 + π + π 5 = si ottiene infine π = π = 7, π 3 = 3, π = 7, π 5 =. Per il teorema di convergenza all equilibrio si ha lim n PX n = j X = i = π j, pertanto è più probabile che per tempi lunghi la catena si trovi nello stato invece che nello stato 3, essendo π > π 3.