Nome e cognome: By Giuseppe Sanfilippo

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1 Nome e cognome: Matr: CALCOLO DELLE PROBABILITA cds in Economia e Finanza 1 Gennaio 005 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Tempo a disposizione: ore 1 Dati tre eventi E 1, E, E 3, con E 1 E 3 =, verificare se la valutazione P (E 1 ) = P (E 3 ) = 04, P (E ) = 05, P (E 1 E ) = P (E E 3 ) = 0 è coerente Inoltre, considerato il numero aleatorio X = 1 E 1 + E + 3 E 3, calcolare il codominio C X dei possibili valori di X e la previsione di X coerente? SI, NO C X = { }, P(X) = Un professore sottopone a uno studente un quesito con dieci possibili risposte, fra le quali una sola è esatta Considerati gli eventi E = la risposta dello studente è esatta, H = lo studente è preparato e supposto che il professore valuti 1 la probabilità (iniziale) di H, calcolare la probabilità (finale) P (H E) Inoltre, posto P (H) = p, determinare i valori di p per i quali si ha 5 P (H E) > 1 P (H E) =, p ] ] 3 La Tabella 1 mostra le fasce di reddito annue in euro dei lavoratori a tempo determinato in un certo paese Si supponga di scegliere a caso 50 uomini e 50 donne tra la popolazione di lavoratori Reddito Percentuale di donne Percentuale di uomini Tabella 1: Redditi a tempo determinato Indichiamo con U 0 e D 0, rispettivamente, il numero di uomini e donne (tra quelli scelti) che guadagnano almeno 0mila euro in un anno Utilizzando un opportuna approssimazione calcolare: (a) la probabilità α che almeno 6 donne guadagnino almeno 0mila euro; (b) la probabilità β che al più l 80% degli uomini guadagni almeno 0mila euro α =, β = 4 Da un lotto contenente 6 pezzi difettosi e 3 buoni si estraggono in blocco 5 pezzi Indicando con X il numero aleatorio di pezzi difettosi fra i 5 estratti, calcolare la probabilità α che al massimo dei pezzi estratti siano difettosi supposto che al massimo 3 dei pezzi estratti siano difettosi α = 1

2 Soluzione ( 1-Gen-005) 1 I costituenti sono C 1 = E 1 E c E c 3 C = E 1 E E c 3 C 3 = E c 1E E c 3 C 4 = E c 1E E 3 C 5 = E c 1E c E 3 C 6 = E c 1E c E c 3 Il seguente sistema P (E 1 ) = 04 = x 1 + x P (E ) = 05 = x + x 3 + x 4 P (E 3 ) = 04 = x 4 + x 5 P (E 1 E ) = 0 = x, P (E E 3 ) = 0 = x 4 x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 1, x i 0, i = 1 6 ammette la soluzione (x 1 = 0, x = 0, x 3 = 01, x 4 = 0, x 5 = 0, x 6 = 01), quindi, la valutazione è coerente Per il calcolo del codominio di X consideriamo i costituenti C 1 = E 1 EE c 3 c X = 1 C = E 1 E E3 c X = 1 + = 3 C 3 = E1E c E3 c X = C 4 = E1E c E 3 X = + 3 = 5 C 5 = E1E c E c 3 X = 3 C 6 = E1E c E c 3 c X = 0, pertanto C X = {0, 1,, 3, 5} Infine P(X) = P( E 1 )+P( E )+P(3 E 3 ) = P (E 1 )+P (E )+3P (E 3 ) = = 6 Osservando che P (E H c ) = 1 e applicando il teorema di Bayes si ottiene 10 Inoltre, P (H E) = P (E H)P (H) P (E H)P (H) + P (E H c )P (H c ) = P (H E) = 1 p 1 p+ 1 > 1 10 (1 p) p > p + 1 p p( ) > 1 p > Utilizzando l approssimazione normale si ricava ( α = P (D 0 6) = P β = P (U 0 40) = P D 0 50(05) (1 05) ( U 0 50(07) (08) = = = (05) (1 05) ) 1 Φ 0,1 (0) = 05, 40 50(07) (08) ) Φ 0,1 (16) X ha una distribuzione ipergeometrica di parametri N = 9, n = 5, p = 3 Allora α = P (X X 3) = P (X,X 3) P (X 3) = P (X ) P (X 3) = P (X=) P (X=)+P (X=3) = = ( 6 )( 3 3) ( 6 )( 3 3)+( 6 3)( 3 ) = = 0

3 Nome e cognome: Matr: CALCOLO DELLE PROBABILITA cds in Economia e Finanza 6 Gennaio 005 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Tempo a disposizione: ore 1 Dati eventi E 1, E logicamente indipendenti, calcolare i costituenti e verificare che la valutazione P (E 1 ) = 04, P (E ) = 05, P (E 1 E ) = 06 è coerente Inoltre la ulteriore valutazione P (E 1 E ) = 0 mantiene la coerenza? Cost, 1 a valutazione coerente SI No, a valutazione coerente SI No Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con parametri m X = 1, σ X = Posto Y = ax +b, con a > 0, calcolare la probabilità p dell evento ( Y a b 4a) Inoltre, determinare i valori di a e b tali che risulti m Y = 4, σ Y = 4 p = { a = b = 3 Da un urna contenente inizialmente 1 pallina bianca e 1 nera si effettuano 3 estrazioni con restituzione, aggiungendo ogni volta nell urna una pallina dello stesso colore di quella estratta Definiti gli eventi E i = l i-ma pallina estratta è bianca, i = 1,, 3, calcolare P (E ) e P (E 3 ) Stabilire, inoltre, se X = E 1 + E ha distribuzione uniforme sull insieme {0, 1, } P (E ) = P (E 3 ) = distr unif Si No 4 Il tempo di attesa T (in minuti) di arrivo del primo cliente ad uno sportello è un numero aleatorio con distribuzione esponenziale Supposto che il tempo medio di attesa sia pari a minuti calcolare la probabilità p 1 che il primo cliente arrivi entro 1 minuto dall apertura Inoltre, sapendo che nei primi minuti non è arrivato nessun cliente, calcolare la probabilità p che il primo cliente arrivi nei successivi 3 minuti p 1 = p = 3

4 Soluzione ( 6-Gen-005) 1 I costituenti sono C 1 = E 1 E, C = E 1 E c, C 3 = E c 1E, C 4 = E c 1E c Il seguente sistema P (E 1 ) = 04 = x 1 + x P (E ) = 05 = x 1 + x 3 P (E 1 E ) = 06 = x 1 + x + x 3 x 1 + x + x 3 + x 4 = 1, x i 0, i = 1 4 ammette la soluzione (x 1 = 03, x = 01, x 3 = 0, x 4 = 04), quindi, la prima valutazione è coerente Invece, aggiungendo l ulteriore valutazione P (E 1 E ) = 0, il relativo sistema non ammette soluzioni, pertanto la seconda valutazione non è coerente Y ha distribuzione normale di parametri m Y = a + b, σ Y = a e quindi P ( Y a b 4a) = P ( Y m Y σ Y ) = Φ() Inoltre, dal fatto che m Y = a + b, σ Y = a si ha m Y = 4, σ Y = 4 per a = e b = 3 Si ha P (E ) = P (E 1 E ) + P (E c 1E ) = P (E E 1 )P (E 1 ) + P (E E c 1)P (E c 1) = = 1 In maniera analoga si ottiene P (E 3 ) = P (E 1 E E 3 ) + P (E 1 E c E 3 ) + P (E c 1E E 3 ) + P (E c 1E c E 3 ) = Inoltre = = 1 P (X = 0) = P (E c 1E c ) = = 1 3, P (X = 1) = P (E 1 E c ) + P (E c 1E ) = = 1 3, P (X = ) = P (E 1 E ) = 1 3 = 1 3 Pertanto X ha distribuzione uniforme 4 Si ha che T ha distribuzione esponenziale di parametro λ = 1, pertanto p 1 = P (T 1) = 1 e 1, p = P (T 5 T > ) = 1 P (T > 5 T > ) = 1 P (T > 3) = 1 e 3 4

5 Nome e cognome: Matr: CALCOLO DELLE PROBABILITA cds in Economia e Finanza 09/Feb/ 005 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Tempo a disposizione: ore 1 Una ditta A produttrice di autovetture riceve da quattro fornitori A 1, A, A 3, A 4 le pastiglie dei freni da installare sulle auto prodotte rispettivamente nelle seguenti percentuali: 65%, 0%, 10%, 5% Sapendo che i quattro fornitori producono le pastiglie con una difettosità dichiarata rispettivamente del %, 5%, 4%, 10%, calcolare la probabilità p d che la ditta A riceve una pastiglia difettosa Inoltre, scegliendo a caso una pastiglia tra quelle ricevute ed avendo osservato che è difettosa calcolare la probabilità β che essa proviene dal fornitore A (Indicare con B i l evento la pastiglia proviene da A i, i = 1,, 3, 4, e con D l evento la ditta A riceve una pastiglia difettosa ) p d =, β = La funzione di ripartizione di un numero aleatorio X, continuo e non negativo, è { 1 e F (x) = 3x, per x 0 0, altrove Posto Y = X + 1, calcolare: (i) la previsione di Y ; (ii) lo scarto quadratico medio di Y ;(iii) la probabilità dell evento H = (3 Y 5) P(Y ) = σ Y = P (H) = 3 Il numero aleatorio X di telefonate che arrivano ad un centralino tra le 10 e le 11 ha una distribuzione di Poisson di parametro λ Sapendo che il numero medio di arrivi (nell ora considerata) è pari a 4, calcolare : la previsione di X e la probabilità P (A) dell evento A = arrivano meno di 3 telefonate Inoltre, sapendo che arrivano almeno telefonate (evento B), calcolare la probabilità γ che ne arrivano al più 3 (evento C) P(X ) = P (A) = γ = 4 Un canale di trasmissione trasmette simboli binari, ognuno dei quali vale 1 con probabilità 3 5 Inoltre, quando viene trasmesso 0, la probabilità di ricevere 0 è pari a 1, mentre quando viene 4 trasmesso 1 la probabilità di ricevere 1 è pari a Sia E 3 i l evento l i-mo simbolo trasmesso è ricevuto correttamente e si assumano indipendenti gli eventi E 1, E, Calcolare la probabilità p di E i e la probabilità α che, su 4 simboli trasmessi, siano ricevuti correttamente Inoltre, supposto che il primo simbolo ricevuto sia 1, calcolare la probabilità β che sia stato trasmesso 0 (Sugg Indicare con T 0 il simbolo trasmesso è 0, con T 1 il simbolo trasmesso è 1, con R 0 il simbolo ricevuto è 0 e con R 1 il simbolo ricevuto è 1) p = α = β = 5

