Corso di probabilità e statistica

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1 Università degli Studi di Verona Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Corso di Laurea in Informatica Corso di probabilità e statistica (Prof. L.Morato) Esercizi Parte IV: statistica inferenziale a cura di: S.Poffe sara.poffe@stat.unipd.it Maggio - Giugno 2005

2 Indice 1 Stimatori corretti e consistenti 1 2 Le distribuzioni χ 2 (n) e N(0, 1) 1 3 Intervalli di confidenza 2 4 Esercizi di riepilogo 2 i

3 1 Stimatori corretti e consistenti Esercizio 1.1 Sia (X 1, X 2,..., X n ) un campione casuale di variabili aleatorie di legge normale: X N(θ, 1), θ R, parametro incognito. Verificare che X = 1 n X i è uno stimatore corretto e consistente per θ. n Esercizio 1.2 Sia dato lo stimatore della media T = X 1 + X n. 2 Verificare che è corretto ma non consistente. Esercizio 1.3 Sia dato lo stimatore della media T = 1 n (X i 1). n Verificare che è non corretto ma consistente. Esercizio 1.4 Sia dato lo stimatore della varianza T = 1 n n (X i µ) 2. Verificare che è corretto e consistente (se V (X) e E(X 4 ) sono finiti). Si supponga E(X) = µ, costante nota. Esercizio 1.5 Sia data la statistica: Sn 2 := 1 n ( Xi X ) 2 n 1 Verificare che è uno stimatore corretto della varianza (se V (X) e E(X 4 ) sono finite). Si supponga µ = 0 e σ 2 = 1. 2 Le distribuzioni χ 2 (n) e N(0, 1) Esercizio 2.1 Relazione tra i quantili della χ 2 (n) e della N(0, 1). 1

4 Esercizio 2.2 Sia X χ 2 (50) e a tale che P (X < a) = 0.9. Determinare la costante a. [62.816] 3 Intervalli di confidenza Esercizio 3.1 Si consideri uno sportello di una banca e sia: X = #{persone servite in un ora} X P oisson(λ) 2000 = #{persone servite in 4 settimane} Si assume che il numero di persone servite in un ora sia indipendente dal numero di persone servite nelle altre ore. a) Stimare il numero medio di persone servite ogni ora b) Calcolare l intervallo di confidenza di livello α = 99% 4 Esercizi di riepilogo [ a) 12.5 b) 11.32; ] Esercizio 4.1 (es. 1 proposto) Sia X Bernoulli(1, θ) e (X 1,..., X n ) un relativo campione casuale. Verficare se lo n stimatore Y = n X i risulta corretto. [Si] 2

5 Esercizio 4.2 (es. 2 proposto) Sia X Bernoulli(1, θ) e (X 1,..., X n ) un relativo campione casuale. Verficare se lo n stimatore Y = a) Corretto X i n + 1 è: b) Considtente [ a) No b) Si ] Esercizio 4.3 (es. 4.5 p.215, Bramanti) In ciascuno degli esempi successivi, costruire un intervallo di confidenza al livello 95% per la media µ di una popolazione normale la cui deviazione standard si assume pari a σ = 14.5: a) n = 36 x n = b) n = 100 x n = c) n = 500 x n = d) n = 1000 x n = a) (95.51, ) b) (96.91, ) c) (99.48, ) d) (99.6, 101.4) Esercizio 4.4 (es. 4.6 p.215, Bramanti) Un ispettore vuole stimare il peso medio del contenuto in una partita di barattoli di conserve di 450 grammi. Un campione di 200 barattoli viene perciò ispezionato. Media e deviazione standard calcolate sul campione sono x n = 447 grammi e s n = 9 grammi. Costruire un intervallo di confidenza al livello del 99% per il peso medio di µ su tutta la parttita. 3

6 Esercizio 4.5 (es. 4.7 p.215, Bramanti) [(445.36, )] Si sono fatti dei test per confrontare l affidabilità di tre diverse marche di floppy disk. Per ciascuna dlle tre marche, A, B, C, si è preso in considerazione un campione di 100 esemplari, che sono stati sottoposti a varie prove. Per ogni dischetto si è misurato il tempo, in ore, dopo il quale si è verificato il primo errore. I risultati sono i seguenti: Marca A Marca B Marca C x n = 49h x n = 55h x n = 53h s n = 8.2h s n = 10.1h s n = 7.5h Costruire intervalli di confidenza al livello del 95% per il tempo medio di funzionamento senza errori dei dischetti delle tre marche, in modo da eseguire un confronto di prestazioni. Cosa si può concludere? Per la validità del procedimento seguito, è necessario supporre che la variabile aleatoria Tempo di funzionamento senza errori sia distribuita normalmente. Esercizio 4.6 (es. 4.8 p.215, Bramanti) a) (47.38, 50.62) b) (53, 57) c) (51.52, 56.48) La proprozione di pezzi difettosi trovata in un campione di 100 articoli selezionati a caso da una linea produttiva è 0.1. Costruire intervalli di confidenza per la proporzione di pezzi difettosi sull intera produzione ai seguenti livelli di confidenza: a) 90% b) 95% c) 99% a) (0.05, 0.15) b) (0.04, 0.16) c) (0.03, 0.17) Esercizio 4.7 (es. 4.9 p.215, Bramanti) I controlli in una birreria richiedono qualche aggiustamento quando la proporzione 4

7 p di lattine di birra riempite troppo poco raggiunga o superi Non c è modo di conoscere il valore esatto della proporzione di lattine sottopeso. Perciò, periodicamente, si estrae un campione di 100 lattine e se ne misura il contenuto. a) Su un campione sono state trovate 6 lattine sottopeso. Costruire un intervallo di confidenza al livello del 95% per il valore vero di p b) Calcolare la probabilità di trovare almeno 6 lattine sottopeso in un campione di 100, se il valore vero di p è in effetti solo 0.01 [ ] a) (0.01, 0.11) b)