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Lorenzo Colombo
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1 Indice Notazioni generali XIII 1 Derivati e arbitraggi Opzioni Finalità Problemi Leggi di capitalizzazione Arbitraggi e formula di Put-Call Parity Prezzo neutrale al rischio e valutazione d'arbitraggio Prezzo neutrale al rischio Probabilità neutrale al rischio Prezzo d'arbitraggio Una generalizzazione della Put-Call Parity Un esempio di mercato incompleto 11 2 Elementi di probabilità ed equazione del calore Spazi di probabilità Variabili aleatorie e distribuzioni Valore atteso e varianza Alcuni esempi Disuguaglianza di Markov a-algebre e informazioni Indipendenza Misura prodotto e distribuzione congiunta Equazioni paraboliche a coefficienti costanti II caso ò = 0 e a = II caso generale Dato iniziale localmente sommabile Problema di Cauchy non omogeneo Operatore aggiunto Distribuzione multi-normale e funzione caratteristica 49

2.5 Un esempio di mercato incompleto 11 2 Elementi di probabilità ed equazione del calore 15 2.1 Spazi di probabilità 15 2.1.1 Variabili aleatorie e distribuzioni 20 2.1.2 Valore atteso e varianza 22 2.

2 Vili Indice 2.5 Teorema di Radon-Nikodym Attesa condizionata Proprietà dell'attesa condizionata Attesa condizionata in L Attesa condizionata e cambio di misura di probabilità Processi stocastici discreti e martingale Tempi d'arresto Disuguaglianza di Doob 70 3 Modelli di mercato a tempo discreto Mercati discreti e arbitraggi Arbitraggi e strategie ammissibili Misura martingala Derivati e prezzo d'arbitraggio Prova dei teoremi fondamentali della valutazione Cambio di numeraire Modello binomiale Proprietà di Markov Misura martingala Completezza v Algoritmo binomiale Calibrazione Modello binomiale e formula di Black&Scholes Equazione differenziale di Black&Scholes Modello trinomiale Valutazione in un mercato incompleto Opzioni Americane Prezzo d'arbitraggio Relazioni con le opzioni Europee Algoritmo binomiale per opzioni Americane Problema a frontiera libera per opzioni Americane Put Americana e Put Europea nel modello binomiale Processi stocastici a tempo continuo Processi stocastici e moto Browniano reale Legge di un processo continuo Equivalenza di processi Processi adattati e progressivamente misurabili Proprietà di Markov Moto Browniano ed equazione del calore Distribuzioni finito-dimensionali del moto Browniano Integrale di Riemann-Stieltjes Funzioni a variazione limitata Integrazione di Riemann-Stieltjes e formula di Ito Regolarità delle traiettorie di un moto Browniano 168

1.2 Misura martingala 80-3.1.3 Derivati e prezzo d'arbitraggio 83 3.1.4 Prova dei teoremi fondamentali della valutazione 86 3.1.5 Cambio di numeraire 90 3.2 Modello binomiale 91 3.2.1 Proprietà di Markov 93 3.

3 Indice 4.4 Martingale Alcuni esempi Disuguaglianza di Doob Spazi di martingale: ^# 2 2 e ^# c Ipotesi usuali Tempi d'arresto e martingale Variazione quadratica e decomposizione di Doob-Meyer Martingale a variazione limitata 188 Integrale stocastico Integrale stocastico di funzioni deterministiche Integrale stocastico di processi semplici Integrale di processi in L Integrale di Ito e integrale di Riemann-Stieltjes Integrale di Ito e tempi d'arresto Processo variazione quadratica Integrale di processi in L 2 OC Martingale locali Localizzazione e variazione quadratica Processi di Ito Formula di Itò-Doeblin Formula di Ito per il moto Browniano Formulazione generale Martingale ed equazioni paraboliche Moto Browniano geometrico Processi e formula di Ito multi-dimensionale Formula di Ito multi-dimensionale Alcuni esempi Moto Browniano correlato e martingale Estensioni della formula di Ito Formula di Ito e derivate deboli Tempo locale e formula di Tanaka Formula di Tanaka per processi di Ito Tempo locale e formula di Black&Scholes 246 Equazioni paraboliche a coefficienti variabili: unicità Principio del massimo e problema di Cauchy-Dirichlet Principio del massimo e problema di Cauchy Soluzioni non-negative del problema di Cauchy 259 Modello di Black&Scholes Strategie autofinanzianti Strategie Markoviane ed equazione di Black&Scholes Valutazione Dividendi e parametri dipendenti dal tempo 272 IX

3 Integrale di processi in L 2 198 5.3.1 Integrale di Ito e integrale di Riemann-Stieltjes 202 5.3.2 Integrale di Ito e tempi d'arresto 204 5.3.3 Processo variazione quadratica 207 5.