6 Soluzione 09/Feb/05 1 Utilizzando la formula di decomposizione si ottiene p d = P (D) = P (D B 1 )P (B 1 )+P (D B )P (B )+P (D B 3 )P (B 3 )+P (D B 4 )P (B 4 ) = 007 Inoltre per il teorema di Bayes si ha β = P (B D) = P (D B )P (B ) P (D) = 0185 Osserviamo che X Exp(3), pertanto P(X) = 1 3 e σ X = 1 3, quindi Infine P(Y ) = P(X) + 1 = = 5 3 ; σ Y = σ X = 3 P (H) = P (3 Y 5) = P (3 X + 1 5) = P (1 X ) = F () F (1) = e 3 e 6 3 Il na X ha distribuzione di Poisson di parametro λ = 4 Pertanto si ha Inoltre P(X ) = var(x) + P(X) = λ + λ = = 0 P (A) = P (X < 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = ) = e 4 ( ) = 13e 4 04 P (B) = P (X > 1) = 1 P (X = 0) P (X = 1) = 1 (1 + 4)e 4 = 1 5e P (C B) = P (X 3 X ) = P (X = ) + P (X = 3) P (B) = e 4 ( ) 1 5e 4 0, 38 4 Un simbolo è ricevuto correttamente quando se si trasmette 0 si riceve 0 oppure se si trasmette 1 si riceve 1, quindi p = P (E i ) = P (R 0 T 0 R 1 T 1 ) = P (R 0 T 0 )P (T 0 ) + P (R 1 T 1 )P (T 1 ) = = 1, inoltre essendo gli E i indipendenti si ha ( ) 4 α = P (E i ) P (Ei c ) = Infine abbiamo β = P (T 0 R 1 ) = P (R 1 T 0 )/P (R 1 ) = ( ) [1 P (R 0 T 0 )]P (T 0 ) [1 P (R 0 T 0 )]P (T 0 ) + P (R 1 T 1 )P (T 1 ) = = 3 7 6

7 Nome e cognome: Matr: CALCOLO DELLE PROBABILITA cds in Economia e Finanza 06/Lug/005 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Tempo a disposizione: ore 1 Dati 3 eventi A, B, C con A e C incompatibili e B C Verificare che l assegnazione P (A) = 5, P (B) = 3 10, P (C) = 1 è coerente Inoltre calcolare la previsione e la varianza di X = A B + 3 C Coerenza? SI NO P(X) = var(x) = Un cassetto contiene 6 chiavi, delle quali sono adatte ad aprire una certa serratura Dal cassetto si prendono in blocco 3 chiavi, una delle quali scelta a caso viene utilizzata per cercare di aprire la serratura Definiti gli eventi H r = fra le 3 chiavi prese in blocco ve ne sono r adatte ad aprire la serratura, r = 0, 1, ; E = la chiave scelta a caso apre la serratura, calcolare P (H E) P (H E) = 3 Da un urna U contenente 1 pallina bianca e 1 nera si effettuano estrazioni con restituzione Dopo ogni estrazione si introduce nell urna, oltre alla pallina estratta, un ulteriore pallina di colore opposto a quella estratta Definito il generico evento E i = la i-esima pallina estratta è bianca calcolare P (E i ) per i =, 3 e stabilire se gli eventi E, E 3 sono stocasticamente indipendenti P (E ) = P (E 3 ) = Indipendenti? SI NO 4 Sia X un numero aleatorio con densità f(x) definita mediante la seguente legge { kxe x, per x > 0 f(x) = 0, per x 0 Determinare il valore della costante k e la probabilità γ dell evento condizionato (X > X > 1) Inoltre, stabilire se X gode della proprietà di assenza di memoria k = γ = Prop Ass Mem? SI NO 7

8 Soluzione 06/Lug/005 1 La valutazione assegnata è coerente, infatti si ha P (A) + P (C) 1 e P (B) < P (C) La previsione è data da P(X) = P (A) P (B) + 3P (C) = = Inoltre, osservando che X {0, 1, 3} e che si ha Pertanto, = P (X = 0) = 1 P (A) P (C) = 1 10, P (X = 1) = P (A) + P (B) = 7 10, P(X ) = = 5 10 P (X = 3) = P (C) P (B) = 10, var(x) = P(X ) [P(X)] = = r) Si ha P (H r ) = ( r)( 4, r = 0, 1, Quindi P (H ( 6 0 ) = 3) 1, P (H 5 1) = 3, P (H 5 ) = 1; inoltre 5 P (E H 0 ) = 0, P (E H 1 ) = 1, P (E H 3 ) = Pertanto P (E) = 3 r=0 P (E H r)p (H r ) = 1; 3 infine, utilizzando il Teorema di Bayes, si ha P (H E) = P (E H )P (H ) P (E) 3 Osserviamo che P (E ) = P (E E 1 )P (E 1 ) + P (E E1)P c (E1) c = 1 In maniera analoga si ha P (E 3 ) = 1 Inoltre, poichè P (E E 3 ) = P (E 3 E E 1 )P (E E 1 )P (E 1 )+P (E 3 E E1)P c (E E1)P c (E1) c = 5 1 si ha che E 4 4 ed E 3 non sono stocasticamente indipendenti 4 Integrando la funzione densità da 0 a + si ha + 0 kxe x dx = k 4 + Pertanto, imponendo la condizione di normalizzazione si ottiene k = 4 Inoltre, essendo e si ha P (X > ) = P (X > 1) = γ = P (X > X > 1) = = = 5 4xe x dx = k 4 [ e x ] + 0 = k 4 [0 ( 1)] = k kxe x dx = 1 4xe x dx = [ e x ] + = [0 + e 8 ] = e 8 4xe x dx = [ e x ] + 1 = [0 + e ] = e P (X > X > 1) P (X > 1) = P (X > ) P (X > 1) = e 8 e = e 6 P (X > 1) Quindi, possiamo concludere che il na X non gode della proprietà di assenza di memoria 8

9 Nome e cognome: Matr: CALCOLO DELLE PROBABILITA cds in Economia e Finanza 16/Set/005 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Tempo a disposizione: ore 1 Dati tre eventi A, B, C, con BC A B, P (A) = 04, P (B) = P (C) = 06, determinare l insieme I dei valori di probabilità coerenti per ABC e determinare se esiste un valore p I che renda A, B e C stocasticamente indipendenti I = [0, 04], p? NO Un macchinario effettua un controllo di qualità su barre metalliche: queste sono accettate se la lunghezza della barra è compresa tra 174 cm e 186 cm Supposto che la lunghezza delle barre abbia distribuzione normale con media µ = 18 e varianza σ = 016, calcolare la probabilità p s che una barra venga scartata p s = (1 Φ 0,1 (015)) 3 Da un gruppo di 6 studenti, dei quali 4 sanno risolvere un certo quesito, ne vengono estratti a caso 3 Successivamente, il quesito viene sottoposto ad uno dei 3 studenti (scelto a caso) Definiti gli eventi H r = fra i 3 studenti estratti a caso ve ne sono r che sanno risolvere il quesito, r = 1,, 3; e l ulteriore evento A = lo studente scelto a caso sa risolvere il quesito, calcolare, supposto vero A, la probabilità condizionata p che tutti e 3 gli studenti estratti sappiano risolvere il quesito p = Un giocatore paga 1 Euro per partecipare al gioco seguente: vengono lanciati 3 dadi; egli vince 1 Euro se la faccia 1 appare solo una volta, Euro se la faccia 1 appare solo due volte, 8 Euro se la faccia 1 appare tre volte, altrimenti non vince nulla Indicato con X il guadagno aleatorio del giocatore, calcolare il codominio C X dei possibili valori di X Inoltre, verificare che il gioco non sia equo (cioè che la previsione del guadagno del giocatore sia diversa da zero) e stabilire quale dovrebbe essere il valore della vincita v 3 del giocatore necessario per rendere il gioco equo quando la faccia 1 appare tre volte? C X = { 1, 0, 1, 7} v 3 = 111 9

10 Nome e cognome: Matr: CALCOLO DELLE PROBABILITA cds in Economia e Finanza 13/Dic/005 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Tempo a disposizione: ore Non è consentito l utilizzo di libri o appunti 1 Dati tre eventi A, B, C con A e C incompatibili Determinare i costituenti e verificare se l assegnazione P (A) = 05, P (B) = 0, P (C) = 04, P (AB) = 01 P (BC) = 01 è coerente Inoltre, calcolare la probabilità dell evento (A B C) 1 a valutazione coerente SI No, Cost P (A B C) = Una partita di 30 pc portatili ne contiene 6 difettosi Se si estraggono con restituzione 5 pc, indicando con X il numero aleatorio di pc difettosi tra quelli estratti, calcolare le probabilità dei seguenti eventi: A = esattamente 3 pc sono difettosi, B = i primi 3 pc estratti sono difettosi e gli ultimi sono buoni Calcolare, inoltre, la previsione e lo scarto quadratico medio di X P (A) = ; P (B) = ; P(X) = ; σ X = ; 3 Da un urna contenente inizialmente palline bianche e 3 nere si effettuano 3 estrazioni con restituzione, aggiungendo ogni volta nell urna una pallina dello stesso colore di quella estratta Definiti gli eventi E i = l i-ma pallina estratta è bianca, i = 1,, 3, calcolare le probabilità degli eventi E 1, E, E 3 Inoltre, stabilire se gli eventi E 1 E, E 1 E 3, E E 3 sono equiprobabili P (E 1 ) = ; P (E ) = ; P (E 3 ) = E 1 E, E 1 E 3, E E 3 equiprobabili? SI No 4 La densità di probabilità di un numero aleatorio X è 1 se x [ 30], x+1 f(x) = se x ]0, 1], 0 altrove Determinare la funzione di ripartizione di X e la probabilità p dell evento (X 1) ; ; F (x) = p = ; 10

