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1 Variabili Aleatorie Valor medio statistico (o valore atteso: μ + { } ( = E = x f ( x dx Se g( è una funzione di V.A., si ha: + { ( } = ( ( E g g x f x dx Esempi di valore atteso di funzione di variabile aleatoria. a Varianza Si può dimostrare che: b Deviazione standard ( { } = var = {( } ( { } E E { } { } { } ( = E E = E E = var (

2 c Momento di ordine n: Variabili Aleatorie + n n { } = ( E x f xdx (si noti che il momento di ordine 1 è il valor medio, mentre il momento di ordine coincide con la varianza nel caso di V.A. a media nulla d Funzione caratteristica: + ω ( ω { } ( I = = j x jωx E e f x e dx (legata alla trasformata di Fourier della densità di probabilità Espressione alternativa: e Funzione generatrice dei momenti ( ν { } + jπν x jπν x ( I = E e = f x e dx + tx tx M ( t = E{ e } = f ( x e dx

3 Valgono le seguenti proprietà: Variabili Aleatorie n n n d E{ } = ( j I = j I n dt ( n n ( 0 ( ( ω n n ( n { } d E = M ( 0 = M ( t dt n t = 0 Quindi, una volta note la funzione caratteristica oppure la funzione generatrice dei momenti, è possibile ricavare tutti i momenti di qualsivoglia ordine attraverso semplici operazioni di derivazione. ω= 0

4 Alcune V.A. di interesse pratico 1 V. A. uniforme sull intervallo reale [a,b]. In breve, si scrive: La p.d.f. è espressa da: ([ ] U a, b mentre la cumulativa (CDF è: Si dimostra facilmente che: a+ b μ E{ } 1 a < x < b f ( x = b a 0 altrove 0 x a 1 F ( x = ( x a a< x< b b a 1 x b = = var ( ( = = b a I ( ω = 1 jω ( b a 1 e jωb e jωa

5 Alcune V.A. di interesse pratico ( V. A. normale o gaussiana. In breve, si scrive: La p.d.f. è espressa da: La cumulativa è: (, N μ 1 f ( x e π ( ( x μ = dove x 1 = π ( t μ F x e dt μ { } ( = E = μ = var = e non è esprimibile in forma chiusa tramite funzioni elementari. Tuttavia, l integrale a secondo membro si può risolvere per via numerica. Si definisce usualmente la funzione errore: ( x t erf x = e dt [ funzione dispari di x ] π 0

6 Alcune V.A. di interesse pratico (3 Si noti che risulta: 1 P( x = erf ( x, per Nμ = 0, = Inoltre, si può dimostrare facilmente che: ( t μ x 1 1 x μ F ( x = e dt = 1 + erf π Solitamente, si usa la funzione errore complementare (disponibile in forma tabulare valori ottenuti con integrazione numerica: erfc( x = 1 erf ( x Alcune proprietà delle funzioni erf ed erfc: erf ( = 1, erf (0 = 0, erf ( = 1

7 Alcune V.A. di interesse pratico (4 erfc ( =, erfc (0 = 1, erfc ( = 0 erfc( x = 1 erf ( x = 1 + erf ( x = erfc( x Alla fine si ottiene quindi un espressione compatta per la CDF della VA V.A. normale: ( t μ x 1 1 x 1 F ( x = e dt = erfc = erfc x μ μ 1 π La funzione caratteristica è: j ( e ωμ ω ω I = 1

8 Alcune V.A. di interesse pratico (4 3 V. A. log-normale La p.d.f.. è espressa essa da: ( 1 ( ln y μ e y > F Y y = y π 0 0 altrimenti Si noti che tale funzione è ottenibile applicando la trasformazione =ln(y, essendo N( μ,, 0. Si ricordi infatti la regola di trasformazione delle p.d.f.: f ( x i ( x n fy ( y = con x i ( i= 1 g 1,x,,x n soluzioni dell equazione y=g(x i La cumulativa non è esprimibile in forma chiusa tramite funzioni elementari, ma usando le funzioni erf e erfc si ha: F Y ( y 1 1 ln y μ 1 μ ln y + erf = erfc y > 0 = 0 altrimenti

9 Alcune V.A. di interesse pratico (5 Anche se la cumulativa non è esprimibile analiticamente, qualora interessi valutare la probabilità che una V.A. log-normale appartenga a un intervallo reale, si può aggirare il problema riconducendosi ad una V.A. gaussiana, e determinare poi tale probabilità con l ausilio della funzione erfc. efc. Ad esempio, se una uaga grandezza aaeato aleatoriaespressaessa in unità lineari ha distribuzione log-normale, la medesima grandezza, espressa in db, seguirà una distribuzione gaussiana! μ 1 μ Y EY [ ] ee e μ + = = = La funzione caratteristica della V.A. log-normale non è esprimibile analiticamente in forma chiusa. Risulta: 1 μ ( ( ( μ + ( = var = = 1 Y Z e e e e e x μ + exp p( ( x + jω 1 I Y ( ω = e dx con x = ln y π

