ANALISI non Lineare. Diego Averna

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Geraldina Romani
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1 ANALISI non Lineare Ovvero: presentazione di Analisi non Lineare Diego Averna Dipartimento di Matematica e Informatica Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Via Archirafi, Palermo (Italy) diego.averna@unipa.it 15 Maggio 2015

Scienze MM.FF.NN. Via Archirafi, 34-90123 Palermo (Italy) diego.

2 Dispense Diego Averna - Elisa Tornatore Risultati di Molteplicità di Punti Critici. Esistenza e molteplicità di soluzioni per problemi differenziali non lineari. Prima Edizione: 2015

3 Parti 1,2,3 Parte 1 La Parte 1 è una introduzione, e contiene molti risultati che saranno utilizzati nella Parte 2. Si tratta dei concetti di Analisi Funzionale non sviluppatesi nel corso di Analisi Superiore. Parte 2 Gran parte, se non tutti, degli argomenti della Parte 1, saranno utilizzati nella Parte 2, cioè nella parte riguardante i risultati di molteplicità di punti critici e esistenza e molteplicità di soluzioni per problemi differenziali non lineari. Parte 3 La Parte 3 contiene delle appendici riguardanti gli spazi L p (Ω), gli spazi di Sobolev, le multifunzioni. Questa parte non è completa nelle dimostrazioni, ma i risultati che ci sono qui si potranno trovare nei libri classici. Molti di questi risultati sono noti a uno studente magistrale del corso di laurea in matematica di Palermo. Comunque sono qui, e se ce ne sarà bisogno lo studente potrà leggerli.

Parte 2 Gran parte, se non tutti, degli argomenti della Parte 1, saranno utilizzati nella Parte 2, cioè nella parte riguardante i risultati di molteplicità di punti critici e esistenza e molteplicità

4 Parti 1,2,3 Parte 1 La Parte 1 è una introduzione, e contiene molti risultati che saranno utilizzati nella Parte 2. Si tratta dei concetti di Analisi Funzionale non sviluppatesi nel corso di Analisi Superiore. Parte 2 Gran parte, se non tutti, degli argomenti della Parte 1, saranno utilizzati nella Parte 2, cioè nella parte riguardante i risultati di molteplicità di punti critici e esistenza e molteplicità di soluzioni per problemi differenziali non lineari. Parte 3 La Parte 3 contiene delle appendici riguardanti gli spazi L p (Ω), gli spazi di Sobolev, le multifunzioni. Questa parte non è completa nelle dimostrazioni, ma i risultati che ci sono qui si potranno trovare nei libri classici. Molti di questi risultati sono noti a uno studente magistrale del corso di laurea in matematica di Palermo. Comunque sono qui, e se ce ne sarà bisogno lo studente potrà leggerli.

5 Parti 1,2,3 Parte 1 La Parte 1 è una introduzione, e contiene molti risultati che saranno utilizzati nella Parte 2. Si tratta dei concetti di Analisi Funzionale non sviluppatesi nel corso di Analisi Superiore. Parte 2 Gran parte, se non tutti, degli argomenti della Parte 1, saranno utilizzati nella Parte 2, cioè nella parte riguardante i risultati di molteplicità di punti critici e esistenza e molteplicità di soluzioni per problemi differenziali non lineari. Parte 3 La Parte 3 contiene delle appendici riguardanti gli spazi L p (Ω), gli spazi di Sobolev, le multifunzioni. Questa parte non è completa nelle dimostrazioni, ma i risultati che ci sono qui si potranno trovare nei libri classici. Molti di questi risultati sono noti a uno studente magistrale del corso di laurea in matematica di Palermo. Comunque sono qui, e se ce ne sarà bisogno lo studente potrà leggerli.

6 Parte 1: è una introduzione, e contiene molti risultati che saranno utilizzati nella Parte 2. Sezioni di Parte 1 1) Calcolo delle Variazioni 2) Convergenza Debole - Spazi riflessivi 3) Immersioni Compatte 4) Limite inferiore in spazi topologici 5) Funzionale Debolmente Sequenzialmente Semicontinuo Inferiormente - Teorema di Tonelli 6) Derivata di Fréchet-Derivata di Gâteaux 7) C([a, b]), C 1 ([a, b]), C 0 ([a, b]), C0 1 ([a, b]) - Equazione di Eulero-Lagrange 8) Dimensione finita - Dimensione infinita 9) Principio Variazionale di Ekeland 10) Proprietà di Pales-Smale e la geometria di Passo Montano 11) (PS) e coercività 12) Impostazione Non-Smooth

Funzionale Debolmente Sequenzialmente Semicontinuo Inferiormente - Teorema di Tonelli 6) Derivata di Fréchet-Derivata di Gâteaux 7) C([a, b]), C 1 ([a, b]), C 0