11 Nome e cognome: Matr: CALCOLO DELLE PROBABILITA cds in Economia e Finanza 01/Feb/006 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Tempo a disposizione: ore Non è consentito l utilizzo di libri o appunti 1 Sia X il peso aleatorio alla nascita del primo bimbo dell anno nella propria città Si supponga che tale numero assuma valori espressi in kilogrammi e arrotondati alla prima cifra decimale con la seguente considerazione: se il peso del nascituro è inferiore a 0 kg il peso assegnato è pari a 0 kg e se il peso è superiore a 50 kg, viene assegnato un peso pari a 50 kg Si considerino gli eventi: E 1 (X 7), E (30 X 40), E 3 (38 X) Calcolare i costituenti relativi alla famiglia {E 1, E, E 3 } e verificare che l assegnazione di probabilità P (E 1 ) = 0, P (E ) = 06, P (E 3 ) = 0, è coerente Infine, stabilire se la precedente assegnazione implica l equiprobabilità degli eventi E1E c E 3, E1E c E c 3 c (Le risposte vanno motivate) valutazione coerente? SI N o, Cost E1E c E 3, E1E c E c 3 c equiprobabili? SI No L azienda di costruzioni T izio nel passato ha partecipato per gare d appalto nel 70% dei casi L azienda Caio valuta che la propria probabilità di vincere un appalto sia pari a 05 se la sua concorrente T izio non partecipa alla gara e a 05 se l azienda T izio vi partecipa Indicando con H l evento l azienda T izio partecipa alla gara e con E l evento l azienda Caio vince la gara, calcolare la probabilità di H c E e la probabilità di E P (H c E) = ; P (E) = ; 3 Un accanito giocatore del lotto, il Sig Baldini, ha deciso di giocare sulla ruota di Palermo il numero 35 fino a quando non vince l ambata ( esce il numero 35 tra i cinque estratti) Sia X il numero di giocate del Sig Baldini (si supponga che egli possa giocare all infinito) Calcolare la probabilità dell evento (X = 3) Inoltre supposto che nelle prime 10 giocate il Sig Baldini non abbia vinto, calcolare la probabilità p che egli non vinca nelle successive giocate Infine, supponendo che il Sig Baldini giochi 10 euro sul 35 fino a quando non vince e che nel caso in cui esca il 35 egli vinca 10 volte la posta giocata, calcolare la previsione del guadagno aleatorio G (Oss G = V incita 10X ) P (X = 3) = ; p = ; P(G) = ; 4 Siano X e Y due numeri aleatori stocasticamente indipendenti con distribuzione di Poisson di parametri rispettivamente λ 1 = e λ = 3 Dimostrare che il numero aleatorio Z = X + Y ha distribuzione di Poisson e calcolarne la previsione Distribuzione di Z? ; P(Z) = ; 11

12 Soluzione 01/Feb/006 1 I costituenti sono C 1 = E 1 E c E c 3, C = E c 1E E c 3, C 3 = E c 1E E 3, C 4 = E c 1E c E 3, C 5 = E c 1E c E c 3 Consideriamo il sistema Si ha P (E 1 ) = 0 = x 1 P (E ) = 06 = x + x 3 P (E 3 ) = 0 = x 3 + x 4 x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5 = 1 x i 0, i = 1 5 x 1 = 0 x = 06 x 3 x 4 = 0 x 3 x 5 = 1 ( x 3 + x x 3 ) = x 3 x i 0, i = 1 5 Al variare di 0 x 3 0 tale sistema ammette infinite soluzioni, pertanto la valutazione data è coerente Inoltre essendo x 3 = x 5 si ha P (E c 1E E 3 ) = P (E c 1E c E c 3) Abbiamo P (H) = 070, P (E H) = 05, P (E H c ) = 05 Si ha P (E) = P (E H)P (H) + P (E H c )P (H c ) = = 035 e P (H c E) = P (E Hc )P (H c ) P (E) = = Indicando con E i l evento il giocatore vince alla i-esima giocata, si ha )( 89 ) 4 P (E i ) = ( 1 1( 90 5 ) = 1 18 Poichè gli E i sono stocasticamente indipendenti ed equiprobabili, il numero aleatorio X ha distribuzione geometrica di parametro 1 Pertanto si ha 18 P (X = 3) = 1 ( 17 ) Inoltre dalla proprietà di assenza di memoria della distr geom si ha p = P (X > 1 X > 10) = P (X > ) = ( 17 ) Per quanto riguarda la previsione del guadagno, osservando che P(X) = 18, si ha P(G) = P(X) = = 80 4 Si ha che Z ha distribuzione di Poisson di parametro 5 (dim vedi Es 64 della raccolta) Pertanto si ha P(Z) = 5 1

13 Nome e cognome: Matr: CALCOLO DELLE PROBABILITA cds in Economia e Finanza 15/Feb/006 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Tempo a disposizione: ore Non è consentito l utilizzo di libri o appunti 1 Una ditta vende lampadine, il 0% proveniente da una fabbrica A, il 50% da una fabbrica B e il 30% da C Le percentuali di lampadine difettose prodotte da A, B, C sono rispettivamente il 4%, il % e il 3% Indicando con D l evento la lampadina venduta è difettosa calcolare la probabilità P (D) che una lampadina venduta dalla ditta sia difettosa e la probabilità δ che una lampadina risultata non difettosa sia stata prodotta da C P (D) = δ = Una compagnia di assicurazioni emette una polizza che garantisce che verrà pagata una cifra T =e500 nel caso in cui si verifichi un evento E entro l anno Se la compagnia valuta P (E) = 005 la probabilità che si verifichi l evento E, volendo ottenere un guadagno medio di e50, quanto deve essere la polizza S 500 da far pagare al cliente? (Se si indica con G il guadagno, si ha G = S 500 T E ) Più in generale, se P (E) = p, e T = t, calcolare S t (in funzione di p e di t) affinchè il guadagno medio sia il 10% di T S 500 = S t = 3 Da uno studio condotto durante la fine della seconda guerra mondiale emerse che il numero aleatorio N di bombe cadute nell area di 05km a sud di Londra poteva essere approssimato con una distribuzione di Poisson di parametro λ = 0933 Calcolare la probabilità p 0 che in tale regione non sia caduta nessuna bomba e la probabilità p + che siano cadute o più bombe Infine, calcolare la previsione di N p 0 = ; p + ; P(N ) = ; 4 Supponiamo che il tempo (in ore) di funzionamento ininterrotto di un computer, prima che sia necessario riavviarlo a causa di un crash di sistema, sia un numero aleatorio continuo X con densità data da f(x) = ke x 500 se x > 0, f(x) = 0 altrimenti Determinare il valore della costante k e calcolare la probabilità α che il tempo di funzionamento sia compreso tra le 50 e le 150 ore Supposto inoltre che il computer abbia funzionato per le prime 100 ore calcolare la probabilità β che funzioni per le successive 50 ore k = ; α = ; β = ; 13

14 Soluzione 15/Feb/006 1 α = 007 β = 099 Si ha P(G) = S 500 T P( E ) 50 = S S 500 = = e75 Più in generale si ha 3 Si ottiene P(G) = S t T P( E ) 01t = S t t p S t = 01t + tp = (01 + p)t P (X = 0) = e ; P (X ) = 1 P (X = 1)+P (X = 0) = 1 (0933e e 0933 ) = = 0394 Inoltre, si ha P(X ) = var(x) + (P(X)) = λ + λ = (0933) = Poichè X ha distribuzione esponenziale si ha k = 1 Inoltre, indicando con F (x) = e x 500 la funzione di ripartizione di X, si ottiene α = P (50 X 150) = F (150) F (50) = e e = = e 01 e 03 = = 0164 e propassmem {}}{ β = P (X > 150 X > 100) = P (X > 50) = e =

15 Nome e cognome: Matr: CALCOLO DELLE PROBABILITA cds in Economia e Finanza 1/Giu/006 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Tempo a disposizione: ore Non è consentito l utilizzo di libri o appunti 1 Sia X il valore aleatorio in euro di un titolo azionario ad un tempo prefissato Si considerino gli eventi: E 1 (X 3), E ( X 5), E 3 (X 6) Calcolare i costituenti relativi alla famiglia {E 1, E, E 3 } e verificare che l assegnazione di probabilità P (E 1 ) = 04, P (E ) = 03, P (E 3 ) = 01, è coerente Infine, stabilire se la precedente assegnazione implica l equiprobabilità degli eventi A (3 < X 5), B (5 < X < 6) (Le risposte vanno motivate) valutazione coerente? SI N o, Cost A, B equiprobabili? SI N o Un urna contiene 8 palline bianche e 0 nere Calcolare il numero minimo n 0 di estrazioni con restituzione necessarie affichè la probabilità che venga estratta almeno una pallina bianca sia maggiore di 3 e per il valore di n 4 0 ottenuto determinare la previsione P del numero aleatorio di palline bianche estratte Infine, supposto che nelle n 0 estrazioni sia uscita almeno una volta pallina bianca, calcolare la probabilità α che nella prima estrazione esca pallina bianca n 0 = P = α = 3 Sia data una costante a (0, ) Stabilire per quale valore di a la funzione x, x [0, a]; f(x) = a, x (a, ]; 0, altrove è una densità di probabilità Calcolare inoltre la probabilità dell evento (X > 1) a = P (X > 1) = 4 Sia X un numero aleatorio con distribuzione esponenziale di parametro λ Riportare la densità di probabilità f(x), calcolare la funzione di sopravvivenza S(x) e dimostrare che per X vale la proprietà di assenza di memoria { f(x) = S(x) = Prop Ass Memoria 15

16 Nome e cognome: Matr: CALCOLO DELLE PROBABILITA cds in Economia e Finanza 0/Lug/006 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Tempo a disposizione: ore Non è consentito l utilizzo di libri o appunti 1 Un lotto è formato da 5 pezzi dei quali 50, 75 e 100 provengono rispettivamente dai macchinari M 1, M, M 3 Supposto che le percentuali di pezzi difettosi prodotti da ciascun macchinario siano rispettivamente 50%, 60% e 70% calcolare la probabilità α che estraendo a caso un pezzo difettoso dal lotto esso provenga dal macchinario M 3 α = Da un urna contenente inizialmente 5 palline bianche e 7 nere si effettuano 4 estrazioni Ad ogni estrazione si prende nota del colore della pallina estratta che poi viene rimessa nell urna assieme ad altre palline dello stesso colore Indicando con E i l evento la i esima pallina estratta è bianca, per i = 1,, 3, 4, calcolare le probabilità dei seguenti eventi: E = la seconda pallina estratta è bianca ; A= le prime palline estratte sono nere e le successive sono bianche ; B= esattamente palline tra le 4 estratte sono nere P (E ) = P (A) = P (B) = 3 Sia data una costante a (0, 1) Stabilire per quale valore di a la funzione x, x [0, 3a]; 3 f(x) = a, x (3a, 3]; 0, altrove è una densità di probabilità Disegnare il grafico di tale densità e calcolare la probabilità dell evento (X > 3 3) a = grafico P (X > 3 3) = 4 Un accanito giocatore del lotto, il Sig Rossi, ha deciso di giocare sulla ruota di Palermo 6 euro sul numero 5 per 4 settimane consecutive Ad ogni estrazione settimanale egli può vincere o 1 volte l importo giocato, nel caso in cui esce il 5 (tra i 5 numeri estratti sui 90 presenti nell urna), o nulla nel caso contrario Supponendo i risultati settimanali stocasticamente indipendenti tra loro calcolare la probabilità di vincita p in ogni settimana e la previsione del guadagno aleatorio totale G nelle 4 settimane p = P(G) = 16

