Statistica Corso Base (Serale) Dott.ssa Cristina Mollica

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1 Statistica Corso Base (Serale) Dott.ssa Cristina Mollica Variabili casuali Esercizio 1. Determinare la distribuzione di probabilità e la funzione di ripartizione della variabile casuale discreta X = {numero di croci in 3 lanci di una moneta}. Calcolare F( 1), F(1.5) e F(300). Le seguenti tabelle riportano gli eventi elementari, le relative probabilità, i corrispondenti valori assunti dalla v.c. X e relative masse di probabilità ω p ω X(ω) TTT 1/8 0 TTC 1/8 1 TCT 1/8 1 CTT 1/8 1 TCC 1/8 2 CTC 1/8 2 CCT 1/8 2 CCC 1/8 3 0 x < 0 x P(X = x) 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 1/8 0 x < 1 F X (x) = 4/8 1 x < 2 7/8 2 x < 3 1 x 3 da cui si ha F X ( 1) = 0, F X (1.5) = 0.5 e F X (300) = 1. 1

2 2 Esercizio 2. Data la v.c. discreta X con la seguente funzione di ripartizione 0 x < x < x < 2 F X (x) = x < 3 determinare valore atteso e varianza di X. 1 3 x < 4 1 x 4 Dalla funzione di ripartizione risaliamo alla distribuzione di massa di probabilità calcolando le differenze tra valori contigui di F X (x) (che corrispondono all altezza dei gradini nel grafico della funzione di ripartizione), ovvero x P(X = x) x P(X = x) x 2 x 2 P(X = x) E(X) = 2.54 VAR(X) = = Esercizio 3. Calcolare valore atteso e scarto quadratico medio delle seguenti distribuzioni di probabilità. x P(X = x) y P(Y = y) E(X) = 30 SD(X) = E(Y) = 30 SD(Y) = 8.37

3 3 Esercizio 4. Un dado regolare viene lanciato 8 volte. Calcolare la probabilità di ottenere 4 numeri maggiori o uguali a 3. Il caso descritto dall esercizio è riconducibile alla variabile casuale Binomiale X = {numero di successi}, ove il successo è rappresentato dall uscita di una faccia non inferiore a 3, la cui probabilità è pari a p = 4/6, ed il numero di prove è dato da n = 8. È richiesto di calcolare la probabilità che X sia pari a 4, ottenibile utilizzando l espressione della distribuzione di probabilità della v.a. Binomiale con opportuna specificazione dei parametri e del valore di x d interesse: X Bin(n = 8, p = 4/6) P(X = 4) = ( 8 4 )( 4 6 ) 4 ( ) Esercizio 5. Un azienda deve verificare la produzione. Secondo l esperienza passata, la probabilità che un pezzo prodotto sia difettoso è pari a Si scelgono 4 pezzi a caso. Calcolare: (1) la probabilità di osservare 2 pezzi difettosi; (2) la probabilità di non osservare alcun pezzo difettoso; (3) la probabilità di osservare almeno 1 pezzo difettoso. La variabile casuale X = {numero di pezzi difettosi} è distribuita secondo una variabile casuale Binomiale con parametri n = 4 e p = Ne consegue (1) P(X = 2) = ( 4 2 ) = ; (2) P(X = 0) = ( 4 0 ) = = 0.815; (3) P(X 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 1 P(X = 0) = Esercizio 6. Sia Z la v.c. normale standardizzata. Calcolare: (1) P(Z < 1.52); (2) P(Z > 1.52); (3) P(Z < 1.52); (4) P(Z > 1.52); (5) P(0 < Z < 2.15); (6) P( 1.52 < Z < 0.89); (7) P( 2 < Z < 1); (8) il quantile di ordine 0.6; (9) il quantile di ordine 0.4. (1) P(Z < 1.52) = Φ(1.52) ; (2) P(Z > 1.52) = 1 Φ(1.52) = ; (3) P(Z < 1.52) = 1 Φ(1.52) = ;

4 4 (4) P(Z > 1.52) = P(Z < 1.52) ; (5) P(0 < Z < 2.15) = Φ(2.15) Φ(0) = ; (6) P( 1.52 < Z < 0.89) = Φ(0.89) Φ( 1.52) = 0.749; (7) P( 2 < Z < 1) = Φ( 1) Φ( 2) = ; (8) cerchiamo z tale che P(Z z) = 0.6 z = Φ 1 (0.6) = 0.25; (9) cerchiamo z tale che P(Z z) = 0.4 z = Φ 1 (0.4) = Φ 1 (1 0.4) = Φ 1 (0.6) = 0.25 Esercizio 7. Una fabbrica produce un prodotto il cui diametro X è una v.c. normale con media 100 e scarto quadratico medio 0.8. Calcolare la probabilità che il diametro di un singolo prodotto (1) sia inferiore a 102; (2) sia almeno pari a 99; (3) sia compreso tra 99 e 102. Calcolare inoltre il diametro sotto il quale si trova il 67% dei prodotti. Dal momento che X N(µ = 100, σ = 0.8) (1) P(X < 102) = P(Z < 2.5) = Φ(2.5) = (2) P(X 99) = 1 Φ( 1.25) = 1 (1 Φ(1.25)) = Φ(1.25) = (3) P(99 X 102) = Φ(2.5) Φ( 1.25) = Φ(2.5) (1 Φ(1.25)) = = Cerchiamo inoltre x tale che P(X x) = 0.67 F X (x) = 0.67 x = FX 1(0.67) = quantile di livello 0.67 o 67 percentile. Passando alla normale standardizzata si ha P(X x) = 0.67 P(Z x 100 ) = Dunque x = Φ 1 (0.67) x = 0.44 x = = Esercizio 8. Si analizza un processo produttivo in base al contenuto medio di zucchero. Si osserva che il 4.5% dei prodotti viene scartato perché hanno un contenuto di zucchero inferiore a 35 grammi: mentre il 7% viene scartato perché presentano un contenuto di zucchero superiore a 50 grammi. Ammettendo che il contenuto di zucchero abbia una distribuzione normale, qual è il modello normale che meglio rappresenta l intero processo produttivo. Sappiamo che P(X < 35) = P(X 35) = e che P(X > 50) = 1 P(X 50) = Standardizzando si ottiene il seguente sistema di due equazioni da risolvere nelle incognite µ e σ per determinare univocamente il modello normale che soddisfa i vincoli dati: { Φ( 35 µ σ ) = Φ( 50 µ σ ) = 0.93 { Φ( 35 µ σ ) = Φ( 50 µ σ ) = 0.93 { 35 µ σ = µ σ = 1.48

