Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo

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1 Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo docente Giuseppe Sanfilippo giuseppe.sanfilippo@unipa.it 25 giugno Informazioni e registro delle Lezioni Denominazione e CFU. Corso di Calcolo delle Probabilità per il Corso di Studi in STAD, 10 CFU. Esame. L esame consiste in una prova scritta ed in una prova orale. La prova scritta si intende superata se si ottiene una votazione maggiore o uguale a 18/30. Ricevimento. Lunedi Studio del docente: primo piano ex Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche, Univ. di Palermo. Orario delle Lezioni. Periodo di lezioni 26 Marzo Giugno Lunedi-Martedi dalle 12 alle 14 (Aula 5), Mercoledì dalle 12 alle 15 (Aula 5) Vacanze di Paqua 17 aprile aprile 2014 P.S. Per recuperare si potranno svolgere altre lezioni. Libri di testo consigliati. Calcolo delle Probabilità, Sheldon Ross, Apogeo, 2007,2013 Incertezza e Probabilità, Romano Scozzafava, Zanichelli, 2003 Altri libri consultabili. Calcolo delle Probabilità, Giorgio Dall Aglio, Zanichelli, 2001 Calcolo delle Probabilità, Paolo Baldi, McGraw-Hill (2007) Teoria delle Probabilità, vol.1 e vol.2, Bruno de Finetti, Giuffrè (ristampa 2005) Calcolo delle Probabilità ed Elementi di Statistica, Luciano Daboni, Utet Dispense fornite dal docente durante il corso. Raccolta di esercizi svolti ([7]) e compiti di esame degli anni precedenti disponibili sul sito del docente Riferimenti bibliografici [1] G. Dall Aglio. Calcolo delle probabilità. Zanichelli. [2] P. Baldi. Calcolo delle probabilità. McGraw-Hill [3] D. Costantini. Regole matematiche del gioco d azzardo.- Perché il banco non perde mai? Muzzio, Roma, 2009 [4] B. de Finetti. Teoria delle Probabilità, vol.1 e vol.2. Giuffrè (ristampa 2005) [5] R. Lowry. Bayes Theorem. Programma che calcola le probabilità a posteriori mediante il Teorema di Bayes. 1

2 [6] S. M. Ross. Calcolo delle Probabilità. Apogeo. Anni 2007, 2013 [7] G. Sanfilippo. Raccolta di Esercizi svolti di Calcolo delle Probabilità. nome file: RaccoltadiEsercizidiProbabilita.pdf. [8] G. Sanfilippo. Alcuni argomenti di Calcolo delle Probabilità affrontati durante il corso. ( [9] R. Scozzafava. Incertezza e Probabilità. Zanichelli, Registro delle lezioni /03/2014, 12:00-15:00 Lezione. Ore complessive: 3 Cenni storici, problema della ripartizione della posta (vedi [1, 6]), problema di de Mere e soluzione ([1]). Probabilita nel lancio dei dadi. Criterio classico di valutazione della Probabilita. Eventi e rappresentazione insiemistica. Eventi incompatibili. Probabilita dellunione di due eventi. Casi possibili giudicati ugualmente possibili. Proposizioni logiche, eventi, operazioni e relazioni logiche tra eventi (unione intersezione negazione, implicazione). Indicatore di un evento. Operazioni tra gli indicatori. Diagrammi di Venn. Tavole di verita. Formule di DE MORGAN. Partizione finita dell evento certo /03/ :00-14:00 Lezione. Ore 2. Complessive 5 Decomposizione di un evento. Altro problema del cavalier de Merè. Codice in R per il calcolo della frequenza di successo. Proprietà degli indicatori per una partizione dell evento certo. Esercitazione /04/ :00-14:00 Lezione. Ore 2. Complessive 7 Proprietà fondamentali della probabilità. Probabilità e partizione dell evento certo. Proprietà di monotonia. Probabilità totali per tre eventi. Principio di inclusione/esclusione (Probabilità dell unione di n eventi) /04/ :00-15:00 Lezione ed esercitazione. Ore 3. Complessive 10 Esercitazione sulle proprietà della probabilità. Commenti critici sulla definizione classica, esempi vari. Calcolo combinatorio: Principio della moltiplicazione, Disposizioni con ripetizione, Disposizioni semplici, combinazioni semplici, /04/ :00-14:00 Lezione ed esercitazione. Ore 2. Complessive 12 Fattoriale, coefficiente binomiale. Cardinalità