Richiami di TEORIA DELLE PROBABILITÀ

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1 corso di Teoria dei Sistemi di Trasporto Sostenibili 6 CFU A.A Richiami di TEORIA DELLE PROBABILITÀ Prof. Ing. Umberto Crisalli Dipartimento di Ingegneria dell Impresa crisalli@ing.uniroma.it

2 Richiami di Teoria della probabilità (I) ESPERIMENTO: ogni operazione il cui risultato non può essere predetto con certezza EVENTO: è il risultato di un esperimento Eventi semplici e composti Eventi disgiunti SPAZIO DELLE PROVE: l insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento Definizione frequentista della probabilità p(i) = lim n ni n Definizione assiomatica della probabilità Assiomi fondamentali: Detto A un qualsiasi evento dello spazio delle prove Ω: 1. 0 P(A) 1. P( Ω ) = 1 3. P(A B) = P(A) + P(B) Proprietà U essendo A e B eventi disgiunti 1. P( A) = 1 P(A). P(0 / ) = 0 3. P(A U B) = P(A) + P(B) -P(A IB)

3 Richiami di Teoria della probabilità (II) Probabilità condizionata Siano A e B eventi non disgiunti la probabilita di A condizionata a B è: P(A IB) P(A B) = P(B) Probabilità composta Siano A e B eventi non disgiunti la probabilita dell evento P(A I B) = P(A B) P(B) Indipendenza stocastica Gli eventi A e B si dicono indipendenti se: P( A B) = P(A) o equivalentemente P( B A) = P(B) ne deriva che se A e B sono indipendenti, risulta: P(A I B) = P(A) P(B) A I B è: 3

4 Richiami sulle variabili aleatorie Ω 1 E (E) P[(E)] 0 Variabile aleatoria (E): funzione che associa ad un evento E dello spazio delle prove un numero reale. Ad ogni valore della v.a. è associata una probabilità P[(E)] che è la probabilità che si verifichi l evento E, P(E). R 4

5 Variabili aleatorie discrete Una v.a. discreta assume un numero finito o un infinità numerabile di valori. Funzione di probabilità P () = Prob( = ) P () Funzione distribuzione di probabilità t R :F (t) = Prob( t) = t P () 5

6 Esempio di variabili aleatorie discrete 1. Esperimento: lancio di tre monete Risultati Y Z TTT 3 0 TTC 1 1 TCT 0 1 CTT 1 1 TCC 1 0 CTC 1 0 CCT 1 0 CCC Esempi di v.a. definite sullo stesso spazio delle prove = numero di teste uscite ; assume i valori: 0,1,,3 Y= numero di coppie consecutive di teste ; assume i valori: 0,1, Z= numero di croci uscite ; assume i valori: 0,1,,3 3. Probabilità : P[0] = 1 ;P[1] = 3 ;P[] = 3 ;P[3] = Y : P[0] = 5 ;P[1] = ;P[] = Z : P[0] = 1 ;P[1] = 3 ;P[] = 3 ;P[3] =

7 Variabili aleatorie continue Una v.a. continua assume un numero infinito di valori. Si verifica che: P () = Prob( = ) = 0 Funzione densità di probabilità f() f() = P[ lim Δ 0 + Δ] Δ Funzione distribuzione di probabilità È una funzione reale che ad ogni t R associa: F (t 0 ) = Prob[ t 0 ] = t 0 f()d Si verifica facilmente che: P(a b) = F (b) F (a) P(a ) = 1 F (a) 7

8 Valori caratteristici di una variabile aleatoria Valore atteso v.a. discrete: E [ ] μ = = i i p(i) + v.a. continue: E[ ] f() d E un operatore lineare: E = [ a + by] = a E[ ] + be[ Y] Varianza di una variabile aleatoria v.a. discrete: Var v.a. continue: Var [ ] σ = E[( μ ) ] = [ μ ] = i i p(i + = [ ] E[( μ ) ] = [ μ ] f() d ) Deviazione standard σ = σ Coefficiente di variazione σ Cv = μ 8