10 Alcune V.A. di interesse pratico (5 4 V.A. di Rayleigh. In breve, si scrive: Rayleigh( La p.d.f. è espressa da: f = x e 0 x x e 0 0 ( x altrimenti Osservazione: in letteratura è diffusa anche la seguente espressione della pdf di Rayleigh: x x f ( x = e x 0 Da essa è possibile comunque passare alla precedente con il cambio di variabile: x x dx = dx. Si ha infatti, applicando la proprietà p di normalizzazione: x ( x ( x x x dx x f ( x dx= e dx= e e dx 1 = = 0 0 0

11 Alcune V.A. di interesse pratico (6 Si può dimostrare che: F ( x x = 1 e x 0 0 altrimenti I momenti del primo e secondo ordine e la varianza sono: μ { } = E = { } E = π 4 π = var ( = Il massimo della funzione si ha per 1 e x = (figura e vale ( V.A. di Rayleigh Probability density function = 0.5 = 1 = = 3 =4

12 Alcune V.A. di interesse pratico (7 5 V.A. di Rice. In breve, si scrive: Rice(, μ La p.d.f. è espressa da:: f ( x x + μ x μ x e I 0 x 0 = 0 altrimenti dove μ è un parametro non negativo, mentre I 0 è la funzione di Bessel I 0 (x modificata di prima specie e di ordine zero, definita da: π 1 ξcosϑ In ( ξ = e cos ( nϑ dϑ n= 0,1,,... π π 1 π ξ cosϑ I0 ( ξ = e dϑ π π Si noti che per μ=0μ 0 la p.d.f. di Rice si riduce alla p.d.f. di Rayleigh.

13 Alcune V.A. di interesse pratico (8 Si può dimostrare che: μ x 1 QM, x 0 F ( x = 0 altrimenti Q M : funzione Q di Marcuum Principali momenti: π μ μ = E = L 1 [L ν (x polinomio di Laguerre] { } 1 { } 1 1 V.A. di Rice Probability density = 0 function μ = 0 μ = 0.5 μ = 1 μ = μ = 4 E = + μ = μ 1 + K μ dove K = fattore di Rice La p.d.f. df può anche essere espressa mettendo in evidenza il fattore diri Rice: f K ( x + μ x K μ x K e I x 0 = μ 0 altrimenti 0 ( x μ

14 Alcune V.A. di interesse pratico (9 6 V.A. Esponenziale. In breve, si scrive: La p.d.f. è espressa da: ( λ dove λ = ( exp 1 f ( x x 1 λx λe = e x 0 = 0 altrimenti F ( x La cumulativa (CDF è: x λx = 1 e = 1 e x 0 0 altrimenti

15 Alcune V.A. di interesse pratico (10 Per la V.A. esponenziale risulta: μ 1 λ 1 λ 4 = = 4 λ 1 I ω = = λ jω 1 jω = = ( 7 V.A. Binomiale. i E un esempio di V.A. discreta di notevole importanza pratica. Esprime la probabilità di avere k successi dopo n esperimenti ripetuti. Può assumere n valori, da 0 a n-1 n n 1 k n 1 k Pk = Prob { x= k} = p q, k = 0,1,..., n 1 k dove è il coefficiente binomiale e p e q rappresentano k probabilità di successo e insuccesso (risulta perciò p+q=1 Risulta inoltre: μ ω j ( (,, ω = np = npq I = q + pe n

16 Momenti di ordine n di alcune distribuzioni di probabilità DISTRIBUZIONE Momento di ordine n, { n } Uniforme Gaussiana di Rayleigh Esponenziale di Rice 1 b a n+ 1 b a n+ 1 n+ 1 E, n>0 1 n n k n k k k + 1 μ k= 0 ( k pari Γ π n k n n Γ 1 + n n n! ( n μ n n μ e Γ 1+ 1F11 +, 1 ; ( e e Log-normale nμ ( 1n Binomiale n 1 n k n 1 k k = 0 k n 1 p q k ( NOTA: Γ(x indica la funzione gamma e 1F1 α, β ; x la funzione ipergeometrica confluente

