Opzioni con Barriera

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1 Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea Specialistica in Matematica Tesi di Laurea Specialistica Opzioni con Barriera Candidato: Lorenzo Balducci Relatore: Prof. Maurizio Pratelli Controrelatore: Prof. Giorgio Letta Anno Accademico 28/29

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3 Indice Introduzione 5 1 Elementi di Finanza Matematica Portafogli, Pricing e Copertura Il Modello di Black & Scholes Il Teorema di Girsanov e la probabilità Risk-Neutral Il Pricing e l Hedging nel modello di Black & Scholes Le Greche I Modelli a Volatilità Locale I Modelli a Volatilità Stocastica Il modello di Heston Il calcolo di Malliavin La Derivata di Malliavin L Integrale di Skorohod Equazioni Differenziali Stocastiche Esistenza ed unicità delle equazioni differenziali stocastiche Differenziabilità della diffusione nel senso di Malliavin Differenziabilità della diffusione rispetto al dato iniziale 28 3 Pricing di opzioni con barriera Il pricing nel modello di Black & Scholes Richiami e Preliminari Espressione analitica del prezzo del contratto downand-out Espressione analitica dei prezzi dei contratti up-andout, down-and-in e up-and-in Esempi e Applicazioni Una correzione per il pricing di alcune opzioni con barriera discreta Un approccio numerico per il pricing di opzioni con barriere continue

4 Indice Il caso di barriere dipendenti dal tempo nel modello di Black & Scholes Generalizzazione a modelli più complessi Risultati Numerici Il calcolo delle greche di opzioni con barriera per mezzo della teoria di Malliavin Le greche nel caso unidimensionale: modelli a volatilità locale Ipotesi, Definizioni e Risultati Preliminari Il calcolo di e Γ Costruzione di alcuni processi dominanti Le greche nel caso multidimensionale: modelli con matrice di volatilità costante Preliminari Il calcolo delle greche e la scelta di processi dominanti Le greche di opzioni con barriere discrete Variazioni dei Parametri Variazioni del coefficiente di drift Variazione delle condizioni iniziali Variazioni del coefficiente di volatilità Applicazione al modello di Heston Il calcolo di Rho Il calcolo di Delta Il calcolo di Vega v Il calcolo di Vega θ Il calcolo di Vega vt Il calcolo di Gamma Risultati Numerici

5 Introduzione Nella presente tesi verranno trattati alcuni problemi finanziari legati ad una specifica classe di derivati: le opzioni con barriera. Supponiamo assegnata un opzione Z di payoff ΦS, dove {S t } t R + è il processo di prezzi di un attivo o sottostante assegnato. Sia fissato un tempo T >, un insieme di tempi I [,T] e due funzioni U,L : I [,+ ] tali che L < S < U. Allora, detto τ = inf{t I S t / Lt,Ut}, si definisce l opzione Z o, detta la versione out di Z con barriere U e L nell insieme di monitoraggio I, come l opzione di payoff ΦS I {τ>t }. Intuitivamente si controlla se il prezzo del sottostante abbia oltrepassato la barriera superiore U o la barriera inferiore L in un instante appartenente all insieme I. Se tale istante esiste allora l opzione out non ha più validità, altrimenti Z o ha lo stesso payoff dell opzione di partenza Z. In maniera analoga è possibile definire la versione in di Z, detta Z i, come l opzione di payoff ΦS I {τ T }. Le opzioni con barriera hanno un ruolo centrale nella finanza moderna e sono scambiate ogni giorno nei mercati. Il successo di tali derivati è dovuto al fatto che le versioni con barriera hanno un prezzo inferiore del prezzo della relativa opzione senza barriera. Nell ambito della finanza matematica è molto interessante studiare le proprietà e le caratteristiche di questa classe di derivati. Le difficoltà che sorgono nello studio delle opzioni con barriera sono principalmente dovute al fatto che i loro payoff sono path dependent, ossia dipendono dall intera traiettoria del processo di prezzi. Lo scopo della tesi è quello di discutere e risolvere alcuni problemi relativi al pricing e al calcolo delle greche di opzioni con barriera. Il problema del pricing consiste nella ricerca di un sistema di prezzi per le opzioni che non consenta possibilità di arbitraggio nel mercato. Dimostreremo che in alcuni casi particolarmente semplici, lavorando nel modello di Black & Scholes, è possibile ricavare delle espressioni analitiche per il prezzo di opzioni con barriera. 5

6 Introduzione In generale, quando si esaminano modelli più avanzati o si tolgono delle ipotesi di regolarità sulle funzioni di barriera o sull insieme di monitoraggio I, il prezzo non è più calcolabile analiticamente e si ricorre a delle simulazioni numeriche. Utilizzando i risultati degli articoli [5] e [12] esporremo alcuni risultati, ottenuti come correzioni dei metodi Monte Carlo, che approssimano in maniera accurata il prezzo di molte opzioni con barriera. Il secondo problema di cui ci occuperemo è quello del calcolo delle greche. Le greche di un opzione Z di payoff Φ sono definite come le derivate della funzione prezzo dell opzione rispetto ad alcuni parametri del modello considerato. È possibile dimostrare che, se il processo dei prezzi segue delle dinamiche del tipo ds t = µt,s t dt + σt,s t dw t 1 S = x, allora il prezzo dell opzione ΠZ è calcolabile come una speranza, ossia ΠZ = E Q [ ΦS e rt], dove r è il tasso di interesse e Q è un opportuna misura di probabilità, detta probabilità Risk-Neutral. Considerato un parametro λ del modello è interessante calcolare la greca Λ relativa a λ, ossia la quantità Λ = ΠZ λ. Nei rari casi in cui sia possibile trovare un espressione analitica del prezzo ΠZ, il calcolo delle greche si riduce a fare una derivata. Se non si hanno formule chiuse per il prezzo è necessario ricorrere nuovamente a delle simulazioni numeriche. Il metodo tradizionalmente usato per il calcolo delle greche è quello delle differenze finite che, nel migliore dei casi, ha una velocità di convergenza dell oprdine di n 1/3. Tale velocità diminuisce notevolmente quando si considerano funzioni payoff discontinue, come per esempio accade per la gran parte delle opzioni con barriera. Nel 1999 venne pubblicato il famoso articolo [17], nel quale veniva presentato un nuovo metodo per il calcolo delle greche che faceva uso la teoria del calcolo di Malliavin. Con l approccio di questo articolo, utilizzando una formula di integrazione per parti, è possibile rappresentare Λ nella forma Λ = E Q [ ΦS e rt H ], 2 dove H è un opportuna variabile aleatoria, la stessa per ogni funzione payoff Φ. Utilizzando una procedura Monte Carlo sulla formula 2 si ottiene un metodo alternativo per il calcolo della greca Λ, che ha velocità di convergenza indipendente dal payoff Φ, dell ordine di n 1/2. Di conseguenza questo 6

7 Introduzione metodo di calcolo si rivela particolarmente utile quando si ha a che fare con payoff discontinui e dipendenti dalla traiettoria del prezzo, come avviene nel caso di opzioni con barriera. Nella tesi vengono ricavate delle formule per le principali greche di opzioni con barriera nei modelli a volatilità locale e nel modello di Heston. Nel dettaglio la tesi è suddivisa nel modo seguente: nel primo capitolo vengono richiamati i risultati fondamentali di finanza matematica e vengono definiti e descritti i principali modelli utilizzati all interno della tesi. Nel secondo capitolo viene definita la derivata di Malliavin ed il suo operatore aggiunto, l integrale di Skorohod. Vengono poi esibite le principali formule di integrazione per parti e le formule di calcolo per le derivate di Malliavin e per gli integrali di Skorohod. Infine vengono esposti dei risultati sull esistenza, unicità e differenziabilità delle soluzioni di equazioni differenziali stocastiche. Nel terzo capitolo viene affrontato il problema del pricing per opzioni con barriera. Si ricavano esplicitamente le formule per il pricing di T-contratti con barriera unica, costante e continuamente monitorata nel modello di Black & Scholes. Viene poi presentato un risultato di Broadie, Glasserman e Kou che permette di ottenere il prezzo di alcune opzioni con barriera discretamente monitorata se si possiedono delle formule analitiche per le stesse opzioni con barriera continuamente monitorata. Infine viene enunciato un risultato di Baldi, Caramellino e Iovino che fornisce una correzione del metodo Monte Carlo tradizionale, in modo da compensare l errore dovuto alla discretizzazione dei tempi. Nel quarto capitolo si utilizza il calcolo di Malliavin per ottenere delle formule per il calcolo delle greche di opzioni con barriera continuamente monitorata nei modelli a volatilità locale. Si analizza prima il caso unidimensionale, ossia in cui l opzione dipenda dal processo di prezzi di un unico sottostante, e poi si generalizza al caso multidimensionale con matrice di volatilità costante. Nel quinto ed ultimo capitolo si enunciano e dimostrano i Teoremi principali dell articolo [17]. Poi si applicano questi risultati alle opzioni con barriere discretamente monitorate nel modello di Heston. 7

8 Introduzione 8

9 Capitolo 1 Elementi di Finanza Matematica In questo capitolo richiamiamo alcuni elementi di finanza matematica a tempi continui. I risultati e la teminologia di questo capitolo ci saranno utili nei capitoli 3 e 4, quando applicheremo i risultati generali al caso particolare di opzioni con barriera. Si suppone che il lettore abbia già familiarità con l integrazione stocastica nel caso Wiener e con alcuni concetti di base di finanza e probabilità. 1.1 Portafogli, Pricing e Copertura In tutto ciò che segue chiameremo τ = [,T] l insieme dei tempi, con T R +. Assumeremo fissato un insieme Ω, che rappresenterà l insieme di tutti i possibili stati del mercato, una filtrazione F e una misura di probabilità P : Ω, F [,1]; lavoreremo sempre sullo spazio probabilizzato Ω, F,P. Ogni volta che avremo a che fare con processi di Wiener sull intervallo [,T] sottointenderemo che tali processi siano adattati rispetto a una filtrazione {F t } t [,T] tale che F = F T. Inoltre supporremo che esista un tasso di interesse continuamente composto r, che assumeremo costante nel tempo. Nella nostra modellizzazione del mercato sarà presente un attivo senza rischio, o bond, che indicheremo con B, che sia la soluzione deterministica dell equazione differenziale db t = rb t dt 1.1 B = 1. Inoltre nel mercato sarà possibile scambiare un numero finito d di attivi con rischio, i cui prezzi saranno indicati con St i, per i = 1,...,d. Tali prezzi andranno intesi come elementi di un vettore di processi stocastici {S t = St 1,...,St d } t [,T], adattato rispetto alla filtrazione {Ft d } t [,T]. 9

10 1. Elementi di Finanza Matematica Definizione 1.1. Una strategia di portafoglio o portafoglio è un processo d + 1-dimensionale, {h t = h t, h t } t [,T], adattato rispetto alla filtrazione {F d+1 t } t [,T], tale che h sia integrabile rispetto a S. Il valore del portafoglio è il processo stocastico {V t } t [,T] definito da V t = h t B t + h t S t. Il portafoglio è detto autofinanziato se è soddisfatta la relazione differenziale dv t = h tdb t + h t ds t. I termini h i t del portafoglio indicano la quantità dell i-esimo sottostante posseduta all istante t. Un portafoglio autofinanziato è un portafoglio in cui tutti i guadagni vengono reinvestiti nel portafoglio e tutte le perdite vengono compensate da un riassetto delle posizioni, in modo che non esistano flussi di denaro in entrata o in uscita dal portafoglio. Molto spesso si parlerà di prezzi scontati o prezzi attualizzati. Il processo di prezzi scontati { S t = S 1 t,..., S d t } t [,T] è definito dalla relazione S t = S t = 1, S1 t,..., Sd t. B t B t B t Definizione 1.2. Un arbitraggio è una strategia di portafoglio autofinanziata con V = e tale che esista t [,T] per cui PV t > >. Un arbitraggio è un operazione che permette di ottenere certamente un profitto senza disporre di alcun capitale iniziale. Ogni buon modello finanziario deve supporre che gli arbitraggi siano assenti nel mercato: Ipotesi 1.3. NA Nel mercato non esistono opportunità di arbitraggio. Osservazione 1.4. È noto che nei mercati reali esistono delle possibilità di arbitraggio. Tuttavia tali occasioni sono rare, difficili da trovare e durano per una quantità molto ristretta di tempo. Inoltre, di solito, è possibile ottenere solamente piccoli guadagni dagli arbitraggi dovuti a situazioni reali. Per tutti questi motivi è ragionevole modellizzare mercati in cui non vi siano arbitraggi. Infine definiamo un opzione o derivato come un contratto, che è possibile comprare o vendere, il cui valore nel tempo dipende dal valore di uno o più attivi con rischio detti sottostanti. Nei principali modelli finanziari si pongono altre ragionevoli ipotesi che permettono di trattare il problema con strumenti matematici. Generalmente si assume che il mercato sia privo di attriti, ossia che non esistano costi legati alle transazioni. Inoltre si suppone possibile la vendita allo scoperto sia del sottostante che del derivato e si suppone che sia possibile possibile scambiare frazioni arbitrariamente piccole di ogni titolo sul mercato. Esattamente 1

11 1.1 Portafogli, Pricing e Copertura come nel caso di NA, queste ipotesi non sono completamente soddisfatte nei mercati reali, ma costituiscono una buona approssimazione, tale da poter dar vita ad un modello matematico verosimile ed utilizzabile in pratica. D ora in avanti daremo per soddisfatte queste ipotesi, senza ricordarle di volta in volta. I problemi di maggiore interesse in finanza matematica sono sostanzialmente tre: il pricing di opzioni, l hedging copertura di opzioni e il calcolo delle greche; il problema del pricing consiste nel riuscire a trovare dei prezzi di opzioni in maniera coerente con le ipotesi del modello, in particolare senza violare l ipotesi di assenza di arbitraggio. Il problema dell hedging invece si occupa di stabilire una strategia di portafoglio, consistente nell acquisto e nella vendita di uno o più sottostanti, che replichi il valore nel tempo di una o più opzioni. Infine il calcolo delle greche è un problema strettamente legato alla strategia di copertura di opzioni e verrà spiegato nel dettaglio in seguito. A volte, in casi molto semplici, è possibile stabilire il prezzo di alcune opzioni servendosi solamente dell ipotesi NA. Esempio 1.5. Sia fissata una scadenza T > e si consideri un sottostante con processo di prezzi dato da {S t } t [,T]. Sia inoltre fissato un valore di strike K >. È dunque possibile definire un opzione di payoff ΦS T = S T K, ossia un contratto che, a scadenza, vale una quantità di denaro pari alla differenza tra il prezzo del sottostante e lo strike fissato tale vaolre può essere anche negativo. Dato il prezzo iniziale del sottostante S siamo interessati a scoprire il prezzo equo iniziale a cui questo derivato può essere acquistato o venduto. Utilizzando solamente l ipotesi di assenza di arbitraggio è possibile dire che l unico prezzo di non arbitraggio dell opzione, ΠΦ, è dato da ΠΦ = S Ke rt. 1.2 Per dimostrarlo procediamo per assurdo. Supponiamo che il contratto sia scambiato, all istante t =, ad un prezzo Q > ΠΦ. È dunque possibile agire sul mercato nel seguente modo: all istante t = si vende un contratto Φ e si incassa la quantità Q di denaro. Inoltre si prende in prestito la quantità S Q di denaro dalla banca se tale quantità è negativa vuol dire che si stanno prestando soldi alla banca e si investe, insieme al ricavato della vendita del contratto, per acquistare uno stock di sottostante, pagando S. Al tempo t = T si estingue il debito con la banca, restituendo i soldi presi in prestito con l aggiunta degli interessi, per un totale di S 11

12 1. Elementi di Finanza Matematica Qe rt. Si vende lo stock al prezzo S T e si esercita il contratto, pagando la quantità di denaro S T K. Avendo restituito tutti i soldi alla banca e non avendo usato capitale iniziale, abbiamo costruito un portafoglio autofinanziato con valore iniziale nullo, ossia V =. Inoltre abbiamo pagato S Qe rt alla banca e S T K al sottoscrivente del contratto e abbiamo guadagnato S T dalla vendita dello stock. Ne segue che il valore finale del portafoglio è dato da: V T = S T S T K S Qe rt = e rt Q S Ke rt = e rt Q ΠΦ >. Nel caso Q > ΠΦ, abbiamo costruito un arbitraggio. Nel caso Q < ΠΦ si può costruire un portafoglio a costo zero prendendo le stesse posizioni del caso precedente, ma di segno opposto. È facile verificare che tale strategia produce nuovamente un ritorno V T strettamente positivo indipendentemente dal valore S T, ossia un arbitraggio. Dunque l unico prezzo possibile di non arbitraggio è dato da 1.2. Definizione 1.6. Un opzione Call di scadenza T e strike K è un opzione di payoff ΦS T = S T K +. Un opzione Put di scadenza T e strike K è un opzione di payoff ΦS T = K S T +. Grazie all ovvia relazione a = a + + a +, possedere una Call e aver venduto una Put a strike K o, come si dice in gergo finanziario, il lungo di una Call e il corto di una Put equivale a possedere un contratto Φ descritto nell esempio 1.5 di strike K. Dalla relazione 1.2 e dalla linearità dell operatore prezzo segue la prossima Proposizione, chiamata Put-Call parity: Proposizione 1.7. Put-Call Parity Siano P e C i prezzi rispettivamente di una Put e di una Call di scadenza T e strike K. Allora vale C P = S Ke rt. In generale però non è possibile determinare in maniera univoca il prezzo di un opzione a partire solamente dall ipotesi NA. Infatti se cercassimo delle formule analitiche per il prezzo di una Call o di una Put potremmo trovare diversi livelli di prezzi di non arbitraggio, tutti tali da rispettare la Put-Call 12

13 1.2 Il Modello di Black & Scholes parity. È dunque necessario aggiungere delle ipotesi e dei vincoli al modello per ottenere questi prezzi. Il modo usato in finanza per risolvere questo problema è quello di definire le dinamiche dei prezzi, ossia di descrivere il comportamento dei prezzi dei sottostanti attraverso un equazione differenziale stocastica per approfondimenti sulle SDE si veda la fine del prossimo capitolo. Generalmente l introduzione di un modello consente di trovare esplicitamente delle strategie di copertura e, di conseguenza, di ricavare i prezzi delle opzioni. Definizione 1.8. Un modello è detto completo se ogni opzione è replicabile, ossia se data un opzione esiste una strategia di portafoglio che, per ogni tempo t [,T], abbia lo stesso valore dell opzione. Nei prossimi paragrafi definiremo ed esamineremo i principali modelli usati generalmente in finanza: il modello di Black & Scholes, i modelli a volatilità locale e i modelli a volatilità stocastica. Questi modelli verranno definiti ed esaminati ma, in generale, non verranno date delle dimostrazioni dei Teoremi. Tutte le dimostrazioni possono essere trovate, ad esempio, nel libro di Bjork [9]. 1.2 Il Modello di Black & Scholes Nel modello di Black & Scholes si suppone che esista un unico sottostante con rischio, con processo di prezzi {S t } t [,+, che soddisfi l equazione differenziale stocastica ds t = µs t dt + σs t dw t 1.3 S = x, dove µ e σ sono delle costanti reali, σ > e {W t } t [,+ è un processo di Wiener standard unidimensionale. Sostanzialmente si suppone che il prezzo futuro del sottostante sia determinato da una componente deterministica, che cresce nel tempo con coefficiente dipendente da µ, e da una componente aleatoria, data da un rumore bianco il processo di Wiener con varianza determinata dal parametro σ. I parametri µ e σ sono chiamati rispettivamente drift e volatilità. Passando al logaritmo in 1.3 si trova una soluzione esplicita dell equazione. Tale soluzione è data, per ogni t [,T], da S t = S exp µ σ2 2 t + σw t Il Teorema di Girsanov e la probabilità Risk-Neutral Per lo studio del modello di Black & Scholes è di fondamentale importanza il Teorema di Girsanov, di cui diamo l enunciato. 13

14 1. Elementi di Finanza Matematica Teorema 1.9. Girsanov Sullo spazio probabilizzato Ω, F,P sia {ϑ t } t [,T] un processo adattato tale che T ϑ2 sds < + quasi certamente. Sia L t l unica soluzione dell equazione differenziale stocastica dl t = L t ϑ t dw t 1.5 L = 1, t ossia L t = exp ϑ sdw s t ϑ 2 s 2 ds, per ogni t [,T]. Supponiamo, inoltre, che valga E P [L T ] = 1. Allora, definita la nuova misura di probabilità Q come Q = L T P, si ha che sotto Q il processo { t } W t ϑ s ds t [,T] è un processo di Wiener standard unidimensionale. Inoltre per ogni probabilià Q equivalente a P esiste un processo {ϑ t} t [,T] con le proprietà sopra enunciate tale che, detta L t la soluzione di dl t = L tϑ tdw t 1.6 L = 1, si ha che Q = L T P. Osservazione 1.1. Spesso la condizione E P [L T ] = 1 del Teorema di Girsanov non è facile da verificare. Molto spesso, nella pratica, si controlla che sia verificata la condizione di Novikov, ossia che valga E [ exp 1 2 T ] ϑ 2 sds < La condizione di Novikov è sufficiente ma non necessaria affinché sia vero che E P [L T ] = 1 ossia esistono casi in cui la condizione di Novikov non è verificata ma il Teorema di Girsanov è comunque applicabile. Utilizzando il Teorema di Girsanov è possibile trovare una misura di probabilità equivalente a P sotto la quale il processo di prezzi scontati { S t } t [,T] sia una martingala. Questa nuova misura probabilità denotata con Q, è detta probabilità Risk-Neutral o anche probabilità martingala. Questa misura di probabilità è di estrema importanza in finanza matematica, in quanto rappresenta lo strumento pratico con cui è possibile effettuare delle simulazioni numeriche per ottenere i prezzi. Inoltre, sotto Q, le dinamiche 1.3 diventano ds t = rs t dt + σs t dw t 1.8 S = x, 14

15 1.2 Il Modello di Black & Scholes dove r è il tasso di interesse costante. È molto interessante notare che, sotto la probabilità Risk-Neutral, le dinamiche dei prezzi sono indipendenti dai loro coefficienti di drift. Sostanzialmente succede che tutti gli attivi rischiosi crescono, in media, come un bond; questa crescita è però disturbata dal processo di Wiener moltiplicato per la volatilità, che quindi determina il livello di rischio legato al processo di prezzi del sottostante. Questo è il motivo per cui, in finanza, il coefficiente di drift non riveste particolare importanza, mentre la volatilità è di importanza cruciale sia per lo sviluppo della teoria che per l utilizzo pratico Il Pricing e l Hedging nel modello di Black & Scholes Nel modello di Black & Scholes vale il seguente importante Teorema: Teorema Teorema di Valutazione Risk-Neutral Sia h L 2 Ω, F,Q. Allora esiste uno ed un solo portafoglio autofinanziato replicante tale che V T = h. Inoltre, per ogni t [,T], si ha che V t = E Q [ e h rt t ] F t. In particolare V = E Q [ h e rt ]. Il Teorema di valutazione Risk-Neutral è importante per due motivi: come prima cosa dice che il modello di Black & Scholes è completo. La seconda informazione utile che dà è il valore del portafoglio replicante all istante t =. Dunque, usando l ipotesi NA, si deduce che il valore V deve coincidere con il prezzo dell opzione rappresentata da h all istante t =. Il Teorema fornisce uno strumento pratico per il calcolo di tale prezzo, in quanto è sufficiente calcolare o approssimare la speranza di una variabile aletoria di cui si conoscono le dinamiche infatti i derivati hanno valore che è una funzione del prezzo del sottostante. Inoltre, nel modello di Black & Scholes, i prezzi di molti derivati possono essere calcolati in maniera più esplicita, attraverso delle formule analitiche che dipendono solamente da parametri noti del modello. Teorema Supponiamo che h = ΦS T e sia V t = Ft,S t il valore all istante t del portafoglio che replica h. Allora, per ogni Y una variabile normale standard unidimensionale, si ha Ft,x = e rt t Ω Φ xexp r σ2 2 T t + σy T t dq. Inoltre, se F C 1,2, si ha che la quantità di sottostante posseduta nel portafoglio autofinanziato replicante all istante t, quando S t = x, è pari a F x t,x. 15