dell insieme delle parti di un insieme finito. Proprietà del coefficiente binomiale. Triangolo di Pascal. Esercitazione sul calcolo combinatorio /04/ :00-14:00 Lezione. Ore 2. Complessive 14 Binomio di Newton. Numero di successi su n prove. Probabilità nel gioco del lotto. Probabilità nel gioco del Poker. Problema dei compleanni ; Problema delle concordanze o degli accoppiamenti [1, 6]. Cenni sulla serie esponenziale /04/ :00-15:00 Lezione. Ore 3. Complessive 17 Impostazione frequentista al calcolo delle probabilita e commenti critici. Cenni sull impostazione assiomatica. Impostazione soggettiva, condizione di coerenza, criterio di scommessa ([4, 9]). Guadagno aleatorio. Valutazioni di probabilità coerenti su n eventi arbitrari. I primi due assiomi del calcolo delle probabilità come condizioni necessarie di coerenza. Esercitazione: esempi di valutazioni incoerenti di probabilità. Probabilità e quote di scommessa nelle partite di calcio /04/ :00-14: h 11:00 :12:00 recupero. Lezione ed esercitazione. Ore 3. Complessive 20 Costituenti associati ad una famiglia di eventi. Sul Teorema delle Probabilità totali. Esercitazione. 2

3 2.9 15/04/ :00-14:00+ 1 h 14:00 :15:00 recupero Lezione ed esercitazione. Ore 3. Complessive 23 Decomposizione di un evento nei costituenti ad esso favorevoli. Eventi logicamente indipendenti. Coerenza di un assegnazione di probabilità su una famiglia finita di eventi ([4, 9]) e risolubilità di un opportuno sistema lineare. Esercitazione sulla verifica della coerenza. Esercizi tratti dai compiti di esame (ad esempio es.1 del 12/09/12). Principio di monotonia ottenuto dal principio di coerenza. Cenni sull interpretazione geometrica della coerenza /04/ :00-15:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 26 Definizione di evento condizionato, casi particolari, probabilità di un evento condizionato con il criterio della scommessa, proprietà della probabilità condizionata, esempi. Probabilità condizionate. Teorema delle probabilità composte (scommessa). Generalizzazione del teorema delle probabilità composte. Esercitazione: roulette russa; /04/ :00-15:00 Lezione-Esercitazione. Ore 3. Complessive 29 Proprietà della probabilità condizionata. Formula di disintegrazione. Esercitazione (2 ore) sulle urne di Polya /04/ :00-14:00 Lezione-Esercitazione. Ore 2. Complessive 31 Problema del condannato. Teorema di Bayes: dimostrazione, probabilità iniziali, probabilità finali e verosimiglianze. Apprendimento Bayesiano. Teorema di Bayes nella sua forma generale. Esercitazione. Applicazione del Teorema di Bayes sui sui test di un laboratorio di analisi: esempio 3d [6] pag ; esercizio 3 del compito di esame del 22/06/ /04/ :00-14:00 Lezioni. Ore 2. Complessive 33 Indipendenza stocastica. Eventi valutati stocasticamente indipendenti ([9],[1], [6]) /04/ :00-15:00 Lezione-Esercitazione. Ore 3. Complessive 36 Famiglia finita di eventi stocasticamente indipendenti. Esercitazione: esempi e controesempi sull indipendenza stocastica ([6],[9]); problema dei tre prigionieri (tre carcerati) /05/ :00-15:00 (1h di recupero) Lezione-Esercitazione. Ore 3. Complessive 39 Introduzione ai numeri aleatori discreti (variabile aleatorie discrete). Numero aleatorio con distribuzione binomiale. Esercitazione: estrazioni con restituzione da urna di composizione nota; n lanci di un dado /05/ :00-15:00(1h di recupero) Lezioni. Ore 3. Complessive 42 Numero aleatorio semplice, forma canonica ([9]). Valore atteso (o previsione) di un numero aleatorio semplice. Valore atteso e combinazione lineare convessa. Interpretazione del valore atteso con il criterio della scommessa /05/ :00-15:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 45 Valore atteso dell indicatore di un evento. Proprietà del valore atteso. Valore atteso di una combinazione lineare di numeri aleatori. Valore atteso del numero aleatorio si successi. Valore atteso della frequenza relativa di successo. Gioco equo. Coerenza e valore atteso del guadagno aleatorio. Calcolo delle probabilità di vincita e del valore atteso della vincita in un biglietto del tipo gratta e vinci ( es n.2 del 03/03/3014) /05/ :00-13:00 Esercitazione (recupero). Ore 3. Complessive 48 Esercitazione: verifica della coerenza; probabilità condizionate; teorema di Bayes; relazioni logiche. 3

