Esercizi su leggi Gaussiane

Transcript

1 Esercizi su leggi Gaussiane. Siano X e Y v.a. indipendenti e con distribuzione normale standard. Trovare le densità di X, X +Y e X, X. Mostrare che queste due variabili aleatorie bidimensionali hanno le stesse distribuzioni marginali.. Siano X e X N 0, e indipendenti. Posto Y X X e Y X +X, mostrare che Y e Y sono indipendenti. E se fosse Y X 3 X, Y 3 X + X? 3. trasformata di Laplace di un vettore Gaussiano Si consideri in IR n il vettore aleatorio Gaussiano X N b, C, ovvero con vettore delle medie b e matrice di covarianza C; mostrare che θ IR n Ee <θ,x> e <θ,b> e <Cθ,θ> 4. Sia x N µ, σ, trovare la densità di Y e X legge lognormale. Calcolare inoltre i momenti di Y. 5. Sia X N µ, σ. Calcolare Ee tx, t > Sia {X n } una successione di v.a. Gaussiane m-dimensionali tali che X n N b n, Γ n. Supponiamo che, per n, b n b e Γ n Γ. Mostrare che X n converge in legge ad un vettore Gaussiano di legge N b, Γ. 7. esempio di v.a. Gaussiane la cui legge congiunta non è Gaussiana - ciò accade poiché X e Y non sono indipendenti. Siano X, Z v.a. indipendenti con X N 0, e P Z P Z. Sia Y XZ. Mostrare che: i Y N 0, ii X + Y non ha distribuzione normale iii Il vettore aleatorio X, Y non è normale.

2 . Il vettore aleatorio X, Y N 0, I. i Soluzioni degli Esercizi su leggi Gaussiane X, X + Y T X A, A Y Dunque X X + Y Ma Γ AA T 0 e detγ. La densità di X, X + Y è: oppure: Da N 0, AIA T 0 0 X Y gy gy, y π exp < Γ y, y > gy, y [ y m exp ρ σ si ottiene σ, σ, covy, Y ; πσ σ ρ ρ y m y m σ σ + y m σ Γ σ covy, Y covy, Y σ ρ covy, Y σ σ ; m m 0. ] Allora: e risulta: exp gy, y π / [ y y y + y / π exp{ y y y + y /} Y N 0,, Y N 0,. ] ii X X X 0 B, B Y 0

3 BB T Siccome detbb T 0, il vettore aleatorio X, X non ha densità. Però, le marginali di X, X hanno leggi N 0, e N 0,, essendo σ, σ ; stavolta, ρ. Chiaramente, sia nel caso i che ii, le componenti non sono indipendenti, essendo ρ 0.. i Si ha: Y X A, A Y X Pertanto: Γ AA T Y Y N 0, AIA T 0 0 quindi ρ 0, σ σ. Dunque, Y e Y sono indipendenti ed hanno legge Gaussiana di parametri 0,. ii Si ha: Y X / 3/ B, B 3/ / Quindi Y X Γ BB T / 3/ / 3/ 3/ / 3/ / Y Y N 0, I 0 I 0 Notare che B è una matrice ortogonale, cioè B B T, ovvero B T B BB T I, precisamente B rappresenta una rotazione antioraria di π/3. Ricordiamo che una rotazione antioraria di un angolo θ è rappresentata da: cos θ sin θ B sin θ cos θ, detb Una rotazione oraria di un angolo θ è rappresentata da: B cos θ sin θ sin θ cos θ, detb 3. Poniamo: φθ E e i<θ,x> funzione caratteristica ψθ E e <θ,x> trasformata di Laplace 3

4 Risulta ψθ φ iθ. Siccome per X N b, C vale φθ e i<θ,b> e <Cθ,θ>, allora: Ma: ψθ φ iθ e <θ,b> e <C iθ, iθ> < C iθ, iθ > i i < Cθ, θ > < Cθ, θ > per cui la trasformata di Laplace del vettore Gaussiano X Nb, C è: ψθ e <θ,b> e <Cθ,θ> 4. Se Y e X, si ha per y > 0, P Y y P e X y P X ln y. Derivando, si ottiene la densità di Y : f Y y f X ln y y da cui: Si ha poi: f Y y ψt E e ty e EY k ψ k 0. Oppure, si può procedere nel modo seguente: σy ln y µ π e σ + o e ty f Y ydy EY k E e X k E e kx ψ X k che, per l Esercizio 3, è uguale a: e µk e σ k Dunque, per k si ottiene: EY e µk e σ e µ+σ / Per k si ottiene: EY e µ e 4σ e µ+σ Infine: V ary EY E Y e µ+σ e µ+σ e µ+σ e σ 4

5 5. Si ha: La funzione integranda si può scrivere come: E e tx + e tx σ x µ π e σ σ π exp{ σ x µx + µ σ tx } σ π exp{ σ [x σ t µx + µ ]} L integrale, chiaramente, diverge se σ t 0, ovvero t σ. Se invece t < σ : e quindi E [ ] x σ t e tx e σ µ t + σ t µ σ µ t σ t σ t σ π e x σ σ t µ σ t dx Effettuando la sostituzione x σ t y, si trova che l integrale vale / σ t ed infine: E e tx σ µ t e σ t, t < σ t σ 6. Per il Teorema di Levy, la convergenza in legge equivale alla convergenza delle funzioni caratteristiche. Si ha: φ Xn θ e i<θ,b n> e <Γ nθ,θ> che, per n, tende a e i<θ,b> e <Γθ,θ> φ X θ, con X N b, Γ. Pertanto, X n converge in legge ad X N b, Γ. 7. i Si ha: P Y t P XZ t P XZ t, Z + P XZ t, Z per l indipendenza di X e Z P X t, Z + P X t, Z P X tp Z + P X tp Z [P X t + P X t] [Φt + Φ t] [Φt + Φt] [Φt] Φt P X t Φt 5

6 qui Φt è la funzione di distribuzione della v.a. Gaussiana standard. Dunque, anche Y N0,. ii Calcoliamo la funzione caratteristica di X + Y ; si ha: φ X+Y t E e itx+y E e itx+xz E e itx+z E e itx+z {Z} + E e itx+z {Z } E e itx + E e 0 itx φ Xt + e t +. Questa non è la funzione caratteristica di una v.a. normale, che è del tipo e iµt e σ t /. iii Il vettore aleatorio X, Y non può essere Gaussiano: se lo fosse X+Y sarebbe normale, essendo, ad esempio, X + Y la prima marginale di X, Y e considerato il fatto che una trasformazione lineare di un vettore Gaussiano è ancora un vettore Gaussiano, come pure lo sono le sue componenti. 6