5 5 Si determinerà µ = e σ = Esercizio 9. Le variabili casuali X 1, X 2 e X 3 hanno valore atteso E(X 1 ) = 2, E(X 2 ) = 1, E(X 3 ) = 0 e varianza Var(X 1 ) = 1, Var(X 2 ) = 4 e Var(X 3 ) = 9. Calcolare media e varianza di T = X 1 + 4X 2 2X 3 (1) nel caso in cui le variabili casuali siano a due a due indipendenti; (2) se Cov(X 1, X 2 ) = 6, Cov(X 1, X 3 ) = 2.5 e Cov(X 2, X 3 ) = 2. (1) Notando che la v.a. T è una combinazione lineare di X 1, X 2 e X 3, per il calcolo del suo valore atteso possiamo sfruttare la proprietà di linearità della media E(T) = E(X 1 ) + 4E(X 2 ) 2E(X 3 ) = 6. Data l indipendenza, per la varianza si ha: Var(T) = Var(X 1 ) Var(X 2 ) + ( 2) 2 Var(X 3 ) = 101. (2) Il valore atteso rimane invariato poichè il legame di dipendenza non influisce sul computo della media. Per la varianza si ha: Var(T) = Var(X 1 ) Var(X 2 ) + ( 2) 2 Var(X 3 )+ + 2 (1 4)Cov(X 1, X 2 ) + 2 (1 ( 2))Cov(X 1, X 3 ) + 2 (4 ( 2))Cov(X 2, X 3 ) = = 75. Esercizio 10. Da un indagine su un campione di addetti di un azienda si è ricavata la seguente distribuzione congiunta delle variabili casuali X = {Pendolare} e Y = {Tipo di Lavoro}: X Y SI NO Impiegato Operaio Altro (1) Determinare le distribuzioni marginali. (2) Determinare le distribuzioni di probabilità condizionate rispetto alla variabile Pendolare della variabile Tipo di lavoro. (3) Verificare se le variabili sono indipendenti. (1) Le marginali risultano x P(X = x) SI 0.31 NO 0.69 y P(Y = y) Impiegato 0.40 Operaio 0.49 Altro 0.11

6 6 (2) Le condizionate risultano y X = SI P(Y = y X = SI) Impiegato 0.32 Operaio 0.65 Altro 0.03 y X = NO P(Y = y X = NO) Impiegato 0.43 Operaio 0.42 Altro 0.15 (3) Le variabili sono chiaramente dipendenti in quanto le distribuzioni condizionate sono diverse. Esercizio 11. Un macchina eroga due materie prime, A e B, per la produzione di un prodotto. Si può ragionevolmente pensare che le quantità di materie prime erogate si distribuiscano secondo una distribuzione normale. In particolare, si ha che la media e la deviazione standard delle quantità erogate sono rispettivamente: - per la materia prima A: µ A = 1.5 e deviazione standard σ A = 0.2; - per la materia prima B: µ B = 1 e deviazione standard σ B = Se la specifica di produzione richiede una quantità massima di materie prime compresa tra 2.3 e 2.6, qual è la percentuale di prodotti conformi ipotizzando che: (1) le variabili casuali A e B siano indipendenti; (2) Cov(A, B) = 0.6; (3) ρ = 0.6. La variabile casuale X = A + B, che rappresenta la somma delle due quantità, si distribuisce come una normale con media µ = µ A + µ B = = 2.5 e varianza (1) se A e B sono indipendenti, allora Cov(A, B) = 0 e la varianza sarà pari a σ 2 = = , quindi σ = Bisogna calcolare P(2.3 < X < 2.6) = P(X < 2.6) P(X < 2.3) = P(Z < 0.48) P(Z < 0.97) = (2) La covarianza non può essere pari a Infatti, in questo caso, risulterebbe ρ = 0.6/( ) = 60. (3) Se ρ = 0.6 allora Cov(A, B) = 0.6 ( ) = 0.006, quindi σ 2 = e σ = 0.233; ne segue che P(2.3 < X < 2.6) = P(X < 2.6) P(X < 2.3) = P(Z < 0.43) P(Z < 0.86) =