16 1. Elementi di Finanza Matematica Il Teorema precedente risolve il problema dell hedging nel modello di Black & Scholes: il portafoglio replicante si ottiene attraverso la strategia del delta hedging, ossia possedendo in ogni istante una quantità di sottostante pari alla derivata della funzione prezzo del derivato rispetto al prezzo del sottostante. Ovviamente questo portafoglio replicante non è perfettamente utilizzabile in pratica. Infatti, per avere una copertura del rischio perfetta, sarebbe necessario effettuare scambi in maniera continua nel tempo, senza pagare alcun costo di transazione. Il seguente Corollario del Teorema 1.12 fornisce le formule analitiche per il calcolo del prezzo di Call e Put: Corollario Siano fissati un tempo T > e uno strike K >. Allora, detti Ct,x e Pt,x i prezzi di una Call e una Put di scadenza T e strike K al tempo t e con livello di prezzo S t = x, si ha: dove Ct,x = xnd 1 Ke rt t Nd 2, Pt,x = Ke rt t N d 2 xn d 1, Nx = 1 2π x e 1 2 z2 dz è la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria normale standard e ln x K + r ± σ2 2 T t d 1,2 = σ. T t È interessante notare come il prezzo di tali opzioni sia indipendente dal livello del coefficiente di drift. La volatilità invece gioca un ruolo fondamentale in queste formule Le Greche Data un opzione con funzione payoff Φ di scadenza T >, vogliamo studiare come cambia il prezzo dell opzione per piccole variazioni di uno dei parametri del modello. In particolare, nel modello di Black & Scholes, i parametri interessanti sono quattro: il tasso di interesse r, il prezzo iniziale del sottostante S, la volatilità σ e il tempo t. Si può calcolare la derivata parziale del prezzo dell opzione rispetto a ognuno di questi parametri; tali derivate vengono dette greche in quanto spesso vengono indicate con una lettera greca. Definizione Sia ΠΦr,S,σ il prezzo dell opzione con payoff Φ al tempo t =, con tasso di interesse costante r, volatilità σ e valore del sottostante pari a S. Allora definiamo: il Delta dell opzione come = ΠΦ S r,s,σ; 16

17 1.2 Il Modello di Black & Scholes il Gamma dell opzione come Γ = 2 ΠΦ r,s S 2,σ; il Rho dell opzione come ρ = ΠΦ r r,s,σ; il Vega dell opzione come V = ΠΦ σ r,s,σ; il Theta dell opzione come Θ = ΠΦ t r,s,σ; È possibile definire molte altre greche, considerando le derivate di ordini superiori. Inoltre, vista la definizione di, si capisce perché la strategia di copertura del paragrafo precedente era stata battezzata delta hedging. Le greche sono molto importanti da un punto di vista pratico, in quanto aiutano il trader ossia colui che gestisce posizioni con rischio ed opzioni per una società o una banca a quantificare gli errori che si commettono nel considerare costanti alcuni parametri del modello. Infatti, anche se fosse possibile avere una copertura teorica perfetta attraverso il delta hedging, non si avrebbe nessuna garanzia o copertura se il tasso di interesse costante nel modello dovesse subire un piccolo cambiamento o se la volatilità del sottostante non fosse costantemente uguale a σ. Se si possiede una formula analitica per il prezzo dei derivati come, ad esempio, nel Corollario 1.13, il calcolo delle greche consiste nel fare delle derivate. Nella maggior parte dei modelli utilizzati in finanza però non vi sono formule esplicite per il prezzo delle opzioni; di conseguenza è necessario trovare soluzioni alternative, facendo uso solamente della espressione del prezzo data dal Teorema di valutazione Risk-Neutral I problemi riguardanti il calcolo delle greche verranno ripresi e ampiamente discussi all interno del capitolo 4. Osservazione Una generalizzazione del modello di Black & Scholes si ottiene supponendo che il drift e la volatilità possano essere funzioni deterministiche del tempo sufficientemente regolari, ossia ds t = µts t dt + σts t dw t S = x. 1.9 In questo caso tutta la teoria sviluppata sino ad ora rimane valida, a patto di sostituire in tutte le formule analitiche i temini dipendenti dal tempo con degli integrali. Ad esempio, in questo modello, la formula 1.4 diventa t S t = S exp µs σ2 s ds t σsdw s.

18 1. Elementi di Finanza Matematica 1.3 I Modelli a Volatilità Locale Come visto nel paragrafo precedente, nel modello di Black & Scholes si assume che la volatilità del sottostante considerato sia un numero reale, costante nel tempo e indipendente dal livello di prezzo del sottostante stesso. Purtroppo tale ipotesi è piuttosto inverosimile: nella realtà, infatti, si nota che il coefficiente di volatilità tende a cambiare nel tempo e, generalmente, ad innalzarsi quando il prezzo del sottostante subisce significativi cambiamenti. Questo fenomeno, chiamato effetto di asimmetria o skewness, suggerisce l introduzione di modelli più sofisticati, che riescano a modellizzare una superficie di volatilità non costante. La prima, e più semplice, soluzione a questo problema consiste nell introduzione dei modelli a volatilità locale. Un modello è detto a volatilità locale se il processo di prezzi {S t } t [,T] segue le dinamiche ds t = µt,s t dt + σt,s t dw t S = x, 1.1 dove {W t } t [,T] è un processo di Wiener standard unidimensionale e µ : R + R + R, σ : R + R + R +. Sotto opportune ipotesi è possibile garantire l esistenza e l unicità della soluzione di 1.1 si veda il paragrafo Applicando il Teorema di Girsanov 1.9 si ottiene una nuova misura di probabilità Q, la probabilità Risk-Neutral, sotto la quale i prezzi scontati dei sottostanti sono delle martingale. Inoltre tale probabilità è unica e, sotto Q, le dinamiche del prezzo 1.1 hanno coefficiente di drift costante e pari al tasso di interesse r. Anche per questi modelli è possibile dimostrare che vale il Teorema di valutazione Risk-Neutral Pertanto, per ogni h L 2 Ω, F,Q, esiste un unico portafoglio autofinanziato replicante tale che V t = e rt t E Q [ h F ] Non esiste un analogo del Teorema 1.12 che fornisca esplicitamente delle formule di pricing e delle strategie di copertura. In questa situazione un buon modo per approssimare il prezzo dell opzione di payoff ΦS T è quello di utilizzare una simulazione Monte Carlo: per calcolare il prezzo ΠΦ = V si simula al calcolatore il prezzo del sottostante per molte volte, si calcola il valore che avrebbe l opzione al tempo T con i prezzi simulati e si moltiplicano i risultati ottenuti per e rt. Si considera poi la media aritmetica di 18

19 1.4 I Modelli a Volatilità Stocastica tutti i valori ottenuti e, per la Legge di Grandi Numeri, questa converge a E Q [e rt ΦS T ] = V. Attraverso simulazioni Monte Carlo di questo tipo si ottengono risultati piuttosto affidabili, con una velocità di convergenza dell ordine di n 1/2. Osserviamo che le greche, il Γ, il ρ e il Θ continuano ad essere ben definite mentre V non è più definibile come fatto in precedenza, in quanto non ha senso derivare rispetto alla funzione di volatilità. Il V a cui siamo interessati corrisponde alla variazione del prezzo dell opzione quando si effettua uno spostamento parallelo dell intera superficie di volatilità. Inoltre per i modelli a volatilità locale, dove non abbiamo scritture analitiche dei prezzi delle opzioni, le greche non possono essere più ottenute mediante il calcolo di una derivata. Ne segue che, anche in questo caso, le tecniche da usare sono differenti da quelli presentate nel modello di Black & Scholes. Queste verranno presentate più nel dettaglio all interno del quarto capitolo. 1.4 I Modelli a Volatilità Stocastica Un altra classe di modelli che risolve il problema della skew della superficie di volatilità è quella dei modelli a volatilità stocastica, in cui si suppone che anche la volatilità del sottostante considerato sia un processo stocastico, definito da un equazione differenziale stocastica. Si suppone di avere un sottostante con processo dei prezzi {S t } t [,T] e con processo di volatilità {σ t } t [,T], che seguano le dinamiche ds t = µt,s t,σ t dt + λt,s t,σ t dw 1 t dσ t = νt,s t,σ t dt + ζt,s t,σ t dw 2 t, 1.12 dove W 1 t e W 2 t sono due processi di Wiener unidimensionali con coefficiente di correlazione costante. Inoltre si suppone di conoscere i valori iniziali del prezzo e della volatilità, S e σ rispettivamente. Scegliendo diverse funzioni µ, λ, ν e ζ si ottengono modelli differenti, che in letteratura vengono chiamati con nomi differenti. I modelli a volatilità stocastica sono sensibilmente più complessi dei modelli esaminati in precedenza e bisogna procedere con molta cautela quando li si studia. Infatti, già nei casi più semplici, le proprietà di base di esistenza e unicità della soluzione non sono facili da trattare e dimostrare. Inoltre i modelli a volatilità stocastica non sono completi; intuitivamente questo accade poiché, avendo fornito alla volatilità una propria fonte aleatoria, si ha un eccesso di casualità nel modello e non è più possibile costruire portafogli replicanti. Ci occuperemo solamente del modello di Heston, probabilmente il più usato nella pratica. 19

20 1. Elementi di Finanza Matematica Il modello di Heston Nel modello di Heston il prezzo S e la volatilità v seguono le dinamiche ds t = rs t dt + v t S t dw 1 t dv t = κθ v t dt + ν v t d W t, 1.13 dove {W 1 t } t [,+ e { W t } t [,+ sono due processi di Wiener standard correlati, con coefficiente di correlazione pari a. I parametri che caratterizzano il modello di Heston sono cinque: il valore iniziale della volatilità, v, detto volatilità di breve, il coefficiente di correlazione, il termine θ, detto volatilità di lungo, il parametro κ, chiamato coefficiente di mean reversion e la costante ν, la cosiddetta vol of vol. Ognuno di questi cinque parametri gioca un ruolo fondamentale nel modello e contribuisce a determinare la forma della superficie di volatilità. Anche per il modello di Heston, come per i modelli a volatilità locale, non esistono delle formule analitiche per il calcolo dei prezzi. Generalmente si ricorre a metodi Monte Carlo, simulando dapprima il processo di volatilità e, successivamente, il processo di prezzi. Infine, anche in questo modello, alcune greche richiedono una nuova definizione: infatti si può ancora dare senso alle greche, Γ, ρ e Θ, ma ci si trova in difficoltà se si vuole dare un senso alla derivata rispetto alla volatilità. Quello che si fa in pratica è definire diverse greche che, in modi differenti, prendono il ruolo della V nel modello di Black & Scholes. Definizione Sia ΠΦ il prezzo dell opzione con payoff Φ al tempo t =, con tasso di interesse costante r, volatilità di breve v, volatilità di lungo θ e valore del sottostante pari a S. Allora definiamo: il V v dell opzione come V v = ΠΦ v ; il V θ dell opzione come V θ = ΠΦ θ ; Inoltre vorremmo definire un ulteriore quantità legata alla volatilità. Tale quantità, chiamata V vt, verrà definita nel paragrafo

21 Capitolo 2 Il calcolo di Malliavin In questo capitolo verranno esposti alcuni dei risultati principali della teoria del calcolo di Malliavin. Il calcolo di Malliavin è un ramo della probabilità avanzata nato piuttosto di recente, con lo scopo di estendere alcune idee e risultati della teoria dell integrazione stocastoca di Itô. Ben presto però ci si rese conto che alcuni risultati di tale teoria, ed in particolare alcune formule di integrazione per parti, potessero essere usati in differenti contesti di tipo pratico. In particolare ci si rese conto che l uso della derivata di Malliavin e dell integrale di Skorohod, di cui tratteremo in questo capitolo, potesse essere di grande aiuto per ottenere delle nuove formule per il calcolo delle greche di opzioni. Nei prossimi paragrafi daremo alcune definizioni ed enunceremo importanti risultati di tale teoria. Per le dimostrazioni si rimanda al libro di Nualart [28]. 2.1 La Derivata di Malliavin Lo scopo di questa sezione è quello di definire una nuova derivata su un opportuno sottoinsieme di L 2 Ω. D ora in avanti, considerato un elemento h L 2 [,T], useremo la notazione Wh = T hsdw s. Definizione 2.1. F L 2 Ω è una funzione liscia se esistono h 1,...,h n L 2 [,T] e una funzione ϕ : R n R di classe C tali che, per ogni ω Ω, Fω = ϕwh 1 ω,...,wh n ω. Inoltre si richiede che, per ogni vettore α = α 1,...,α n R n, esistano delle costanti reali e positive c α e b α tali che sia soddisfatta α ϕx c α exp b α x. 21

22 2. Il calcolo di Malliavin Data h L 2 [,T] e F funzione liscia denoteremo con D h il termine D h F = T D s Fhsds. Denotiamo con L l insieme di tutte le funzioni liscie. Osservazione 2.2. Si noti che data F L, per ogni α R n e per ogni p [1,+ si ha α F = α ϕwh 1 ω,...,wh n ω L p Ω. Definizione 2.3. Definiamo l operatore D sull insieme delle funzioni liscie L, D : L L 2 Ω L 2 Ω [,T] in modo che, data Fω = ϕwh 1 ω,...,wh n ω L, si abbia DF t ω = D t Fω = n i=1 ϕ x i Wh 1 ω,...,wh n ω h i t. È importante notare che l operatore D trasforma variabli aleatorie in processi stocastici. Inoltre dalla definizione risulta evidente che, per ogni h L 2 [,T], si ha D t Whω = ht. Dunque sugli elementi deterministici di L 2 [,T] l operatore D agisce come l inverso dell integrale stocastico di Itô. Esempio 2.4. Per ogni t,s [,T] vale Infatti W t = t dw s = WI [,t]. D s W t = I [,t] s. Ci interessa cercare di estendere l operatore D a una classe di funzioni più ampia delle semplici funzioni liscie. A tal proposito diamo le seguenti definizioni: Definizione 2.5. Dati due spazi topologici X Y, l operatore A : DA X Y si dice chiuso se il suo grafico Γ = {x,ax X Y x DA} è chiuso nella topolgioa prodotto di X Y. L operatore A è detto chiudibile se esiste un estensione chiusa di A. La chiusura di A è la minima estensione chiusa di A, corrispondente alla chiusura del grafico Γ. 22

23 2.1 La Derivata di Malliavin Vale il seguente importante Teorema: Teorema 2.6. L operatore D è chiudibile. Lo strumento fondamentale per la dimostrazione del Teorema 2.6 è il seguente Teorema, detto di Gaveaux-Trauber, che fornisce un utile formula di integrazione per parti: Teorema 2.7. Gaveaux-Trauber Siano F,G L e h L 2 [,T]. Allora vale la formula E [D h FG] = E [FD h G + FGWh]. Siamo finalmente in grado di dare la definizione di derivata di Malliavin: Definizione 2.8. Il dominio della chiusura dell operatore D definito in 2.3 verrà denotato con il simbolo D 1,2. È possibile munire l insieme D 1,2 della norma T 1/2 F 1,2 = F 2 dp + dp D t F dt 2. Ω Ω La chiusura dell operatore D che continueremo a denotare con la lettera D è detta derivata di Malliavin. D : D 1,2 L 2 Ω L 2 Ω [,T] È importante osservare che lo spazio D 1,2 munito della norma 1,2 è completo. Dunque la coppia D 1,2, 1,2 è uno spazio di Banach. Nella scrittura D 1,2 il primo indice dell apice indica che stiamo parlando di funzioni derivabili una volta, mentre il secondo ci ricorda che il dominio è contenuto in L 2 Ω. Osservazione 2.9. Lo spazio D 1,2 non è un algebra. Infatti non è detto che prodotto di elementi di D 1,2 sia ancora in D 1,2. È possibile ripetere tutta la costruzione fatta fino ad ora lavorando, al posto che in L 2 Ω, in L p Ω con p [1,+ ]. In questo modo si ottiene l insieme D 1,p e la derivata D : D 1,p L p Ω L 2 Ω [,T]. L insieme D 1,p può essere munito della norma F 1,p = F p dp + Ω Ω T p/2 1/p dp D t F dt 2. Inoltre è possibile definire derivate di ordine superiore al primo in maniera induttiva, partendo dalla definizione di derivata prima appena data. Si 23

24 2. Il calcolo di Malliavin avranno dunque, per ogni q N, p [1,+ ], dei domini D q,p e degli operatori chiusi D q : D q,p L p Ω [,T] q 1 L 2 Ω [,T] q. Si noti che ogni derivata successiva introduce un nuovo parametro temporale. Torniamo ora ad occuparci dell insieme D 1,2, che sarà lo spazio su cui otterremo i risultati principali. Uno strumento molto importante per calcolare le derivate di Malliavin è il seguente Teorema, detto regola della catena: Teorema 2.1. Regola della Catena Siano F 1,...,F n D 1,2 e sia ϕ : R n R una funzione di classe C 1 R n con derivate prime limitate. Allora ϕf 1,...,F n D 1,2 e si ha D t ϕf 1,...,F n = n i=1 ϕ x i F 1,...,F n D t F i. Concludiamo questo paragrafo enunciando due proposizioni che ci torneranno utili in futuro. Proposizione Sia F una funzione F t -misurabile che appartenga a D 1,2. Allora D s F è F t -misurabile e D s F = se s > t. Proposizione Sia F n n 1 una successione di elementi di D 1,2. Supponiamo che F n F in L 2 Ω e che la successione DF n n 1 sia limitata in L 2 Ω [,T]. Allora F D 1,2 e DF n converge debolmente a DF in L 2 Ω [,T]. 2.2 L Integrale di Skorohod Utilizzando gli strumenti definiti nel paragrafo precedente siamo in grado di definire un nuovo operatore, detto integrale di Skorohod, che estenderà l integrale stocastico di Itô ad una classe di processi non adattati. Il modo corretto per definire tale operatore è quello di vederlo come l operatore aggiunto della derivata di Malliavin: Definizione Il processo Z L 2 Ω [,T] appartiene a Domδ se l applicazione [ T ] F E D s FZ s ds definita su D 1,2 è tale che esista una costante c R per cui valga [ T E D s FZ s ds] c F L 2 Ω. 24

25 2.2 L Integrale di Skorohod L operatore o integrale di Skorohod è la funzione δ : Domδ L 2 Ω [,T] L 2 Ω definita, per ogni processo Z Domδ, dalla relazione Adotteremo la convenzione per ogni Z Domδ. F,δZ L 2 Ω = DF,Z L 2 Ω [,T]. 2.1 δz = T Z s δw s, È facile mostrare che l operatore di Skorohod è ben definito ed è un operatore chiuso. La relazione 2.1 va intesa nel senso [ T F,δZ L 2 Ω = E [FδZ] = E ] D s FZ s ds = DF,Z L 2 Ω [,T]. Si noti che, mentre la derivata di Malliavin trasforma variabili aleatorie in processi stocastici, l integrale di Skorohod riduce un processo stocastioco ad una singola variabile aleatoria. Il seguente Teorema afferma che l operatore di Skorohod è un estensione dell integrale di Itô ai processi non adattati. Teorema Sia Z L 2 Ω [,T] un processo adattato. Allora Z Domδ e vale δz = T Z s dw s. Inoltre abbiamo bisogno di alcuni risultati che ci dicano come calcolare gli integrali di Skorohod nei casi in cui si abbia a che fare con processi non adattati. I due Teoremi che seguono sono molto importanti e verranno spesso usati nei capitoli successivi: Teorema Supponiamo che F D 1,2, che Z Domδ e che valga la condizione [ T 2 T 2 ] E F 2 Z s δw s + D s FZ s ds < Allora il processo F Z Domδ e si ha T FZ s δw s = F T T Z s δw s D s FZ s ds

26 2. Il calcolo di Malliavin Questo Teorema ci dice che è necessario prestare attenzione quando si vogliono calcolare gli integrali di Skorohod; infatti anche le variabili aleatorie appartenenti a D 1,2 danno un contributo, attraverso le loro derivate di Malliavin, nel calcolo dell integrale. Teorema Supponiamo che, per ogni t [,T], Z t D 1,2, esista una versione di D s Z t ω misurabile su Ω [,T] 2 e che si abbia Allora δz D 1,2 e si ha D t T T Z s 2 1,2ds < +. T Z s δw s = Z t + D t Z s δw s. 2.4 Dunque la derivata di Malliavin non si comporta esattamente come l inverso dell integrale di Skorohod e, di conseguenza, dell integrale di Itô. Il Teorema 2.16 ci dice che gli operatori D e δ sono legati da una relazione del tipo Dδ = δd + I, dove il termine I rappresenta l operatore identità. 2.3 Equazioni Differenziali Stocastiche In questa sezione enunceremo i risultati principali sull esistenza, unicità e derivabilità di soluzioni di equazioni differenziali stocastiche. Definizione Un equazione differenziale stocastica SDE è un equazione del tipo dx t = at,x t dt + bt,x t dw t 2.5 X = V, dove {W t } t [,+ è un processo di Wiener standard adattato alla filtrazione {F t } t [,+ e V è una variabile aleatoria F -misurabile. Le soluzioni di una SDE sono dette diffusioni Esistenza ed unicità delle equazioni differenziali stocastiche Le equazioni differenziali stocastiche, come le equazioni differenziali ordinarie, sotto opportune ipotesi di regolarità dei coefficienti ammettono una sola soluzione. Infatti gli strumenti standard che si usano nella dimostrazione del Teorema di esistenza e unicità di equazioni differenziali ordinarie, ossia 26

27 2.3 Equazioni Differenziali Stocastiche il Teorema delle contrazioni e il Teorema della approssimazioni successive, sono utilizzabili anche in contesto stocastico a meno di apportare alcuni opportuni cambiamenti. Teorema Esistenza e unicità della soluzione Supponiamo che esista una costante C R tale che, per ogni t [,+ e x,y R 1 at,x at,y + bt,x bt,y x y ; 2 at,x + bt,x C1 + x ; 3 Z L 2 Ω. Allora la SDE 2.5 ammette un unica soluzione sull intervallo [, T], per ogni T. L unicità si intende nel senso che, se {X t } t [,+ e {Y t } t [,+ sono due soluzioni di 2.5, allora, per ogni t [,T], X t = Y t P-q.c. Inoltre tale soluzione {X t } t [,+ soddisfa [ E ] sup X t 2 +. t [,T] La dimostrazione di questo Teorema è fondamentale per tutta la teoria sulle equazioni differenziali stocastiche e può essere trovata su qualsiasi testo che tratti di SDE si veda, ad esempio, [3]. Definizione Assegnata una filtrazione {F t } t [,+, definiamo l insieme { [ } E = {X t } t [,T] processo F t -adattato e continuo : E sup X t ]<+ 2 t [,T]. Definiamo inoltre [ ]1 2 X E = E sup X t 2. t [,T] È facile varificare che E è una norma e che lo spazio E, E è uno spazio di Banach. Per la dimostrazione di 2.18 si usano il Teorema delle Contrazioni, il Lemma di Gronwall e la diseguaglianza di Doob Differenziabilità della diffusione nel senso di Malliavin Il Teorema enunciato in questo paragrafo garantisce che la soluzione di 2.5, sotto opportune ipotesi, è derivabile secondo Malliavin. Questo risultato sarà di cruciale importanza in seguito quando, al fine di trovare delle espressioni delle greche di opzioni, deriveremo il processo di prezzi secondo la derivata di Malliavin. 27

