DISTRIBUZIONI BINOMIALE, POISSON E NORMALE Indice degli esercizi

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1 DISTRIBUZIONI BINOMIALE, POISSON E NORMALE Indice degli esercizi 1 Distribuzione di Poisson 1.1 Soluzione dell'esercizio 1 2 Sulla distribuzione normale 2.1 Soluzione dell'esercizio 2 3 Distribuzione binomiale e sue combinazioni 3.1 Soluzione dell'esercizio 3 Esercizio 1 Distribuzione di Poisson Si supponga che il numero delle chiamate che arrivano ogni secondo ad un centralino telefonico sia una variabile casuale di Poisson con media 5. Determinare la probabilità che in un determinato secondo non arrivi nessuna chiamata. Supponendo che il centralino sia in grado di soddisfare non più di 10 chiamate al secondo, calcolare la probabilità di trovarlo occupato. 1.1 Soluzione dell'esercizio 1 La distribuzione di probabilità X di Poisson con media 5 assume i valori interi non negativi con probabilità: 5 j e 5 P(X=j) = j = 0, 1, 2,... j! La probabilità che non arrivi nessuna telefonata è la probabilità dell'evento: X = 0, cioè 5 0 e 5 P(X=0) = = e 5 = 0,0067 0!

2 L'evento ``il centralino è occupato" corrisponde all'evento: X > 10. Quindi la probabilità cercata è: P(X > 10) = 1 P(X 10) = 1 Esercizio 2 Sulla distribuzione normale 10 P(X=j) = j=0 = 1 (0, , , , , , , , , , ,0181) = 0,0137. Un'azienda stipula un contratto per vendere barattoli di conserva da 500g. La quantità di conserva X messa in ciascun barattolo è predeterminata meccanicamente ed è normalmente distribuita con media µ e deviazione standard 25g. A quale valore minimo µ deve essere tarata la macchina, perché non più del 2% dei barattoli contenga meno di 500g di conserva? Supponiamo che i barattoli siano di metallo e che il loro peso Y da vuoti segua una distribuzione N(90,64). Se un ispettore pesa i barattoli pieni e scarta quelli il cui peso è inferiore a 590g, quale percentuale di barattoli non passerà l'ispezione? 2.1 Soluzione dell'esercizio 2 Sia Z la variabile normale standardizzata. Allora sono valide le seguenti equivalenze: P(X < 500) = 0,02 P 500 µ Z < 25 = 0,02 P(Z < z 0 ) = 0,02 dove necessariamente z 0 > 0 (infatti l'evento Z (, z] viene assunto da Z con probabilità inferiore a 0,5 solo quando z < 0). Per determinare facilmente il valore di z 0, e quindi µ, conviene seguire i seguenti passi:

3 1. per la simmetria rispetto a zero della normale standardizzata 2. quindi z 0 è quel valore tale che P(Z < z 0 ) = Φ( z 0 ) = 1 Φ(z 0 ) = 0,02 Φ(z 0 ) = 1 0,02 = 0,98 3. dalle tavole della normale standardizzata si determina che z 0 = 2,05 4. di conseguenza: 500 µ = 2,05 25 ovvero: µ = 551,25 L'ispettore è interessato alla variabile peso lordo T=X+Y. Supponendo che X e Y siano indipendenti, si ha che anche T è distribuita normalmente, con parametri 1. E(T) = E(X) + E(Y) = ,25 = 641,25 2. Var(T) = Var(X) + Var(Y) = = 689 ovvero T N(641,24; 689). Attraverso l'usuale trasformazione da una generica variabile normale alla normale standardizzata, si ha la probabilità di interesse: P(T < 590) = P Z < , = = P(Z < 1,95) = Φ( 1,95) = 1 Φ(1,95) = 1 0,9744 = 0,0256 ovvero circa il 2,6% dei barattoli non passa l'ispezione.

4 Esercizio 3 Distribuzione binomiale e sue combinazioni Per una certa persona, sia X il numero di volte che va al cinema e Y il numero di volte che cena in un ristorante, durante una settimana, con la seguente distribuzione congiunta c) Tabella 3.1: Distribuzione congiunta (p(x,y)) di X e Y Y X ,1 0,5 1 0,2 0,2 0 Calcolare il valore atteso di X e verificare se le due variabili sono indipendenti. Determinare la funzione di probabilità condizionata di X associata a Y=1 Calcolare la covarianza Cov(X,Y) e calcolare il valore atteso e la varianza di 2X+Y 3.1 Soluzione dell'esercizio 3 Per risolvere questo esercizio è bene calcolare in primo luogo le distribuzioni marginali di X e Y, e quindi dedicarsi alla soluzione dei tre punti richiesti. Le distribuzioni marginali sono calcolate nella seguente tabella: Tabella 3.2: Distribuzioni congiunta e marginali di X e Y E(X)=0 * 0,6 + 1 * 0,4 = 0,4 Y X p X (x) 0 0 0,1 0,5 0,6 1 0,2 0,2 0 0,4 p Y (y) 0,2 0,3 0,5 1 Se X e Y fossero indipendenti, dovrebbe valere la regola: p(x,y) = p X (x) * p Y (y) x = 0, 1; y = 0, 1, 2. Ma, ad esempio,

5 p(0,0)=0 mentre p X (0)=0,6 p Y (0)=0,2 p X (0)*p Y (0)=0,12 0 quindi X e Y non sono indipendenti. La distribuzione di X condizionata all'evento Y=1 si trova attraverso la seguente regola: P X (x Y=1) = P(X=x Y=1) P(Y=1) p(x,1) = p Y (1) Quindi si ha: c) Dato che: Tabella 3.3: Distribuzione di X condizionata a Y=1 x 0 1 p(x Y=1) 1/3 2/3 Cov(X,Y) = E(X*Y) E(X)*E(Y) sarà sufficiente determinare i seguenti valori medi: E(X*Y) = 1 x=0 2 xy p(x,y) = 1*0,2 = 0,2 y=0 E(Y) = 0,3 + 2*0,5 = 1,3 (3.1)

6 E(X) = 0,4 (3.2) Quindi: Cov(X,Y) = 0,2 0,4*1,3 = 0,32 (3.3) Il valore atteso di 2X+Y si trova facilmente dai valori attesi (3.2) e (3.1), essendo il valor atteso un operatore lineare. Quindi: Per la varianza di 2X+Y si ha: E(2X+Y) = 2E(X) + E(Y) = 2* 0,4 + 1,3 = 2,1 Var(2X+Y) = 4Var(X) + Var(Y) + 4Cov(X,Y) La covarianza fra X e Y è stata trovata in (3.3), mentre per le varianze di X e Y si ha: Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = 0,4 0,4 2 = 0,24 Quindi: Var(Y) = E(Y 2 ) (E(Y)) 2 = 0,3 + 4*0,5 1,3 2 = 0,61 Var(2X+Y) = 4*0,24 + 0,61 + 4*( 0,32) = 0,29.