Calcolo delle Probabilità 16 Giugno 2016, C.d.L. STAD, UNIPA

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1 Calcolo delle Probabilità 6 Giugno 206, C.d.L. STAD, UNIPA Prova intera esercizi, 2, 3, 4, 5, 6. Tempo 2 h 45 minuti. Esercizio risolto correttamente vale 5.5 punti. Seconda Prova in itinere esercizi 4, 5, 6. Tempo h 30 minuti. Esercizio risolto correttamente vale punti. Punteggio massimo 30. Non è consentito l utilizzo di libri o appunti. Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi. Il presente testo va consegnato insieme ai fogli allegati (solo la bella copia ) Cognome e Nome CdS Matricola Firma Esercizi. Dati tre eventi E, E 2, E 3, verificare se l assegnazione (P(E )0.4, P(E 2 )0.2, P(E 3 )0.3, P(E E 2 ) 0.2, P(E ^ E 3 ) 0.3, P(E 2 ^ E 3 ) 0.2) è coerente e calcolare il più piccolo valore coerente a per l estensione P(E ^ E 2 ^ E 3 ). Infine, calcolare il valore atteso di X (2 E ) (2 E 2 ). Coerenza SI NO a E(X) 2. Un urna contiene 2 palline bianche e 5 palline nere. Dall urna si estraggono in sequenza senza restituzione 3 palline. (i) Calcolare la distribuzione di probabilità del numero aleatorio X di palline bianche estratte. (ii) Supponiamo adesso che le palline abbiano temperatura diversa ogni pallina bianca ha una temperatura t b 2t n > 0 e ogni pallina nera ha una temperatura t n. Supponiamo che ad ogni estrazione la probabilità che una data pallina nell urna venga estratta sia proporzionale alla sua temperatura, cioè che essa sia uguale alla temperatura della pallina diviso la somma delle temperature di tutte le palline attualmente presenti nell urna. Calcolare la distribuzione di probabilità del numero aleatorio Y di palline bianche estratte. (i) P(X 0) P(X ) P(X 2) (ii) P(Y 0) P(Y ) P(Y 2) 3. Una macchina produce pezzi in serie, ognuno dei quali e difettoso con probabilità p 6. Considerati gli eventi E i l i-mo pezzo è difettoso, i, 2,...,, giudicati stocasticamente indipendenti, calcolare la probabilita condizionata d P(E E 2 E 3 E 4 (E _ E 2 _ E 3 _ E 4 )). Indicando con X il numero aleatorio di pezzi da produrre prima di osservare un pezzo difettoso, calcolare g P(X > 02 X > 00). Infine calcolare la funzione caratteristica j Y (t) di Y 2 E. d g j Y (t)

2 4. Sia (X, Y) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme nell insieme D dei punti delimitati dall ellisse di centro l origine e semiassi a 2, b (cioè, D {(x, y) x2 4 + y2 apple }). y x Calcolare (i) per ogni x 2] 2, 2[ la funzione di densità marginale f Y x (y x) di Y dato X x; (ii) per ogni y 2], [ la funzione di densità marginale f X y (x y) di X dato Y y. Infine, stabilire se X, Y sono stocasticamente indipendenti. f Y x (y x) f X y (x y) X, Y stoc. indipendenti? Consideriamo un vettore aleatorio (X, Y) con distribuzione congiunta P(X i, Y j), i, 0, e j, 2, 3, 4 illustrata nella seguente tabella (dove, ad esempio, P(X, Y 2) 0.2) Y X Calcolare a) le distribuzioni marginali di X e di Y; b) posto Z X + Y, la distribuzione marginale di X dato Z 2; c) cov(x + Y, X Y) P(X ) P(Y ) P(X Z 2) P(X 0) P(Y 2) > > P(X 0 Z 2) a) P(X ) P(Y 3) b) cov(x + Y, X Y) > P(Y 4) > P(X Z 2) 6. Sia X il tempo di attesa di arrivo di un cliente ad uno sportello e sia Y il tempo di inter-arrivo tra il primo e il secondo cliente. Supponiamo X, Y stocasticamente indipendenti ed entrambi con distribuzione esponenziale di parametro l. Sia T X + Y, cioè T è il tempo di attesa sino all arrivo del secondo cliente. Calcolare (i) la probabilità condizionata b che il primo clienti arrivi entro un tempo x 0 supposto che non sia arrivato in [0, 5]; (ii) la densità di probabilità f T (t) di T; (iii) per ogni t > 0, la probabilità a(t) che nell intervallo [0, t] arrivi al più un cliente (cioè la probabilità che il tempo di attesa sino all arrivo del secondo cliente sia maggiore di t). b f T (t) a(t) 2