28 2. Il calcolo di Malliavin Teorema 2.2. Derivabilità della soluzione secondo Malliavin Sia {X t } t [,T] una soluzione di 2.5, tale che i coefficienti ax,t e bx,t siano di classe C 1 rispetto a x ed abbiano derivata limitata. Allora X t D 1,2 per ogni t [,T]. Inoltre, per ogni t < s, la derivata D s X t soddisfa q.c. t a t D s X t = bs,x s + s x u,x b ud s X u du + s x u,x ud s X u dw u e, per s t, D s X t = q.c. La dimostrazione di questo Teorema si basa sul metodo delle approssimazioni successive. Per una dimostrazione si veda [28] Differenziabilità della diffusione rispetto al dato iniziale Prendiamo in considerazione la SDE 2.5 e, fissato un valore reale x, poniamo la variabile aleatoria V identicamente uguale a x. Supponiamo che siano soddisfatte le ipotesi di regolarità del Teorema 2.18 e chiamiamo X x t l unica soluzione dell equazione differenziale stocastica, ossia t t Xt x = x + as,xs x ds + bs,xs x dw s. Siamo interessati a capire se la funzione R E x X x t è derivabile. Per fare questo utilizzeremo il seguente Lemma. Lemma Sia B uno spazio di Banach e sia data una funzione continua tale che F :R B B x,x Fx,X, 1 K [,1 tale che x R, X,Y B, Fx,X Fx,Y B K X Y B ; 2 F x : R B B continua e F X : R B LB,B continua tale che, x,y R, X,Y B vale Fx + hy,x + hy Fx,X lim = F x x,xy + F X x,xy. h h 28

29 2.3 Equazioni Differenziali Stocastiche 3 Per ogni x,y R, X,Y B, la funzione [,1] B ξ F1 ξx + ξy,1 ξx + ξy è differenziabile con continuità e vale, ξ [,1], d F1 ξx + ξy,1 ξx + ξy = dξ =F x 1 ξx + ξy,1 ξx + ξy y x +F X 1 ξx + ξy,1 ξx + ξy Y X. Allora, detto X x il punto fisso di X Fx,X, l applicazione x X x è differenziabile e si ha X x x = F xx,x x + F X x,x x Xx x. 2.6 Osservazione Il punto fisso di X Fx,X esiste grazie al punto 1 del Teorema precedente e al Terorema delle Contrazioni. Per la dimostrazione di questo fatto si veda [14] Ritorniamo ora al nostro caso, cioè a dimostrare la derivabilità di R E x X x t. A questo scopo consideriamo la funzione F :R E E x,x x + t as,x x s ds + t bs,x x s dw s. Nella dimostrazione del Teorema 2.18 si prova che, scelto un tempo T 1 sufficientemente piccolo, la funzione F è una contrazione nella seconda variabile. Dunque, scelto B = E, possiamo applicare il Lemma 2.21 alla nostra funzione F non è difficile verificare che le altre ipotesi sono soddisfatte. Ne segue che, lavorando sull intervallo [,T 1 ], l applicazione x X x è derivabile come funzione in E e, posto Y x t = Xx x, si ha t Yt x = 1 + a X s,xx s Y x s ds + t b X s,xx s Y x s dw s

30 2. Il calcolo di Malliavin Lo stesso ragionamento può essere ripetuto sugli intervalli [it 1,i + 1T 1 ], per ogni i N. Dunque il processo Yt x è ben definito su tutto l intervallo [,T] e verifica la relazione 2.7. D ora in avanti il processo Yt x verrà chiamato processo di variazione prima. Per semplificare le notazioni eviteremo di scrivere l apice x quando è evidente dal contesto quale sia il punto iniziale considerato. Proposizione Il processo di variazione prima Y t è invertibile. Dimostrazione. Definiamo il processo {Z t } t [,T] come la soluzione di Z t = 1 t [ a b ] 2 Z s X s,x s X s,x s ds Utilizzando la formula di Itô si ha Z t Y t =1 + t t t b Z s X s,x sy s dw s + Z s b X s,x sy s dw s Z s [ a X s,x s t t b X s,x s t Z s b X s,x sdw s. Z s a X s,x sy s ds b 2Ys Z s X s,x s ds 2 ] Y s ds, che dimostra Z t Y t = 1. Dunque Y t è invertibile e Z t è il suo inverso. Teorema Siano a e b di classe C 1 con derivata limitata e sia X la soluzione di 2.5. Allora, per ogni s t vale Dimostrazione. Dal Teorema 2.2 abbiamo che t D s X t = bs,x s + s D altra parte Y t Ys 1 bs,x s =bs,x s + D s X t = Y t Y 1 s bs,x s. 2.8 a t X u,x ud s X u du + s + t s t s b X u,x ud s X u dw u. a X u,x uy u Ys 1 bs,x s du b X u,x uy u Y 1 s bs,x s dw u. Dunque i processi {D s X t } t [,T] e {Y t Ys 1 bs,x s } t [,T] soddisfano la stessa equazione differenziale stocastica con stesse condizioni iniziali. Quindi è sufficiente fare uso del Teorema 2.18 per ottenere la tesi. 3

31 2.3 Equazioni Differenziali Stocastiche Osservazione Tutti i risultati esposti sulle soluzioni di SDE possono essere estesi al caso multidimensionale. I risultati sono molto simili, si complicano le notazioni ma le idee usate nelle dimostrazioni sono le stesse. Nel caso d-dimensionale il processo di variazione prima Y t è una matrice quadrata d-dimensionale e soddisfa dy t = a t,x t Y t dt + d i= b it,x t Y t dw i t, dove a denota la matrice Jacobiana del vettore a e b i denota lo Jacobiano della i-esima colonna della matrice b. Inoltre Y = I d, dove I d denota la matrice identità d-dimensionale. 31

32 2. Il calcolo di Malliavin 32

33 Capitolo 3 Pricing di opzioni con barriera Lo scopo di questo capitolo è quello di discutere alcuni problemi relativi al pricing di opzioni con barriera. 3.1 Il pricing nel modello di Black & Scholes In questo paragrafo ricaveremo esplicitamente il prezzo di opzioni con barriera nel caso più semplice possiblile, ossia nel modello di Black & Scholes. Supponiamo dunque di avere un sottostante, i cui prezzi sono dati dal processo {S t } t [,+ che segue le dinamiche ds t = µs t dt + σs t dw t S = x, dove µ, σ e x sono delle costanti reali e σ >. Supponiamo inoltre che esista un riskless asset B t, tale che db t = rb t dt B = 1, dove la costante r è il tasso di interesse. Definiamo un T-contratto come un opzione il cui payoff dipende solamente dal prezzo del sottostante al tempo di esercizio T. Consideriamo dunque un T-contratto Z della forma Z = ΦS T. Inoltre denotiamo con Ft,s;T,Φ il prezzo di Z al tempo t, quando S t = s. 33

34 3. Pricing di opzioni con barriera Diamo ora una definizione formale della versione down-and-out continua di Z. Innanzitutto definiamo cosa è un hitting time: Definizione 3.1. Sia {X t } t [, un processo stocastico reale a traiettorie continue e sia y R. L hitting time di X a y è definito come la variabile aleatoria τ y ω = inf {t X t ω = y}. Il processo assorbito a y è definito come X y t = X t τy. Fissiamo un numero reale L < x, che rappresenta una barriera inferiore, e definiamo Z LO la versione down-and-out continua del contratto Z nel seguente modo: Z LO = ZI {τl >T }, dove τ L rappresente l hitting time del processo {S t } t [, alla barriera L e I {τl >T } è la funzione indicatrice dell insieme {τ L > T }. In termini intuitivi, il contratto down-and-out continuo ha il payoff esattamente uguale a Z nel caso in cui il prezzo del sottostante rimanga al di sopra della barriera L durante tutto l intervallo di tempo [, T]. Invece il contratto cessa di esistere se la barriera viene raggiunta in un qualsiasi istante precedente alla scadenza del contratto. Nella scrittura Z LO la lettera O sta per contratto out, la lettera L indica il livello di barriera e il fatto che le lettere siano scritte a pedice denota il fatto che la barriera sia di tipo down. Inoltre la barriera è di tipo continuo in quanto il monitoraggio del prezzo avviene in tutto l intervallo temporale [,T]. Analogamente può essere definita la versione down-and-in continua di Z con barriera L come Z LI = ZI {τl T }. Questo contratto viene attivato nel momento in cui il prezzo del sottostante colpisce la barriera L, in un qualsiasi istante t [,T]. Il suo valore è invece nullo se la barriera non viena mai raggiunta. Allo stesso modo l opzione up-and-out continua relativa a Z, con barriera U > x, è definita come Z UO = ZI {τu >T }. Infine la versione up-and-in continua di Z con barriera U > x è data da Z UI = ZI {τu T }. Lo scopo di questa sezione è quello di fornire un prezzo F LO t,s;t,φ alla versione down-and-out continua dell opzione conoscendo la funzione di prezzo Ft,s;T,Φ dell opzione di partenza. 34

35 3.1 Il pricing nel modello di Black & Scholes Osservazione 3.2. È evidente che possedere un opzione Z LI e un opzione Z LO è equivalente a possedere un opzione Z. Grazie a questa osservazione ci sarà sufficiente calcolare il prezzo dell opzione down-and-out per ottenere il prezzo della opzione down-and-in. Infatti, grazie alla linearità dell operatore prezzo e alla conoscenza del prezzo di Z, si ha che il prezzo dell opzione down-and-in, F LI t,s;t,φ, è dato da F LI t,s;t,φ = Ft,s;T,Φ F LO t,s;t,φ, per ogni L < x. La stessa osservazione è valida per i contratti di tipo up. Osservazione 3.3. All interno dei prossimi paragrafi le barriere verranno sempre intese come continuamente monitorate in [, T], tranne quando esplicitamente specificato Richiami e Preliminari In questo paragrafo richiamiamo alcuni concetti preliminari su alcune distribuzioni di probabilità legate alle opzioni con barriera. Definizione 3.4. Dato un processo reale {X t } t [,, i processi di massimo e di minimo relativi ad X sono definiti rispettivamente, per ogni t [,+, come: M X t m X t = sup X t, s t = inf s t X t. L apice X verrà soppresso nelle situazioni in cui risulterà evidente il processo considerato. Osservazione 3.5. Nel nostro caso, in cui il processo considerato è il prezzo S t, il limite superiore e inferiore possono essere sostituiti rispettivamente con il massimo e il minimo. Questo poiché le traiettorie nel modello di Black & Scholes sono continue. Denotiamo con ϕx; µ, σ la densità di una variabile aleatoria normale di media µ e varianza σ 2, ossia ϕx;µ,σ = 1 } { σ 2π exp x µ2 2σ 2. Per comodità la densità della variabile normale standard ϕx;, 1 sarà denotata semplicemente con ϕx e la sua funzione di ripartizione sarà denotata con Nx, ossia Nx = 1 x e 1 2 z2 dz. 2π 35

36 3. Pricing di opzioni con barriera Consideriamo ora un processo di Itô uscente dal punto α e definito dalle dinamiche dx t = µdt + σdw t 3.3 X = α. Fissato un valore reale β, siamo interessati a conoscere la distribuzione del processo{x β t } t [,, ossia del processo X t assorbito a β. Certamente la legge di X β t non è diffusa: infatti il punto x = β ha una massa non nulla, pari alla probabilità che la variabile aleatoria X t abbia colpito il valore β in un qualsiasi momento precedente a t. Oltre l atomo x = β, la distribuzione ha una densità, con supporto β,+ se α > β o supporto,β se α < β. La Proposizione seguente, riguardante la densità del processo assorbito, è il risultato principale di questa sezione. Proposizione 3.6. La densità f β x;t,α del processo assorbito X β t, dove X t è definito dalle dinamiche 3.3, è data da f β x;t,α = ϕx;µt+α,σ { } 2µα β t exp σ 2 ϕx;µt α+2β,σ t. Il supporto di questa densità è l intervallo β,+ se α > β e l intervallo,β se α < β. Per una dimostrazione di questa proposizione si veda il [11] Espressione analitica del prezzo del contratto downand-out Al fine di trovare il prezzo F LO t,s;t,φ del contratto Z LO, introduciamo la funzione Φ L x = ΦxI L,+ x. È evidente che tale operazione è lineare, ossia per ogni α, β reali e per ogni coppia di T-contratti Φ e Ψ si ha αφ + βψ L = αφ L + βψ L. Siamo ora in grado di poter enunciare e dimostrare il risultato principale di questa sezione, che fornisce un espressione analitica per il prezzo dei contratti di tipo down-and-out: Teorema 3.7. Sia Z = ΦS T un T-contratto. Allora la funzione di prezzo F LO del corrispondente contratto down-and-out continuo Z LO con barriera L è dato, da L 2 r σ F LO t,s;φ = Ft,s;Φ L 2 F t, L2 s s ;Φ L, 3.4 per ogni s > L, dove r = r 1 2 σ2. 36

37 3.1 Il pricing nel modello di Black & Scholes Dimostrazione. Senza perdità di generalità possiamo porre t =. Assumiamo dunque che S = s > L e ricordiamo che il processo S L denota il processo S con possibile assorbimento alla barriera L. Calcolando il prezzo come speranza scontata del payoff sotto la probabilità risk neutral Q, si ha F LO,s;Φ = e rt E Q [Z LO ] = e rt E Q [ ] ΦS T I {τl >T } = e rt E Q[ 3.5 L] Φ L S T. L ultima identità segue dal fatto che possedere un contratto down-and-out è L equivalente ad avere un contratto di payoff Φ L S T ; infatti, nel caso in cui il prezzo non abbia mai raggiunto la barriera L, S L T = S T e Φ L S T = ΦS T. Invece, nel caso in cui esista t T tale che S t = L, si ha che S L T Φ L S L T = Φ LL =. Per avere la tesi ci rimane da calcolare l ultima speranza, ossia E Q[ Φ L S L T ] = Φ L xhxdx, L = L e dove h è la funzione densità della variabile aleatoria S L T. Il prezzo S t segue le dinamiche 3.1 del modello di Black & Scholes, dunque da 1.4 si ha S T = S exp {r 12 } T σ2 + σw T S T = exp {ln s + rt + σw T } = e X T, dove il processo X è definito dalle equazioni dx t = rdt + σdw t X = ln s. 3.6 Dunque si ha S L t = exp X L t { = exp X ln L t } ln L da cui, detta f la densità della variabile X T, E Q[ L] Φ L S T = Φ L e x fxdx. ln L 37

38 3. Pricing di opzioni con barriera Dalla Proposizione 3.6, con β = ln L, segue che la densità f è data da fx = ϕ x; rt + ln s,σ T { } exp ϕ x; rt lns + 2ln L,σ T Quindi si ha 2 rln s ln L σ 2 = ϕ x; rt + ln s,σ T E Q[ L] Φ L S T = = = ln L ln L L s L s Φ L e x fxdx L 2 r σ 2 ϕ x; rt + ln s Φ L e x ϕ x; rt + ln s,σ T dx 2 r σ 2 Φ L e x ϕ ln L 2 r σ 2 Φ L e x ϕ x; rt + ln L 2 L 2 s s,σ T.,σ T dx x; rt + ln s,σ T dx 3.7 Φ L e x ϕ x; rt + ln L 2 s,σ T dx. Il termine ϕx; rt + ln s,σ T è la densità di lns T sotto la misura di probabilità Q, con S = s. Dunque Φ L e x ϕ x; rt + ln s,σ T dt = Φ L S T dq = E Q[ Φ L S T ]. 3.8 Analogamente, la densità del secondo integrale di 3.7 è la densità sotto Q di X T = lns T, con punto iniziale S = L2 s. Inserendo quest ultima espressione e 3.8 nella formula 3.7, e sostituendo in 3.5, si ha F LO,s;Φ = F,s;Φ L che è esattamente la nostra tesi. L 2 r σ 2 F, L2 s s ;Φ L, Dal Teorema 3.7 segue immediatamente il seguente Corollario: Corollario 3.8. Per ogni coppia di T-contratti Φ e Ψ e per ogni coppia di numeri reali α e β, vale la relazione F LO t,s;αφ + βψ = αf LO t,s;φ + βf LO t,s;ψ. Il contenuto del Teorema 3.7 è molto interessante: al fine di calcolare il prezzo di un opzione con barriera sarà sufficiente calcolare il prezzo di ordinari T-contratti senza barriera. 38

39 3.1 Il pricing nel modello di Black & Scholes Espressione analitica dei prezzi dei contratti up-andout, down-and-in e up-and-in Gli argomenti usati nel paragrafo precedente per trattare le opzioni downand-out possono essere facilmente adattati al caso di opzioni up-and-out. A tal proposito definiamo Φ U x = ΦxI,U x; è dunque possibile enunciare il seguente Teorema, che ha dimostrazione quasi identica a quella di 3.7: Teorema 3.9. Sia Z = ΦS T un T-contratto. Allora la funzione di prezzo F UO del corrispondente contratto down-and-out continuo Z UO con barriera U è dato, da F UO t,s;φ = Ft,s;Φ U per ogni U > s, dove r = r 1 2 σ2. U 2 r σ 2 F t, U2 s s ;ΦU, 3.9 Infine è immediato scivere le formule analitiche per i prezzi di opzioni di tipo in : Teorema 3.1. Il prezzo F LI della versione down-and-in di Z e il prezzo F UI della versione up-and-in di Z sono dati dalle formule: F LI t,s;φ = Ft,s;Φ L + F UI t,s;φ = Ft,s;Φ U + per ogni U > s e L < s, dove r = r 1 2 σ2. L 2 r σ 2 F t, L2 s s ;Φ L, 3.1 U 2 r σ 2 F t, U2 s s ;ΦU, 3.11 Dimostrazione. La dimostrazione, per la versione down-and-in del contratto, segue subito dall osservazione 3.2; infatti, utilizzando la linearità della funzione prezzo, il Teorema 3.7 e l identità Φ = Φ L + Φ L, si ha che: F LI t,s;t,φ = Ft,s;T,Φ F LO t,s;t,φ L 2 r = Ft,s;T,Φ L + Φ L σ Ft,s;Φ L + 2 F t, L2 s s ;Φ L L 2 r = Ft,s;Φ L σ + 2 F t, L2 s s ;Φ L. La formula 3.11 si ottiene con gli stessi passaggi applicati alle opzioni di tipo in. 39

40 3. Pricing di opzioni con barriera Esempi e Applicazioni In questa sezione forniamo le formule esplicite per calcolare il prezzo delle più comuni opzioni con barriera. Lo scopo è quello di mostrare come le formule del paragrafo precedente possano essere usate in pratica, quando l opzione Z è un dato T-contratto. Cominciamo introducendo alcune notazioni. Definizione Siano fissati una scadenza T, uno strike K e una barriera L, tutti strettamente positivi. Definiamo i seguenti T-contratti: Forward con scadenza T: Zero coupon bond con scadenza T: Opzione digitale: Opzione Call europea: STx = x, x R + ; 3.12 BOx = 1, x R + ; 3.13 Hx;L = I L,+ x, x R + ; 3.14 Cx,K = x K +, x R Con facili argomenti di assenza di arbitraggio e attraverso l uso del Teorema di valutazione Risk-Neutral 1.11, è molto semplice calcolare il payoff delle opzioni appena definite. Proposizione I prezzi dei contratti al tempo t sono dati dalle funzioni STt,s = s ; BOt,s = e rt t ; Ht,s;L = e rt t N dove d 1 e d 2 sono definiti come [ ] rt t+lns/l σ ; T t Ct,s;K = sn[d 1 ] Ke rt t N[d 2 ]; d 1,2 = ln s σ2 K + r ± 2 T t σ. T t 4

41 3.1 Il pricing nel modello di Black & Scholes Cominciamo calcolando il prezzo di un forward down-and-out con barriera L: Proposizione Il prezzo di un forward down-and-out con barriera L e scadenza T è dato dalla formula L ST LO t,s =L Ht,s;L L s L + Ct,s;L s Dimostrazione. Dal Teorema 3.7 segue che F LO t,s;st = Ft,s;ST L 2 r σ 2 H t, L2 2 r σ 2 C t, L2 s ;L s ;L. L 2 r σ 2 F t, L2 s s ;ST L È immediato convincersi che ST L, ossia il payoff di un forward troncato al di sotto del livello L, è equivalente alla somma di una quantità L di opzioni digitali con barriera L e di una Call di strike L. Dunque Inserendo 3.17 in 3.16 si ha: ST L x = L Hx;L + Cx;L ST LO t,s =F LO t,s;st =F t,s;l H,L + C,L che è la tesi. L s 2 r σ 2 F =L F t,s;h,l L + F t,s;c,l t, L2 ;L H,L + C,L s L L s s 2 r σ 2 F 2 r σ 2 F t, L2 s ;H,L. t, L2 s ;C,L Siamo dunque in grado di calcolare il prezzo di un forward down-and-out avendo a disposizione solamente i prezzi della Proposizione Esaminiamo ora il caso del prezzo di una Call europea, sempre di tipo down-and-out continuo, di barriera L e strike K. Dovremo trattare separatamente i due casi K L e K < L. Proposizione Il prezzo di una Call europea down-and-out con scadenza T è dato da: 41

42 3. Pricing di opzioni con barriera per L K: C LO t,s;k = Ct,s;K L 2 r σ 2 C t, L2 s s ;K 3.18 per L > K: C LO t,s;k =Ct,s;L + L KHt,s;L 3.19 L 2 r { } σ 2 C t, L2 s s ;L + L KH t, L2 s ;L. Dimostrazione. Esaminiamo prima il caso L K. Cx,K = x K + = x K +IL, x = C L x. Quindi, dal Teorema 3.7, si ha C LO t,s;k = F t,s;c ;K L 2 r σ 2 F t, L2 s s ;C,K, che prova Passiamo ora al caso L > K. Si verifica facilmente che possedere un contratto di payoff x K + I [L,+ x è equivalente a possedere una Call di strike L e L K opzioni digitali di barriera L, ovvero C L x;k = Cx;L + L KHx;L. Inserendo quest ultima espressione in 3.16 e usando la linearità della funzione prezzo abbiamo la tesi. Enunciamo e dimostriamo la seguente semplice proposizione, che ci fornisce il prezzo di un bond down-and-out: Proposizione Il prezzo B LO di un bond down-and-out di maturità T e barriera inferiore L è: B LO t,s = Ht,s;L L 2 r σ 2 H t, L2 s s ;L. 3.2 Dimostrazione. Per ottenere la tesi è sufficiente utilizzare 3.7 e osservare che BO L x = I L,+ = Hx,L, x R +. Concludiamo questo paragrafo osservando che esiste una relazione tra il prezzo delle Call e il prezzo delle Put con barriera, analoga alla Put- Call parity 1.7. Tale relazione è detta Put-Call parity per le opzioni con barriera. 42

