Istituzioni di Probabilità Laurea magistrale in Matematica 16 Febbraio 2015

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Lazzaro Speranza
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1 Istituzioni di Probabilità Laurea magistrale in Matematica 16 Febbraio 15 sercizio 1. (punti 1 ) ) Basandosi sul noto concetto di integrale di Itô, ogni studente esponga, preliminarmente, una ragionevole definizione di integrale di Itô a valori complessi Z t, dove Z t = X t + iy t con X t, Y t processi a valori reali, che verrà usata nel resto dell esercizio e mostri, detto z il modulo di un numero complesso z, la validità di un opportuna formula 1 di isometria per Z t. Introduciamo il processo stocastico a valori complessi X λ := eiλt, λ R, dove W è un moto browniano (si ricordi che e ix = cos x + i sin x). i) Mostrare (in grandi linee) che X λ è un processo gaussiano (spiegando cosa intendete per processo gaussiano a valori complessi). ii) Mostrare che ( 1 ) lim P e iλt > R =. R λ R iii) Mostrare, con un calcolo abbastanza facile, che il processo X λ ha una versione continua. Poi, con un calcolo più elaborato, mostrare che ha una versione localmente γ-hölderiana, per ogni γ < 1. iv) Mostrare che λ R λe iλt W t dt <. sercizio. (punti 1 ) Ricordiamo che un processo di Poisson N t di intensità 1, rispetto ad una filtrazione F t, è un processo adattato, costante a tratti, continuo a destra, nullo in zero, con N t N s indipendente da F s ed avente distribuzione di Poisson di parametro t s, per ogni t s (in particolare N t N s = t s, V ar N t N s = t s). Sia λ :, ) (, ) una funzione continua. Si ponga Λ (t) := λ (s) ds, N t λ := N Λ(t), G t = F Λ(t). i) Verificare che Nt λ Λ (t) è una G-martingala e che Nt λ Ns λ è indipendente da G s. ii) Verificare che ( Nt λ Λ (t) ) Λ (t) è una G-martingala. iii) Mostrare che la successione ( Nn λ ) converge quasi certamente, quando λ (t) = e t n (dare inoltre una condizione più generale su λ (.) che garantisca la stessa proprietà). iv) Sia T (risp. T λ ) il primo istante in cui N t (risp. Nt λ ) assume il valore 1. Mostrare che T λ λ (s) ds = T. q.c. sercizio 3. (punti 1 ) Si consideri l equazione dx t = sin (X t ) dt + X t db t, X = 1. 1

2 i) Dopo aver spiegato perché ha soluzione unica, trovare una prima formula (per quanto implicita e un po complessa) per log ( ), ɛ > fissato. ii) Mostrare che, per ɛ > abbastanza piccolo, t,t log ( ) 1 + 5T + 4 T. iii) Dedurre che X t rimane sempre positiva, quasi certamente. iv) Mostrare che il risultato del punto (iii) è falso per l equazione dx t = sin (X t ) dt + db t, X = 1.

3 1 Soluzioni sercizio 1. ) Z t := X t + i Y t. In particolare Z t = e iλt = X t + cos (λt) + i sin (λt) Y t = Xt dt + Yt dt = Z t dt. ( i) Presi λ 1,..., λ n, dobbiamo dimostrare che il vettore cos (λ 1t), sin (λ 1t),..., cos (λ nt) è gaussiano; approssimando ciascun integrale con somme di Riemann su una partizione = t < t 1 <... < t k = 1, si trova che l approssimazione è trasformazione lineare del vettore gaussiano ( ) W t1, W t W t1,..., W tk W tk 1, quindi è guassuano; infine la gaussianità si conserva sotto limite in media quadratica. ii) ( 1 ) P e iλt > R 1R e iλt = 1 R dt = 1 R. iii) Vale in quanto e iλt e iλ t = e iλt e iλ t dt λ λ e iλt e iλ t = cos (λt) cos ( λ t ) + sin (λt) sin ( λ t ) sin x λ λ + cos x λ λ. x Questo implica l esistenza di una versione continua. Per ogni p esiste C p > tale che ( a + b ) p Cp ( a p + b p). Quindi e iλt x p e iλ t ( ( = cos (λt) cos λ t )) ( ( + i sin (λt) sin λ t )) p ( ( ( ( = cos (λt) cos λ t )) ) ( ( ( + sin (λt) sin λ t )) ) ( ( ( C p cos (λt) cos λ t )) ) p ( ( ( + C p sin (λt) sin λ 3

