CALCOLO DELLE PROBABILITA - 17 Febbraio 2014 CdL in STAD, SIGAD,

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1 Cognome e Nome: Matricola CdS CALCOLO DELLE PROBABILITA - 7 Febbraio 4 CdL in STAD, SIGAD, Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi. Tempo: h. Ogni esercizio risolto correttamente vale punti. Punteggio massimo.. La seguente tabella mostra alcune quote che un Art. agenzia di scommesse ha fissato sul prossimo incontro di (Lotti) calcio tra due squadre. Supponiamo che Tu valuti le probabilità di E, E, E in modo tale da accettare. Il primo lotto di biglietti è fissato nel numero complessivo di n... Evento E : E : X E : o X Quota Q =5, Q =, Q =, 5. Potrà essere previsto un incremento massimo del % sul quantitativo predetto per esigenze connesse alle procedure produttive.. Qualora, sulla base dell andamento delle vendite se ne ravvisasse la necessità, potranno essere prodotti ulteriori lotti di biglietti in misura proporzionale ai quantitativi una scommessa predetti. in cui sei disposto a pagare r i per ricevere Q i r i E i, i =,,. Calcolare la valutazione di probabilità P = (p, p, p ) su F = {E, E, E } e verificare se P sia coerente Art. 4 (Massa premi) (p, p, p ) = P Coerente?. La massa premi corrispondente al quantitativo di.. biglietti ammonta ad euro..8.,.. Il gioco del Nuovo Maxi Miliardario è costituito da un lotto del quantitativo di.. biglietti con. Nel caso di incremento della produzione di cui all art. deve essere assicurato il una struttura corrispondente premi illustrata e proporzionale in Figuraincremento. Il costo della di massa ciascun premi biglietto di cui al ècomma C =., euro. Supponiamo di acquistare un biglietto da tale lotto e di non conoscere l esito relativo ad eventuali altri biglietti. Indichiamo Art. 5 con X la vincita aleatoria relativa al biglietto (Struttura acquistato. premi) Calcolare: i) P (X ); ii) il valore atteso di X. Infine, proporre il quantitativo e l importo di un ulteriore premio che renderebbe il gioco equo.. La struttura premi corrispondente al quantitativo di.. biglietti è così composta: Numero premi Importo dei premi in euro 8 5.., 8., 88 5., 7.,.., 5. 5, 5.,.5.,.. 5,.5.,.Nel caso di incremento della produzione di cui all art. e corrispondente aumento della massa premi, quest ultima sarà ripartita proporzionalmente nelle fasce di premio sopraindicate. Figura : Stuttura premi Nuovo Maxi Miliardario.Sui premi di cui al comma di importo superiore ad euro 5, è trattenuto un diritto pari al %, sulla parte della vincita eccedente euro 5,, dovuto all erario. P (X ) = E(X) = Q.tà: Importo premio extra:. Guardando una partita di calcio del Palermo in un bar di Enna osservi un siciliano che è chiaramente un tifoso del Palermo. Qual è la probabilità α che tale individuo sia nato in Provincia di Palermo? Si assume: 4 la probabilità che un individuo in un bar di Enna sia nato nella Provincia di Palermo; 8% la percentuale di tifosi palermitani tra i nati nella Provincia di Palermo; 5% la percentuale di tifosi palermitani tra gli individui nati in una provincia siciliana diversa da quella di Palermo. α =

2 . 4. Il tempo aleatorio X che impiega Carlo per completare un compito d esame di Calcolo delle Probabilità di un ora ha una densità f(x) = k(x + x), per x [, ] e zero altrove. Calcolare: i) il valore di k; ii) la funzione di ripartizione F (x); lo scarto quadratico medio σ X. k = F (x) = σ X = 5. La densità congiunta di un vettore aleatorio continuo (X, Y ) è f(x, y) = ae x y per x, y x, con f(x, y) = altrove. Calcolare la costante a e la funzione di rischio di Z = Y X. a = h(z) =. Siano dati due numeri aleatori X e Y, stocasticamente indipendenti e con distribuzione normale standard. Posto Z = X Y, calcolare la funzione caratteristica di Z e la covarianza della coppia (Z, X Y ). φ Z (t) = cov(z, X Y ) =

3 Soluzione Provvisoria.. Dal testo si osserva che si è disposti ad accettare una scommessa su H i, i =,,, in cui si paga r i per ricevere { ri q i se si verifica H i,, se si verificahi c, per ogni r i. Quindi l individuo accetta un assegnazione di probabilità P = (p, p, p ) su F = {H, H, H } dove p i = P (H i ) = r i r i q i = q i, i =,,, cioè p = q = 5 ; p = q = ; p = q = ; I costituenti relativi alla famiglia {H, H, H } sono gli eventi C = H = Esce, C = H = Esce X C = H chc = Esce o X. Consideriamo il seguente sistema nelle incognite λ, λ, λ : λ = 5, λ =, λ + λ =, λ + λ + λ =, λ i, i =,,. Tale sistema è non risolubile pertanto l assegnazione P = ( 5,, ) su F non è coerente (si poteva giungere facilmente a tale risultato osservando che per le proprietà della probabilità si deve avere P (H ) = P (H H ) = P (C ) P (C ), in tal caso si ha 7 ).. Si ha P (X ) =, 8, E(X) = 7.. Indicando con G il guadagno aleatorio, si ha E(G) = E(X C) = E(X) C = 7. =, 99. Se si aggiungono 5 ulteriori premi di 5..,, indicando con X la vincita aleatoria relativa al nuovo gioco, si ha E(X ) =. Quindi il nuovo gioco è equo poichè E(G ) =.. Consideriamo i seguenti eventi: E = L individuo del bar è Tifoso del Palermo, H= L individuo del bar è nato in provincia di Palermo. Osserviamo che P (E H) = 8, P (E Hc ) = 5 e P (H) = 4. Si ha α = P (H E) = 8 P (E H)P (H) P (E H)P (H) + P (E H c )P (H c ) = = Per la proprietà di normalizzazione di una densità di probabilità si ha = f(x)dx = k [ x (x + x)dx = k + x ] = k 5. Quindi k = 5. Calcoliamo la funzione di ripartizione. Distinguiamo tre casi. a) Sia x < si ha b) Sia x [, ] si ha F (x) = P (X x) = F (x) = P (X x) = f(t)dt = f(t)dt+ f(t)dt = dt = f(t)dt = + 5 (t +t)dt = ( ) x 5 + x.

4 Figura : b) Sia x > si ha F (x) =... =. Quindi ( ) sex < ; F (x) = x 5 + x se x [, ] ; se x >. e Inoltre si può verificare che, Pertanto 5. Si ha = E(X) = E(X ) = xf(x)dx = x f(x)dx = σ X = E(X ) [E(X)] = f(x, y)dxdy = = Quindi a =. Inoltre, per z >, si ha S Z (s) = P (Z > z) = P (Y > X + z) = x ae x dx = a 4 5 x ( x + x ) dx =... = 7. ( 5 x x + x ) dx =... = 7 5. ae x y dxdy = = 5. e x dx = a. ae x ( x ) e y dy dx dxe x e y = e z e x dx = e z. x+z

5 Ovvero, Z è un numero aleatorio con distribuzione esponenziale. Infatti, la funzione di rischio è (costante) h(z) = S Z (z) S Z (s) = e z =. e z. Si ha Inoltre ψ Z (t) = ψ X (t)ψ Y (t) = e 9t e 4t = e t. cov(z, X Y ) = cov(x Y, X Y ) = var(x) + var(y ) = 5. 5