43 3.2 Una correzione per il pricing di alcune opzioni con barriera discreta Proposizione Il prezzo della Put europea down-and-out P LO di strike K e scadenza T è dato dalla funzione: P LO t,s;k = K B LO t,s ST LO t,s + C LO t,s;k, 3.21 dove B LO, ST LO e C LO sono dati rispettivamente dalle proposizioni 3.15, 3.13 e Dimostrazione. Dalla relazione y = y + y +, valida per ogni y reale, segue che Px;K = K x + = K x + x K + = K BOx STx + Cx;K Per ottenere la tesi è dunque sufficiente applicare la funzione prezzo al primo e all ultimo termine di 3.22, usare la linearità della funzione prezzo e il Corollario Una correzione per il pricing di alcune opzioni con barriera discreta Nel paragrafo precedente siamo stati in grado di trovare delle formule analitiche per prezzare opzioni con barriera continuamente monitorate nel modello di Black & Scholoes. Nella realtà però accade molto spesso di dover fornire dei prezzi per delle opzioni con barriera monitorate giornalmente o settimanalmente. Ovviamente in questi casi, in cui il monitoraggio avviene in un insieme finito di tempi, le formule esplicite di pricing ricavate per barriere continue non possono essere utilizzate. Inoltre alcuni esperimenti numerici, come quelli fatti da Chance 1994, Fleasaker 1992 e Kat-Verdonk 1995, mostrano che il prezzo di un opzione con barriera monitorata giornalmente può differire sensibilmente dal prezzo della stessa opzione con barriera monitorata continuamente. È dunque necessario trovare soluzioni alternative per ricavare i prezzi di opzioni con barriere discrete. Probabilmente il metodo migliore, nonchè quello generalmente usato, è quello di effettuare una simulazione di tipo Monte Carlo, simulando il prezzo del sottostante ad ogni istante di monitoraggio e confrontando tale valore con il livello della barriera. In questa sezione enuncieremo un Teorema che fornisce un metodo alternativo per prezzare alcune opzioni con barriera discreta nel caso del modello di Black & Scholes. Supponiamo dunque che il processo di prezzi {S t } t [,+ segua le dinamiche ds t = µs t dt + σs t dw t, con µ e σ costanti reali e positive. Sia inoltre fissato un valore iniziale S e una barriera costante H S se S > H avremo una barriera inferiore, 43

44 3. Pricing di opzioni con barriera altrimenti avremo una barriera superiore. Supponiamo inoltre di avere m + 1 istanti di monitoraggio della barriera, { = t < t 1 < t m = T }, tali che t i t i 1 = T/M per ogni i = 1,...,m. Teorema Sia ΠH il prezzo di un opzione Call down-and-in o downand-out oppure di un opzione Put up-and-in o up-and out di barriera H continuamente monitorata. Sia Π m H il prezzo della stessa opzione monitorata nell insieme discreto di tempi {t 1 < < t m = T }. Allora Π m H = Π He ±βσ T/m + o 1, m dove il + si usa quando H > S e il quando H < S. Il termine β è definito come β = ζ1/2 2π,5826, dove ζ è la funzione Zeta di Rienmann. Il Teorema dice che per utilizzare il prezzo dell opzione continuamente monitorata come un approssimazione del prezzo dell opzione con monitoraggio discreto è necessario spostare la barriera del fattore exp βσ T/m, in modo da compensare parzialmente l errore. Pertanto, come era prevedibile, si ha un approssimazione tanto migliore quanto più fitto è l insieme di tempi di monitoraggio. La dimostrazione di questo risultato è piuttosto tecnica e verrà omessa. Per i dettagli si veda l articolo di Broadie-Glasserman-Kou [12]. Osservazione È importante notare che il prezzo di un opzione con barriera discretamente monitorata, nel modello di Black & Scholes, può essere espresso in forma chiusa in termini di probabilità normali multivariate. Purtroppo però la dimensione della normale multivariata coincide con il numero di monitoraggi m. Se il numero delle osservazioni è grande come spesso accade nella pratica, nei casi di monitoraggi giornalieri, questo metodo diventa inapplicabile per problemi numerici. 3.3 Un approccio numerico per il pricing di opzioni con barriere continue Nella sezione 3.1 si è visto come, nel caso del modello di Black & Scholes unidimensionale, sia possibile ricavare delle espressioni analitiche per i prezzi di opzioni con una barriera costante. In un articolo del 1992 Kunimoto ed Ikeda trovarono una formula analitica per calcolare il prezzo di opzioni con doppia barriera costante una superiore ed una inferiore, sempre nel modello di Black & Scholes, riuscendo ad esprimere tale prezzo come somma di una serie numerica si veda [25]. Tuttavia nei mercati reali vengono anche scambiate opzioni con barriere più sofisticate, come ad esempio barriere dipendenti dal tempo. Inoltre per derivati con valore dipendente dal livello di volatilità, tra cui le opzioni con 44

45 3.3 Un approccio numerico per il pricing di opzioni con barriere continue barriera, per il pricing vengono usati dei modelli più avanzati di quello di Black & Scholes, come i modelli a volatilità locale o stocastica, in modo da tener conto del problema della skew nella superficie di volatilità. È pertanto inutile illudersi di poter trovare delle formule analitiche che risolvano il problema del pricing in ogni modello e con ogni tipo di barriera. Dunque, come spesso si fa in finanza, è preferibile cercare dei metodi numerici che approssimino i prezzi in maniera sufficientemente precisa. Nella pratica i metodi più comunemente usati sono quelli di tipo Monte Carlo. Purtroppo però, essendo le opzioni con barriera dei derivati path dependent, tali simulazioni non sempre si rivelano accurate quanto si vorrebbe. Supponiamo ad esempio di voler ricavare il prezzo di un opzione Φ up-andout, continuamente monitorata sull intervallo [,T], di barriera U > S. Come è noto, il prezzo di questa opzione sarà dato dalla speranza scontata del payoff sotto la misura di probabilità Risk-Neutral. Supponiamo dunque di voler calcolare tale speranza con un metodo Monte Carlo, ossia simulando molte volte il valore scontato del payoff alla scadenza T ed approssimando la speranza con una media aritmetica dei valori ottenuti facendo dunque uso della legge dei grandi numeri. Per fare ciò dovremmo essere in grado di controllare se la traiettoria di prezzi da noi considerata, {S t ω} t [,T], ha colpito la barriera U in un qualsiasi istante precedente a T. Ovviamente non è possibile simulare l intera traiettoria di S nell intervallo [, T]; sarà dunque necessario considerare un sottoinsieme discreto di tempi { = t < t 1 < < t n = T } e controllare se S ti < U per ogni i = 1,...,n. Una volta posto uguale a zero il valore delle opzioni relative alle traiettorie che hanno superato la barriera in un certo t {t < t 1 < < t n }, è possibile effettuare la procedura Monte Carlo. Tuttavia può succedere che la traiettoria {S t ω} t [,T] abbia raggiunto e superato la barriera anche se S ti ω < U per ogni indice i = 1,...,n. Quindi il metodo Monte Carlo sovrapprezzerà l opzione Φ, in quanto attribiurà un valore non nullo ai payoff di traiettorie che hanno intercettato la barriera U. È evidente che, se consideriamo il problema di un opzione Φ di tipo in, il problema viene rovesciato e Φ viene sottoprezzata dal metodo Monte Carlo standard. Una possibile strada per risolvere questo problema è quella di calcolare le probabilità p i ω che il prezzo del sottostante abbia oltrepassato la barriera nell intervallo t i,t i+1, conoscendo già il valore di S ti ω e di S ti+1 ω. Questo approccio è già stato preso in considerazione da Andersen e Brotherton-Ratcliffe [2] e da Beaglehole, Dybvig e Zhou [7]. La loro idea fu quella di utilizzare la legge del massimo e del minimo di un ponte browniano Brownian Bridge per calcolare le probabilità p i. Purtroppo però questo procedimento può essere usato solamente nel caso in cui le leggi siano esplicitamente conosciute, il che esclude molti casi interessanti, come ad esempio le barriere doppie. Tuttavia i termini {p i } i=,...,n 1, anche se non sempre calcolabili esatta- 45

46 3. Pricing di opzioni con barriera mente, possono essere numericamente approssimati. Una volta ottenuta questa approssimazione è possibile introdurre un termine correttivo nella procedura di calcolo Monte Carlo che compensi l errore di discretizzazione dell intervallo di partenza [, T]. Il risultato presentato di seguito, tratto da un articolo di Baldi, Caramellino e Iovino, segue esattamente questo approccio per fornire una procedura alternativa di calcolo. I risultati che verranno presentati si basano sullo Sharp Large Deviation Principle, un risultato piuttosto avanzato della teoria delle grandi deviazioni. A causa della notevole quantità di prerequisiti necessari per comprendere a fondo le dimostrazioni, ci limiteremo a dare gli enunciati dei principali risultati e a commentare quanto ottenuto. Per le dimostrazioni si rimanda a [5] Il caso di barriere dipendenti dal tempo nel modello di Black & Scholes Supponiamo di avere un sottostante il cui processo di prezzi {S t } t [,+ sia guidato dalle dinamiche del modello di Black & Scholes, ossia ds t = µs t dt + σs t dw t 3.23 S = s, dove µ, σ e s sono delle costanti positive e {W t } t [,+ è un processo di Wiener standard unidimensionale. Sia Φ un T-contratto e supponiamo di avere due barriere dipendenti dal tempo, Ũ, L : [,+ [,+, tali che Ũt > Lt per ogni t [,T]. Siamo interessati a trovare il prezzo Π della versione out di Φ con doppia barriera L e Ũ, ossia la speranza è calcolata sotto la misura di probabilità Risk-Neutral Π = E s [ e rt ] ΦS T I {Σ>T }, dove r denota il tasso di interesse supposto costante e Σω = inf{t [,T] : S t ω = Lt o S t ω = Ũt}. Discretizziamo l intervallo di tempi [, T], ossia scegliamo un insieme finito di tempi { = t < t 1 < t n = T } tale che t i t i 1 = ǫ, per ogni i = 1,...,n. Poichè stiamo lavorando nel modello di Black & Scholes, da 1.4 è noto che, sotto la misura di probabilità Risk-Neutral } S ti+1 = S ti exp {r σ2 ǫ + σw ti+1 W ti, per ogni indice i =,...,n 1. Consideriamo il processo {X t } t [,T] tale che X t = ln S t, per ogni t [,T], 46

47 3.3 Un approccio numerico per il pricing di opzioni con barriere continue e definiamo le funzioni ausiliarie U,L : [,+ R tali che Lt = ln Lt e Ut = ln Ũt. È evidente che la probabilità che il processo S colpisca una barriera L rispettivamente Ũ è uguale alla probabilità che X colpisca L rispettivamente U. Supponiamo di aver effettuato una simulazione del prezzo agli istanti {t < t 1 < t n } e siano {x i } i=1,...,n i logaritmi dei prezzi ottenuti rispettivamente agli istanti {t i } i=1,...,n. Siamo interessati a calcolare le probabilità condizionate p ǫ ix i,x i+1 =P [ t t i,t i+1 : X t {Lt,Ut} Xti = x i,x ti+1 = x i+1 ], per ogni i =,...,n 1. Come già osservato non è possibile dare un espressione esplicita dei termini p ǫ i ; tuttavia è possibile descriverne il comportamento asintotico quando ǫ tende a. Teorema Supponiamo che le funzioni U e L siano continue con derivate continue e Lipschitziane e supponiamo che x i,x i+1 Lt i,ut i. Definiamo i termini: 2 Ut σ 2 i x i Ut i x i+1 se x i + x i+1 >Ut i + Lt i Qx i,x i+1 = x σ 2 i Lt i x i+1 Lt i se x i + x i+1 <Ut i + Lt i e Rx i,x i+1 = Allora 2 σ 2 Ut i x i U t i se x i + x i+1 > Ut i + Lt i 2 σ 2 x i Lt i L t i se x i + x i+1 < Ut i + Lt i. { p ǫ ix i,x i+1 = exp Qx } i,x i+1 Rx i,x i Oǫ. ǫ Inoltre, se x i+1 Ut i,ut i+1 oppure x i+1 Lt i+1,lt i, allora 3.26 p ǫ i x i,x i+1 = 1 + Oǫ Osservazione 3.2. Il comportamente asintotico di p ǫ i x i,x i+1 nel caso x i + x i+1 = Ut i + Lt i è più delicato da descrivere. Per i dettagli si veda la sezione 5 di [5]. Il Teorema 3.19 è enunciato per opzioni con doppia barriera, indipendentemente dal fatto che esse siano di tipo in o di tipo out. Ovviamente, per ottenete la versione del Teorema 3.19 con barriera singola superiore è sufficiente porre Lt = ossia L =, mentre per avere una barriera singola inferiore basta porre Ut = + ossia Ũ = +. 47

48 3. Pricing di opzioni con barriera Esempio Nel caso particolare di una barriera superiore singola e costante U si ha { p ǫ i x i,x i+1 = exp 2 } σ 2 ǫ U x iu x i Oǫ, 3.28 mentre nel caso di una barriera inferiore singola e costante L { p ǫ ix i,x i+1 = exp 2 } σ 2 ǫ L x il x i Oǫ È interessante notare che in realtà il termine 1 + Oǫ può essere omesso in 3.28 e in Infatti, in questo particolare caso, le probabilità p ǫ i possono essere calcolate esplicitamente si veda [3] e le stime del Teorema 3.19 risultano essere esatte. Esempio Nel caso di una barriera singola superiore e lineare nel tempo, della forma Ut = U 1 + U 2 t, si ha { p ǫ i x i,x i+1 = exp 2 [ U1 + U 2 t i x i+1 σ 2U 1 + U 2 t i x i + U 2 ]}1+Oǫ. ǫ 3.3 mentre nel caso di una barriera singola inferiore e lineare nel tempo, della forma Lt = L 1 + L 2 t, { p ǫ ix i,x i+1 = exp 2 [ xi+1 L 1 L 2 t i σ 2x i L 1 L 2 t i L 2 ]}1+Oǫ. ǫ 3.31 Anche in questo caso le probabilità 3.3 e in 3.31 sono esatte e il termine 1 + Oǫ può essere omesso. Cerchiamo infine di capire come l approssimazione della probabilità p ǫ i data dal Teorema 3.19 ci possa fornire il termine correttivo nella simulazione Monte Carlo. Prendiamo nuovamente in considerazione il T-contratto Φ e supponiamo di voler prezzare la sua versione out con doppia barriera Lt e Ũt. Usando la 3.24 facciamo una simulazione numerica e troviamo i valori {S t1,...,s tn }. Se esiste un indice i tale che S ti / Lt i,ut i sospendiamo la simulazione e poniamo a zero il valore dell opzione. Se invece S ti Lt i,ut i per ogni i, consideriamo i termini { p ǫ i = exp Qln S } t i,ln S ti+1 Rln S ti,ln S ti ǫ Al passo i-esimo della simulazione con probabilità p ǫ i sospendiamo la simulazione e poniamo a zero il valore dell opzione e con probabilità 1 p ǫ i 48

49 3.3 Un approccio numerico per il pricing di opzioni con barriere continue continuiamo normalmente la simulazione. Se dopo aver fatto questo procedimento per tutti gli n passi la simulazione non si è fermata, allora diamo all opzione il valore e rt ΦS T e procediamo da capo con una nuova simulazione. Infine calcoliamo la media dei dati ottenuti per stimare il prezzo dell opzione Π. Questa nuova procedura di calcolo fornisce uno stimatore Monte Carlo nondistorto, utilizzabile in pratica per prezzare opzioni con barriera continue Generalizzazione a modelli più complessi La procedura presentata nel paragrafo precedente può essere estesa in modo da essere adattata a modelli più generali, come ad esempio i modelli a volatilità locale. Supponiamo dunque che il prezzo S del sottostante abbia drift e volatilità dipendenti dal tempo e dal livello prezzo del sottostante stesso, ossia ds t = µt,s t dt + σt,s t dw t 3.33 S = s dove µ e σ soddiafano le ipotesi del Teorema 2.18 di esistenza e unicità della soluzione. Come nel paragrafo precedente fissiamo un insiemo di tempi { = t < t 1 < t n = T } tale che t i t i 1 = ǫ, per ogni i = 1,...,n, e siano Ut e Lt due barriere dipendenti dal tempo. In questo contesto non è possibile esprimere S t in una forma esplicita simile a Tuttavia si può approssimare il processo {S t } t ti,t i+1 con il processo di Eulero {S ǫ t } t ti,t i+1 definito da S ǫ t = Sǫ t i + µt,s ǫ t i t t i + σt,s ǫ t i W t W ti. A questo punto vorremmo ricavare un espressione delle probabilità condizionali che S abbia colpito una barriera durante l intervallo t i,t i+1 date le osservazione S ti = s i, S ti+1 = s i+1. Poiché questa probabilità non è calcolabile nel caso generale di barriere doppie dipendenti dal tempo, una buona soluzione è quella di rimpiazzare la distribuzione condizionale si S in [t i,t i+1 ] con la distribuzione di S ǫ con coefficienti costanti µ = µt i,s i, σ = σt i,s i e St ǫ i = s i. In questo modo ci siamo ricondotti al caso del paragrafo precedente e possiamo usare il Teorema In particolare possiamo utilizzare le stime delle probabilità di uscita date da { p ǫ i x i,x i+1 = exp Qx } i,x i+1 Rx i,x i Oǫ, ǫ 49

50 3. Pricing di opzioni con barriera dove Q ed R sono definiti rispettivamente da 3.25 e 3.26 con σ sostituito da σ. Si osservi che la procedura di calcolo sviluppata in questa sezione può essere applicata anche a barriere con un numero finito di discontinuità. Per fare ciò è sufficiente scegliere una partizione in modo che in ogni intervallo t i,t i+1 le barriere non abbiano punti di discontinuità. Osservazione A prima vista si poterebbe pensare che scegliere un ǫ molto piccolo quando le osservazioni sono molto vicine a una barriera possa ridurre l errore complessivo dovuto all approssimazione. Purtroppo però questo tipo di errore decade molto lentamente quindi, scegliendo un passo molto piccolo, si rischia solamente di commettere errori di stabilità numerica. Inoltre dalle simulazioni si vede come le approssimazioni siano sempre soddisfacenti, anche con passi di discretizzazione piuttosto grandi. Osservazione È interessante osservare che se nel Teorema 3.19 si trascura il termine R che corrisponnde al termine di grande deviazione, ci si riduce ad avere un approssimazione costante a tratti della barriera. Dunque il calcolo di R può essere tralasciato nel caso in cui le barriere abbiano un inclinazione prossima allo zero. Se invece si ha a che fare con delle barriere con derivate significative non si può trascurare il contributo di R che, peraltro, è piuttosto semplice da calcolare. Osservazione Tutte le tecniche di calcolo presentate in questa sezione possono essere generalizzate al caso multidimensionale. In questo caso, detta D la regione delimitata dalle barriere, è possibile approssimare le probabilità p ǫ i usando le distribuzioni di ponti browniani multidimensionali. Inoltre le probabilità p ǫ i possono essere calcolate esattamente nel caso in cui D sia un iperpiano Risultati Numerici Concludiamo questo capitolo presentando alcuni risultati numerici ottenuti utilizzando le procedure di pricing ricavate nei paragrafi 3.1 e 3.3. Nelle simulazioni vengono calcolati i prezzi di opzioni Call e Put con barriera singola continua nel modello di Black & Scholes. In questo caso è possibile utilizzare le formule analitiche ottenute in per ottenere delle espressioni esatte del prezzo dell opzione con barriera. Una volta ottenuto tale prezzo è interessante confrontarlo con le approssimazioni dei prezzi ottenute con il metodo Monte Carlo standard e con il metodo Monte Carlo corretto esposto in Occupiamoci dapprima del caso di un opzione Call down-and-out. La Proposizione 3.14 dice che, se la barriera inferiore L è minore dello strike K, 5

51 3.3 Un approccio numerico per il pricing di opzioni con barriere continue il prezzo di tale opzione può essere ottenuto analiticamente come L 2 r σ C LO S ;K = CS ;K 2 L 2 C ;K, 3.34 S S dove S è il prezzo iniziale del sottostante e r = r 1 2 σ2. Inoltre è possibile approssimare il prezzo con una simulazione Monte Carlo standard, monitorando il prezzo in un insieme di tempi I = { = t < < t N = T }, contenuto in [,T]. Infine, per ogni i = 1,...,N, detto ǫ i = t i+1 t i sia p ǫ i i x i,x i+1 = exp { 2 σ 2 ǫ i L x i L x i+1 Dall esempio 3.21 segue che p i è la probabilità che il prezzo colpisca la barriera L nell intervallo t i,t i+1, dati i valori x i = lns ti e x i+1 = lns ti+1. È dunque possibile effettuare la procedura Monte Carlo corretta descritta nel paragrafo per ottenere un ulteriore approssimazione del prezzo. Nelle simulazioni sono fissati i seguenti valori: σ =.25, r =.3, T = 1 anno e S = 1. I tempi di discretizzazione { = t < < t 365 = 1} sono scelti equidistanti e corrispondono ad un monitoraggio giornaliero del prezzo del sottostante. Le stime Monte Carlo sono ottenute con 2 simulazioni. }. Call down-and-out K = 11,L = 9 K = 1,L = 9 K = 11,L = 5 Prezzo Esatto MC Standard MC Corretto Dalla tabella precedente risulta evidente che il metodo Monte Carlo standard fornisce prezzi sensibilmente distanti dal prezzo corretto dell opzione. Tale errore arriva a superare il 3% del prezzo dell opzione quando la barriera L non dista troppo dal prezzo di partenza S. Si nota invece che il metodo Monte Carlo corretto fornisce delle approssimazioni del prezzo molto migliori, utilizzabili nella pratica. Nella tabella seguente, invece, sono riportati i prezzi di alcune Put downand-in σ, r, T e il numero di simulazioni sono gli stessi del caso precedente. Put down-and-in K = 9,L = 8 K = 1,L = 8 K = 9,L = 5 Prezzo Esatto MC Standard MC Corretto

52 3. Pricing di opzioni con barriera Anche in questo caso si nota che il metodo Monte Carlo corretto fornisce risultati molto migliori del metodo Monte Carlo standard. 52

53 Capitolo 4 Il calcolo delle greche di opzioni con barriera per mezzo della teoria di Malliavin Supponiamo di avere un opzione con barriera Z di payoff Φ e, scelto un modello i riferimento, sia λ un parametro di tale modello. Detto ΠZ, λ il prezzo dell opzione, supponiamo di essere interessati a calcolare la derivata del prezzo rispetto a λ, ossia cerchiamo Λ = ΠZ,λ. λ Il Teorema di valutazione Risk-Neutral 1.11 dice che, detta Q la probabilità Risk-Neutral, vale ΠZ,λ = E Q [ ΦS,λe rt]. Dunque, scelto un h R sufficientemente piccolo, si ha [ ΠZ,λ + ǫ ΠZ,λ Λ = lim E Q e rt ΦS,λ ] + h ΦS,λ. 4.1 ǫ ǫ h È possibile effettuare delle simulazioni Monte Carlo utilizzando la formula 4.1 per ottenere un approssimazione di Λ. Questo metodo è detto metodo delle differenze finite ed è il metodo tradizionalmente usato per il calcolo delle greche. In alcune situazioni, ad esempio quando si hanno payoff discontinui o quando si ha a che fare con derivate di ordine superiore al primo, il metodo delle differenze finite ha una velocità di convergenza piuttosto lenta. Dunque si cercano metodi alternativi per il calcolo delle greche. In questo e nel prossimo capitolo ci occuperemo di ricavare delle rappresentazioni delle greche utilizzando le formule di integrazioni per parti della 53