17 Soluzione 1 Indicando con H i l evento il pezzo estratto è prodotto da M i, per i = 1,, 3 e con E l evento il pezzo è difettoso si ha e P (H 1 ) = 50 5 = 9, P (H ) = 75 5 = 3 9, P (H 3) = = 4 9, P (E H 1 ) = = 05, P (E H ) = = 06 P (E H 3) = = 07 Applicando il teorema di Bayes si ha α = P (H 3 E) = P (E H 3 )P (H 3 ) P (E H 1 )P (H 1 )+P (E H )P (H )+P (E H 3 )P (H 3 ) = = = = = = 8 56 = 1 Si ha P (E ) = P (E E 1 )P (E 1 ) + P (E E1)P c (E1) c = = 5 1 Inoltre, poiche A = E1E c E c 3 E 4, si ottiene P (A) = P (E1E c E c 3 E 4 ) = P (E 4 E 3 EE c 1)P c (E 3 EE c 1)P c (E E c 1)P c (E1) c = = Osserviamo che comunque si scelga una permutazione (i 1, i, i 3, i 4 ) degli indici (1,, 3, 4) si ha P (E c i 1 E c i E i3 E i4 ) = Pertanto, poichè gli eventi del tipo Ei c 1 Ei c E i3 E i4 favorevoli a B sono in tutto pari a ( 4 ) = 6 (tutti i modi possibili di ottenere esattamente palline bianche su 4 estrazioni ) si ha P (B) = ( 4 ) P (E c 1E c E 3 E 4 ) = = Il grafico della funzione densità è illustrato in Figura 1 Il valore di a cercato è quello che rende l area sottesa alla curva pari a 1 Tale area, come si vede dalla figura, è data dell area del triangolo (di base 3a e altezza a ) più l area del rettangolo (di base (3 3a) e altezza a) Pertanto si ha (ricordandosi che a (0, 1)) 3a (3 3a)a = 1 a = Inoltre, poichè 3 3 = 3a, si ha che la P (X > 3 3) coincide con l area del rettangolo, ovvero P (X > 3 3) = P (X > 3a) = (3 3a)a =

18 funzione densità 045 a f(x) a x Figura 1: funzione densità esercizio 3 4 La probabilità di vincita in ogni settimana è data da )( 89 ) 4 ( 1 1 p = ( 90 ) = Il guadagno totale G è dato dalla somma dei guadagni settimanali, G = G 1 +G +G 3 +G 4, pertanto P(G) = 4 i=1 P(G i) Si ha (ricordando che il guadagno si ottiene sottraendo dalla vincita la quantità giocata) { 66, con prob 1 G i = 18 6, con prob quindi P(G i ) = In definitiva si ha P(G) = 8 euro = = = 18

19 Nome e cognome: Matr: CALCOLO DELLE PROBABILITA cds in Economia e Finanza 14/Set/006 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Tempo a disposizione: ore Non è consentito l utilizzo di libri o appunti 1 Tre studenti, S 1, S, S 3, sostengono una prova d esame con probabilità di essere promossi rispettivamente, 4 5, 3 4, 3 5 Assumendo che gli eventi E i = S i supera l esame, i = 1,, 3, siano stocasticamente indipendenti, calcolare la probabilità p che esattamente due dei tre studenti abbiano superato l esame, supposto che almeno uno sia stato promosso p = Da un urna contenente 1 pallina bianca e nere si effettuano estrazioni senza restituzione Definiti gli eventi A = la pallina bianca esce nella prima estrazione, B = la pallina bianca esce nella seconda estrazione determinare il codominio del numero aleatorio X = A + B Calcolare inoltre la funzione di ripartizione F X del numero aleatorio X C X = { } F X (x) = 3 Dati due numeri aleatori X, Y incorrelati e con distribuzione normale standard, calcolare la varianza dei numeri aleatori U = X + Y, V = X Y e il coefficiente di correlazione ρ UV var(u) = var(v ) = ρ UV = 4 La densità di probabilità di un numero aleatorio continuo X è kx, se 0 x < 1, k, se 1 x < 3, f(x) = k(4 x), se 3 x 4, 0 altrove Calcolare la costante di normalizzazione k, la probabilità P (X > 05) e la previsione P(X) k = P (X > 05) = P(X) = 19

20 Nome e cognome: Matr: CALCOLO DELLE PROBABILITA cds in Economia e Finanza 8/Set/006 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Tempo a disposizione: ore Non è consentito l utilizzo di libri o appunti 1 Siano A, B, C tre eventi, con A, C incompatibili e B C Verificare che l assegnazione P (A) = 1/5, P (B) = 3/10, P (C) = 1/ è coerente determinando i relativi costituenti e calcolandone le probabilità Calcolare, inoltre la previsione di X = A B + 3 C cost =, prob costit = P(X) = Un urna U 1 contiene 6 palline bianche e 4 nere, una seconda urna U contiene 4 palline bianche e 6 nere Si sceglie a caso un urna dalla quale si estraggono in blocco 5 palline Sapendo che sono state estratte 3 palline bianche e nere, calcolare la probabilità p che si sia estratto dall urna U 1 p = 3 Sia X un numero aleatorio con distribuzione normale di media 3 e varianza 4 Determinare P (X < 3 X < 4) Inoltre, posto Y = X + 1, calcolarne la media e la varianza P (X < 3 X < 4) = m Y = σ Y = 1/5, se 1 x <, 4 La densità di probabilità di un numero aleatorio continuo X è f(x) = /5, se x < 4, 0 altrove Calcolare la funzione di ripartizione F (x), la probabilità P (X > 3/) e la previsione P(X) F (x) = P (X > 3/) = P(X) = 0

21 Nome e cognome: Matricola CALCOLO DELLE PROBABILITA - 1/Gen/007 CdS in Economia e Finanza Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi Tempo a disposizione: ore Non è consentito l utilizzo di libri o appunti 1 Una compagnia di assicurazioni emette una polizza annua, il cui costo è pari a C =e10, che garantisce il pagamento di una cifra V A =e1000 nel caso in cui si verifichi un evento A e il pagamento di una cifra V B =e00 nel caso in cui si verifichi un evento B Se si valuta P (A) = 005 e P (B) = 01 calcolare il valor medio M del guadagno annuo che la compagnia si prefigge di ottenere su una singola polizza M = ; La seguente tabella mostra alcune quote che un agenzia di scommesse ha fissato sul prossimo incontro di calcio Palermo-Udinese Supponiamo di valutare le probabilità dei tre Evento A: 1 o X B: 1 o C: X o Quota /Quota eventi A, B, C utilizzando gli inversi delle rispettive quote (es P (A) = 086) Verificare che tale valutazione non è coerente Inoltre, stabilire quanto deve fare la somma P (A) + P (B) + P (C) nel caso in cui venga invece assegnata una valutazione coerente Verifica; coerenza P (A) + P (B) + P (C) = ; 3 Alla durata aleatoria T (in anni) di un dispositivo viene assegnata una densità { λ e f(t) = λt, se t > 0, 0 altrove Calcolare il valore della costante λ nell ipotesi in cui P(T )=6 mesi Inoltre, se supponiamo che il dispositivo smetta di funzionare entro anni calcolare la probabilità α che abbia funzionato per il primo anno Infine, supponendo che il dispositivo funzioni per i primi sei mesi, calcolare la probabilità β che continui a funzionare per un ulteriore anno k = ; α = ; β = 4 Il direttore di una banca ogni giorno sceglie la combinazione della cassaforte prendendola a caso da una lista di 10 combinazioni possibili La scelta avviene indipendentemente dalle scelte fatte nei giorni precedenti Un ladro, Bob, conosce una tra le 10 combinazioni contenute nella lista Per comprare un diamante alla sua fidanzata Alice, Bob una notte tenta di inserire la combinazione nella cassaforte Se la cassaforte si apre, Bob prende i soldi e compra il diamante; in caso contrario ci riprova una notte successiva, sempre con le stesse modalità Ad ogni tentativo fallito lascia un indizio; dopo aver trovato 3 indizi il commissario lo arresta Si considerino gli eventi A = Alice riceve il diamante e B j = Bob apre la cassaforte al j-esimo tentativo ; j = 1; ; 3 Calcolare P (A) (sugg esprimere l evento A mediante unioni e intersezioni degli eventi B j ) Infine, sapendo che Alice ha ricevuto il diamante, calcolare la probabilità γ che il ladro abbia sbagliato un solo tentativo P (A) = γ = 1