4 e per il noto fatto sui momenti gaussiani ( C p ( ( cos (λt) cos λ t )) ) p ( + C p ( ( sin (λt) sin λ t )) ) p ( C p ( ( cos (λt) cos λ t )) ) p ( dt + C p ( ( sin (λt) sin λ t )) ) p dt p C p λ λ p + p C p λ λ p da cui segue la tesi coi soliti ragionamenti. iv) Per la formula di Itô e iλt = e iλ W 1 iλe iλt W t dt. Da questo si ricava facilmente la tesi. ventualmente, andrebbe giustificata questa formula di Itô a valori complessi. sercizio. i) Integrabilità e adattamento seguono dalla definizione e dalle analoghe proprietà di N t, con t = Λ (t). Poi N t λ Λ (t) G s = N Λ(t) Λ (t) F Λ(s) = NΛ(s) Λ (s) se si usa che N t t è una martingala, altrimenti a mano. Indipendenza simile ad adattamento. ii) Integrabilità e adattamento come sopra. Con passaggi usuali ( Nt λ = ( N λ t ) ( ) Λ (t) Ns λ Λ (s) Gs ) Ns λ (Λ (t) Λ (s)) = Λ (t) Λ (s) dove all ultimo di è usato che Nt λ Ns λ è una v.a. di Poisson, di media Λ (t) Λ (s) e varianza Λ (t) Λ (s). iii) Nt λ Λ (t) è una martingala con N t λ Λ (t) N t λ + Λ (t) = Nt λ + Λ (t) = Λ (t) λ (s) ds < (questa è la condizione più generale), quindi converge. Siccome Λ (t) converge, allora Nt λ converge. iv) Una giustificazione un po sommaria ma accettabile è: N λ = N T λ Λ(T λ ) = N T quindi ( Λ T λ) = T ovvero T λ λ (s) ds = T. Una giustificazione più pedante può essere: { } T λ = inf t : Nt λ = 1 = inf { t : N Λ(t) = 1 }. 4

5 Sia t n T λ dall alto, con N Λ(tn) = 1. La successione Λ (t n ) è quindi T. Siccome Λ è continua, passando al limite nella disuguaglianza Λ (t n ) T si ottiene Λ ( T λ) T. Ribaltando il ragionamento, si arriva a Λ ( T λ) T, da cui Λ ( T λ) = T. sercizio 3. i) La soluzione esiste (in senso forte) ed è unica perché i coeffi cienti sono lipschitziani (uno lineare, l altro derivabile con derivata limitata da 1). Vale dx t = X t sin (X t ) dt + X t db t + X t dt d log ( ) X t sin (X t ) dt + X = t db t + Xt dt 4Xt 4 ( ) dt log ( ) t ( Xs sin (X s ) + X = log (ɛ + 1) + s 4X 4 ) s Xs ɛ + Xs (ɛ + Xs ) ds + ɛ + Xs db s. quindi ii) Per ɛ (, e 1) vale t,t log ( ɛ + X t ) 1 + 5t + ( ) log ɛ + X t 1 + 5T + t,t log ( ) t,t Xs ɛ + Xs db s X s ɛ + Xs db s 1 + 5T + X s t,t ɛ + Xs db s 1 + 5T + X s 1/ t,t ɛ + Xs db s T 1 + 5T + X 4 s ɛ + Xs db s T 1 + 5T + Xs ɛ + Xs ds 1 + 5T + 4 T. iii) Posto Y T = t,t log Xt se Xt > per ogni t, T, Y T = + se X t = per qualche t, T, si mostra che Y T < tramite Fatou. iv) Basta dimostrare che P (B t t + 1) > e quindi per simmetria P (B t t 1) > Da ciò segue che per un insieme non trascurabile di ω, vale 1 + sin (X s ) ds + B t. 5

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