17 Distribuzioni bivariate Siano,Y due Variabili Aleatorie. Si può definire la funzione di distribuzione cumulativa congiunta (joint CDF: Y (, = (, F xy P xy y Analogamente si può definire la densità di probabilità congiunta (joint pdf: f Y x y F Y x y xy Valgono le seguenti proprietà: 1 F x FY x,, Y f x f x, y dy, (, = (, ( = ( F ( y = FY (, y ( = Y ( Y ( = Y ( f ( x fy ( y f ( x, y dxdy = 1 [ e pdf marginali ] 3 Y f y f x dx

18 Distribuzioni bivariate 4 (, = (, P x y A f Y x y dxdy e in particolare: 5 Y ( x, y A (, = ( < < +, < < + f x y dxdy P x x dx y Y y dy x y F xy, f xydxdy, Y ( ( = Y La coppia di V.A. (,Y è completamente descritta dalla cumulativa congiunta o dalla densità congiunta. Sia g(,y una funzione di Variabili Aleatorie. Si può definire il valore atteso: { (, } (, Y (, E g Y g Y f xydxdy =

19 Variabili Aleatorie Congiunte Esempi di valore atteso di funzione di V.A. a Funzione di correlazione corr, Y b Funzione di covarianza ( = E{ Y} ( ( { } ( { } { } cov Y, = E E Y EY Si può dimostrare che: Se =Y Y, si ha: Altre proprietà: cov ( Y, = E{ Y} E{ } EY { } ( = var ( = cov, var { + } = { } + { } ( a + by = a ( + b { Y } + ab ( Y E a by a E b E Y c Coefficiente di correlazione ρ var var var cov, Y ( Y E { Y } E { } EY { } cov, = = Y Y

20 Indipendenza e incorrelazione di V.A. 1 V.A. indipendenti: (, = ( ( f x y f x f y Y Y V.A. incorrelate: E{ Y} = E{ } E{ Y} Se, Y incorrelate, risulta anche ρ Y = 0 3 V.A. ortogonali: { } 0 E Y = - L indipendenza è una caratteristica molto più stringente delle altre - Se,Y sono entrambe a media nulla, ortogonalità e incorrelazione coincidono

21 Indipendenza e incorrelazione di V.A. ( Proprietà: a Siano, Y due V.A. indipendenti: allora esse sono anche incorrelate Si noti che il viceversa non è vero, in generale! [ Unica eccezione: il caso di V.A. gaussiane ] b Siano, Y due V.A. incorrelate: allora -E{} e Y-E{Y} sono ortogonali. Si ha quindi: ( { } { } ( { } = 0 E E Y E Y c Siano x, y due V.A. ortogonali. Allora: { ( + } = { } + { } E Y E E Y [ Se, Y sono V.A. che rappresentano le intensità di segnali, significa che vale la proprietà itàdi somma dll delle potenze, cioè ièche la potenza dl del segnale somma è uguale alla somma delle potenze]

22 Trasformazione di V.A. bidimensionali Z W = g(, Y = h (, Y ZW, funzioni di V.A. Y, La cumulativa congiunta è: { } ( ( Si può dimostrare che se il sistema di equazioni i { } FZW, ( zw, = P Z z, W w = P g Y, z, h Y, w z = w = g( x, y h( x, y { x, y} ammette le soluzioni i i, e in tali punti il determinante della matrice Jacobiana J ( x, y è non nullo, risulta: f ZW, ( z, w = ( ( y f x, y Y, i i det J x, i i i g g x y = h h x y

23 V.A. congiuntamente gaussiane Due VA V.A., Y si dicono congiuntamente gaussiane se risulta: ( N μ, ( Y N μ, Y Y eselapdf p.d.f. congiunta nta è: f Y ( x y ( x μ ( y μ ( x μ ( y μ 1 1 Y Y, = exp + ρ π 1 1 ( Y Y ρ ρ Y dove ρ Y = ρ è il coefficiente di correlazione. Proprietà: 1 La p.d.f. congiunta è completamente individuata da μ, μ Y,, Y e dal coefficiente di correlazione ρ se ρ = 0, risulta anche f Y ( x, y = f ( x fy ( y cioè V.A. gaussiane incorrelate sono anche sempre indipendenti 3 Una qualunque combinazione lineare di e Y è ancora una V. A. gaussiana

24 Distribuzioni multivariate (cenno Siano date n V.A. 1,,, n. Si definisce la densità di probabilità congiunta di ordine n: (,...,... = ( +,..., + f x x dx dx P x x dx x x dx n 1 n 1 n n n n n e valgono le proprietà seguenti: R (i Normalizzazione: ( (ii (,..., (,..., f x x = f x x dx n 1 1 n 1 R n 1 n n (iii ( = (... f x,..., x dx... dx = 1 n n 1 n 1 n P x,... x A... f x,..., x dx... dx 1 n A n 1 n 1 n