3 Calcolo delle Probabilità Testo e Soluzione 6 Giugno 206, C.d.L. STAD, UNIPA Esercizi. Dati tre eventi E, E 2, E 3, verificare se l assegnazione (P(E )0.4, P(E 2 )0.2, P(E 3 )0.3, P(E E 2 ) 0.2, P(E ^ E 3 ) 0.3, P(E 2 ^ E 3 ) 0.2) è coerente e calcolare il più piccolo valore coerente a per l estensione P(E ^ E 2 ^ E 3 ). Infine, calcolare il valore atteso di X (2 E ) (2 E 2 ). Coerenza SI NO a E(X) Answer Utilizziamo il punto come separatore decimale. Le soluzioni sono da rivedere. I costituenti relativi alla famiglia di eventi dati sono C E E 2 E 3 C 2 E E 2 E c 3 C 3 E E c 2 E 3 C 4 E E c 2 Ec 3 C 5 E c E 2E 3 C 6 E c E 2E c 3 C 7 E c Ec 2 E 3 C E c Ec 2 Ec 3 L assegnazione (x, x 2, x 3, x 2, x 3, x 23 )(0.4, 0.2, 0.3, 0.2, 0.3, 0.2) è coerente se e solo se il sistema l + l 2 + l 3 + l 4 x l + l 2 + l 5 + l 6 x 2 l + l 3 + l 5 + l 7 x 3 > l (S) + l 2 x 2 l + l 3 x 3 l + l 5 x 23 Â > h l l h 0, h, 2,..., Il sistema (S) è risolubile ed ammette un unica soluzione (0.2, 0, 0., 0., 0, 0, 0, 0.6). Pertanto l assegnazione è coerente. Inoltre la coerenza richiede che P(E E 2 E 3 )0.2. Infine E(X) E[ 4 E E 2 2 E 2 E 2 + ]4P(E E 2 ) 2P(E ) 2P(E 2 ) Un urna contiene 2 palline bianche e 5 palline nere. Dall urna si estraggono in sequenza senza restituzione 3 palline. (i) Calcolare la distribuzione di probabilità del numero aleatorio X di palline bianche estratte. (ii) Supponiamo adesso che le palline abbiano temperatura diversa ogni pallina bianca ha una temperatura t b 2t n > 0 e ogni pallina nera ha una temperatura t n. Supponiamo che ad ogni estrazione la probabilità che una data pallina nell urna venga estratta sia proporzionale alla sua temperatura, cioè che essa sia uguale alla temperatura della pallina diviso la somma delle temperature di tutte le palline attualmente presenti nell urna. Calcolare la distribuzione di probabilità del numero aleatorio Y di palline bianche estratte. (i) P(X 0) P(X ) P(X 2) (ii) P(Y 0) P(Y ) P(Y 2)