4 /05/ :00-15:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 51 Estrazioni senza restituzione da un urna di composizione nota. Distribuzione Ipergeometrica, formula per le estrazioni in blocco, valore atteso. Approssimazione binomiale della distribuzione ipergeometrica. Esercitazione: gioco del lotto /05/ :00-15:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 54 Indipendenza condizionata. Estrazioni con restituzione da urna di composizione incognita. Mistura di distribuzioni binomiali. Esercitazione /05/ :00-15:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 57 Estrazioni senza restituzione da urna di composizione incognita. Mistura di distribuzioni ipergeometriche. Eventi scambiabili ed estrazioni con o senza restituzione da urna di composizione nota o incognita. Varianza. Scarto quadratico medio. Varianza di un indicatore. Proprietà della varianza /05/ :00-12:00 Esercitazione extra. Ore 2. Complessive 59 Implicazione materiale. Esercitazione sulle estrazioni senza restituzione da urna di composizione incognita /05/ :00-15:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 62 Numeri aleatori discreti, valore atteso e varianza. Funzione di ripartizione di un numero aleatorio. Successione di eventi stocasticamente indipendenti. Numero aleatorio con distribuzione geometrica, proprietà di assenza di memoria (con dimostrazione), valore atteso e varianza ([9, 6]). Ritardi nel gioco del lotto ([1]). Eventi di probabilità nulla /05/ :00-15:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 65 Misture di distribuzioni geometriche. Distribuzione di Pascal. Distribuzione di Poisson. Valore atteso e varianza. Distribuzione di Poisson come approssimazione di una distribuzione binomiale. Varianza di un numero aleatorio con distribuzione binomiale. Varianza di un numero aleatorio con distribuzione ipergeometrica /05/ :00-15:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 68 Probabilità di ottenere k successi prima di m insuccessi. Soluzione del problema della ripartizione della posta. Probabilità su famiglie numerabili di eventi incompatibili, σ-additività. Estrazione di un intero a caso. Richiami sulla cardinalità di un insieme. Probabilità su famiglie infinite di eventi incompatibili. Considerazioni sulle probabilità nulle. ([8],[9]). Numeri aleatori continui: definizione, distribuzioni assolutamente continue, densità di probabilità Funzione di ripartizione e densità di probabilità di un numero aleatorio continuo. Distribuzione Uniforme: densità, calcolo della costante di normalizzazione, funzione di ripartizione /06/ :00-15:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 72 Valore atteso di un numero aleatorio continuo. Valore atteso di una funzione di un numero aleatorio continuo e definizione di varianza. Funzione di Sopravvivenza. Distribuzione Esponenziale, calcolo della previsione e varianza. Proprietà di assenza di memoria e caratterizzazione di un numero aleatorio con distribuzione esponenziale /06/ :00-15:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 75 Numeri aleatori standardizzati. Numero aleatorio con distribuzione normale standard: definizione; studio del grafico della densità; funzione di ripartizione e uso dei prontuari; calcolo del valore atteso; proprietà della funzione di ripartizione; utilizzo della funzione inversa della funzione di ripartizione. Numero aleatorio con distribuzione normale: definizione; trasformazione lineare. Proprietà della distribuzione normale. 4

