CP410: Esame 2, 30 gennaio Testo e soluzione

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1 Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 23-4, I semestre 3 gennaio, 24 CP4: Esame 2, 3 gennaio 24 Testo e soluzione Cognome Nome Matricola Firma

2 . Per ogni n N, sia X n la variabile aleatoria con densità di probabilità (a) Dire se X n converge in probabilità (b) Dire se X n converge in distribuzione f n (t) = nt n t [,] (c) E possibile realizzare la successione di variabili aleatorie X n sullo spazio di probabilità ([, ], B, Leb) in maniera tale che X n (ω) converge per quasi ogni ω [, ]? Soluzione: (a). Per n grandi la densità f n tende a rapidamente a zero a meno che t non sia molto vicino a. Quindi è naturale investigare la convergenza di X n a. La variabile X n prende valori positivi, e per ogni ε > si ha P( X n > ε) = P(X n < ε) = ε Dunque X n tende a zero in prob. e quindi X n in prob. nt n dt = ( ε) n. (b). Ricordiamo che convergenza in prob. implica convergenza in distribuzione. Quindi X n converge in distribuzione alla costante. (b). Per realizzare esplicitamente la X n sullo spazio di prob. ([, ], B, Leb) possiamo prendere X n (ω) = ω /n, ω [, ]. Infatti la funzione di distribuzione soddisfa P(X n x) = P(ω /n x) = P(ω x n ) = x n = x f n (t)dt, x [, ]. Per ogni ω Ω = (, ] abbiamo X n (ω) = ω /n. Inoltre P(Ω ) = e dunque abbiamo che X n (ω) per quasi ogni ω [, ].

3 2. Consideriamo una playlist di dieci canzoni numerate da a 9. A ogni passo viene suonata una canzone scelta uniformemente a caso tra le dieci. Sia τ il numero di canzoni suonate quando per la prima volta si è ascoltata la sequenza di canzoni 99. (a) Mostrare che E[τ] < (b) Calcolare E[τ]. Soluzione: Considerando blocchi di 4 canzoni ciascuno si vede che τ è dominato dal 4σ dove σ è il numero di blocchi necessario per avere un blocco pari a 99 per la prima volta. La variabile σ è una geometrica e dunque E[σ] = /p = 4, dove p è la probabilità che un blocco sia pari a 99. Allora E[τ] 4E[σ] <. Il risultato precedente permette di applicare il teorema di optional stopping. Utilizzando l usuale argomento di martingala (vedere raccolta di esercizi svolti con martingale), si ottiene che E[τ] = 4 +.

4 3. Sia X n una variabile esponenziale di parametro λ = n e sia Y n una variabile aleatoria che prende il valore + con probabilità 2 + n e il valore con probabilità 2 n. Assumendo indipendenza tra X n e Y n, mostrare che la variabile aleatoria Z n = ( + X n )Y n converge in distribuzione per n e descriverne il limite. Soluzione: Usiamo la funzione caratteristica ϕ Zn (θ) = E[e iθ(+xn)yn ]. Grazie all indipendenza possiamo integrare ϕ Zn (θ) = 2 + ) E[e iθ(+xn) ] + n 2 n = 2 + ) e iθ ϕ Xn (θ) + n 2 n ) E[e iθ(+xn) ] ) e iθ ϕ Xn ( θ). La variabile esponenziale di parametro λ ha funzione caratteristica pari a λ/(λ iθ), e dunque ϕ Xn (θ) = /( i(θ/n)) per n. Allora lim n ϕ Z n (θ) = 2 eiθ + 2 e iθ In conclusione, Z n converge in distribuzione alla variabile Z che vale con probabilità 2 e con probabilità 2.

5 4. Sia X una v.a. su uno spazio di probabilità (Ω, F, P), tale che P( X > t) = t α, per ogni t, dove α > è fissato. Sia {F n, n N} una famiglia non decrescente di sotto σ-algebre di F e sia M n = E[X F n ]. (a) Mostrare che M n è una martingala. (b) Mostrare che M n è limitata in L p per ogni p [, α). Soluzione: La proprietà di martingala segue dalla proprietà della torre per il valore atteso condizionato. Inoltre, notiamo che X L p se e solo se p < α. Per esempio questo si può vedere tramite E[ X p ] = P( X p > t)dt = dt + t α p dt, dove abbiamo usato il fatto che per definizione P( X > t) = per ogni t [, ]. L espressione precedente è finita se e solo se p < α. Usando la disuguaglianza di Jensen, per p si ottiene E[ M n p ] = E[ E[X F n ] p ] E[E[ X p F n ]] = E[ X p ]. Allora se p < α si ha E[ M n p ] E[ X p ] <.

6 5. Discutere con esempi e cenni di dimostrazion la legge debole e la legge forte dei grandi numeri.

7 6. Siano Z i, variabili aleatorie i.i.d. ciascuna con funzione di distribuzione { t F (t) = t 2 t > (a) Calcolare i valori attesi ν = E[Z ] e µ = E[log(Z )]. (b) Sia X n = n i= Z i. Mostrare che la successione Xn /n converge q.c. e calcolarne il limite. (c) Mostrare che la successione 2 n X n converge q.c. e calcolarne il limite. Soluzione: (a). Differenziando la funzione di distribuzione F (t) = P(Z t) si ha che Z ha densità di probabilità f(z) = 2z 3 {z }. Dunque Inoltre log(z ) ha media ν = E[Z ] = 2 z 2 dz = 2. µ = E[log(Z )] = 2 log(z)z 3 dz = z 3 dz = 2. (b). Notiamo che log(xn /n ) = n n log(z i ). Scriviamo Y i = log(z i ) e S n = n i= Y i, in modo che Xn /n = e Sn/n. Le Y i sono variabili i.i.d. nonnegative, con media µ. La legge dei grandi numeri forte stabilisce che n S n µ P-q.c. e quindi Xn /n e µ, P-q.c. (c). Essendo ν = 2, notiamo che M n = 2 n X n è prodotto di (Z i /2), i =,..., n, variabili i.i.d. nonnegative con media. Quindi M n è una martingala limitata in L e per il teorema di convergenza si ha M n M P-q.c. per qualche v.a. M. Per il punto (b) deve valere M /n n e /2 /2 P-q.c. e dunque, essendo e /2 /2 <, si ha M n M = P-q.c. i=