22 Soluzione 1 Una compagnia di assicurazioni emette una polizza annua, il cui costo è pari a C =e10, che garantisce il pagamento di una cifra V A =e1000 nel caso in cui si verifichi un evento A e il pagamento di una cifra V B =e00 nel caso in cui si verifichi un evento B Se si valuta P (A) = 005 e P (B) = 01 calcolare il valor medio M del guadagno annuo che la compagnia si prefigge di ottenere su una singola polizza Soluzione M = P(G) = P(C A V A B V B ) = C P (A)V A P (B)V B = = 50 La seguente tabella mostra alcune quote che un agenzia di scommesse ha fissato sul prossimo incontro di calcio Palermo-Udinese Supponiamo di valutare le probabilità dei tre Evento A: 1 o X B: 1 o C: X o Quota /Quota eventi A, B, C utilizzando gli inversi delle rispettive quote (es P (A) = 086) Verificare che tale valutazione non è coerente Inoltre, stabilire quanto deve fare la somma P (A) + P (B) + P (C) nel caso in cui venga invece assegnata una valutazione coerente Verifica; coerenza P (A) + P (B) + P (C) = ; Soluzione Siano E 1, E x, E i 3 possibili esiti finali della partita (essi formano una partizione di Ω) Si ha A = E 1 E x, B = E 1 E, C = E x E Pertanto l assegnazione (P (A) = 086, P (B) = 073), P (C) = 05 è coerente se il seguente sistema ammette soluzione nelle incognite (y 1, y x, y ) P (A) = 086 = y 1 + y x P (B) = 073 = y 1 + x P (C) = 05 = y x + y y 1 + y x + y = 1, y i 0, i = 1 3 Dalla somma delle prime tre equazioni si ottiene ovvero P (A) + P (B) + P (C) = (y 1 + y x + y ), = 09 = che conduce ad un assurdo Pertanto si ha che il sistema non ammette soluzioni e quindi l assegnazione data non è coerente Si osserva, quindi, che la coerenza di (P (A), P (B), P (C)) implica P (A) + P (B) + P (C) = ; 3 Alla durata aleatoria T (in anni) di un dispositivo viene assegnata una densità { λ e f(t) = λt, se t > 0, 0 altrove Calcolare il valore della costante λ nell ipotesi in cui P(T )=6 mesi Inoltre, se supponiamo che il dispositivo smetta di funzionare entro anni calcolare la probabilità α che abbia funzionato per il primo anno Infine, supponendo che il dispositivo funzioni per i primi sei mesi, calcolare la probabilità β che continui a funzionare per un ulteriore anno

23 k = ; α = ; β = Soluzione T ha una distribuzione esponenziale di parametro λ = 1/05 =, pertanto per t 0 si ha F (t) = P (T t) = 1 e t Inoltre α = P (T > 1 T <= ) = P (1 < T <= ) P (T <= ) = e e 4 1 e β = P (T > 15 T > 05) = P (T > 1) = e 4 Il direttore di una banca ogni giorno sceglie la combinazione della cassaforte prendendola a caso da una lista di 10 combinazioni possibili La scelta avviene indipendentemente dalle scelte fatte nei giorni precedenti Un ladro, Bob, conosce una tra le 10 combinazioni contenute nella lista Per comprare un diamante alla sua fidanzata Alice, Bob una notte tenta di inserire la combinazione nella cassaforte Se la cassaforte si apre, Bob prende i soldi e compra il diamante; in caso contrario ci riprova una notte successiva, sempre con le stesse modalità Ad ogni tentativo fallito lascia un indizio; dopo aver trovato 3 indizi il commissario lo arresta Si considerino gli eventi A = Alice riceve il diamante e B j = Bob apre la cassaforte al j-esimo tentativo ; j = 1; ; 3 Calcolare P (A) (sugg esprimere l evento A mediante unioni e intersezioni degli eventi B j ) Infine, sapendo che Alice ha ricevuto il diamante, calcolare la probabilità γ che il ladro abbia sbagliato un solo tentativo Soluzione Osserviamo che pertanto Inoltre, P (A) = A = B 1 B c 1B B c 1B c B 3 γ = P (A) = P (B 1 ) + P (B1B c ) + P (B1B c B c 3 ) = = γ = P (B c 1B A) = P (Bc 1B ) P (A) = =

24 Nome e cognome: Matricola CALCOLO DELLE PROBABILITA - 1/0/007 CdS in Economia e Finanza Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi Tempo a disposizione: ore Non è consentito l utilizzo di libri o appunti 1 Dati tre eventi A, B, C con A C e B C, calcolare i costituenti e verificare la coerenza della valutazione di probabilità P (A) = 05, P (B) = 06, P (C) = 07 Calcolare, inoltre, l intervallo dei valori coerenti per il costituente ABC Cost Coerente SI NO P (ABC) [ ] Date 8 scatole di componenti elettronici,in una il 0% dei pezzi sono difettosi, mentre le altre 7 contengono in parti uguali pezzi difettosi e pezzi buoni Si sceglie a caso una scatola e da questa si estraggono con restituzione 3 pezzi Definiti gli eventi E i = l i-mo pezzo estratto è non difettoso, i = 1,, 3, calcolare P (E ) e P (E E 3 ) Verificare inoltre se gli eventi E, E 3 sono stocasticamente indipendenti P (E ) = P (E E 3 ) = E, E 3 Indipendenti? 3 Con riferimento all esercizio precedente calcolare la previsione, la varianza e la funzione di ripartizione del numero aleatorio X = E E 3 P(X) = var(x) = F (x) = 4 Sia Y un numero aleatorio con funzione di ripartizione { 0, se y 1 F (y) = 1 e 3y+3, se y > 1 Calcolare la densità di probabilità f(y), la probabilità dell evento condizionato (Y > 4 Y > ) e la previsione di Y { f(y) = P (Y > 4 Y > ) = P(Y ) = 4

25 Soluzione 1 Dati tre eventi A, B, C con A C e B C, calcolare i costituenti e verificare la coerenza della valutazione di probabilità P (A) = 05, P (B) = 06, P (C) = 07 Calcolare, inoltre, l intervallo dei valori coerenti per il costituente ABC I costituenti sono: C 1 = ABC C = AB c C C 3 = A c BC C 4 = A c B c C C 5 = A c B c C c Il seguente sistema P (A) = 05 = x 1 + x P (B) = 06 = x 1 + x 3 P (C) = 07 = x 1 + x + x 3 + x 4 x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5 = 1, x i 0, i = 1 5 è risolubile per valori di x 1 [04, 05] Pertanto, la valutazione data è coerente con P (ABC) [04, 05] Date 8 scatole di componenti elettronici,in una il 0% dei pezzi sono difettosi, mentre le altre 7 contengono in parti uguali pezzi difettosi e pezzi buoni Si sceglie a caso una scatola e da questa si estraggono con restituzione 3 pezzi Definiti gli eventi E i = l i-mo pezzo estratto è non difettoso, i = 1,, 3, calcolare P (E ) e P (E E 3 ) Verificare inoltre se gli eventi E, E 3 sono stocasticamente indipendenti Indichiamo con H= la scatola scelta a caso è quella che contiene il 0% di pezzi difettosi e P (E ) = P (E H)P (H) + P (E H c )P (H c ) = = P (E 3 ) = P (E 3 H)P (H) + P (E 3 H c )P (H c ) = = Inoltre, poichè condizionatamente ad H o ad H c gli eventi E, E 3 sono stocasticamente indipendenti si ha (vedere la lezione sulle estrazioni da urne di composizione incognita) P (E E 3 ) = P (E E 3 H)P (H) + P (E E 3 H c )P (H c ) = = Infine, essendo P (E )P (E 3 ) P (E E 3 ), si ha che gli eventi E, E 3 non sono stocasticamente indipendenti 3 Con riferimento all esercizio precedente calcolare la previsione, la varianza e la funzione di ripartizione del numero aleatorio X = E E 3 Si ha P(X) = P( E E 3 ) = P( E ) P( E 3 ) = P (E ) P (E 3 ) = 0 Pertanto var(x) = P(X ) [P(X)] = P(X ) Tra i diversi modi di procedere consideriamo il seguente Si ha X = ( E E 3 ) = ( E E E 3 + E 3 ) Pertanto, segue che P(Y ) = P( E E E 3 + E 3 ) = P (E ) P (E E 3 ) + P (E 3 ) = ( ) =

26 4 Sia Y un numero aleatorio con funzione di ripartizione { 0, se y 1 F (y) = 1 e 3y+3, se y > 1 Calcolare la densità di probabilità f(y), la probabilità dell evento condizionato (Y > 4 Y > ) e la previsione di Y Si ha Inoltre f(y) = P (Y > 4 Y > ) = { 0, se y 1 3e 3y+3, se y > 1 P (Y > 4) P (Y > ) = e 1+3 e 6+3 = e 6 Osserviamo che se indichiamo con X Exp(3), si ha Y = 1 + X, pertanto P(Y ) = 1 + P(X) = = 4 3 6

27 Nome e cognome: Matricola CALCOLO DELLE PROBABILITA - 09/06/007 CdS in Economia e Finanza Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi Tempo a disposizione: ore Non è consentito l utilizzo di libri o appunti 1 Dati due eventi A e B con P (A) = 08, P (B) = 06, stabilire, motivando le risposte: a) se è coerente la valutazione P (A B c ) = 0; b) se è coerente la valutazione P (AB) = 01; c) i valori ammissibili per la probabilità p = P (A B) P (AB c ) = 0 coerente? Si No ; Si P (AB) = 01 coerente? No ; p [ ]; Da un lotto di 10 componenti, di cui difettosi, si effettuano estrazioni con restituzione L esperimento viene interrotto la prima volta che viene estratto un pezzo difettoso Indicando con X il numero aleatorio di estrazione effettuate, calcolare la previsione di X e la probabilità dell evento (X > ) Inoltre, supposto che nelle prime 3 estrazioni siano stati estratti pezzi non difettosi, calcolare la probabilità γ di ottenere per la prima volta un pezzo difettoso alla quinta estrazione P(X) = ; P (X > ) = ; γ = 3 Due fabbriche locali producono radio Ogni radio prodotta dalla fabbrica A è non difettosa con probabilità 095, mentre ogni radio prodotta dalla fabbrica B è non difettosa con probabilità 099 Supponiamo di aver ricevuto in regalo due radio prodotte dalla stessa fabbrica, che può essere A con probabilità 03 e B con probabilità 07 Se la prima radio è difettosa, calcolare: a) la probabilità condizionata β che anche l altra sia difettosa; b) la probabilità condizionata δ che essa sia prodotta da A β = ; δ = 4 Dati due numeri aleatori X, Y indipendenti con distribuzione normale rispettivamente di parametri µ X = 1, σ X = 1 e µ Y =, σ Y =, sia Z = X + Y Calcolare: a) il coefficiente di correlazione lineare ρ X,Z di X e Z; a) la probabilità α dell evento Y > ( + 1) ; c) Cov(X + Y, X Y ) ρ X,Z = ; α = ; Cov(X + Y, X Y ) = 7