5 /06/ :00-15:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 78 Vettori aleatori (assolutamente) continui, definizione, densità di probabilità. Distribuzioni marginali e marginali condizionate di un vettore aleatorio continuo. Caso bidimensionale. Funzione di ripartizione congiunta. Indipendenza stocastica tra numeri aleatori. Vettore aleatori con distribuzioni uniforme su un insieme A limitato e misurabile di R 2. Distribuzione uniforme sul cerchio di centro l origine e raggio unitario. Calcolo delle distribuzioni marginali, marginali condizionate e della covarianza tra (X, Y ) ([6] /06/ :00-15:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 81 Dispositivi in serie e in parallelo. Distribuzione del minimo e del massimo di n numeri aleatori indipendenti con distribuzione esponenziale. Funzione Gamma. Distribuzione Gamma, valore atteso e varianza. P (X > Y ), X, Y Exp(λ), X, Y stocasticamente indipendenti. Somma di numeri aleatori con distribuzione esponenziale /06/ :00-15:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 84 Vettori aleatori discreti ( [6, 8]): distribuzioni congiunte, distribuzioni marginali e marginali condizionate, indipendenza stocastica. Distribuzione del numero aleatorio somma di due numeri aleatori di Poisson indipendenti (vedi [7], [8]). Distribuzione multinomiale. Cenni alla distribuzione ipergeometrica multivariata /06/ :00-13:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 87 Esercitazione sui vettori aleatori continui. Calcolo della distribuzione di probabilità del numero aleatorio somma di due numeri aleatori continui. Somma di due numeri aleatori continui stocasticamente indipendenti e operatore di convoluzione (dim.). Esempi: distribuzione uniforme in [0, a]. Covarianza e proprietà di incorrelazione. Proprietà della covarianza. Coefficiente di correlazione lineare. Proprietà del coefficiente di correlazione lineare. Matrice delle varianze e delle covarianza /06/ :00-15:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 90 Funzione caratteristica ([8, 1, 9]). Richiami sui numeri complessi. Funzione caratteristica di un numero aleatorio e proprietà. Calcolo della funzione caratteristica delle seguenti distribuzioni: binomiale, esponenziale, geometrica, Poisson. Funzione caratteristica di alcune distribuzioni (no dim.): gamma, normale, uniforme. Corrispondenza tra funzione caratteristica e funzione di ripartizione. Funzione caratteristica di una trasformazione lineare di un numero aleatorio. Funzione caratteristica del numero aleatorio somma di n numeri aleatori indipendenti. Numero aleatorio con distribuzione chi-quadro come quadrato di un numero aleatorio con distribuzione normale standard. Distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà. Distribuzione di Erlang /06/ :00-15:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 93 Momenti di un numero aleatorio. Funzione caratteristica e calcolo dei momenti. Convergenza in distribuzione. Esempi. Teorema centrale del limite: enunciato e cenno alla dimostrazione. Approssimazione normale della distribuzione binomiale ([6]). Esercitazione /06/ :00-15:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 96 Disuguaglianze di Markov e di Cebicev. Convergenze in probabilità. Previsione e varianza della media aritmetica e della frequenza relativa di successo. Legge debole dei grandi numeri. Teoremi di Bernoulli /06/ :00-13:00 Lezioni. Ore 3. Complessive 99 Distribuzione normale bidimensionale, distribuzioni marginali e marginali condizionate, indipendenza e incorrelazione, matrice delle varianze e covarianze ([9]). Cenni alla distribuzione normale n-dimensionale. Introduzione alla teoria dell affidabilità. Definizione di funzione di rischio. Legame tra densità di probabilità e funzione di rischio [6, 9]. Distribuzione di Weibull. Esercitazione sulla funzione di rischio. Palermo, 25 giugno Giuseppe Sanfilippo 5

6 . 6