7 Parte 2: La Parte 2, cioè la parte riguardante i risultati di molteplicità di punti critici e esistenza e molteplicità di soluzioni per problemi differenziali non lineari. Non tutto di questa Parte 2, saranno svolti nel corso di Analisi non lineare. Si tratta di Λ un intervallo aperto reale, tale che per ogni λ Λ il funzionale I λ : X R ha dei punti critici in X. Sono presenti due capitoli, mentre nel primo non è presente una determinazione esplicita di Λ, nel secondo c è una determinazione esplicita di questo Λ ]0, + [. Capitoli di Parte 2, Capitolo [Sui tre punti critici (per λ Λ)] Capitolo Risultati di Molteplicità di Punti Critici. Esistenza e molteplicità di soluzioni per problemi differenziali non lineari.

Si tratta di Λ un intervallo aperto reale, tale che per ogni λ Λ il funzionale I λ : X R ha dei punti critici in X.

8 Parte 2: La Parte 2, cioè la parte riguardante i risultati di molteplicità di punti critici e esistenza e molteplicità di soluzioni per problemi differenziali non lineari. Non tutto di questa Parte 2, saranno svolti nel corso di Analisi non lineare. Si tratta di Λ un intervallo aperto reale, tale che per ogni λ Λ il funzionale I λ : X R ha dei punti critici in X. Sono presenti due capitoli, mentre nel primo non è presente una determinazione esplicita di Λ, nel secondo c è una determinazione esplicita di questo Λ ]0, + [. Capitoli di Parte 2, Capitolo [Sui tre punti critici (per λ Λ)] Capitolo Risultati di Molteplicità di Punti Critici. Esistenza e molteplicità di soluzioni per problemi differenziali non lineari.

9 Parte 2, Capitolo primo Capitolo primo: Sui tre punti critici (per λ Λ) 1) Teorema di Ricceri (2000) 2) Teorema di Marano-Motreanu (2002) 3) Teorema di Ricceri (2009)

10 Parte 2, Capitolo secondo Capitolo secondo: Risultati di Molteplicità di Punti Critici. Esistenza e molteplicità di soluzioni per problemi differenziali non lineari. 1) Teorema di Ricceri (2000) 2) Teorema di Marano-Montreanu (2002) Teorema di Ricceri (funzionale non-smooth) 3) Teorema di Averna-Bonanno (2003) Sui tre punti critici (per λ in un preciso intervallo) 4) Applicazioni al problema misto coinvolgente il p-laplaciano - Averna-Salvati (2004) 5) Teorema di Bonanno-Candito (2008) Sui tre punti critici (funzionale non-smooth per λ in un preciso intervallo) 6) Teorema di Bonanno-Molica Bisci (2008) Teorema di Ricceri (funzionale non-smooth) 7) Teorema di Averna-Bonanno (2009) 8) Teorema di Bonanno-Marano (2010) 9) Averna-Buccellato-Tornatore (2010) 10) Teorema di Bonanno (2012) 11) Punto critico attraverso il P.V. di Ekeland - Bonanno (2012)

intervallo) 4) Applicazioni al problema misto coinvolgente il p-laplaciano - Averna-Salvati (2004) 5) Teorema di Bonanno-Candito (2008) Sui tre punti critici (funzionale non-smooth per λ in un

11 Parte 3: La Parte 3 contiene delle appendici riguardanti gli spazi L p (Ω), gli spazi di Sobolev, le multifunzioni. Forse, nel corso di Analisi non Lineare, saranno fatti i seguenti argomenti, per le applicazioni: Spazi L p (X ) Spazi L p (X ). X = R N : Convoluzione e regolarizzazione - La delta di Dirac - Supporti e convoluzioni - Mollificatori - Criterio di compattezza forte in L p (R N ). Spazi di Sobolev Lo spazio di Sobolev W 1,p (I ). Norma e proprietà di W 1,p (I ). Immersioni di Sobolev-caso n = 1. Gli spazi W m,p (I ). Lo spazio W 1,p 0 (I ). Disuguaglianza di Poincaré-caso n = 1. Lo spazio di Sobolev W 1,p (Ω). Norma e proprietà di W 1,p (Ω). Immersioni di Sobolev-caso generale. Gli spazi W m,p (Ω). Lo spazio W 1,p 0 (Ω). Disuguaglianza di Poincaré-caso generale. Appendice G

X = R N : Convoluzione e regolarizzazione - La delta di Dirac - Supporti e convoluzioni - Mollificatori - Criterio di compattezza forte in L p (R N ).

12 Parte II RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

13 Riferimenti bibliografici D.AVERNA-E.TORNATORE, Risultati di Molteplicità di Punti Critici. Esistenza e molteplicità di soluzioni per problemi differenziali non lineari. Dispensa (P.E.2015)

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