28 Svolgimento del compito d esame assegnato in data 09/06/007 1 Dati due eventi A e B con P (A) = 08, P (B) = 06, stabilire, motivando le risposte: a) se è coerente la valutazione P (A B c ) = 0; b) se è coerente la valutazione P (AB) = 01; c) i valori ammissibili per la probabilità p = P (A B) P (AB c ) = 0 coerente? Si No ; Soluzione Come si evince dalla Figura 1 i costituenti sono Si P (AB) = 01 coerente? No ; p [ ]; C 1 = AB, C = AB c, C 3 = A c B C 4 = A c B c Ω A B C C 1 C 3 C 4 Figura 1: Consideriamo il seguente sistema o in maniera equivalente il sistema x 1 + x = 08 x (S) 1 + x 3 = 06 x 1 + x + x 3 + x 4 = 1 x i 0, i = 1 4 x = 08 x 1 (S x ) = 3 = 06 x 1 x 4 = x 1 04 x i 0, i = 1 4 Il sistema (S) è risolvibile se e solo se 04 x 1 06 In tal caso, la generica soluzione è data da (x 1, 08 x 1, 06 x 1, x 1 04) La valutazione P (AB c ) = 0 non è coerente perchè il sistema (S) non ammette soluzioni con x = 0 Analogamente, la valutazione P (AB) = 01 non è coerente perchè il sistema (S) non ammette soluzioni con x 1 = 01 Infine, poichè p = P (A B) = P (A) + P (B) P (AB) = 14 x 1 con 04 x 1 06, si ha che l insieme dei valori coerenti per p è dato dall intervallo [08, 1] 8

29 Da un lotto di 10 componenti, di cui difettosi, si effettuano estrazioni con restituzione L esperimento viene interrotto la prima volta che viene estratto un pezzo difettoso Indicando con X il numero aleatorio di estrazione effettuate, calcolare la previsione di X e la probabilità dell evento (X > ) Inoltre, supposto che nelle prime 3 estrazioni siano stati estratti pezzi non difettosi, calcolare la probabilità γ di ottenere per la prima volta un pezzo difettoso alla quinta estrazione P(X) = ; P (X > ) = ; γ = Soluzione Il numero aleatorio X ha distribuzione geometrica di parametro p = 1, pertanto si ha 5 e P(X) = 5, P (X > ) = ( 4) 16 = 5 5 = 064 γ = P (X = 5 X > 3) = P (X = 5) P (X 3) = pq4 q = pq = = 4 5 = Due fabbriche locali producono radio Ogni radio prodotta dalla fabbrica A è non difettosa con probabilità 095, mentre ogni radio prodotta dalla fabbrica B è non difettosa con probabilità 099 Supponiamo di aver ricevuto in regalo due radio prodotte dalla stessa fabbrica, che può essere A con probabilità 03 e B con probabilità 07 Se la prima radio è difettosa, calcolare: a) la probabilità condizionata β che anche l altra sia difettosa; b) la probabilità condizionata δ che essa sia prodotta da A β = ; δ = Soluzione Indichiamo con D i l evento la i-esima radio è difettosa, per i = 1,, con H l evento entrambe le radio sono prodotte dalla fabbrica A Poichè entrambe le radio provengono dalla stessa fabbrica si ha che H c è l evento entrambe le radio sono prodotte dalla fabbrica B P (D 1 ) = P (D 1 H)P (H) + P (D 1 H c )P (H c ) = = 00, e che (essendoci indipendenza condizionata) P (D D 1 ) = P (D D 1 H)P (H) + P (D D 1 H c )P (H c ) = = (005) 03 + (001) 07 = Pertanto si ha β = P (D D 1 ) = P (D D 1 ) P (D 1 ) = = 0037 Infine, applicando il Teorema di Bayes, si ottiene δ = P (H D 1 ) = P (D 1)P (D 1 H) P (D 1 ) = 15 = Dati due numeri aleatori X, Y indipendenti con distribuzione normale rispettivamente di parametri µ X = 1, σ X = 1 e µ Y =, σ Y =, sia Z = X + Y Calcolare: a) il coefficiente di correlazione lineare ρ X,Z di X e Z; 9

30 a) la probabilità α dell evento Y > ( + 1) ; c) Cov(X + Y, X Y ) Soluzione ρ X,Z = ; α = ; Cov(X + Y, X Y ) = Osserviamo che poichè X, Y sono indipendenti si ha cov(x, Y ) = 0 Pertanto Il coefficiente di correlazione ρ X,Z tra X e Z è dato da ρ X,Z = cov(x, X + Y ) σ X σ X+Y = Poichè Y N 0, si ha =0 {}}{ cov(x, Y ) +cov(x, X) σ X+Y σ X = σ X σ X+Y σ X = σ X = 1 σ X+Y 3 α = P (Y > ( + 1)) = P ( Y > ) = 1 Φ 0,1 () = 008 Infine, dalla proprietà di bilinearità della covarianza Cov(aX+bY, cz+dt ) = accov(x, Z)+ adcov(x, T ) + bccov(y, Z) + bdcov(y, T ), si ha Cov(X + Y, X Y ) = Cov(X, X) Cov(X, Y ) + Cov(Y, X) Cov(Y, Y ) = σ X σ Y = 1 = 1 30

31 Nome e cognome: Matricola CALCOLO DELLE PROBABILITA - 6/06/007 CdS in Economia e Finanza Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi Tempo a disposizione: ore Non è consentito l utilizzo di libri o appunti 1 Dati due eventi A e B con P (A) = 09, P (B) = 0, stabilire, motivando le risposte: a) i valori ammissibili per la probabilità p = P (A B); b) se è coerente la valutazione P (A c B) = 0; c) se gli eventi A e B possono essere valutati stocasticamente indipendenti p [01, 0]; P (A c B) = 0 coerente? Si No ; Si A e B indipendenti? No ; Un cassetto contiene 5 chiavi indinstinguibili delle quali una sola apre una certa serratura Dal cassetto si prendono in blocco chiavi; quindi si utilizza a caso una delle chiavi cercando di aprire la serratura Definiti gli eventi A = fra le chiavi prese in blocco c è quella che apre la serratura, E = La chiave scelta a caso non apre la serratura calcolare P (E) e P (A E) P (E) = 4 5 ; P (A E) = 1 4 ; 3 Un numero aleatorio X ha densità f(x) = x se 0 x < se 3 x a 3 0 altrove Determinare: a) il valore di a; b) la previsione di X; c) la funzione di ripartizione di X a = 45 ; P(X) = 875 ; F (x) = 4 Da un urna contenente palline bianche e 3 nere si effettuano 3 estrazioni senza restituzione Definiti gli eventi E i l iesima pallina estratta è bianca, i = 1,, 3 e posto X = E 1 + E, Y = E 1 + E 3, calcolare il codominio e la previsione di XY Inoltre calcolare, il coefficiente di correlazione lineare ρ X,Y di X e Y ; C XY = { } ; P(XY ) = ; ρ X,Y = ; 31

32 Svolgimento del compito d esame assegnato in data 6/06/007 1 Dati due eventi A e B con P (A) = 09, P (B) = 0, stabilire, motivando le risposte: a) i valori ammissibili per la probabilità p = P (A B); b) se è coerente la valutazione P (A c B) = 0; c) se gli eventi A e B possono essere valutati stocasticamente indipendenti p [01, 0]; P (A c B) = 0 coerente? Si No ; Si A e B indipendenti? No ; Soluzione Come si evince dalla Figura 1 i costituenti sono C 1 = AB, C = AB c, C 3 = A c B C 4 = A c B c Ω A B C C 1 C 3 C 4 Figura 1: Consideriamo il seguente sistema o in maniera equivalente il sistema x 1 + x = 09 x (S) 1 + x 3 = 0 x 1 + x + x 3 + x 4 = 1 x i 0, i = 1 4 x = 09 x 1 (S x ) = 3 = 0 x 1 x 4 = 1 x x x 1 = x 1 01 x i 0, i = 1 4 Il sistema (S) è risolvibile se e solo se 01 x 1 0 In tal caso, la generica soluzione è data da (x 1, 09 x 1, 0 x 1, x 1 01) Pertanto, si ha che l insieme dei valori coerenti per p è dato dall intervallo [01, 0] La valutazione P (A c B) = 0 è coerente perchè il sistema (S) ammette soluzione con x 3 = 0 Infine, poichè l assegnazione P (A B) = 09 0 = 018 è coerente, si ha che gli eventi A e B possono essere valutati stocasticamente indipendenti Un cassetto contiene 5 chiavi indinstinguibili delle quali una sola apre una certa serratura Dal cassetto si prendono in blocco chiavi; quindi si utilizza a caso una delle chiavi cercando di aprire la serratura Definiti gli eventi A = fra le chiavi prese in blocco c è quella che apre la serratura, E = La chiave scelta a caso non apre la serratura calcolare P (E) e P (A E) 3

33 Soluzione Si ha P (E) = 4 5 ; P (A E) = 1 4 P (E A) = 1 ; P (E Ac ) = 1; P (A) = ( 1 )( 4 1( 1) 5 = ) 5, ; pertanto e P (E) = P (E A)P (A) + P (E A c )P (A c ) = P (A E) = 3 Un numero aleatorio X ha densità f(x) = P (E A)P (A) P (E) = x se 0 x < se 3 x a 3 0 altrove = = 4 5 Determinare: a) il valore di a; b) la previsione di X; c) la funzione di ripartizione di X a = 45 ; P(X) = 875 ; F (x) = Soluzione Dalla condizione di normalizzazione della densità si ha + f(x)dx = 3 0 x 9 dx + a dx = 1 + a 3 3 = 1 Segue che a = 9 Inoltre si ha P(X) = + = [ x 3 7 Calcoliamo la funzione di ripartizione xf(x)dx = ] [ x x 9 9 dx + 3 x 3 dx = ] 9 3 = = 3 8 Se x < 0 si ha F (x) = 0; se 0 x < 3 si ha se 3 x < 9 si ha F (x) = x 0 t 9 dt = [ t ] x 18 = x 0 18 ; F (x) = 3 0 t x 9 dt dt = 1 + [ t 3 33 ] x 3 = 1 + x 3 3 = x 3 ; 6

34 se x 9 si ha F (x) = 1 Ricapitolando, si ha F (x) = 0 se x < 0; x 18 se 0 x < 3; x 3 6 se 3 x < 9 ; 1 se x 9 f(x) (a) Grafico della funzione densità f(x) 9 x F (x) (b) Grafico della funzione di ripartizione F (x) 9 x Figura : Densità e funzione di ripartizione del numero aleatorio X 4 Da un urna contenente palline bianche e 3 nere si effettuano 3 estrazioni senza restituzione Definiti gli eventi E i l iesima pallina estratta è bianca, i = 1,, 3 e posto X = E 1 + E, Y = E 1 + E 3, calcolare il codominio e la previsione di XY Inoltre calcolare, il coefficiente di correlazione lineare ρ X,Y di X e Y ; C XY = { } ; P(XY ) = ; ρ X,Y = ; 34