54 4. Il calcolo delle greche di opzioni con barriera per mezzo della teoria di Malliavin teoria del calcolo di Malliavin. Attraverso tali formule riusciremo a scrivere Λ nella forma Λ = E Q [ e rt ΦS,λH ], 4.2 dove H è una variabile aleatoria che non dipende dal payoff Φ. Simulando il processo dei prezzi e la variabile aleatoria H è possibile effettuare delle simulazioni Monte Carlo che approssimino Λ utilizzando la formula Le greche nel caso unidimensionale: modelli a volatilità locale In questa sezione descriveremo un metodo per calcolare le greche di opzioni con barriera nei modelli a volatilità locale. Ricordiamo che un modello è detto a volatilità locale se le dinamiche del prezzo del sottostante sono governate da un equazione differenziale stocastica del tipo ds t = rs t dt + σt,s t S t dw t 4.3 S = x. Il fatto che il coefficiente di drift sia uguale al tasso di interesse r vuol dire che lavoreremo direttamente sotto la misura di probabilità risk neutral P. Il Teorema 2.18 ci assicura che, se scegliamo una funzione σ : R + R + R + tale che esista un valore reale C per cui siano soddisfatte le due condizioni σt,xx C 1 + x x,t R + σt,x 1 x 1 σt,x 2 x 2 C x 1 x 2 x 1,x 2,t R +, 4.4 allora 4.3 ha un unica soluzione. Scegliamo dunque una funzione di volatilità che possegga tali proprietà, in modo da poter lavorare tranquillamente con la soluzione di 4.3. Ovviamente tutti i risultati che otterremo per modelli a volatilità locale saranno validi anche per modelli più semplici, come il modello di Black & Scholes e i modelli a coefficienti deterministici. Osservazione 4.1. Di primo impatto potrebbe sembrare strano assumere che la superficie di volatilià debba soddisfare alcune condizioni di regolarità. Infatti in finanza si utilizza sempre la superficie di volatilità implicita, ossia ricavata direttamente dai dati osservabili sul mercato reale. Quindi, a priori, non ci sarebbe alcun buon motivo per supporre che tale superficie debba soddisfare le condizioni 4.4. Il problema però non si pone se si considera che i dati ricavabili dai prezzi di mercato sono sempre in quantità finita. Dunque non è possibile ricavare un unica superficie di volatilità a partire solamente dai prezzi di mercato. Per risolvere il problema è quindi sufficiente interpolare i punti della superficie di volatilità, ricavati dai dati reali, con una funzione continua e sufficientemente regolare. 54

55 4.1 Le greche nel caso unidimensionale: modelli a volatilità locale In questa sezione ci occuperemo solamente del caso unidimensionale, ossia di un mercato senza costi di transazione in cui sia presente un solo bene scambiabile. Il caso multidimensionale, in cui sono commerciabili un numero finito di sottostanti, eventualmente correlati tra di loro, verrà discusso in seguito. I risultati che otterremo saranno piuttosto generali; ci occuperemo infatti di opzioni con payoff della forma Φ max S s,min S s,s T, 4.5 s I s I per un generico insieme di tempi I [,T]. Sicuramente tutte le versioni con barriera singola di T-contratti appartengono a questa famiglia di opzioni, sia se considerate con monitoraggio continuo caso I = [, T], sia se considerate con monitoraggio discreto caso I = {t 1,...,t n }. Inoltre anche le opzioni con barriera doppia, le opzioni lookback ed altre opzioni usate in ambito finanziario rientrano nella classe di payoff della forma 4.5. Il nostro scopo sarà quello di calcolare il e il Γ di tali opzioni, in quanto queste due greche sono legate alle strategie di copertura. Per fare ciò svilupperemo alcune formule di integrazione per parti a partire dalla teoria del calcolo di Malliavin Ipotesi, Definizioni e Risultati Preliminari In questo paragrafo verranno introdotti alcuni concetti preliminari che torneranno utili in seguito. Inoltre aggiungeremo alcune ipotesi sulle dinamiche dei prezzi, sulla classe di payoff considerati e sulla derivabilità di alcuni processi ausiliari; tali ipotesi, per lo più di tipo tecnico, non saranno comunque molto limitative e ci permetteranno di trattare il problema in tutta la sua generalità. Il nostro primo scopo è quello di trasformare le dinamiche dei prezzi, descritte dal sistema 4.3, in modo da eliminare alcuni problemi riguardanti i coefficienti di diffusione. A tal proposito consideriamo la funzione A : R + R + R 4.6 t,y At,y = y 1 du uσt,u. 4.7 Dalla stretta positività della superficie di volatilità segue immediatamente che la funzione A è strettamente crescente in y, dunque è invertibile in y se ristretta alla sua immagine. Prima di procedere ricordiamo una versione della formula di Itô per la dimostrazione si veda, ad esempio, [26]: 55

56 4. Il calcolo delle greche di opzioni con barriera per mezzo della teoria di Malliavin Teorema 4.2. Formula di Itô Sia dato un processo {Y t } t R che segua delle dinamiche del tipo: dy t = at,y t dt + bt,y t dw t. Sia inoltre data una funzione F : R 2 R di classe C 1 nella prima variabile e di classe C 2 nella seconda. Allora il processo Ft,Y t soddisfa le dinamiche { F dft,y t = t t,y t + at,y t F y t,y t + 1 } 2 b2 t,y t 2 F y 2 t,y t dt + bt,y t F y t,y tdw t, 4.8 Definiamo X t = At,S t e denotiamo x = A,S. Al fine di applicare la formula di Itô al processo X t notiamo che, affinché la funzione A sia di classe C 1,2 è sufficiente che σ sia di classe C 1,1. Ipotizziamo dunque che la volatilità abbia le derivate prime continue. Otteniamo y A t t,y = 1 1 σ 2 t,u tσt,u du u, A y t,y = 1 yσt,y, 2 A y 2 t,y = yyσt,y y 2 σ 2 t,y. Possiamo applicare ad A la formula di Itô 4.8 scritta in forma integrale X t = x + t [ Ss 1 1 σ 2 s,u tσs,u du u + rs s S s σs,s s 1 Ss 2σ2 s,s s S s σs,s s ] t 2 Ssσ 2 2 ds + s,s s S s da cui, semplificando, si ottiene la scrittura X t = x + dove la funzione h è definita come hs,s s = Ss 1 t S s σs,s s S s σs,s s dw s, hs,s s ds + W t, σ 2 s,u tσs,u du u + r σs,s s 1 S s σs,s s. 2 S s Infine, considerando la funzioni A t = At,, che sono invertibili per ogni t R +, e detta ht,y = ht, A 1 t y, si ottengono le dinamiche dx t = ht,x t dt + dw t X = x

57 4.1 Le greche nel caso unidimensionale: modelli a volatilità locale D ora in avanti supporremo che h sia di classe C b. Lavorare con il processo X t è ben più vantaggioso che usare il processo S t ; infatti nelle equazioni 4.1 il coefficiente di volatilità è costante ed unitario. Per far sparire il coefficiente di drift h sarà sufficiente applicare il Teorema di Girsanov 1.9 in maniera opportuna. Osservazione 4.3. La trasformazione At, y nel modello di Black & Scholes corrisponde al consueto passaggio al logaritmo, normalizzato ripetto alla volatilità. Denotiamo i processi di massimo e di minimo relativi a X con M t = max s t,s I X s, m t = min s t,s I X s. Sempre per la monotonia dell operatore A rispetto alla variabile prezzo, è evidente che ogni payoff Φ del tipo 4.5 può essere riscritto nella forma ΦM T,m T,X T. Dunque il passaggio alle dinamiche 4.1 non altera la classe di funzioni di nostro interesse. D ora in avanti supporremo che i payoff Φ considerati siano di quadrato integrabile. Inoltre è necessario imporre una condizione sul supporto di tali payoff: Ipotesi 4.4. Esiste un valore reale a > tale che la funzione ΦM,m,z non dipenda dalla coppia M,m per ogni M,m,z tale che M x a o x m a. È importante notare che le opzioni con barriera singola o doppia e le opzioni lookback soddisfano l ipotesi 4.4. Ad esempio, per un opzione con barriera up-and-out di barriera U > x è sufficiente scegliere a > U x; per un opzione con barriera down-and-in di barriera L < x si può invece prendere a > x L. Infine per un opzione di tipo in con barriera doppia U > x > L, si sceglie a = max{u x,x L}. Introduciamo ora lo strumento che sarà fondamentale per il calcolo dei pesi di Malliavin: Definizione 4.5. Assegnato un processo {X t } t [,, si dice che il processo {Y t } t [, domina X in I [,T] o, alternativamente, che Y è un processo dominante se: i Y è adattato e non decrescente; ii Y è continuo a destra; iii X t x Y t t I. 57

58 4. Il calcolo delle greche di opzioni con barriera per mezzo della teoria di Malliavin Quello che faremo in seguito sarà enunciare e dimostrare un teorema che esprime le greche e Γ nella forma E [ΦM T,m T,X T H], dove H è una funzione, che non dipende dal payoff scelto Φ, di un processo dominante delle dinamiche X. Una volta ottenuto questo risultato dovremo essere in grado di costruire dei processi dominanti, relativamente all insieme di tempi I che stiamo considerando infatti è evidente che un processo dominante rispetto ad un certo insieme di tempi possa non essere dominante rispetto ad altri insiemi temporali. Per poter lavorare con i processi dominanti abbiamo bisogno che siano soddisfatte altre ipotesi tecniche di regolarità: Ipotesi 4.6. Esiste una funzione positiva α : N R + tale che: i lim q + αq = + ii E Y q t C qt αq q 1, t [,T]. Sostanzialmente con l ipotesi 4.6 chiediamo che tutti i momenti del processo dominante abbiano crescita temporale dominata da un monomio. È importante osservare che, da questa ipotesi, segue che Y =. Inoltre vorremmo avere un processo dominante che sia differenziabile nel senso di Malliavin. A tal proposito scegliamo una funzione γ Cb, γ : [,+ [,1], tale che γx = 1 nell intervallo [,a/2] e γx = in [a,+ la costante a è quella che appare nell ipotesi 4.4. Ipotesi 4.7. Diremo che Y soddisfa l ipotesi 4.7 di parametro q N se: i γy t D q,, t [,T]; ii j {1,...,q}, p 1 sup E r 1,...,r j [,T] sup r 1 r j t T D r1,...,r j γy t p C p ; iii Per ogni q 2, le q 1 derivate di γy t rispetto a x esistono e soddisfano le stime in ii. Riprendiamo ora in considerazione le dinamiche 4.1. Costruiamo una nuova misura di probabilità Q, a partire dalla misura di probabilità risk-neutral P, definendo la densità di passaggio da Q a P nel seguente modo: Z T = dp T dq = exp hs,x s dv s 1 T h 2 s,x s ds, 4.11 FT 2 dove il processo {V t } t [, è definito come V t = X t x. L ipotesi che h sia di classe C b assicura che la condizione di Novikov

59 4.1 Le greche nel caso unidimensionale: modelli a volatilità locale [ sia soddisfatta, ossia che E exp 1 T 2 h2 s,x s ds] <. È possibile dunque applicare il Teorema di Girsanov 1.9 per dedurre, oltre alla buona definizione di Q, che il processo {V t } t [, è un processo di Wiener sotto Q. Inoltre ] E P [ΦM T,m T,X T ] = E [Φ Q max V s + x, min V s + x,v T + x Z T. s T,s I s T,s I Dunque le formule per le greche verranno calcolate sotto la misura di probabilità Q e poi potranno essere riportate sotto la probabilità originale P. Per non appesantire le scritture, in seguito lasceremo le formule espresse sotto Q Il calcolo di e Γ In questa sezione esporremo il risultato principale per il calcolo delle greche di opzioni con barriera per modelli a volatilità locale. Prima di introdurre questo risultato abbiamo bisogno di qualche altro strumento, al fine di garantire la derivabilità secondo Malliavin dei processi di massimo e di minimo. Coerentemente con le notazioni usate precedentemente, fissato un valore reale b > e considerato un processo di Wiener standard {V t } t [,, definiamo τ b come: τ b ω = inf {t V t ω > b}. Per ogni tempo t vale l ovvia relazione: P[τ b < t] = P[τ b < t,v t > b] + P[τ b < t,v t < b] + P[τ b < t,v t = b] L evento {τ b < t,v t = b} è contenuto nell evento trascurabile {V t = b}, dunque l ultimo termine del membro di destra di 4.12 è nullo. Per quanto riguarda il primo termine si ha, ovviamente, che P[τ b < t,v t > b] = P[V t > b]. Esaminiamo cosa succede a P[τ b < t,v t < b]. Se τ b ω < t, allora la traiettoria ω ha raggiunto il livello b in un istante inferiore a t; inoltre, poiché V t ω < b, la traiettoria ω deve aver raggiunto un certo punto c < b all istante t. Ma, data la simmetria di un moto Browniano, la probabilità di una traiettoria che abbia viaggiato da b a c nell intervallo [τ b,t] deve essere uguale alla probabilità di una traiettoria che abbia viaggiato da b a 2b c nello stesso intervallo di tempo. Dunque P[τ b < t,v t < b] = P[τ b < t,v t > b] = P[V t > b] P[τ b < t] = 2P[V t > b]

60 4. Il calcolo delle greche di opzioni con barriera per mezzo della teoria di Malliavin Generalmente ci si riferisce a 4.13 con il nome di principio di riflessione del moto Browniano. Ovviamente l argomento usato nelle righe precedenti per giustificare 4.13 non ha alcuna validità come dimostrazione matematica. Infatti non ha molto senso parlare di probabilità di una traiettoria che viaggia da un punto a un altro, visto che tale probabilità è nulla. Per avere una dimostrazione formale del principio di riflessione è necessario introdurre degli altri strumenti probabilistici, come le famiglie forti di Markov, che esulano dagli scopi di questa tesi. Per una dimostrazione formale di 4.13 si veda [23]. Per mezzo del principio di riflessione siamo in grado di trovare facilmente le densità {l t x} t [, ] delle variabili aleatorie componenti il processo di massimo del moto Browniano, M t = sup s t V t. Indichiamo con ϕx;, t la densità di una variabile aleatoria normale di media e varianza t. Si ha: P[M t < b] = P[τ b > t] = 1 P[τ b < t] = 1 2P[V t > b] = 1 2 = 2 = 2 + b ϕx;, tdx 2 ϕx;, tdx. + b + b ϕx;, tdx ϕx;, tdx l t x = 2ϕx;, ti [,+ x Dunque il processo di massimo è composto da variabili aleatorie con legge diffusa. Risultati analoghi possono essere trovati anche per il processo di minimo, con piccole variazioni rispetto agli argomenti usati per il processo di massimo. Proposizione 4.8. Considerato un insieme I [, T], la probabilità che il processo di Wiener {V t } t I raggiunga il massimo in un unico punto è pari ad uno. Dimostrazione. Definiamo l insieme { } G = ω : supv t ω = V t1 ω = V t2 ω, t 1,t 2 I, t 1 t 2. t I La nostra tesi è equivalente a dimostrare che G è trascurabile. Per ogni n N, sia J n = { [j 12 n T, j2 n T], j = 1,...,2 n }. Vale l inclusione G n 1 A,B J n,a B { 6 sup t A V t = sup t B } V t.

61 4.1 Le greche nel caso unidimensionale: modelli a volatilità locale Il membro di destra di questa relazione è unione numerabile di insiemi. Dunque, per mostrare che G è trascurabile, sarà sufficiente mostrare che tutti gli insiemi delle unioni del membro di destra sono trascurabili. Scegliamo a < b < c < d T e siano: X = sup V t = V a + sup V t V a = V a + X, t [a,b] t [a,b] Ỹ = sup V t = V c + sup V t V c = V c + Y. t [c,d] t [c,d] Sappiamo che X e Y sono indipendenti e che la coppia X,Y ha una densità. Detta Qx,y la legge della coppia V a,v c si ha P X = Ỹ = Ω P X = Ỹ V a = x,v b = y dqx,y Inoltre P X = Ỹ V a = x,v b = y = P X = Y + y x V a = x,v b = y =, 4.16 dove l ultimo passaggio segue dal fatto che stiamo integrando la funzione di densità congiunta di X,Y su una retta di R 2. La tesi segue immediatamente inserendo la 4.16 in Possiamo dunque enunciare il lemma che ci garantisce la derivabilità secondo Malliavin dei processi di massimo e di minimo. Lemma 4.9. Siano assegnati un processo di Wiener standard V t, una funzione reale integrabile f e un insieme di tempi I [,T]. Sia V f t = V t + Allora le variabili aleatorie min s I V f s t fsds. e max s I Vs f appartengono a D 1,. Inoltre siano τ m e τ M i tempi aleatori definiti dalle relazioni V f τ m = min s I Vs f e V f τ M = max s I V f s. Allora, per ogni t [,T], vale D t min V s f = I {t τ m}, D t max V s f = I {t τ s I s I M }. Osservazione 4.1. I tempi aleatori τ m e τ M sono ben definiti grazie alla Proposizione 4.8. Dimostrazione. Dimostriamo l enunciato per il processo di massimo la dimostrazione per il processo di minimo è del tutto analoga. 61

62 4. Il calcolo delle greche di opzioni con barriera per mezzo della teoria di Malliavin Costruiamo un approssimazione discreta del processo M = max s I Vs f ; scegliamo un arbitrario sottoinsieme {t n } n 1 denso e numerabile di I [,T] e sia M n ω = max{v f t 1 ω,...,v f t n ω}, n 1. Considerata la funzione φ : R n R x 1,...,x n max{x 1,...,x n } si ha che M n = φ V t1 + t 1 fsds,...,v t n + t n fsds. Quindi, grazie alla regola della catena 2.1, si ha n φ t1 tn ti D t M n = V t1 + fsds,...,v tn + fsds D t V ti + fsds. x i=1 i 4.17 Dall esempio 2.4 segue che D t V ti = I [,ti ]t. Inoltre D t V ti + ti fsds = φ x i = I {xi max{x 1,...,x i 1,x i+1,...,x n}}. Inserendo queste ultime due espressioni in 4.17 si ha n D t M n = I {Vti max{v t1,...,v ti 1,V ti+1,...,v tn }}I [,ti ]t Detto τ M n i=1 = max{v t1,...,v tn }, sostituendo in 4.18, si ottiene D t M n ω = I [,τ M n ω]t Quello che ci resta da fare ora è mandare n all infinito e passare dall approssimazione discreta al caso continuo. Come prima cosa osserviamo che, in virtù della continuità delle traiettorie del moto Browniano, la successione di tempi aleatori τn M converge quasi certamente a τ M. Inoltre, grazie della Proposizione 2.12, si ha che la successione di derivate DM n converge a DM nella topologia debole di L 2 [,T] Ω. Prima di applicare la Proposizione 2.12 dobbiamo però essere sicuri di essere nelle ipotesi, ossia dobbiamo verificare che: a M n converge a M in L 2 Ω, [ ] b sup n E DM n 2 L 2,T < +. È facile mostrare che l ipotesi b è soddisfatta; infatti, da 4.19, si ha T E DM n 2 L 2,T = I [,τ M n ω]tdt dpω Ω = τn M ωdpω T. Ω 62

63 4.1 Le greche nel caso unidimensionale: modelli a volatilità locale Mostriamo ora che siamo nell ipotesi a, ossia che M n converge a M in L 2 Ω. Usando il Teorema di Beppo-Levi, essendo l integrando decrescente, abbiamo lim M M n 2 n L 2 Ω = lim n = lim Ω Ω supv f t ω t I V f t I n sup t ω sup t {t 1,...,t n} sup t {t 1,...,t n} V f t ω 2 dpω V f t ω 2 dpω. Per la continuità delle traiettorie del Browniano e per la densità dell insieme di tempi scelto si ha che sup t I V f t ω sup t {t 1,...,t n} V f t ω tende a zero per quasi ogni ω; Dunque anche l ipotesi a è soddisfatta. A questo punto abbiamo che τn M τm quasi certamente e DM n DM debolmente; da questo vogliamo ricavare la nostra tesi, ossia che D t Mω = I [,τ M ω]t. Dunque basta mostrare che I [,τ M n ] converge debolmente a I [,τ M ] ed usare l unicità del limite debole in L 2 Ω [,T]. Per dimostrare la convergenza debole dobbiamo dimostrare che, per ogni u L 2 Ω [,T], vale lim u,i n [,τn M] L 2 Ω [,T] = u,i [,τ M ] L 2 Ω [,T]. 4.2 Poiché u L 2 Ω [,T], allora u L 1 Ω [,T], e u domina le funzioni ui [,τ M n ], per ogni n. Dunque, applicando il Teorema di convergenza dominata di Lebesgue, si ha lim u,i n [,τn M] L 2 Ω [,T] = lim = = n Ω T Ω T Ω T uω,ti [,τ M n ω]tdtdpω uω,t lim n I [,τ M n ω] tdtdpω uω,ti [,τ M ω]tdtdpω = u,i [,τ M ] L 2 Ω [,T], dove il penultimo passaggio è vero grazie alla convergenza quasi certa di τ M n a τ M. Dunque la 4.2 è vera e il lemma è dimostrato. Finalmente siamo in grado di enunciare il risultato fondamentale di questa sezione. Nel Teorema che segue le funzioni δ sono degli integrali di Skorohod. Teorema Sia Y un processo dominante del processo X definito da 4.1 e sia Φ un payoff della forma 4.5, tali che siano soddisfatte le ipotesi 4.4 e

64 4. Il calcolo delle greche di opzioni con barriera per mezzo della teoria di Malliavin a Se Y soddisfa l ipotesi 4.7 di parametro 1, posto si ha H 1 = δ Z T T γy tdt γy + x Z T, 4.21 x E P [ΦM T,m T,X T ] = E Q [ΦM T,m T,X T H 1 ]. b Se Y soddisfa l ipotesi 4.7 di parametro 2, posto si ha H 2 = δ H 1 T γy tdt γy + x H 1, xxe P [ΦM T,m T,X T ] = E Q [ΦM T,m T,X T H 2 ]. Osservazione Per ottenere la greca è sufficiente prendere l espressione della derivata del payoff rispetto al dato iniziale del Teorema 4.11 e scontarla rispetto al fattore e rt. La stessa cosa è valida per il Γ dell opzione. Dimostrazione. Dimostriamo il punto a. Per mezzo di argomenti standard di densità possiamo supporre che il payoff Φ sia differenziabile e con derivate limitate. Passando sotto la misura di probabilità Q, portando la derivata sotto il segno di integrale e usando la regola di Leibniz si ha: x EP [ΦM T,m T, X T ] = [ =E Q x +Φ x EQ Φ [ Φ max V s + x,min s I max s I V s + x,min ] V s + x,v T + x Z T s I V s + x,v T + x s I x Z T max s I V s + x,min s I V s + x,v T + x Z T ] Per brevità denotiamo il vettore max s I V s + x,min s I V s + x,v T + x con il simbolo G. Vogliamo calcolare x ΦG e x Z T, in modo da sostituirli in Essendo Φ : R 3 R, la sua derivata rispetto al dato iniziale x è uguale a: ΦG = ΦG x x max V s + x, s I = ΦG 1,1,1 = divφg x min s I V s + x, x V T + x 64

65 4.1 Le greche nel caso unidimensionale: modelli a volatilità locale Per quanto riguarda la derivata di Z T abbiamo h è la derivata di h rispetto alla seconda variabile: x Z T = T x exp hs,x s dv s 1 T h 2 s,x s ds 2 T = Z T h s,x + V s dv s 1 T 2hs,x + V s h s,x + V s ds. 2 T x Z T = Z T h s,x + V s dv s hs,x + V s ds. Mettiamo momentaneamente da parte queste espressioni e andiamo a vedere che forma hanno le derivate di Malliavin di ΦG. D t ΦG = = Φ M GD t max V s + x + Φ s I m GD t min V s + x + Φ s I z GD t V T + x = Φ M GI [,τ M ]t + Φ m GI [,τ m ]t + Φ G, 4.24 z dove l ultimo passaggio segue dal lemma 4.9 e dall ovvia relazione D t V T + x = 1. A questo punto della dimostrazione è cruciale osservare che, grazie alle scelta della funzione γ e all ipotesi 4.4, vale la relazione D t ΦGγY t = divφgγy t Per mostrare 4.25 scriviamo Ω come unione di A e A c, dove { } { } A = A 1 A 2 = ω : max V sω a ω : min V sω a. s I s I Mostriamo 4.25 su A 1. { } ω A 1 = ω : max V sω a = s I { } ω : M x a. Dunque, grazie all ipotesi 4.4, Φ dipende esclusivamente dalla terza componente z. Ne segue che D t ΦG ω = Φ G ω = divφg ω. z Moltiplicando il primo e l ultimo membro dell ultima equazione per γy t si ottiene esattamente 4.25 su A 1. Su A 2 la situazione è del tutto analoga; infatti ω A 2 = { ω : min s I V sω a 65 } = { ω : x m a },