4 X Indice Ammissibilità e assenza d'arbitraggi Analisi di Black&Scholes: approcci euristici Prezzo di mercato del rischio Copertura Le greche Robustezza del modello Gamma e vega hedging Opzioni Asiatiche Media aritmetica Media geometrica Equazioni paraboliche a coefficienti variabili: esistenza Soluzione fondamentale e problema di Cauchy Metodo della parametrice di Levi 30Ù Stime Gaussiane e operatore aggiunto Problema con ostacolo Soluzioni forti Metodo della penalizzazione Problema con ostacolo sulla striscia di R iv Equazioni differenziali stocastiche Soluzioni forti Unicità Esistenza Proprietà delle soluzioni Soluzioni deboli Esempio di Tanaka Esistenza: il problema delle martingale Unicità Stime massimali Stime massimali per martingale Stime massimali per diffusioni Formule di rappresentazione di Feynman-Kac Tempo di uscita da un dominio limitato Equazioni ellittico-paraboliche e problema di Dirichlet Equazioni di evoluzione e problema di Cauchy-Dirichlet Soluzione fondamentale e densità di transizione Problema con ostacolo e arresto ottimo Equazioni stocastiche lineari Condizione di Kalman Equazioni di Kolmogorov e condizione di Hormander Esempi 365

1 Soluzione fondamentale e problema di Cauchy 298 8.1.1 Metodo della parametrice di Levi 30Ù 8.1.2 Stime Gaussiane e operatore aggiunto 302 8.2 Problema con ostacolo 303 8.2.1 Soluzioni forti 305 8.2.2 Metodo della penalizzazione 308 8.

5 Indice XI 10 Modelli di mercato a tempo continuo Cambio di misura di probabilità Martingale esponenziali Teorema di Girsanov Rappresentazione delle martingale Browniane Valutazione Misure martingale e prezzi di mercato del rischio Esistenza di una misura martingala equivalente Strategie ammissibili e arbitraggi Valutazione d'arbitraggio Formule di parity Mercati completi Caso Markoviano Analisi della volatilità Volatilità locale e volatilità stocastica Opzioni Americane Valutazione e copertura nel modello di Black&Scholes Cali e put Americane nel modello di Black&Scholes Valutazione e copertura in un mercato completo Metodi numerici Metodo di Eulero per equazioni ordinarie Schemi di ordine superiore Metodo di Eulero per equazioni stocastiche Schema di Milstein Metodo delle differenze finite per equazioni paraboliche Localizzazione ^-schemi per il problema di Cauchy-Dirichlet Problema a frontiera libera Metodo Monte Carlo Simulazione Calcolo delle greche Analisi dell'errore Introduzione al calcolo di Malliavin Derivata stocastica Esempi Regola della catena Dualità Formula di Clark-Ocone Integrazione per parti e calcolo delle greche Altri esempi 465

3.4 Valutazione d'arbitraggio 389 10.3.5 Formule di parity 391 10.4 Mercati completi 392 10.4.1 Caso Markoviano 394 10.5 Analisi della volatilità 397 10.5.1 Volatilità locale e volatilità stocastica 401 11 Opzioni Americane 407 11.

6 XII Indice Appendice 469 A.l Teoremi di Dynkin 469 A.2 Topologie e «r-algebre 473 A.3 Generalizzazioni del concetto di derivata 475 A.3.1 Derivata debole in IR 476 A.3.2 Spazi di Sobolev e teoremi di immersione 479 A.3.3 Distribuzioni 480 A.3.4 Mollificatori 485 A.4 Trasformata di Fourier 487 A.5 Convergenza di variabili aleatorie 490 A.5.1 Funzione caratteristica e convergenza 491 A.5.2 Uniforme integrabilità 495 A.6 Separazione di convessi 497 Bibliografia 499 Indice analitico 511

3.3 Distribuzioni 480 A.3.4 Mollificatori 485 A.4 Trasformata di Fourier 487 A.5 Convergenza di variabili aleatorie 490 A.

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