9 v.a binomiale: Esempi di Variabili aleatorie Consideriamo prove ripetute ed indipendenti di un esperimento con due esiti (successo ed insuccesso) p= probabilità di successo q=1-p= probabilità di insuccesso La probabilità di ottenere k successi in n prove ripetute è data da: b(k; n, p)= n p k k q n k Se n e p sono costanti allora P(k) = b(k; n, p) distribuzione binomiale μ = E[] = n p σ = n p q σ = n p q 9

10 Esempi di Variabili aleatorie v.a normale: risulta: R E [ f ( ) = ] = μ Var[ ] σ = σ 1 ep π 1 μ σ 10

11 v.a. di Poisson: Esempi di Variabili aleatorie λ λ e P( = ) = = 0, 1,,...! 0 altrove risulta: E [ ] = λ Var[ ] = λ Distribuzione di Poisson al variare del parametro λ 11

12 v.a. esponenziale: Esempi di Variabili aleatorie risulta: f ( ) E [ θ θe > 0 = 0 altrove 1 ] = Var[ ] = θ 1 θ 1

13 Variabili aleatorie doppie Due variabili aleatorie definite sullo stesso spazio delle prove. v.a. discrete Funzione di probabilità congiunta: P Y (,) = Prob[ = ;Y = ] Funzione di distribuzione congiunta: F,Y(t) = Prob[ t;y t] = t t i i P( i, i) v.a. continue Funzione densità di probabilità: f lim P[ + Δ; Δ Δ,Y = Δ 0 Δ 0 Funzione di distribuzione congiunta: Y + Δ] t t F, Y(t) = Prob[ t;y t] = f,y(, ) 13

14 Variabili aleatorie doppie: esempio 1. Esperimento: lancio di tre monete (vedi esempio precedente) Risultati Y Z TTT 3 0 TTC 1 1 TCT 0 1 CTT 1 1 TCC 1 0 CTC 1 0 CCT 1 0 CCC Esempio di v.a. doppia discreta: (Z,Y) Z= numero di croci uscite ; assume i valori: 0,1,,3 Y= numero di coppie consecutive di teste ; assume i valori: 0,1, Y=0 Y=1 Y= Z=0 (0,0) (0,1) (0,) Z=1 (1,0) (1,1) (1,) Z= (,0) (,1) (,) Z=3 (3,0) (3,1) (3,) 3. Funzione probabilità: P ZY (z,) Y=0 Y=1 Y= Z= /8 Z=1 1/8 /8 0 Z= 3/8 0 0 Z=3 1/

15 Variabili aleatorie doppie: Funzioni di distribuzione marginale v.a. discrete: () = P P(,) e P () = P(,) v.a. continue: f () = + f(,)d e f Y () = + f(, )d Esempio v.a. discrete: P Z(z) = P(z, ) e P Y() = P(z, ) Y z Y=0 Y=1 Y= P Z (z) Z= /8 1/8 Z=1 1/8 /8 0 3/8 Z= 3/ /8 Z=3 1/ /8 P Y () 5/8 /8 1/8 15

16 Variabili aleatorie doppie: Funzioni di distribuzione condizionata v.a. discrete: P Y ( ) v.a. continue: f Y ( ) P(,) P () = e Y f(,) f () = e Y P f Y Y ( ) = ( ) = P(,) P () f(,) f () Esempio v.a. discrete: P P(z,) P () P(z,) (z) Z Y(z ) = e PY Z( z) = Y PZ P Z Y (z ) Y=0 Y=1 Y= Z= Z=1 1/5 1 0 Z= 3/5 0 0 Z=3 1/ P Y Z ( z) Y=0 Y=1 Y= Z= Z=1 1/3 /3 0 1 Z= Z=

17 Variabili aleatorie doppie: proprietà Variabili aleatorie indipendenti f Y ( ) = f () o equivalentemente f ( ) = f () Y Y da cui deriva che f Y (,) = f () f Y () Variabili aleatorie identiche: f () = f Y () Covarianza Cov(, Y) = σy = E[( μ )(Y μ )] si verifica immediatamente che risulta: infatti: Cov(, Y) Cov(,Y) = E[Y = E[Y] μ μ μ Yμ + μ μ )] Cov(,Y) = E[Y] E[ μ ] E[ Yμ ] + E[ μ Cov(, Y) Cov(, Y) = E[Y] μ E[ ] μ E[ Y] + μ = E[Y] μ μ μ μ + μ μ μ ] μ 17