4 Answer (i) Si ha X H(7, 3, 2 7 ). Pertanto P(X 0) (5 3 )(2 0 ) ( 7 3 ) 2 7 ; P(X ) (5 2 )(2 ) ( 7 3 ) 4 7 ; P(X 2) (5 )(2 2 ) ( 7 3 ) 7 ;. (ii) Indicando con E i l evento l iesima pallina estratta è bianca, i, 2, 3, si ha Y E + E 2 + E 3. Osserviamo che P(E ) 2t b 2t b +5t n 4t n 4t n +5t n 4 9. Poichè Si ha P(E E 2 E c 3 ) P(Ec 3 E 2E )P(E 2 E )P(E ) P(E E c 2 E 3) P(E c E 2E 3 ) P(E c Ec 2 E 3) 5t n t b 2t b 5t n 5t n +t b 5t n +2t b 5t n 2t n 4t n 5t n 5t n +2t n 5t n +2t n t b 5t n 2t b 4t n +t b 5t n +t b 5t n +2t b 2t n 5t n 4t n 4t n +2t n 5t n +2t n 5t n +4t n t b 2t b 5t n 4t n +t b 4t n +2t b 5t n +2t b 2t n 4t n 5t n 4t n +2t n 4t n +4t n 5t n +4t n t b 4t n 5t n 3t n +2t b 4t n +2t b 5t n +2t b 4t n 4t n 5t n 3t n +4t n 4t n +4t n 5t n +4t n ' ' ' ' 0.57 P(E ce 2E3 c) 4 27 ' 0.52 P(E E2 cec 3 ) 4 9 ' 0.26 P(E cec 2 Ec 3 ) ' 0.90 P(Y 2) ' ; P(Y ) ' ; P(Y 0) 5 42 ' Una macchina produce pezzi in serie, ognuno dei quali e difettoso con probabilità p 6. Considerati gli eventi E i l i-mo pezzo è difettoso, i, 2,...,, giudicati stocasticamente indipendenti, calcolare la probabilita condizionata d P(E E 2 E 3 E 4 (E _ E 2 _ E 3 _ E 4 )). Indicando con X il numero aleatorio di pezzi da produrre prima di osservare un pezzo difettoso, calcolare g P(X > 02 X > 00). Infine calcolare la funzione caratteristica j Y (t) di Y 2 E. d g j Y (t) Answer Osserviamo che (E E 2 E 3 E 4 ) ^ (E _ E 2 _ E 3 _ E 4 )E E 2 E 3 E 4, pertanto d P(E E 2 E 3 E 4 (E _ E 2 _ E 3 _ E 4 )) P(E E 2 E 3 E 4 ) P(E _ E 2 _ E 3 _ E 4 ) ' Inoltre, poichè E, E 2,... sono stocasticamente indipendenti ed equiprobabili con p 6, il numero aleatorio X di pezzi (non difettosi) da produrre prima di osservare un pezzo difettoso ha la seguente distribuzione P(X n) p( p) n, n 0,, 2,.... Posto X 0 X +, si ha che X 0 rappresenta il numero aleatorio di pezzi da produrre sino ad ottenere un pezzo difettoso, quindi X 0 G(p). Pertanto P(X > 02 X > 00) P(X 0 > 03 X 0 > 0) P(X > 2) ( p)

5 Infine, j Y (t) E(e it(2 E ) )e it eit 6. () 3

6 4. Sia (X, Y) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme nell insieme D dei punti delimitati dall ellisse di centro l origine e semiassi a 2, b (cioè, D {(x, y) x2 4 + y2 apple }). y x Calcolare (i) per ogni x 2] 2, 2[ la funzione di densità marginale f Y x (y x) di Y dato X x; (ii) per ogni y 2], [ la funzione di densità marginale f X y (x y) di X dato Y y. Infine, stabilire se X, Y sono stocasticamente indipendenti. f Y x (y x) f X y (x y) X, Y stoc. indipendenti? Answer Osservando che x 2 + y2 4 è l equazione di un ellisse di semiassi a, b 2, si ha f (x, y) pa b 2p, (x, y) 2 D e zero altrove. Calcoliamo dapprima le densità marginali (non condizionate) di Y e di X. Sey /2] + f Y (y) 0dy 0. Sia y 2], [, si ha quindi f Y (y) Inoltre si ottiene ˆ + f (x, y)dx ˆ 2p y 2 f Y (y) f X (x) ( ( ˆ 2p y 2 ˆ 0dx + p + 2 y 2 2p dx + p 0dx 4 p y 2 2 y 2 2p p 4 y 2 2p 2p y 2 p, y 2], [ 0, altrove. q 2 x 2 4 2p q x 2 4 p, x 2] 2, 2[ 0, altrove, [ si ha Osserviamo, ad esempio, che f X (0) f Y (0) 6 f (0, 0). Pertanto, la relazione f X (x) f Y (y) f (x, y) non è sempre soddisfatta. Quindi X, Y non sono stocasticamente indipendenti. Calcoliamo le marginali condizionate. Sia y 2], [, si ha ( f (x, y) f X y (x y) f Y (y) p, x 2] 2p y 2,2 p y 2 [ 4 y 2 0, altrove cioè X y U( 2 p y 2,2 p y 2 ). Sia x 2] 2, 2[, si ha f (x, y) f Y x (y x) f X (x) q, y 2] 2 x 2 4 cioè Y x U(] q x 2 4, q x 2 4 [). 0, altrove q x 2 4, q x 2 4 [ 4