25 Esempio: n V.A. congiuntamente gaussiane Le V.A. 1,,, n sono dette congiuntamente gaussiane se e solo se la p.d.f. congiunta si scrive: ( fn( x1, x,..., xn = exp ( x μ C ( x μ n π det C ( ( μ = μ,..., 1 μn vettore dei valori medi μ i = E[ i] C = { Cij} i, j= 1,,.. n matrice di covarianza Cij = cov ( i, j = E i j E[ i ] E j Proprietà: La p.d.f. congiunta è completamente individuata da μ (momenti del primo ordine e da R = { R } con R ij { }, 1,..., ij = corr i, j = E i j= n i j (momenti del secondo ordine. R matrice di correlazione C = I n V.A. incorrelate se risulta: 1,,, n indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d. Una qualunque q combinazione lineare di V.A. congiuntamente gaussiane è ancora una V.A. gaussiana. T

26 Fading da cammini multipli (1 Segnale trasmesso: portante sinusoidale non modulata ( cos( π f t φ x t = f c + 0 α n Δ v f = n cosα n λ Spostamento Doppler In un ambiente caratterizzato dalla presenza di cammini multipli e ricevitore mobile, il segnale ricevuto assume la forma: N j ( cos( { fct n π c φ0 φn π n Re } y t = c f t+ + + Δ f t = Y e π = n= 1 jπ fct {( I jq e } I( t Q( t = Re +, componenti in fase e in quadratura sono Processi Aleatori!! ( ( = t t0 I t0, Q t0 Variabili Aleatorie

27 N Fading da cammini multipli ( ( = cos( φ + φ + πδ ( = sin ( φ + φ + πδ I t c f t Q t c f t n 0 n n n 0 n n n= 1 n= 1 ( = ( cos( π ( sin ( π y t I t f t Q t f t c c N Y=I+jQ Per N, il teorema del limite centrale ci dice che le componenti in fase e in quadratura I e Q tendono a diventare VA V.A. gaussiane indipendenti e identicamente distribuite Y = I + jq V. A. gaussiana complessa

28 Fading alla Rayleigh (1 I, Q V.A. gaussiane indipendenti a valor medio nullo ( 0, I N La p.d.f. congiunta è: (, ( 0, Q N ( = ( ( f i q f i f q IQ,, I Q ( i + q 1 i 1 q 1 f i q = e e = e π π π IQ, I ( ( f i f q Definiamo la V.A. gaussiana complessa: Y=I+jQ jθ jθ Rcos Θ= I Y = Y e = R e Rsin Θ= Q Trasf. Inversa: R = I + Q = g( I, Q ( Q Θ= arctg = h( I, Q Y Q

29 Fading alla Rayleigh ( Il determinante Jacobiano della trasformazione di V. A. è: (, J I Q I Q I + Q I + Q = Q I I + Q I + Q 1 1 det J( I, Q = I + Q = R La p.d.f. congiunta delle V.A. trasformate R e Θ è quindi: 1 r e r 0, (, r R fr r π < Θ ϑ = = e 1 π π Θ< π r Passando alle p.d.f. marginali si ottiene infine: + + r r r r fθ ( ϑ = e dr = e = e = [ 1 0] = π π π π π [ πππ ] V.A. Uniforme nell'intervallo,! 0 + ( ( [ ] Θ = arg Y U ππ,

30 R ( Fading alla Rayleigh (3 + π r r + π r r r r ϑ ϑ π π π π π π f r = e d = e d = e = r = e r V.A. di Rayleigh con parametro! Inoltre, si può dimostrare facilmente che: R 1 exp = Y R = Y Rayleigh( Se si ha una V. A. Y=I+jQ gaussiana complessa con I, Q a valor medio non nullo r 0 : I (, 0 N r Q (, 0 N r ( i r ( q r ( = ( ( f i q f i f q IQ,, I Q i + q + r ir0 qr f ( i, q e e e π π π IQ, = = ( ( f i f q Con analogo procedimento, si dimostra che: I (, 0 R Y Rice r Q ( = Θ= arg ( Y U [ ππ, ]

31 Fading da cammini multipli (3 In pratica: si ha un fading alla Rayleigh in presenza di numerosi cammini multipli, tutti con ampiezza paragonabile fra loro. Un ambiente con un numero di cammini N>=6 è già una buona approssimazione di uno scenarioconfading alla Rayleigh. Caso tipico: scenario urbano denso (Manhattan-like sihaunfadingallariceinpresenzadiuntermine dominante (in genere cammino LOS, o cammino LOS + cammino riflesso sul terreno, e numerosi cammini che "perturbano" il contributo dominante Caso tipico: scenari indoor (solitamente con fattore di Rice K compreso fra 4 db e1db.