35 Soluzione Illustriamo una soluzione semplice anche se laboriosa Calcolando i costituenti si ha Pertanto, Inoltre, essendo si perviene a Cost Prob; X Y XY C 1 = E 1 E E3; c p 1 = 3 1 = 1 ; C = E 1 EE c 3 ; p = 1 3 = 1 ; C 3 = E 1 EE c 3 c p 3 = 3 = ; C 4 = E1E c E 3 ; p 4 = 1 3 = 1 ; C 5 = E1E c E3; c p 5 = 3 = ; C 6 = E1E c E c 3 p 6 = 3 = ; C 7 = E1E c E c 3 c p 7 = 1 3 = 1 ; C XY = {0, 1, }, P(XY ) = = 7 10 P(X) = = 8 = 4, P(X ) = = 1, var(x) = P(X ) [P(X)] = 9 5, P(Y ) = = 8 = 4, P(Y ) = = 1, var(y ) = = 9, 5 cov(xy ) = P(XY ) P(X)P(Y ) = 3 ρ X,Y = 50, cov(x, Y ) = 3 5 var(x)var(y ) 50 9 =

36 Nome e cognome: Matricola CALCOLO DELLE PROBABILITA - 04/09/007 CdS in Economia e Finanza Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi Tempo a disposizione: ore Non è consentito l utilizzo di libri o appunti 1 Dati quattro eventi A, B, D, E con A B, D = (A B c ) (A c B) ed E tale che A E e B E = calcolare la famiglia C dei costituenti Inoltre, dati i valori P (A) = 0, P (B) = 05, P (D) = 03, P (E) = 0 stabilire se tali assegnazioni di probabilità sono coerenti C = coerenza? Si No Per assemblare un sistema, si prendono a caso 3 componenti da una cassa che ne contiene 6, dei quali sono guasti Il sistema funziona solo se il numero aleatorio X di componenti guasti, fra i 3 scelti a caso, è minore o uguale a 1 Calcolare: (i) la probabilità p 1 che il sistema funzioni; (ii) la probabilità p che il sistema funzioni, supposto che almeno uno dei 3 componenti scelti a caso sia guasto p 1 ; p = ; 3 I componenti prodotti da una ditta possono avere tre tipi di difetti ed il generico componente è giudicato difettoso se presenta almeno un difetto Scelto a caso un componente, siano definiti gli eventi E i = il componente presenta l i esimo difetto, i = 1,, 3 Assumendo E 1, E ed E 3 stocasticamente indipendenti, con P (E 1 ) = 00, P (E ) = 003, P (E 3 ) = 004, calcolare: (i) la probabilità α che il componente presenti tutti e tre i difetti; (ii) la probabilità β che il componente sia difettoso; (iii) la probabilità γ che il componente non presenti il secondo difetto, supposto che sia difettoso α = ; β = ; γ = ; 4 Dato un punto aleatorio (X, Y ) scelto a caso nel quadrato [0, 1] [0, 1], calcolare la probabilità p che (X, Y ) appartenga al triangolo T di vertici i punti (0, 0), ( 1, 0), (0, 1 ) Inoltre, calcolare lo scarto quadratico medio σ del numero aleatorio Z = X+Y p = ; σ = ; 36

37 Svolgimento del compito d esame assegnato in data 04/09/007 1 Dati quattro eventi A, B, D, E con A B, D = (A B c ) (A c B) ed E tale che A E e B E = calcolare la famiglia C dei costituenti Inoltre, dati i valori P (A) = 0, P (B) = 05, P (D) = 03, P (E) = 0 stabilire se tali assegnazioni di probabilità sono coerenti Soluzione AB c DE c ABD c E c A C = c BDE c AB c DE A c B c D c E A c B c D c E c coerenza? Si Per assemblare un sistema, si prendono a caso 3 componenti da una cassa che ne contiene 6, dei quali sono guasti Il sistema funziona solo se il numero aleatorio X di componenti guasti, fra i 3 scelti a caso, è minore o uguale a 1 Calcolare: (i) la probabilità p 1 che il sistema funzioni; (ii) la probabilità p che il sistema funzioni, supposto che almeno uno dei 3 componenti scelti a caso sia guasto Soluzione Il numero aleatorio X ha distribuzione ipergeometrica di parametri N = 6, n = 3, p = 1 3 Si ha p 1 = P (X 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 4 5 e p = P (X 1 X 1) = P (X=1) P (X=1)+P (X=)) = I componenti prodotti da una ditta possono avere tre tipi di difetti ed il generico componente è giudicato difettoso se presenta almeno un difetto Scelto a caso un componente, siano definiti gli eventi E i = il componente presenta l i esimo difetto, i = 1,, 3 Assumendo E 1, E ed E 3 stocasticamente indipendenti, con P (E 1 ) = 00, P (E ) = 003, P (E 3 ) = 004, calcolare: (i) la probabilità α che il componente presenti tutti e tre i difetti; (ii) la probabilità β che il componente sia difettoso; (iii) la probabilità γ che il componente non presenti il secondo difetto, supposto che sia difettoso Soluzione Si ha α = P (E 1 E E 3 ) = P (E 1 )P (E )P (E 3 ) = , β = P (E 1 E E 3 ) = 1 P (E c 1 E c E c 3) = 1 P (E c 1)P (E c )P (E c 3) = , infine γ = P (E E c 1 E E 3 ) = 1 P (E E 1 E E 3 ) = = 1 P [E (E 1 E E 3 )] P (E P (E 1 E E 3 = 1 ) = ) P (E 1 E E 3 ) 4 Dato un punto aleatorio (X, Y ) scelto a caso nel quadrato [0, 1] [0, 1], calcolare la probabilità p che (X, Y ) appartenga al triangolo T di vertici i punti (0, 0), ( 1, 0), (0, 1 ) Inoltre, calcolare lo scarto quadratico medio σ del numero aleatorio Z = X+Y Soluzione Poichè il vettore (X, Y ) ha distribuzione uniforme nel quadrato [0, 1] [0, 1] si ha che la 37

38 probabilità p è data dal rapporto tra l area del triangolo T e l area del quadrato [0, 1] [0, 1] Pertanto, si ha p = P [(X, Y ) T ] = 1/8 1 = 1 8 Osserviamo che X ha distribuzione uniforme in [0, 1] Infatti se x [0, 1] si ha mentre se x / [0, 1] si ha f 1 (x) = f 1 (x) = f(x, y)dy = 1, f(x, y)dy = dy = 1, 0dy = 0 In maniera analoga si prova che Y ha distribuzione uniforme in [0, 1] Pertanto segue che f(x, y) = f 1 (x) f(y), (x, y) R, cioè X, Y sono stocasticamente indipendenti e quindi cov(x, Y ) = 0 Posto Z = X+Y si ha Infine, σ = 1 4 var(z) = 1 4 var(x) var(y ) = =

39 Nome e cognome: Matricola CALCOLO DELLE PROBABILITA - 0/09/007 CdS in Economia e Finanza Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi Tempo a disposizione: ore Non è consentito l utilizzo di libri o appunti 1 Dati tre eventi E 1, E, E 3 con E1 c Ec Ec 3 =, calcolare la famiglia C dei costituenti Inoltre, dati i valori P (E 1 ) = 0, P (E ) = 03, P (E 3 ) = 04, stabilire se tali assegnazioni di probabilità sono coerenti C = coerenza? Si No ; Un imputato deve essere giudicato da una giuria composta da tre giurati il cui verdetto finale è raggiunto a maggioranza I tre giurati A, B e C assumono la loro decisione indipendentemente A e B hanno probabilità α (0, 1) di decidere per l assoluzione, mentre il giurato C decide in base al risultato ottenuto nel lancio di una moneta (i) Si calcoli la probabilità che l imputato sia assolto (evento E) (ii) Supponendo di sostituire il giurato C con un altro giurato D, il quale ha probabilità δ (0, 1), con δ α, di decidere per l assoluzione, si verifichi per quali valori di δ la probabilità di assoluzione per l imputato è maggiore che nel caso precedente P (E) = ; δ ; 3 Con riferimento all esercizio precedente, qualora gli imputati siano tre e vengono giudicati indipendentemente tra di loro dalle giurie prima considerate, si esprima la probabilità dei seguenti eventi: E 1 = la giuria composta da A, B e C ne assolve due su tre ; E = la giuria composta da A, B e D ne assolve due su tre ; E 3 = la giuria composta da A, B e D assolve almeno un imputato In particolare per α = 3 4 si determini il valore δ (probabilità che il giurato D decida per l assoluzione) in modo tale che P (E 1 ) = P (E ) P (E 1 ) = ; P (E ) = ; P (E 3 ) = ; δ = ; 4 Dato un punto aleatorio (X, Y ) scelto a caso nel rettangolo [1, 3] [1, ], calcolare la funzione di ripartizione marginale F (x) di X Inoltre, posto T = X Y, Z = X + Y, calcolare la varianza di T e la covarianza di T e Z F (x) = var(t ) = ; cov(t, Z) = ; 39

40 Nome e cognome: Matricola CALCOLO DELLE PROBABILITA - 10/01/008 CdS in Economia e Finanza Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi Tempo a disposizione: ore Non è consentito l utilizzo di libri o appunti 1 Da un lotto contenente 6 pezzi ( difettosi e 4 buoni) si effettuano 3 estrazioni senza restituzione Definiti gli eventi E i = l iesimo pezzo estratto è difettoso, i = 1,, 3, stabilire se E 1, E, E 3 sono: (i) equiprobabili; (ii) stocasticamente indipendenti Calcolare inoltre la probabilità condizionata α che esattamente due dei tre pezzi estratti siano buoni, supposto che almeno uno dei tre pezzi estratti sia difettoso equiprobabili? Si/ No ; stocast indip? Si/ No ; α = Dati tre eventi A, B, e C con A B =, A B C, e con P (A) = P (B) = 1 3, P (C) = 5 6, determinare i costituenti e la funzione di ripartizione del numero aleatorio X = A + B C Costituenti = F (x) =, p Determi- 3 Sia X un numero aleatorio che assume i valori {x,, 3, 7} con probabilità rispettive 1 5, 1 nare p e, nell ipotesi che P(X) = 3, il valore x p = ; x = ; 10, 1 4 Dato un numero aleatorio X con distribuzione esponenziale di parametro λ =, calcolare il coefficiente di correlazione lineare ρ(x, Y ) con Y = 4 3X Determinare inoltre la funzione di ripartizione F Y (y) di Y { ρ(x, Y ) = ; F Y (y) =,, 40