7 5. Consideriamo un vettore aleatorio (X, Y) con distribuzione congiunta P(X i, Y j), i, 0, e j, 2, 3, 4 illustrata nella seguente tabella (dove, ad esempio, P(X, Y 2) 0.2) Y X Calcolare a) le distribuzioni marginali di X e di Y; b) posto Z X + Y, la distribuzione marginale di X dato Z 2; c) cov(x + Y, X Y) > P(X ) P(Y ) P(X 0) P(Y 2) > a) P(X ) P(Y 3) P(Y 4) > P(X Z 2) > P(X 0 Z 2) b) P(X Z 2) cov(x + Y, X Y) Answer Si ha a) P(X ) P(Y ) P(X 0) P(Y 2) P(X ) P(Y 3) P(Y 4) b) Osserviamo che P(Z 2) P(X + Y 2) P(X, Y 3)+P(X 0, Y 2)+P(X, Y ) c). Osserviamo che P(X Z 2) P(X,Z2) P(Z2) P(X 0 Z 2) P(X0,Z2) P(Z2) P(X Z 2) P(X,Z2) P(Z2) P(X,Y3) P(X0,Y2) P(X,Y) cov(x + Y, X Y) cov(x, X) cov(y, Y)+ cov(x, Y) cov(y, X) var(x) var(y). Poichè E(X) E(X 2 ) E(Y) E(Y 2 ) Si ha var(x) , var(y) e quindi cov(x + Y, X Y) Sia X il tempo di attesa di arrivo di un cliente ad uno sportello e sia Y il tempo di inter-arrivo tra il primo e il secondo cliente. Supponiamo X, Y stocasticamente indipendenti ed entrambi con distribuzione esponenziale di parametro l. Sia T X + Y, cioè T è il tempo di attesa sino all arrivo del secondo cliente. Calcolare (i) la probabilità condizionata b che il primo clienti arrivi entro un tempo x 0 supposto che non sia arrivato in [0, 5]; (ii) la densità di probabilità f T (t) di T; 5

8 (iii) per ogni t > 0, la probabilità a(t) che nell intervallo [0, t] arrivi al più un cliente (cioè la probabilità che il tempo di attesa sino all arrivo del secondo cliente sia maggiore di t). b f T (t) a(t) Answer Ricordiamo che, per x 0, S X (x) P(X > x) e x. Pertanto si ha b P(X apple 0 X > 5) S X (5) S X (0) S X (5) P(5 X apple 0) P(X > 5) e 5 e 0 e 5 e 5. Essendo X, Y stocasticamente indipendenti si ha f (x, y) f X (x) f Y (y) e (x+y) per x 0, y 0e f (x, y) f X (x) f Y (y) 0 altrove Sia T X + Y. Set 0 si ha F T (t) 0. Sia t 0, si ha + F T (t) P(X + Y apple t) ( t x f (x, y)dy)dx ( t t x 0 0 e x y dy)dx t 0 (e x e t )dx e t te t. Derivando F T (t), si ottiene f T (t) te t per t 0e f T (t) 0 altrove. Pertanto T ha distribuzione Gamma di parametri a 2, l, cioè T G 2,. Si poteva giungere a tale risultato più rapidamente sfruttando le funzione caratteristiche. Infatti, la funzione caratteristica di T j T (z) j X+Y (z) j X (z)j Y (z) 2 iz è la f.c. di un numero aleatorio con distribuzione G 2,. Infine, indicando con N t il numero aleatorio di arrivi in [0, t], si ha (N t apple ) () (T > 2). a(t) P(N t apple ) P(T > t) F T (t) e t + te t e t ( + t). 6