66 4. Il calcolo delle greche di opzioni con barriera per mezzo della teoria di Malliavin quindi è sufficiente utilizzare la seconda condizione di 4.4 per avere Consideriamo ora il caso in cui { } { } ω A c = ω : max V sω > a ω : min V sω < a. s I s I Per i t tali che Y t ω a, dalla scelta di γ si ha γy t ω =, ossia 4.25 si riduce banalmente all uguaglianza =. Riduciamoci dunque al caso in cui Y t ω < a. Il fatto che ω appartenga al complementare di A implica che il massimo di V viene raggiunto oltre a, ossia a < max V s ω s I Pertanto, usando la crescenza di Y e il fatto che domini X in I, si ha: max V s ω max Y s ω Y t ω < a < max V s ω s t,s I s t,s I s I t < τ M ω I [,τm ω] t = 1, ω A c. Un conto analogo per il processo di minimo mostra che I [,τm ω] t = 1, ω A c. Dunque, inserendo queste ultime due espressioni in 4.24 e moltiplicando per γy t, otteniamo che 4.25 è vera per ogni elemento di Ω. Torniamo ora ad esaminare il primo termine della speranza di Utilizzando la definizione di integrale di Skorohod e l equazione 4.25 si ha [ [ ] E Q divφg Z T =E Q 1 ] T T γy div ΦG γy t dtz T tdt [ ] T =E Q γys Z T D s ΦG T γy tdt ds = = D ΦG, ΦG,δ =E Q [ΦGδ 66 γy Z T T γy tdt γy Z T T γy tdt γy Z T T γy tdt ] L 2 Ω [,T] L 2 Ω. 4.27

67 4.1 Le greche nel caso unidimensionale: modelli a volatilità locale La tesi segue inserendo 4.27 in Ci rimane solamente da mostrare che il termine γy Z T R T appartiene al γytdt dominio di δ. A questo proposito è sufficiente verificare che T 1 γy t dt L p Ω 4.28 per ogni p 1. Grazie al Lemma di [28] basta provare che, per ogni p 1, P T γy tdt < ǫ = Oǫ p quando ǫ tende a zero. In virtù dell ipotesi di non decrescenza di Y, tale probabilità è limitata dall alto da Dunque 4.28 segue dall ipotesi 4.6. Il punto a è quindi dimostrato. P a 2 < Y ǫ EP [Y q ǫ ] a/2 q. La dimostrazione del punto b è simile a quella del punto a; per ottenere la tesi si usano le stesse idee del punto precedente, a meno di sostituire la variabile liscia Z T con la variabile liscia H 1. È interessante notare come il Teorema 4.11 diventi molto più semplice nel caso Black & Scholes. Infatti, in questo modello, la funzione ht,x t è costante ed uguale al drift deterministico µ. Dunque non è necessario applicare il Teorema di Girsanov e passare sotto la misura di probabilità Q. Il Teorema 4.11 si può dunque rienunciare in questa forma: Corollario Sia Y un processo dominante del processo X t = x+w t +µt e sia Φ un payoff della forma 4.5, tali che siano soddisfatte le ipotesi 4.4 e 4.6. a Se Y soddisfa l ipotesi 4.7 di parametro 1, posto 1 H 1 = δ T γy tdt γy, 4.29 si ha x E P [ΦM T,m T,X T ] = E P [ΦM T,m T,X T H 1 ]. b Se Y soddisfa l ipotesi 4.7 di parametro 2, posto H 1 H 2 = δ T γy tdt γy + x H 1, 4.3 si ha 2 xx EP [ΦM T,m T,X T ] = E P [ΦM T,m T,X T H 2 ]. 67

68 4. Il calcolo delle greche di opzioni con barriera per mezzo della teoria di Malliavin Osservazione Il Corollario 4.13 è applicabile ad una classe di modelli ben più ampia del solo modello di Black & Scholes con coefficienti costanti. Infatti, come si legge nelle ipotesi, è sufficiente che le dinamiche 4.1 del processo X abbiano un coefficiente di drift costante Costruzione di alcuni processi dominanti Il Teorema 4.11 ci fornisce un modo per calcolare le greche una volta fissato un processo dominante Y delle dinamiche del sottostante X su un certo insieme di tempi I [,T]. In questa sezione daremo delle espressioni esplicite di alcuni processi dominanti, sia nel caso continuo I = [,T], sia nel caso discreto I = {t 1,...,t n }. Processi dominanti nel caso continuo I = [, T]. Il più semplice esempio di processo dominante è probabilmente il processo degli estremi, definito come Y t = max Xs x min Xs x s t s t Dalla definizione e dalla continuità delle traiettorie del processo X, è immediato verificare che il processo degli estremi è adattato, continuo e non decrescente. Inoltre, sempre dalla definizione, è evidente che 4.5 è verificata; dunque il processo degli estremi è effettivamente un processo dominante. Inoltre non è difficile verificare che tale processo soddisfa le ipotesi 4.6 e 4.7. Quindi il calcolo di può essere effettuato utilizzando il punto a del Teorema Purtroppo però il lemma 4.9 ci dice che i processi di massimo e minimo appartengono a D 1,, ma non a D 2,p. Pertanto questo processo non sarà adatto per il calcolo di Γ o di greche di ordine superiore. Abbiamo dunque bisogno di un processo dominante più regolare e sofisticato del processo degli estremi per poter calcolare le greche di ordine superiore al primo. Fissato un numero intero pari θ, definiamo il processo del modulo di continuità mediato come Y t = 8 4 t t X s X u θ 1/θ m + 2 ds du s u m+2 m tm/θ Momentaneamente il parametro m è libero e vorremmo fissarlo in maniera da assicurare la buona definizione quasi certa del processo Y t nell intervallo [,T]. Per fare ciò ci sarà molto utile la seguente Proposizione: Proposizione Per ogni θ naturale esiste C θ R tale che, per ogni s,u [,T], [ E X s X u θ] C θ s u θ/2. 68

69 4.1 Le greche nel caso unidimensionale: modelli a volatilità locale Dimostrazione. Le dinamiche 4.1 ci dicono che dunque, per ogni θ N, si ha E X t = x + W t + t ht,x t dt, [ X s X u θ] = E [ W s W u + Grazie all ovvia diseguaglianza s a b p 2 p a p + b p, u θ] ht,x t dt. è sufficiente dimostrare separatamente che i due termini W s W u e s u ht,x tdt soddisfano la diseguaglianza richiesta. Il termine W s W u ha la stessa legge di s u Z, con Z N,1. Dunque, detto K p il momento p-esimo di una varibile aleatoria normale standard, si ha [ E W s W u θ] K θ s u θ/2. Invece, per quanto riguarda il termine s u ht,x tdt, è sufficiente ricordare che h C b, dunque, detto M = max x,y R2 hx,y, si ha E [ s u θ] ht,x t dt E [ M s u θ] M θ T θ/2 s u θ/2, dove l ultima diseguaglianza segue dal fatto che stiamo lavorando su un insiema di tempi contenuto in [,T]. Per ottenere la tesi basta porre C θ = 2 θ K θ + M θ T θ/2. La Proposizione 4.15 ci assicura che, scegliendo m, θ 2 2, il termine t t X s X u θ E ds du < +, s u m+2 ossia il processo del modulo di continuità mediato 4.32 è quasi certamente ben definito. Il processo del modulo di continuità mediato è ovviamente adattato, non decrescente e continuo. Al fine di usare il processo Y nel Teorema 4.11, abbiamo bisogno del seguente Teorema: Teorema Sia Y definito da 4.32, θ un numero intero pari e sia m un numero reale tale che < m < θ 2 2. Allora: 69

70 4. Il calcolo delle greche di opzioni con barriera per mezzo della teoria di Malliavin i Y è un processo dominante; ii l ipotesi 4.6 è verificata da Y ; iii l ipotesi 4.7 di parametro q è verificata da Y per ogni q tale che 1 q θ 2m + 2. Per dimostrare il Teorema 4.16 è necessario qualche risultato preliminare. Lemma Lemma di Garsia-Rodemich-Rumsey Sia Ψ : R R + una funzione pari e non decrescente sull intervallo [,+ ; sia inoltre p : [ 1,1] R + una funzione continua, pari, non decrescente sull intervallo [,1], tale che p = e px per ogni x. Infine sia definita una funzione f : [,1] R continua, tale che esista un numero reale B per cui valga: 1 1 fx fy Ψ dx dy B 4.33 px y Per ogni u Ψ, poniamo Allora, per ogni s,r [,1], vale Ψ 1 u = sup {v : Ψv u}. fs fr 8 s r 4B Ψ 1 u 2 dpu Dimostrazione. Cominciamo dimostrando la diseguaglianza 4.34 nel caso particolare f1 f. Definiamo It = 1 Ψ fs ft ps t Il primo membro dell equazione 4.33 può essere letto come media della funzione It nell intervallo, 1. Dunque, poiché la media è minore o uguale della costante B, deve esistere un valore t,1 tale che It B. Per ogni u [,p1] poniamo ds. p 1 u = max{v : pv u}. Per induzione costruiamo una successione {t n } n N, strettamente decrescente e convergente a zero, nel seguente modo: dato t n 1 sia d n 1 = p pt n 1 e scegliamo t n d n 1 in modo che siano soddisfatte 7

71 4.1 Le greche nel caso unidimensionale: modelli a volatilità locale 1 It n 2B 2 Ψ d n 1, ftn ft n 1 pt n t n 1 2It n 1 d n 1. Dobbiamo mostrare che la successione dei t n si possa effettivamente costruire. Chiamiamo A 1 e A 2 gli insiemi di tempi t n per cui le condizioni 1 e 2 non sono soddisfatte, ossia A 1 = { t n d n 1 : It n > 2B d n 1 { ftn ft n 1 A 2 = t n d n 1 : Ψ pt n t n 1 }. > 2It n 1 d n 1 Dobbiamo far vedere che, per ogni n, è sempre possibile scegliere un valore t n [,d n 1 ] che soddisfi 1 e 2. In termini matematici dobbiamo mostrare che, detta λ la misura di Lebesgue su R, si ha λ A 1 A 2 < dn 1. Per subadditività sarà sufficiente far vedere che λ A i < d n 1 2, per i {1,2}. Il fatto che la funzione Ψ sia non negativa implica che It > per ogni t. Se, per assurdo, A 1 avesse misura di Lebesgue maggiore o uguale a d n 1 2, si avrebbe 1 Itdt A 1 Itdt > 2B d n 1 λ A 1 B, che è in ovvia contraddizione con Dunque λ A 1 < d n 1 2. Supponiamo ora per assurdo che λ A 2 d n 1 2. Allora 1 ft ftn 1 It n 1 = Ψ dt pt t n 1 ft ftn 1 dt pt t n 1 A 2 Ψ > 2It n 1 d n 1 λ A 2 Itn 1, che è un assurdo. La successione {t n } n N è quindi ben definita. Poiché d n d n 1, la condizione 1 implica, per ogni n 1, It n 2B d n. Questa diseguaglianza è banalmente vera per n =. Dunque dalla condizione 2 e dalla positività di p segue che ft n ft n 1 pt n 1 t n Ψ 1 2Itn 1 d n 1 4B pt n 1 t n Ψ 1 d 2 n 1 }

72 4. Il calcolo delle greche di opzioni con barriera per mezzo della teoria di Malliavin Dalla definizione di d n 1 si ha che pt n 1 t n pt n 1 = 2pd n 1, inoltre pd n = 1 2 pt n 1 2 pd n 1, da cui segue ovviamente pt n 1 t n 4[pd n 1 pd n ]. Inserendo l ultima disuguaglianza in 4.35, sommando sui tempi e usando la diseguaglianza triangolare otteniamo 4B ft f 4 [pd n 1 pd n ]Ψ n=1 dn 1 Ψ 1 n=1 d n 1 Ψ 1 4B u 2 4B u 2 dpu d 2 n 1 dpu Lavorando in maniera simile con f1 t al posto di ft si ottiene la stima 4.36 per ft f1. Unendo le due stime si ha la nostra tesi nel caso di f1 f. Notiamo che la nostra tesi è ovvia nel caso in cui l integrale di 4.34 sia divergente. Senza perdita di generalità possiamo dunque supporre che tale termine sia finito. Fissati due valori s e t, definiamo le funzioni ausiliarie f e p nel seguente modo: f t = fs + tt s t [,1], pu = pu t s. Restringendo il dominio di integrazione nell ipotesi 4.33 ed effettuando un cambio di variabili si ottiene la stima 1 1 f s f t Ψ d s d t B p s t s t 2 A questo punto possiamo ricondurci al caso s,t =,1 e dedurre fs ft = f1 f 8 1 Ψ 1 4B u 2 s t 2 dpu s t. La tesi segue dall ultima equazione grazie ad un ulteriore cambio di variabile. 72

73 4.1 Le greche nel caso unidimensionale: modelli a volatilità locale Proposizione Sia Ω, F, µ uno spazio misurato, con µ misura finita. Per ogni α,+ esiste κ α R tale che, per ogni X : Ω R, X > e per ogni S Ω si abbia: a S Xα dµ κ α S Xdµ α, se α,1; b S Xα dµ κ α S Xdµ α, se α [1,+. Dimostrazione. La dimostrazione segue quasi immediatamente dalla diseguaglianza di Hölder: A fg dµ f p dµ A 1/p 1/q g dµ q, A per ogni p, q [1,+ ], tali che 1 p + 1 q = 1 si adotta la notazione 1 =. Infatti, per dimostrare a, basta scegliere g = 1, f = X α, p = 1 α > 1, A = S e κ α = µs 1 α. Invece, per dimostrare b, si sceglie g = 1, f = X, p = α > 1 e κ α = µs α/α 1. Siamo ora pronti per dimostrare il Teorema 4.16: Dimostrazione. Dimostriamo il punto i, ossia che Y è un processo dominante rispetto a X. Dobbiamo mostrare che vale la relazione 4.5 per avere la tesi. Applichiamo il lemma di Garsia-Rodemich-Rumsey 4.17 scegliendo Ψx = x θ, r =, px = x m+2 θ, fs = X s e prendendo una famiglia B t, parametrizzata dal tempo t, definita come: Essendo dpx = m+2 θ B t = X s x 8 t t X s X u θ ds du. s u m+2 x m+2 θ θ dx, per ogni s [,t] si ha s 4Bt u 2 = 84B t 1/θ m + 2 m Quindi 4.5 è verificata e i è dimostrato. 1/θ m + 2 θ s m/θ Y t. u m+2 θ θ du Proviamo ora il punto ii, ossia che vale l ipotesi 4.6. Definendo K q = 8 q 4 q/θ m+2 q, m si ha [ t t E [Y q t ] K qt mq X s X u θ ] q θ θ E ds du, q s u m+2 73

74 4. Il calcolo delle greche di opzioni con barriera per mezzo della teoria di Malliavin Restringiamoci ora alla verifica dell ipotesi 4.6 nel caso in cui q sia tale che q θ < 1. Applicando il punto a della Proposizione 4.18 e il Teorema di Fubini-Tonelli, si ottiene: E [ t t X s X u θ ] q θ ds du κ s u m+2 q/θ E =κ q/θ t [ t t t X s X u θ ] q θ ds du s u m+2 E [ X s X u θ] s u m+2 ds du q θ. Inseriamo quest ultima espressione in 4.37 e applichiamo la Proposizione 4.15 per avere: E [Y q t ] κ q/θk q t mq θ κ q/θ K q t mq θ t t C θ t t E [ X s X u θ] q θ s u m+2 ds du s u θ 2 m 2 ds du q θ ; Grazie all ipotesi < m < θ 2 2, la funzione x θ 2 m 2 è crescente in x. Ne segue che, nell ultimo integrale scritto, il termine s u può essere maggiorato da t infatti tanto s quanto u possono variare tra e t. Pertanto, detta C q = κ q/θ C q θ θ K q, abbiamo: E [Y q t ] C q t mq θ = C q t mq θ t t t θ 2 m q θ = C q t mq θ + q θ θ 2 m = C q t q 2. q t θ 2 m 2 θ ds du Il primo e l ultimo termine dell ultima catena di passaggi danno esattamente la tesi, sempre nel caso q θ < 1. Consideriamo ora il caso complementare, q θ 1. Usando il punto b della Proposizione 4.18, chiamando C q = κ q/θ K q C q, in maniera analoga a 74

75 4.1 Le greche nel caso unidimensionale: modelli a volatilità locale quanto fatto prima si ha: E [Y q t ] =K qt mq θ E [ t κ q/θ K q t mq θ E =κ q/θ K q t mq θ κ q/θ K q C q t mq θ C q t mq θ t t t [ t t t = C q t q 2 2q θ +2. X s X u θ ] q θ ds du s u m+2 ] t t t X s X u q ds du s u m+2q/θ E [ X s X u q ] ds du s u m+2q/θ s u q θ θ 2 m 2 ds du t q θ θ 2 m 2 ds du Dunque, notando che il coefficiente all esponente di t diverge a + quando q +, si ha la tesi anche nel caso q θ 1. Il punto ii è quindi dimostrato. Occupiamoci infine di dimostrare il punto iii. Grazie ad alcuni argomenti dimostrati nel capitolo 2.2 di [28], è possibile provare che, per ogni t [,T], si ha che B t D q, se q θ 2m + 2. Inoltre, per j = 1,...,q, vale sup E r 1,...,r j [,T] sup r 1 r j t T Dr1,...,r j B t p C p per ogni p 1. Poiché la funzione x γ84x 1/θ m + 2/mt m/θ, definita su R +, è di classe Cb, abbiamo dimostrato che vale la relazione In maniera simile è possibile dimostrare che le stesse stime sono soddisfatte dalle derivate di γy t rispetto al dato iniziale x. Processi dominanti nel caso discreto I = {t,...,t N }. Nel caso discreto I = {t,...,t N }, trovare un processo dominante con delle buone proprietà di regolarità è ben più semplice che nel caso continuo. Anche in questo caso il processo degli estremi Y t = max X t i x min X t i x i N,t i t i N,t i t è adattato, non decrescente, continuo a destra e soddisfa 4.5. Dunque è un processo dominante. Inoltre è facile vedere che anche l ipotesi 4.6 e l ipotesi 4.7 di parametro 1 sono soddisfatte. È dunque possibile usare il processo degli estremi per calcolare il di opzioni con barriera. 75

76 4. Il calcolo delle greche di opzioni con barriera per mezzo della teoria di Malliavin Purtroppo, come nel caso continuo, nulla ci assicura che tale processo appartenga a D 2,p, dunque dovremo cercare un altro processo dominante per effettuare le simulazioni della greca Γ. A questo scopo definiamo il processo Y t = N X ti X ti i N,t i t Questo processo è adattato, non decrescente e continuo a destra. Inoltre vale la seguente Proposizione: Proposizione Sia Y t il processo definito dall equazione Allora: i Y domina X nell insieme I = {t,...,t N }; ii l ipotesi 4.6 è verificata da Y ; iii l ipotesi 4.7 di parametro q è verificata da Y per ogni q 1. Dimostrazione. Poiché i punti ii e iii seguono da argomenti simili a quelli usati nella dimostrazione della Proposizione 4.16, limitiamoci a dimostrare il punto i. In particolare ci è sufficiente mostrare che 4.5 è soddisfatta. Dalla convessità della funzione fx = x 2 segue che, detto gt = #{i : i N,t i t}, gt i=1 X t i X ti 1 gt 2 1 gt gt i=1 Xti X ti 1 2. Dunque, grazie alla diseguaglianza triangolare e al fatto che gt < N, si ha, per ogni i =,...,N, gt i gt i X ti x X ti X ti 1 2 N Xti X ti 1 = Yti. i=1 i=1 4.2 Le greche nel caso multidimensionale: modelli con matrice di volatilità costante In questo paragrafo verranno estesi i risultati della sezione precedente al caso multidimensionale, ossia ad un modello in cui siano presenti d sottostanti, eventualmente correlati tra loro. Ci occuperemo solamente del caso in cui le correlazioni tra i vari sottostanti e le volatilità siano delle costanti, indipendenti dal tempo e dal livello di prezzo dei beni presenti nel mercato. 76

77 4.2 Le greche nel caso multidimensionale: modelli con matrice di volatilità costante Supponiamo dunque di avere un sottostante con rischio d-dimensionale {S t = St 1,...,St d } t le cui dinamiche, sotto la probabilità Risk-Neutral P, siano date da ds i t = S i t r dt + d j=1 σ i,j dw j t, 4.39 dove {W t = Wt 1,...,Wt d } t è un processo di Wiener standard d-dimensionale, r il tasso di interesse e σ = σ i,j la matrice di volatilità, che assumeremo invertibile. 1 i,j d Come nel caso unidimensionale, fissiamo un insieme di tempi I [,T]. Ci occuperemo di payoff della forma Φ max s I S1 s,...,max s I Sd s,min s I S1 s,...,min s I Sd s,st,... 1,ST d Preliminari È noto che, se il vettore di prezzi S t segue le dinamiche 4.39, allora ln S i t = ln S i + µ i t + σ i dw t, dove σ i = σ i,1,...,σ i,d il simbolo * come apice di un vettore indica che si sta considerando il vettore trasposto e µ i = r 1 2 σi 2. Denotiamo con M i = max s I S i s e con m i = min s I S i s. Come nel caso unidimensionale abbiamo bisogno di alcune ipotesi aggiuntive sui supporti delle famiglie di payoff 4.4. L esempio che segue serve a far vedere l impossibilità di trovare un peso di Malliavin per un generico payoff della forma 4.4. Esempio 4.2. Sia {X t } t [, definito da X t = x + W t, dove {W t } t [, è un processo di Wiener unidimensionale e x R. Supponiamo di avere un payoff della forma fmax t [,1] X t e di essere interessati a una scrittura del suo del tipo [ ] [ ] = x E f max X t = E f max X th, 4.41 t [,1] t [,1] per una certa variabile aleatoria di quadrato integrabile H. Dall equazione 4.14, che fornisce esplicitamente la densità del processo di massimo, segue che ] + = x x E [ f max t [,1] X t } 2 y x2 fy exp { dy x 2π y x2 = fx + fyy x exp { 2π x 2π 2 [ 2 ] = fx + E f max X t max X t x. 2π t [,1] t [,1] } dy 77

78 4. Il calcolo delle greche di opzioni con barriera per mezzo della teoria di Malliavin Dall ultima espressione risulta evidente che trovare un peso H che soddisfi 4.41 è impossibile in generale se fx. Ipotesi Esiste una costante a > tale che, per ogni i {1,...,d}, la funzione ΦM 1,...,M d,m 1,...,m d,s 1 T,...,Sd T non dipende da Mi rispettivamente da m i se M i < S i expa rispettivamente mi > S i exp a. Procedendo parallelamente a quanto fatto nel caso unidimensionale, cerchiamo di stabilire il grado di derivabilità delle funzioni M i e m i. Siano τm i e τm i definiti dalle equazioni M i = S i τ, M i m i = S i τ. m i La Proposizione 4.8 assicura che tali tempi aleatori siano ben definiti. Vale il seguente lemma: Lemma Per ogni i {1,...,d}, le variabili aleatorie M i, m i e S i T appartengono a D 1, e le loro derivate di Malliavin sono date da D t M i = M i I t τ i M σ i, D t m i = m i I t τ i m σ i, D t S i T = S i Tσ i t T. La dimostrazione di 4.22 si basa su una generalizzazione al caso multidimensionale del lemma 4.9 della sezione precedente. Infatti è possibile dimostrare che D t max t I [µi t + σ i W t ] = I t τ i σ i, 4.42 M D t min t I [µi t + σ i W t ] = I t τ i m σ i, 4.43 per la dimostrazione si veda l articolo di Nualart e Vives [29]. Dunque per dimostrare 4.22 è sufficiente notare che M i = S i exp max t I [µi t + σ i W t ], m i = S i exp min t I [µi t + σ i W t ], usare la regola della catena e le espressioni 4.42 e Diamo ora la definizione di processo dominante. A differenza di quanto fatto precedentemente, inseriremo l ipotesi 4.6 direttamente nella definizione di processo dominante. Definizione Diremo che il processo {Y t } t [, è dominante se: i Y è adattato, non decrescente e continuo a destra; 78

79 4.2 Le greche nel caso multidimensionale: modelli con matrice di volatilità costante ii µ i t + σ i W t Yt t I, i {1,...,d}. iii Esiste una funzione positiva α : N R +, con lim q + αq = +, tale che, q 1 e t [,T], E Y q t C qt αq. Scegliamo ora una funzione γ : R [,1] tale che I,a/2] x γx I,a] x e tale che, per ogni k N, sup x R γ k x C k /a k, per certe costanti C k > a è la costante che compare nell ipotesi Ipotesi Diremo che Y soddisfa l ipotesi 4.24 di parametro q N se: i γy t D q,, t [,T]; ii j {1,...,q}, p 1 sup E r 1,...,r j [,T] sup r 1 r j t T D r1,...,r j γy t p C p Il calcolo delle greche e la scelta di processi dominanti. Sia e i l i-esimo vettore della base canonica di R d. Vale il seguente Teorema: Teorema Sia Y un processo dominante e sia soddisfatta l ipotesi Allora: a se Y soddisfa l ipotesi 4.24 di parametro 1 si ha, per ogni 1 i d, i = S ie e rt ΦM 1...,M d,m 1,...,m d,s 1 T,...,Sd T =E e rt ΦM 1...,M d,m 1,...,m d,st 1,...,Sd T H i, dove H i = 1 γy Sδ i T γy tdt σ 1 e i. b se Y soddisfa l ipotesi 4.24 di parametro 2 si ha, per ogni 1 i,j d, Γ i,j = S i,se j e rt ΦM 1...,M d,m 1,...,m d,st,... 1,ST d =E e rt ΦM 1...,M d,m 1,...,m d,st 1,...,Sd T H Γ i,j, dove, indicata con δ i,j la delta di Kronecker, H Γ i,j = 1 γy δ δ S i T Sj γy tdt σ 1 e i γy T γy tdt σ 1 e j 1 S i 2δ γy T γy tdt σ 1 e i δ i,j. 79

80 4. Il calcolo delle greche di opzioni con barriera per mezzo della teoria di Malliavin Le idee della dimostrazione di questo Teorema sono le stesse usate per la dimostrazione del Teorema 4.11, a meno di adattare alcuni passaggi al caso multidimensionale. Tale dimostrazione verrà quindi omessa. Per i dettagli si veda l articolo [8]. Infine osserviamo che gli stessi processi dominanti usati nel caso unidimensionale possono essere usati anche in contesto multidimensionale. Proposizione Nel caso continuo I = [, T] si ha che: 1 il processo degli estremi Y t = max max 1 i d s t [µi s + σ i W s ] min s t [µi s + σ i W s ] è un processo dominante e soddisfa l ipotesi 4.24 di parametro 1. 2 il processo del modulo di continuità mediata Y t = 8 4 t t µs u + σw s W u θ 1/θ m + 2 s u m+2 ds du m tm/θ, dove θ è un numero intero pari e < m < θ 2 2, è un processo dominante e soddisfa l ipotesi 4.24 di parametro q, per ogni q [1,θ 2m + 2]. Proposizione Nel caso discreto I = { = t < < t N = T } si ha che: 1 il processo degli estremi Y t = max max 1 i d j N; t j t [µi t j + σ i W tj ] min j N; t j t [µi t j + σ i W tj ] è un processo dominante e soddisfa l ipotesi 4.24 di parametro 1. 2 il processo degli incrementi quadratici mediati Y t = N µt j t j 1 + σ W tj W tj j N:t j t è un processo dominante e soddisfa l ipotesi 4.24 di parametro q, per ogni q 1. Anche le dimostrazioni di queste due proposizioni sono del tutto analoghe a quelle del caso unidimensionale, quindi verranno omesse. 8

81 Capitolo 5 Le greche di opzioni con barriere discrete Nelle sezioni precedenti abbiamo sviluppato dei metodi che ci permettono di calcolare le greche di opzioni con barriera continue o discrete, sia nel caso unidimensionale che in quello multidimensionale. Purtroppo però questi risultati non sono utilizzabili quando si stanno usando modelli più sofisticati, come ad esempio i modelli a volatilità stocastica. Supponiamo di avere un sottostante S t, con volatilità σ t, che segua le dinamiche ds t = µt,s t,σ t dt + λt,s t,σ t dw 1 t dσ t = νt,s t,σ t dt + ζt,s t,σ t dw 2 t, 5.1 dove W 1 t e W 2 t sono due processi di Wiener unidimensionali con coefficiente di correlazione costante. Il Teorema 3.7, che si limita a fornire un espressione delle greche per modelli a volatilità deterministica modelli a volatilità locale, non ci è di aiuto in questa situazione; inoltre molti dei ragionamenti fatti per arrivare alla tesi non possono essere estesi a casi più generali. Un idea potrebbe essere quella di vedere la volatilità come un nuovo sottostante, considerare il vettore aleatorio U t = S t,σ t, e notare che le dinamiche seguite da U t sono du t = βt,u t dt + ϑt,u t dw t, dove W t è un processo di Wiener standard bidimensionale e µt,x,y βt,x,y = νt,x,y λt,x,y ϑt,x,y = ζt,x,y 1 2ζt,x,y 81,

82 5. Le greche di opzioni con barriere discrete Si potrebbe dunque pensare di usare il Terorema 4.25 sul processo bidimensionale U t. Purtroppo, come si vede da 5.2, tale processo non ha una matrice di volatilità costante, dunque non possiamo applicare nè tantomeno adattare i ragionamenti della sezione precedente al nostro caso. Dunque per poter usare i modelli a volatilità locale dovremo procedere in un altro modo. Di seguito verranno dimostrati dei risultati che ci permetteranno di calcolare le greche nel caso unidimensionale per un generico modello, ma solo nel caso di opzioni con barriera discrete. L estensione al caso continuo, ossia una sintesi che estenderebbe i risultati esposti in questa tesi, è un problema che dovrebbe essere tuttora aperto. 5.1 Variazioni dei Parametri In questo paragrafo vedremo come gli strumenti teorici del calcolo di Malliavin presentati nei capitoli precedenti possano essere applicati a problemi finanziari. I risultati che dimostreremo saranno validi per tutti i payoff dipendenti dal prezzo del sottostante monitorato in una quantità finita di tempi, ossia payoff del tipo ΦX t1,,x tm. Questo vuol dire che i risultati che otterremo saranno applicabili ad opzioni con barriere discrete, ma non ad opzioni con barriera continuamente monitorata. Supponiamo di essere in un modello in cui il processo di Itô d-dimensionale {X t } t [,+ segua le dinamiche dx t = µx t dt + σx t dw t, dove {W t } t [,+ è un processo di Wiener standard d-dimensionale e le funzioni µ e σ sono supposte differenziabili con continuità e con derivate Lipschitziane e limitate. Sotto queste ipotesi il Teorema 2.18 ci assicura l esistenza e l unicità di un unica soluzione X e, grazie alla generalizzazione multidimensionale del Teorema 2.2, tale soluzione appartiene a D 1,2. Inoltre l osservazione 2.25 ci dice che il processo di variazione prima associato a X segue le dinamiche dy t = µ X t Y t dt + d i= σ i X ty t dwt i Y = I d. 5.4 Poiché le funzioni µ e σ sono Lipschitziane e limitate, si ha che il processo di variazione prima Y appartiene ad L 2 Ω [,T] si veda Karatzas [23], Teorema 2.9. Inoltre abbiamo bisogno di un ipotesi tecnica aggiuntiva, ossia che la volatilità soddisfi l ipotesi di uniforme ellitticità. 82

83 5.1 Variazioni dei Parametri Ipotesi 5.1. Esiste un ǫ > tale che, per ogni x,ξ R d, la matrice di volatilità soddisfi la condizione ξ σ xσxξ ǫ ξ 2. Grazie a questa ipotesi il processo {σ 1 X t Y t } t [,+ appartiene a L 2 Ω [,T]. Inoltre, se γ è una funzione limitata, allora il processo {σ 1 γx t } t [,+ appartiene a L 2 Ω [,T] e la funzione σ 1 γ è limitata Variazioni del coefficiente di drift I risultati dimostrati in questo paragrafo sono validi anche per funzioni payoff che dipendono dai prezzi del sottostante nell intero intervallo temporale [,T]. Supponiamo che il payoff Φ : C [,T] R abbia momento secondo limitato. Fissata una funzione limitata γ : [,T] R d R d e un parametro reale ǫ, definiamo il processo perturbato {X ǫ t } t [,T] che segue le dinamiche dx ǫ t = [µx ǫ t + ǫγx ǫ t ]dt + σx ǫ t dw t. Per semplicità di notazione denoteremo con X il processo non perturbato, corrispondente a ǫ =. Consideriamo la funzione u ǫ : R d R definita da u ǫ x = E [ΦX ǫ X ǫ = x]. Teorema 5.2. La funzione ǫ u ǫ x è differenziabile in ǫ = per ogni x R d e si ha [ T ǫ uǫ x = E ΦX σ 1 ] X t γx t,dw t X = x. ǫ= Dimostrazione. Introduciamo la variabile aleatoria Z ǫ T = exp { ǫ T σ 1 X t γx t,dw t ǫ 2 T } σ 1 X t γx t 2 dt. Grazie alla limitatezza del termine σ 1 γ, la condizione di Novikov 1.7 è soddisfatta. Dunque E[ZT ǫ ] = 1 per ogni ǫ >. In virtù del Teorema di Girsanov 1.9 la misura di probabilità Q ǫ definita da dq ǫ dp = Zǫ T, è equivalente a P e, sotto Q ǫ, il processo {W ǫ t } t [,T] definito da T Wt ǫ = W t + ǫ σ 1 Xt ǫ γxǫ t dt 83

84 5. Le greche di opzioni con barriere discrete è un processo di Wiener standard d-dimensionale. Sia Z ǫ T la densità di passaggio dalla probabilità P alla probabilità Qǫ, ossia Z T ǫ = dp dq ǫ { =exp ǫ T σ 1 Xt ǫ γxt ǫ,dwt ǫ ǫ T } σ 1 X ǫ 2 t γxt ǫ 2 dt. È possibile riscrivere il termine u ǫ nella forma [ ] u ǫ x = E Qǫ Zǫ T ΦX ǫ X ǫ = x. La legge congiunta della coppia X ǫ,w ǫ sotto Q ǫ coincide con la legge congiunta di X,W sotto P, e quindi: Notiamo che vale l uguaglianza Z ǫ T 1 ǫ u ǫ x = E [Z ǫ T ΦX X = x]. = T Zt ǫ σ 1 X ǫ t γxǫ t,dw t e dunque, grazie al Teorema di convergenza dominata, ZT ǫ lim 1 T = σ 1 Xt ǫ ǫ ǫ γxǫ t,dw t, 5.5 dove l ultima convergenza è in L 2. Infine, essendo il payoff Φ di quadrato integrabile, è possibile usare la diseguaglianza di Cauchy-Schwarz 1 [ T ǫ uǫ x ux E ΦX σ 1 ] X t γx t,dw t = 1 T [ΦX E ǫ Zǫ T 1 σ 1 ] X t γx t,dw t [ 1 T KE ǫ Zǫ T 1 σ 1 2 ] X t γx t,dw t che, grazie alla convergenza in L 2 data da 5.5, ci fornisce la tesi Variazione delle condizioni iniziali In questa sezione ricaveremo un espressione per la derivata della funzione ux rispetto al dato iniziale x R d. A differenza di quanto fatto nel paragrafo precedente restringiamo la nostra attenzione ai payoff che dipendono da un numero finito di istanti di tempo in cui il prezzo del sottostante viene 84

85 5.1 Variazioni dei Parametri monitorato. Siano dunque fissati un insieme di tempi {t 1,...,t m } e una funzione Φ : R d m R tale che Definiamo la funzione u come e introduciamo l insieme { H m = a L 2 [,T] : E [ ΦX t1,...,x tm 2] < +. ux = E [ΦX t1,...,x tm X = x] ti } atdt = 1 i = 1,...,m. Teorema 5.3. Per ogni x R d e per ogni a H m vale [ T ] ux = E ΦX t1,...,x tm at[σ 1 X t Y t ] dw t X = x, dove Y è il processo di variazione prima relativo a X. Dimostrazione. Dimostriamo il Teorema nel caso in cui il payoff Φ sia differenziabile con continuità ed abbia gradiente limitato. Come prima cosa dimostriamo che la derivata di ux rispetto a x è ottenuta differenziando sotto l operatore di speranza. Denotiamo con X x la soluzione della SDE uscente da x e sia E x [ ] = E[ X = x]. Essendo Φ differenziabile con continuità, si ha che il termine 1 h [ΦXx t 1,...,Xt x m ΦXt x+h 1,...,Xt x+h m ] 1 m i h ΦXx t 1,...,Xt x m Yt x i,h i=1 5.6 converge a zero quasi certamente quando h tende a zero. Poiché il payoff considerato ha gradiente limitato, il secondo termine di 5.6 è uniformemente integrabile in h. Inoltre, detto M il limite uniforme sulle derivate parziali di Φ, è immediato vedere che il primo termine di 5.6 è maggiorato da k Xt x j Xt x+h M j. 5.7 h j=1 Il termine 5.7 è uniformemente integrabile si veda [3, pag.246], dunque l intera espressione 5.6 è uniformemente integrabile. Ne segue, grazie al Teorema di convergenza dominata, che tale termine tende a zero nella norma L 1 Ω. Dunque si ha [ m ] ux = E x i ΦXt x 1,...,Xt x m Yt x i. 5.8 i=1 85

86 5. Le greche di opzioni con barriere discrete Il Teorema 2.2 ci assicura che X D 1,2 e, grazie al Teorema 2.24, per ogni i {1,...,m} e per ogni t [,T], vale la relazione Y ti = D t X ti = Y ti Yt 1 σx t I,ti ]t. Y ti I,ti ]t = D t X ti σ 1 X t Y t T D t X ti atσ 1 X t Y t dt, a H m. Inserendo quest ultima espressione in 5.8 si ottiene omettiamo l apice x [ ] T m ux = E x i ΦX t 1,...,X tm D t X ti atσ 1 X t Y t dt i=1 da cui, usando la regola della catena 2.1 ux = E x [ T Definiamo il processo ausiliario {V t } t [,T] come ] D t ΦX t1,...,x tm atσ 1 X t Y t dt. 5.9 V t = atσ 1 X t Y t. Essendo a una funzione deterministica, σ 1 continua e X e Y processi adattati, si ha che anche il processo V è adattato alla filtrazione {F t } t [,T]. Inoltre, grazie all ipotesi 5.1, tale processo appartiene a L 2 Ω [,T]. Quindi si ha ux =E x [ T ] D t ΦX t1,...,x tm V t dt = DΦX t1,...,x tm,v L 2 Ω [,T] = ΦX t1,...,x tm,δv L 2 Ω =E x [ΦX t1,...,x tm T atσ 1 X t Y t dw t ], dove, nell ultimo passaggio, abbiamo usato il fatto che V è un processo adattato e il Teorema La tesi si ottiene prendendo i trasposti di ambo i membri. Esaminiamo ora il caso generale Φ L 2. Poiché l insieme C K delle funzioni differenziabili infinite volte e a supporto compatto è denso in L 2, è possibile 86

87 5.1 Variazioni dei Parametri trovare una successione {Φ n } n N C K convergente a Φ in L2. Sia u n x = E x [Φ n X t1,...,x tm ] e definiamo ε n x = E x [Φ n X t1,...,x tm ΦX t1,...,x tm ] 2. Ovviamente le funzioni ε n convergono puntualmente a zero. Fissata una funzione a H m, definiamo T ] gx = E [ΦX x t1,...,x tm at[σ 1 X t Y t ] dw t. Sappiamo che il Teorema è vero per le funzioni Φ n e dunque, applicando la diseguaglianza di Cauchy-Schwartz, si ha [ T ] 2 u n x gx ε n x E x at[σ 1 X t Y t ] dw t. Sia ora K una arbitrario insieme compatto di R d. Grazie alla continuità del membro di destra dell ultima equazione, garantita dall operatore di speranza, per il Teorema di Weierstrass si ha che esiste x K tale che [ T ] 2 sup u n x gx ε xe x n at[σ 1 X t Y t ] dw t. x K Dunque, facendo tendere n all infinito e usando la convergenza puntuale di ε n a zero, si ha che u n x converge a gx uniformemente sui compatti di R d. Inoltre è immediato osservare che, in virtù della convergenza delle Φ n a Φ in L 2, la funzioni u n x convergono puntualmente a ux per ogni x R d. Quindi si può concludere che la funzione u è differenziabile con continuità e che u = g Variazioni del coefficiente di volatilità In questo paragrafo ragioneremo in maniera simile a quanto fatto nella sezione 5.1.1, con la differenza che, al posto di perturbare il coefficiente di drift µ, questa volta esamineremo le variazioni della funzione u quando viene alterata la funzione di volatilità σ. Supponiamo di avere un payoff Φ:R d m R con norma in L 2 finita e siano µ e σ delle funzioni differenziabili con continuità con derivate Lipschitziane e limitate. Introduciamo l insieme di funzioni deterministiche { } H m = a L 2 [,T] : ti t i 1 atdt = 1 i = 1,...,m 87.

88 5. Le greche di opzioni con barriere discrete Fissiamo una funzione σ : R d R d d differenziabile con continuità e con derivate limitate e sia ǫ un numero reale. Definiamo dunque il processo perturbato {X ǫ t } t [,T] come l unica soluzione della SDE dx ǫ t = µxǫ t dt + [σxǫ t + ǫ σxǫ t ] dw t X ǫ = x. 5.1 Abbiamo inoltre bisogno di un altra ipotesi sulla funzione σ, analoga all ipotesi 5.1, che ci assicuri l uniforme ellitticità della volatilità del processo perturbato: Ipotesi 5.4. Esiste un η > tale che, per ogni x,ξ R d, si abbia ξ σ + ǫ σ xσ + ǫ σxξ η ξ 2. Inoltre introduciamo il processo di variazione Z ǫ definito dall equazione differenziale stocastica dzt ǫ = µ Xt ǫzǫ t dt + σxǫ t dw t + d i=1 [σ i + ǫ σ i ]Xǫ t Zǫ t dw t i Z ǫ = d, 5.11 dove d rappresenta il vettore nullo di R d. Si noti che il processo Z ǫ è tale che Z ǫ t = Xǫ t ǫ. Sia Z = Z e definiamo il processo {β t } t [,T] come β t = Yt 1 Z t. Dal momento che sia il processo {Z t } t [,T] che il processo {Yt 1 } t [,T] appartengono a D 1,2 si veda [28], Lemma 2.2.2, pag.14 e poiché i coefficienti µ e σ hanno derivate Lipschitziane e limitate, si ha che anche il processo {β t } t [,T] appartiene a D 1,2. Vale dunque il seguente Teorema: Teorema 5.5. Sotto l ipotesi 5.4, per ogni a H m si ha dove ǫ uǫ x = E ǫ= [ ΦX t1,...,x tm δ σ 1 XY β a T t = m i=1 atβ t i β ti 1 I [ti 1,t i t. a β T X = x], 5.12 Dimostrazione. Limitiamoci a provare la tesi per funzioni payoff Φ che siano continuamente differenziabili e con derivate limitate. Il caso generale segue da un argomento di densità simile a quello usato nella dimostrazione precedente. 88

89 5.1 Variazioni dei Parametri Sempre in maniera analoga a quanto mostrato in 5.3 è possibile far vedere che la derivata di u ǫ x rispetto al parametro ǫ si ottiene differenziando sotto l operatore di speranza. Poiché è possibile scegliere una versione di X ǫ che sia differenziabile rispetto a ǫ per ogni t,ω [,T] Ω, si ha che [ m ] ǫ uǫ x = E x i ΦX t1,...,x tm Z ti ǫ= i= per i dettagli si veda [3, pag.25]. Dal Teorema 2.24 segue che, per ogni i {1,...,m} e per ogni t [,T], D t X ti = Y ti Yt 1 σx t I,ti ]t. e inte- Quindi, moltiplicando a destra ambo i membri per σ 1 X t Y βa t T grando da a T, si ha T ti D t X ti σ 1 X t Y βa t T dt = Y βa ti T dt o i tk i = Y ti atβ tk β tk 1 dt = Y ti βtk β tk 1 t k 1 k=1 = Y ti β ti = Z ti. k=1 Inseriamo quest ultima scrittura di Z in 5.13 e otteniamo [ T ǫ uǫ x = E x ǫ= m i=1 da cui, usando la regola della catena 2.1, [ T ǫ uǫ x = E x ǫ= i ΦX t 1,...,X tm D t X ti σ 1 X t Y t βa T dt ] D t ΦX t1,...,x tm σ 1 X t Y βa t T dt Ora vorremmo applicare la formula 2.1; per fare questo abbiamo bisogno di verificare che il termine V t := σ 1 X t Y βa t T appartenga al dominio di δ. Ma il processo {σ 1 X t Y t } t [,T] appartiene a L 2 Ω [,T] ed è F t -adattato, β a il termine T appartiene a D 1,2 e V t è F T -adattato. Pertanto, applicando il Teorema 2.15, si ha che V T appartiene al dominio di δ e, più precisamente, vale T T a δv t = β T [σ 1 X t Y t ] dw t D βa t T σ 1 X t Y t dt È sufficiente applicare la formula 2.1 al termine 5.14 per ottenere la tesi. 89 ],

90 5. Le greche di opzioni con barriere discrete 5.2 Applicazione al modello di Heston In questa sezione applicheremo i risultati fin qui ottenuti per avere delle espressioni esplicite per le greche di opzioni con barriera, quando il modello considerato è quello di Heston. Supponiamo di avere un sottostante, i cui prezzi sono rappresentati dal processo {S t } t [,+, che segua delle dinamiche del tipo ds t = rs t dt + v t S t dw 1 t dv t = κθ v t dt + ν v t d W t, 5.15 dove {W 1 t } t [,+ e { W t } t [,+ sono due processi di Wiener standard correlati, con coefficiente di correlazione pari a. Considerato il vettore aleatorio V t = S t,v t, si ha subito che la SDE 5.15 può essere riscritta nella forma dv t = AV t dt + BV t dw t, 5.16 dove {W t } t [,+ = {Wt 1,Wt 2 } t [,+ è un processo di Wiener standard bidimensionale e le funzioni A e B sono definite come rx Ax,y =, 5.17 Bx,y = κθ y x y ν y ν 1 2y Purtroppo, come si vede bene osservando i termini 5.17 e 5.18, il Teorema 2.18 di esistenza e unicità, letto nel caso bidimensionale, non può essere applicato al processo V t. Infatti la funzione B è evidentemente non Lipschitziana compaiono delle radici quadrate. Dunque, al fine di garantire l esistenza e l unicità della soluzione, sarà necessario enunciare un rafforzamento del Teorema Teorema 5.6. Siano µt,x e σt,x due funzioni reali e continue, definite su [,+ R, che soddisfano le seguenti condizioni: 1 Esiste una funzione continua λ definita su [,+ tale che σt,x σt,y λ x y, x,y R, dove λ è crescente, λ = e, per ogni ε >, ε 2 Esiste una costante K > tale che 1 λ 2 dz = +. z µt,x µt,y K x y, x,y R. 9

91 5.2 Applicazione al modello di Heston 3 Esiste una costante C tale che σt,x + µt,x C 1 + x 2, x R. Consideriamo la SDE S t = Z + t µs,s s ds + t σs,s s dw s Se E[Z 4 ] < +, l equazione 5.19 ammette un unica soluzione sull intervallo [,T], per ogni T. L unicità si intende nel senso che, se {X t } t [,+ e {Y t } t [,+ sono due soluzioni di 5.19, allora, per ogni t [,T], X t = Y t P-q.c. Inoltre tale soluzione {S t } t [,+ soddisfa [ E ] sup S t 2 +. t [,T] Per la dimostrazione di questo risultato si veda [31]. Osservazione 5.7. Si noti che la funzione σx = x soddisfa le ipotesi del Teorema con λx = x. Il Teorema 5.6 non può essere applicato alle dinamiche di Heston 5.15, in quanto non esiste una versione multidimensionale di tale Teorema. Però il Teorema 5.6 può essere applicato prima all equazione differenziale che coinvolge le dinamiche della volatilità in quanto tale equazione non dipende dalle dinamiche del prezzo S e poi, dimostrata l esistenza e unicità del processo di volatilità, alla SDE che definisce le dinamiche del prezzo S. Affinché il processo v soddisfi le ipotesi del Teorema 5.6 è necessario che v sia strettamente positivo. A questo proposito introduciamo la seguente ipotesi, sufficiente a garantire la stretta positività del processo di volatilità per i dettagli si veda [26] Ipotesi 5.8. Nel modello di Heston si suppone che 2κθ > ν 2. Sistemata l esistenza e unicità della soluzione rimane da risolvere il problema della derivabilità della soluzione di 5.15 nel senso di Malliavin. Infatti, in questo caso, il Teorema 2.2 non è applicabile, sempre a causa delle radici quadrate che non sono derivabili nell origine. Anche la questione della derivabilità della soluzione nel senso di Malliavin è risolvibile attraverso l uso di alcuni risultati più generali ed avanzati. L idea alla base di questi risultati è sempre quella di approssimare i coefficienti irregolari del modello di Heston con termini differenziabli e con derivate Lipschitziane e limitate. 91

92 5. Le greche di opzioni con barriere discrete Purtroppo, molto spesso, questo passaggio al limite non è affatto facile e richiede risultati molto avanzati di probabilità. Dunque in questa tesi ci limiteremo a dire che le soluzioni del modello di Heston sono effettivamente derivabili secondo Malliavin. Per i dettagli si vedano gli articoli [15] e [1]. Ora che ci siamo accertati della regolarità della soluzione, effettuiamo un cambio di variabili, che renderà più snelli i passaggi che faremo in seguito. Definiamo il processo {L t } t [,+ come L t = ln S t. Grazie alla formula di Itô le equazioni 5.15 diventano dl t = r 1 2 v tdt + v t dw 1 t dv t = κθ v t dt + ν v t dw 1 t + 1 2dW 2 t. Detto X t = L t,v t si ha 5.2 dx t = βx t dt + σx t dw t, 5.21 dove {W t } t [,+ = {Wt 1,W t 2} t [,+ è un processo di Wiener standard bidimensionale e, detta µ = 1 2, β e σ sono βx,y = σx,y = r 1 2 y κθ y y ν y νµ y, L equazione 5.4 dice che il processo di variazione prima Y t relativo a X segue le dinamche dy t = β X t Y t dt + σ 1 X ty t dwt 1 + σ 2 X ty t dwt 2 Y = I 2, dove I 2 è la matrice identità bidimensionale. Siamo finalmente pronti per effettuare il calcolo delle greche Il calcolo di Rho 5.24 Corollario 5.9. Sia fissato un insieme di tempi {t 1,...,t m } e una funzione payoff Φ : R m R tale che E [ ΦS t1,...,s tm 2] < +. Allora vale ρ = r E[e rt ΦS t1,...,s tm S = s] T =E [e s rt ΦS t1,...,s tm TE s [e rt ΦS t1,...,s tm ], dove E s [ ] = E[ S = s] 92 1 vt dw 1 t T ] µ dwt 2 v t

93 5.2 Applicazione al modello di Heston Dimostrazione. Il Teorema 5.2 ci dice che, scelta una funzione γ limitata, considerato il processo bidimensionale perturbato {X ǫ t } t [,T] tale che e detta dx ǫ t = [βxǫ t + ǫγxǫ t ]dt + σxǫ t dw t 5.25 u ǫ s,v = E [ ΦS ǫ t 1,...,S ǫ t m X ǫ = s,v ] dove i termini St ǫ rappresentano il numero e elevato alla prima componente del processo perturbato Xt, ǫ si ha [ T ǫ uǫ s,v ] = E ΦS t1,...,s tm σ 1 γx t,dw t X = s,v. ǫ= 5.26 La greca ρ, ossia la derivata della funzione prezzo rispetto al tasso di interesse r, verifica ρ = e rt r Es [ΦS t1,...,s tm ] TE s [e rt ΦS t1,...,s tm ] Osservando le dinamiche 5.25 si nota che, per ogni v,+, vale l uguaglianza r Es [ΦS t1,...,s tm ] = ǫ uǫ s,v quando si sia scelta come funzione γ il termine costante 1 γx,y =. Pertanto si ha ρ = e rt ǫ uǫ s,v TE s [e rt ΦS t1,...,s tm ] ǫ= ǫ= Notiamo che, quando esiste, l inversa della matrice di volatilità è σ 1 x,y = y 1 µ y 1 νµ y Moltiplicando tale matrice per il vettore γx,y = 1, e valutando in X t si ha T [ T 1 ] σ 1 γx t,dw t = vt dw 1 t µ v t dwt 2. = T 1 vt dw 1 t T. µ v t dw 2 t. Usando l ultima uguaglianza ottenuta in 5.26 e inserendo il tutto in 5.28 si ottiene la tesi. 93

94 5. Le greche di opzioni con barriere discrete Il calcolo di Delta Corollario 5.1. Nelle ipotesi del Corollario 5.9 vale, per ogni a H m, = S E[e rt ΦS t1,...,s tm S = s] =E s [ e rt ΦS t1,...,s tm 1 S T at vt dw 1 t T Dimostrazione. Il Teorema 5.3 ci dice che, detta u la funzione ux = E [ΦX t1,...,x tm X = x] e scelta un arbitraria funzione a H m, si ha ] at µ dwt 2 v t T ] ux = E [ΦX x t1,...,x tm at[σ 1 X t Y t ] dw t Sia v il valore iniziale della volatilità e definiamo x = s,v. Allora la 5.29, considerato che il payoff dipende solamente dai valori assunti dal sottostante S t e non dalla volatilità v t, diventa E x [ΦS t1,...,s tm ], E x [ΦS t1,...,s tm ] = L v = E x [ΦS t1,...,s tm T at[σ 1 X t Y t ] dw t ]. 5.3 A questo punto ci interessa calcolare il termine σ 1 X t Y t dove Y t è il processo di variazione prima relativo a X t, scrivendo in maniera esplicita i termini di Y. La componente di posizione 2,1 delle dinamiche del processo di variazione prima 5.24 segue la SDE t = κy 2,1 t dt + ν 2 v t Y 2,1 t dwt 1 + νµ 2 v t Y 2,1 t dwt 2 dy 2,1 Y 2,1 = È immediato verificare che una soluzione di 5.31 è Y 2,1 t =, per ogni t [,T]. Dunque, grazie al Teorema di esistenza e unicità 2.18, questa è l unica soluzione di Allo stesso modo scriviamo le dinamiche del termine in posizione 1,1 dy 1,1 t = Y 1,1 = 1,

95 5.2 Applicazione al modello di Heston ossia Y 1,1 t = 1 per ogni t [,T]. Ne segue che σ 1 X t Y t = Osservando che 1 vt µ v t Y t 1,2 1 vt νµ v t Y 2,2 t µ v t Y 1,2 t S = S ln S = S L, riscriviamo solamente la prima componente di 5.3: E x [ΦS t1,...,s tm ] = S E x [ΦS t1,...,s tm ] = L S T T = E s [ΦS t1,...,s tm at vt dw 1 t at µ dwt 2 v t ]. A questo punto è sufficiente moltiplicare il secondo e il terzo termine dell ultima espressione per il fattore e rt S per ottenere la tesi Il calcolo di Vega v Corollario Nelle ipotesi del Corollario 5.9 si ha, per ogni a H m T V v =E [e s rt aty 1,2 t ΦS t1,...,s tm dwt 1 + vt T + aty 2,2 t νµ v t at Y 1,2 t µ v t dw 2 t Dimostrazione. Per ottenere la tesi è sufficiente prendere la seconda componente dell uguaglianza 5.3 e utilizzare l equazione Il calcolo di Vega θ Corollario Nelle ipotesi del Corollario 5.9 vale T V θ = E [e s rt ΦS t1,...,s tm ] ] κ νµ dwt 2. v t Dimostrazione. Si procede come nella dimostrazione del Corollario 5.9, questa volta scegliendo il vettore gamma come γx,y =. κ. 95

96 5. Le greche di opzioni con barriere discrete Il calcolo di Vega vt Come già detto nel paragrafo siamo interessati a definire un ulteriore greca, oltre V θ e V v, che quantifichi le variazioni del prezzo di un opzione rispetto ad un parametro legato alla volatilità. Data un opzione di funzione payoff Φ : R m R, per ogni ǫ > consideriamo il processo perturbato {S ǫ t } t [,T] definito da Definiamo la funzione reale ds ǫ t = rsǫ t dt + v t + ǫs ǫ t dw 1 t dv t = κθ v t dt + ν v t d W t. u ǫ x = E [ ΦS ǫ t 1,...,S ǫ t m S ǫ = x ]. Allora la greca V vt è definita come V vt = ǫ uǫ x. ǫ= 5.34 Si noti che la buona definizione di V vt è garantita dal Teorema 5.5. Per calcolare V vt avremo bisogno della versione multidimensionale del Teorema Proposizione Sia V una variabile aleatoria d-dimensionale tale che V i D 1,2 per ogni i {1,...,d} e sia {Z t } t [,T] una matrice d d di processi stocastici tali che tutte le colonne Z j Domδ, per j {1,...,d}. Supponiamo inoltre che, per ogni indice, valga V i Z i L 2 Ω [,T];R d. Allora Z V Domδ e vale T δz V = V δz Tr D t V Z t dt. Per la dimostrazione della Proposizione si veda la Proposizione di [28]. Corollario Nelle ipotesi del Corollario 5.9 vale V vt = [ { m [ E e rt 1 ΦS t1,...,s tm t i=1 i t i 1 ti dw 1 ti t dwt 2 t i 1 S vt t i 1 S 1 2v t S W 1 t i W 1 t i 1 ti ]}] ti 1 dt. t i 1 vt t i 1 vt dt 96

97 5.2 Applicazione al modello di Heston Dimostrazione. Consideriamo le SDE perturbate dst ǫ = rstdt ǫ + v t + ǫstdw ǫ t 1 e sia dv t = κθ v t dt + ν v t dw 1 t + 1 2dW 2 t, 5.35 X ǫ t = S ǫ t v t con la solita convenzione X t = Xt. Notiamo che la 5.35 è esattamente la 5.1 nel caso in cui si sia scelta la funzione σ : R 2 R 4 tale che 1 σx,y =., Sappiamo che, considerato il processo Z ǫ t definito nella sezione 5.1.3, vale Z ǫ t = Xǫ t ǫ. Poiché la seconda equazione di 5.35 non dipende da ǫ e il termine v t non dipende da St ǫ, si ha che la seconda componente di Zǫ è identicamente nulla, in particolare Z 2 t =. Cerchiamo ora di ricavare un espressione esplicita del termine β t = Yt 1 Z t. Si noti che il processo Y in questo caso, a differenza di quanto fatto nella dimostrazione del Corollario 5.1, è il processo di variazione prima relativo a X, ossia alle dinamiche 5.15 originarie del modello di Heston in 5.1 si prendeva il processo di variazione prima dopo il passaggio al logaritmo. Cominciamo scrivendo esplicitamente la SDE relativa alla componente di posizione 2,1 delle dinamiche del processo di variazione prima Y : t = κy 2,1 t dt + ν 2 v t Y 2,1 t dwt 1 + νµ 2 v t Y 2,1 t dwt 2 dy 2,1 Y 2,1 =, 5.36 da cui si deduce che Y 2,1 è identicamente uguale a zero. Tenendo conto di questo fatto scriviamo le equazioni relative al termine di posizione 1,1: dy 1,1 t = ry 1,1 t dt + v t Y 1,1 t dwt 1 Y 1,1 = Confrontando quest ultima SDE con la prima equazione di 5.35 si nota che Y 1,1 t = S t S, t

98 5. Le greche di opzioni con barriere discrete Di conseguenza si ha Y t = Ne segue β t = Y 1 t Z t = St S Y 1,2 t Y 2,2 t S /S t, Y 1 t = S 1,2 Yt S ty 2,2 t 1 Y 2,2 t S /S t S 1,2 Yt S ty 2,2 t 1 Y 2,2 t Z 1 t = S Z 1 t S t A questo punto ci interesa trovare una scrittura esplicita del termine Z 1 t. Usando la formula di Itô è facile verificare che { t St ǫ = S exp r 1 2 v s + 2ǫ v s + ǫ 2 ds + t t ǫ Sǫ t = St ǫ v s ǫds + Wt 1. Dunque, ponendo ǫ =, si ha t Z 1 t = S t Wt 1 vs ds. v t + ǫdw 1 s Inserendo quest ultima espressione in 5.4 si ottiene S β t = Wt 1 t vs ds Siamo ora interessati a calcolare la derivata di Malliavin di β t. Ovviamente quando t s, si ha che D t β s =. Riduciamoci dunque al caso in cui s > t. Essendo β 2 nullo poiché Z 2 =, avremo D t β s 2,1 = D t β s 2,2 =. Invece, detto D t β s 1 = D t β s 1,1,D t β s 1,2, utilizzando la 5.41 si ha s D t β s 1 = S 1, D t v u du. Dunque, applicando la regola della catena ad una successione di processi regolari approssimanti il termine v t, si ha D t β s 1 =S 1, 1 s 1 D t v u du 2 t vu s vt u =S ν, 1 2du, , 1 2 t t vu Y 2,2 98 Y 2,2 t },

99 5.2 Applicazione al modello di Heston dove nell ultimo passaggio abbiamo usato il Teorema Sia ora B la matrice di volatilità del modello di Heston, definita da La sua inversa è Di conseguenza B 1 X t Y t = B 1 x,y = 1 x y x 1 2y 1 ν 1 2y 1 Y 1,2 t S vt S t vt 1,2 t Y + S 1 2vt S t 1 2vt. Y s,2 t ν 1 2vt Poiché la seconda riga di D t βx t è nulla, si ha che la traccia di Dt β s B 1 X t Y t è uguale all elemento di posizione 1,1 della matrice stessa. Dunque, utilizzando le espressioni 5.42 e 5.43, Tr D t β s B 1 X t Y t = 1 vt I t,+ s Per applicare il Teorema 5.5 abbiamo bisogno di calcolare il termine m δ B 1 X Y βa T = δ B 1 X Y a β ti β ti 1 I[ti 1,t i. Come at scegliamo la funzione costante a tratti tale che, per ogni t [,T], vale 1 at = se t [t i 1,t i. t i t i 1 Quindi, inserendo questa specifica a nell espressione precedente ed utilizzando la linearità dell operatore di Skorohod, otteniamo m δ B 1 X Y βa T = δ B 1 βti β ti 1 X Y. t i t i 1 i=1 Applicando la Proposizione 5.13 all ultimo termine e usando il fatto che il processo B 1 X t Y t è adattato si ha { m δ B 1 X Y βa T = βti β ti 1 ti [ B 1 ] X t Y t dwt t i=1 i t i 1 t i 1 1 ti Tr [ } D t β ti β ti 1 B 1 ] X t Y t dt t i t i 1 t { m βti β ti 1 ti [ = B 1 ] X t Y t dwt t i=1 i t i 1 t i 1 } 1 ti dt, 5.45 t i t i 1 vt i=1 t i

100 5. Le greche di opzioni con barriere discrete dove nell ultimo passaggio si è usata la 5.44, la linearità della derivata di Malliavin e dell operatore traccia e il fatto che D t β ti 1 = per ogni t > t i 1. Ricordando che β ti β ti 1 = S Wt 1 i Wt 1 i 1 t i t vt i 1 dt si può sviluppare il prodotto nel primo integrale di 5.45, usando l espressione di B 1 X t Y t data da Infine è sufficiente inserire l espressione di δ B 1 X Y βa T trovata in 5.12 per ottenere la tesi Il calcolo di Gamma Corollario Nelle ipotesi del Corollario 5.9 si ha, per ogni a H m, Γ = E s [ e rt ΦS t1,...,s tm 1 T S 2 at T dwt 1 vt Dimostrazione. Sappiamo che dove µ = 1 2 e T at µ dwt 2 v t = E s [ e rt ΦS t1,...,s tm 1 S T pt = at vt at µ v t at vt dw 1 t T. T at 2 µ 2 v t dt pt dw t ], at µ dwt 2 v t ]. Grazie all fatto che il termine T pt dw t non dipende da S si ha Γ = S [ =E s e rt 1 ΦS t1,...,s tm S S [ E s e rt ΦS t1,...,s tm 1 T S 2 = Γ 1 + Γ 2. T pt dw t ] pt dw t ] Il termine Γ 2 è già nella forma giusta, quella della nostra tesi. Occupiamoci dunque solamente del caso Γ 1. Procedendo in maniera da ripercorrere 1 2

101 5.2 Applicazione al modello di Heston i passi della dimostrazione del Teorema 5.3 si arriva senza intralci fino all equazione 5.9, che riscritta nel nostro caso diventa: [ T T ] ux =E s D t ΦS t1,...,s tm atb 1 X t Y t pt dw t T ] =E [ΦS s t1,...,s tm δ atb 1 X t Y t pt dw t T =E [ΦS s t1,...,s tm +E s [ΦS t1,...,s tm = u 1 x + u 2 x. T pt dw t δ atb 1 X t Y t ] D t T ] pt dw t atb 1 X t Y t dt Si osservi che il termine Γ 1 coincide esattamente con la prima componente del trasposto di u, opportunamente moltiplicato per e rt /S, ossia Γ 1 = e rt S ux 1 = e rt S e rt S u 1 x 1 = E s u 1 x 1 + e rt S u 2 x 1. Inoltre, usando i conti fatti nella dimostrazione del Corollario 5.9, si ottiene facilmente [ e rt S 2 T 2 ] ΦS t1,...,s tm pt dw t, che è un altro dei tre elementi che compongono la scrittura di Γ della nostra tesi. Dunque rimane solamente da mostrare che T u 1 x 1 = E [ ΦS s t1,...,s tm Calcoliamo la derivata di Malliavin D t T pt dw t Jt,s = asy 2,2 s 2v s vs Y 2,2 t ν v t, at 2 ] S µ 2 dt v t ; detto grazie alla relazione Dδ = I + δd e al fatto che p è adattato si ha D t T T ps dw s = pt + δ D t p = pt + D t ps dw s. 11

102 5. Le greche di opzioni con barriere discrete D t T T ps dw s = pt + t T = pt + t T = pt + t as 2v s vs D t v s as 2µv s vs D t v s 2 µ µ dw s Jt,s dw s Jt,sdWt 1 2 µ Jt,sdW t 2 µjt,sdwt 1 Jt,sdW t 2 abbiamo usato la regola della catena e l espressione della derivata di Malliavin di v già usata in Infine, andiamo ad inserire quest ultima espressione all interno di u 2 : u 2 x 1 = u 2 x 1 = T [ T ] 1 =E s ΦS t1,...,s tm D t pt dw t atb 1 X t Y t dt =E s [ΦS t1,...,s tm T Utilizzando l espressione 5.43 si ha: [B at 1 ] T ] 1 ] X t Y t [D t pt dw t dt., 5.47 [ B at 1 ] 1 at 2 2at 2 X t Y t pt = + S v t S µ 2 = at2 v t S µ 2, 5.48 v t B at[ 1 T X t Y t T = t T t at T Jt,sdWt 1 S vt t at S vt Jt,sdW 1 t + T t ] Jt,sdWt µ Jt,sdW t 2 µjt,sdwt 1 Jt,sdWt 2 = 2at S µ Jt,sdWt v t t 2at S µ v t Jt,sdW 2 t =. A questo punto è sufficiente inserire 5.48 e 5.49 in 5.47 per ottenere l equazione Il Corollario è dunque dimostrato. 12

103 5.3 Risultati Numerici 5.3 Risultati Numerici In quest ultima sezione presentiamo alcuni risultati numerici, ottenuti con l aiuto del calcolatore, sull approssimazione delle greche di opzioni con barriera con metodi Monte Carlo. Lo scopo è quello di confrontare la convergenza del metodo delle differenze finite con la convergenza dei metodi presentati nei paragrafi precedenti. Abbiamo simulato le greche di una Put down-and in nel modello di Heston. La scadenza dell opzione è un anno dopo la data di sottoscrizione T =1 e la barriera è monitorata giornalmente si suppone che i prezzi si muovano tutti i giorni dell anno, dunque t i t i 1 = 1/365 per ogni i = 1,...,365. La barriera inferiore L è costante e pari a 8, lo strike della Put è K = 9 e il prezzo iniziale del sottostante è S = 1. Gli altri parametri del modello sono stati scelti in questo modo: r =.3, v =.625, κ =.1, ν =.5, θ =.625 e =.1 si noti che tali parametri soddisfano l ipotesi 5.8. Per ottenere i grafici riportati di seguito sono state effettuate N = 1 simulazioni delle traiettorie dei prezzi. Sull asse delle ascisse è riportato il numero n delle simulazioni e sull asse delle ordinate è riportata la media aritmetica mn dei valori a scadenza dell opzione nelle prime n simulazioni. Figura 5.1: Rho: confronto delle velocità di convergenza dei metodi Monte Carlo con il peso calcolato nel Corollario 5.9 in rosso e con il metodo delle differenze finite in blu x

104 5. Le greche di opzioni con barriere discrete Figura 5.2: Delta: confronto delle velocità di convergenza dei metodi Monte Carlo con il peso calcolato nel Corollario 5.1 in rosso e con il metodo delle differenze finite in blu x 1 4 Figura 5.3: Gamma: confronto delle velocità di convergenza dei metodi Monte Carlo con il peso calcolato nel Corollario 5.15 in rosso e con il metodo delle differenze finite centrate in blu x

105 5.3 Risultati Numerici Figura 5.4: Vega v : confronto delle velocità di convergenza dei metodi Monte Carlo con il peso calcolato nel Corollario 5.11 in rosso e con il metodo delle differenze finite in blu x 1 4 Figura 5.5: Vega θ : confronto delle velocità di convergenza dei metodi Monte Carlo con il peso calcolato nel Corollario 5.12 in rosso e con il metodo delle differenze finite in blu x

106 5. Le greche di opzioni con barriere discrete Figura 5.6: Vega vt : confronto delle velocità di convergenza dei metodi Monte Carlo con il peso calcolato nel Corollario 5.14 in rosso e con il metodo delle differenze finite in blu x 1 4 Come si può vedere dai grafici non è possibile stabilire quale dei due metodi sia il migliore. Infatti per le greche ρ, V θ e V v sembra funzionare meglio la procedura che utilizza il calcolo di Malliavin mentre per Γ il metodo delle differenze finite sembra avere una convergenza più veloce. Per le greche e V vt la velocità di convergenza sembra essere circa la stessa. Osservazione Nei Corollari 5.1, 5.15 e 5.11 si ottengono pesi diversi scegliendo diverse funzioni at H m = { a L 2 [,T] : ti Nelle simulazioni il peso at è stato scelto come } atdt = 1 i = 1,...,m. at = 1 t 1 I [,t1 ]t = 365 I [,t1 ]t. È possibile che esistano scelte di at che riducano la varianza della simulazione e che, di conseguenza, migliorino la velocità di convergenza. 16

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