41 Nome e cognome: Matricola CALCOLO DELLE PROBABILITA - 07/0/008 CdS in Economia e Finanza Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi Tempo a disposizione: ore Non è consentito l utilizzo di libri o appunti 1 Dati due eventi A, B incompatibili, e un evento E B, considerare le assegnazioni di probabilità P (A) = 5, P (B) = 1, P (E) = 1 4 Calcolare i costituenti relativi ai tre eventi A, B, E e stabilire se l assegnazione è coerente Infine, calcolare la previsione del numero aleatorio X = A B + E Cost = coerenza? Si No ; P(X) = Due palline sono estratte casualmente da un urna, che ne contiene 10, numerate da 1 a 10 Indicando con X e Y, rispettivamente, il risultato della prima e della seconda estrazione, determinare la probabilità che la somma dei numeri delle due palline estratte sia 16 nel caso di estrazioni senza restituzione (p s ) e nel caso di estrazioni con restituzione (p c ) p s = ; p c = 3 Il danno X, in milioni di euro, causato da un incendio in un centro commerciale ha una distribuzione { k(0 x), 0 < x < 0, f(x) = 0, altrove Determinare il valore di k Supposto che il danno sia superiore a 8 milioni, qual è la probabilità p che il danno sia inferiore a 16 milioni? k = p = 4 Sia data la seguente distribuzione congiunta di probabilità Y X Calcolare cov(x, Y ) e la probabilità condizionata α = P (min(x, Y ) 0 max(x, Y ) < 1) Inoltre, stabilire se X, Y sono stocasticamente indipendenti cov(x, Y ) = α = Indipendenza? Si No ; 41

42 Nome e cognome: Matricola CALCOLO DELLE PROBABILITA - 10/07/008 CdS in Economia e Finanza - Cds in Informatica - Cds SIGAD Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi Tempo a disposizione: ore (INF-EF), ore e trenta (SIGAD) Non è consentito l utilizzo di libri o appunti 1 Una moneta simmetrica viene lanciata volte Considerati gli eventi E 1 = nel primo lancio esce Testa, E = nel secondo lancio esce Testa, E 3 = nei due lanci esce sempre Testa oppure sempre Croce, verificare se: (i) E 1, E, E 3 sono a due a due stocasticamente indipendenti; (ii) E 1, E, E 3 sono stocasticamente indipendenti Indipendenti a due a due? Si No ; Indipendenti? Si No ; Il killer per effettuare un omicidio viene scelto tra Alberto, Bruno e Carlo mediante la seguente procedura: si lancia una moneta simmetrica, se esce testa allora viene scelto Alberto, altrimenti si rilancia di nuovo la moneta; se al secondo lancio esce testa allora viene scelto Bruno, altrimenti viene scelto Carlo Si considerino gli eventi: A= il killer scelto è Alberto ; B= il killer scelto è Bruno ; C= il killer scelto è Carlo Calcolare P (A), P (B) e P (C) Dopo l omicidio la polizia viene a conoscenza sia della precedente procedura sia del fatto che Bruno è stato visto altrove il giorno del delitto Calcolare la probabilità p che il killer scelto sia il Alberto alla luce di tali informazioni P (A) = P (B) = P (C) = p = 3 Dati tre eventi A, B, C con C A c B, calcolare i relativi costituenti Inoltre, verificare la coerenza dell assegnazione di probabilità P (A) = 1, P (B) = 1 5, P (C) = 1 8 Infine, calcolare l intervallo di valori coerenti per P (A B C c ) Cost = Ass coerente? Si No ; P (ABCc ) [ ] 4 EF-SIGAD Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sul cerchio C di centro l origine e raggio r = Calcolare la densità marginale f X (x) di X e la densità marginale condizionata f Y x (y) per ogni fissato valore di x ], [ Infine, stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti f X (x) = f Y x (y) = X, Y indipendenti? Si No ; 4 INF La lunghezza di una barra è un numero aleatorio X con densità del tipo x 1, 1 x k + 1 f(x) = k x + 1, k + 1 < x k + 1 0, altrove Calcolare la costante k, la funzione di ripartizione di X e la varianza di X k = F (x) = var(x) = 43

43 5 SIGAD Dati due numeri aleatori X e Y, indipendenti e con distribuzione normale di parametri µ X = 1, σ X = 1 3, µ Y = 1, σ Y = 1 6, sia Z = X + Y Determinare: (i) la previsione e la varianza di Z; (ii) la funzione caratteristica di Z; (iii) la probabilità condizionata α = P (Z 1 Z > 1) P(Z) = varz = φ Z (t) = α = 44

44 Soluzione 1 Una moneta simmetrica viene lanciata volte Considerati gli eventi E 1 = nel primo lancio esce Testa, E = nel secondo lancio esce Testa, E 3 = nei due lanci esce sempre Testa oppure sempre Croce, verificare se: (i) E 1, E, E 3 sono a due a due stocasticamente indipendenti; (ii) E 1, E, E 3 sono stocasticamente indipendenti Si ha Indipendenti a due a due? Si No ; Indipendenti? Si No ; P (E 1 ) = P (E ) = 1, P (E 3) = P (E 1 E ) + P (E 1 E c ) = 1 con P (E 1 E ) = 1 4 = P (E 1)P (E ); inoltre P (E 1 E 3 ) = P (E 1 E ) = 1 4 = P (E 1)P (E 3 ), P (E E 3 ) = P (E 1 E ) = 1 4 = P (E )P (E 3 ); quindi E 1, E, E 3 sono a due a due stocasticamente indipendenti D altro canto, poichè E 1 E E 3 = E 1 E, si ha P (E 1 E E 3 ) = P (E 1 E ) = = P (E 1)P (E )P (E 3 ); pertanto E 1, E, E 3 non sono stocasticamente indipendenti Il killer per effettuare un omicidio viene scelto tra Alberto, Bruno e Carlo mediante la seguente procedura: si lancia una moneta simmetrica, se esce testa allora viene scelto Alberto, altrimenti si rilancia di nuovo la moneta; se al secondo lancio esce testa allora viene scelto Bruno, altrimenti viene scelto Carlo Si considerino gli eventi: A= il killer scelto è Alberto ; B= il killer scelto è Bruno ; C= il killer scelto è Carlo Calcolare P (A), P (B) e P (C) Dopo l omicidio la polizia viene a conoscenza sia della precedente procedura sia del fatto che Bruno è stato visto altrove il giorno del delitto Calcolare la probabilità p che il killer scelto sia il Alberto alla luce di tali informazioni P (A) = 1 P (B) = 1 4 P (C) = 1 4 p = P (A B c ) = 3 3 Dati tre eventi A, B, C con C A c B, calcolare i relativi costituenti Inoltre, verificare la coerenza dell assegnazione di probabilità P (A) = 1, P (B) = 1 5, P (C) = 1 8 Infine, calcolare l intervallo di valori coerenti per P (A B C c ) Cost = Ass coerente? Si No ; P (ABCc ) [ ] I costituenti, come si evince dalla Figura 1, sono C 1 = ABC c C = AB c C c C 3 = A c BC c C 4 = A c BC C 5 = A c B c C c Consideriamo il seguente sistema (S) nelle incognite x 1, x 5 x 1 + x = 1 x = 1 x 1 x (S) 1 + x 3 + x 4 = 1 x 3 = 3 40 x 1 5 x 4 = 1 x 4 = x x i 0, i = = x 1 x i 0, i = 1 5 Il sistema (S) è risolvibile L insieme delle soluzioni è {(x 1, 1 x 1, 3 40 x 1, 1 8, x 1) : x 1 [0, 3 40 ]} Pertanto l assegnazione data è coerente e l insieme dei valori di probabilità coerenti per P (ABC c ) è dato dall intervallo [0, 3 40 ] 45

45 Ω A B C C C 1 C 4 C 3 C 5 Figura 1: 4 EF-SIGAD Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sul cerchio C di centro l origine e raggio r = Calcolare la densità marginale f X (x) di X e la densità marginale condizionata f Y x (y) per ogni fissato valore di x ], [ Infine, stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti f X (x) = f Y x (y) = X, Y indipendenti? Si No ; Il vettore (X, Y ) ha la seguente densità di probabilità { 1 f(x, y) = 4π, x + y 4 0, altrove Per x / [, ] si ha f X (x) = + f(x, y)dy = + 0dy = 0; per x [, ] si ha f X (x) = + f(x, y)dy = 4 x 1 4 x 4π dy = 4 x 4π = 4 x ; π pertanto si ha f X (x) = { 4 x π, x [, ]; 0, altrove Procedento in maniera analoga a quanto fatto per f X (x) si ha { 4 y f Y (y) = π, y [, ]; 0, altrove Per ogni fissato valore x ], [ si ottiene { f(x, y) f Y x (y) = f X (x) = 1, 4 x y [ 4 x, 4 x ]; 0, altrove Ovvero, Y x ha distribuzione uniforme in [ 4 x, 4 x ] Infine, si verifica facilmente che X, Y non sono stocasticamente indipendenti (ad esempio osservando che f X (0)f Y (0) f(0, 0)) 4 INF La lunghezza di una barra è un numero aleatorio X con densità del tipo x 1, 1 x k + 1 f(x) = k x + 1, k + 1 < x k + 1 0, altrove 46

46 Calcolare la costante k, la funzione di ripartizione di X e la varianza di X k = F (x) = var(x) = Osserviamo che il grafico della funzione densità descrive un triangolo di base k = k ed altezza k, pertanto dovendo essere l area di tale triangolo pari a 1 e f(x) 0 segue che k = 1 Quindi si ha x 1, 1 x f(x) = 3 x, < x 3 0, altrove Per x < 1 si ha F (x) = 0; per 1 x si ha F (x) = x (x 1) 1 (t 1)dt = ; per < x 3 si ha F (x) = 1 + x x (3 t)dt = = + 3x 7 ; per x > 3 si ha F (x) = 1 In sintesi si ha F (x) = 0, x < 1; (x 1), 1 x ; x + 3x 7, < x 3; 1, x > 3 Si verifica facilmente che P(X) = e che P(X ) = 5 6 In conclusione si ha var(x) = = SIGAD Dati due numeri aleatori X e Y, indipendenti e con distribuzione normale di parametri µ X = 1, σ X = 1 3, µ Y = 1, σ Y = 1 6, sia Z = X + Y Determinare: (i) la previsione e la varianza di Z; (ii) la funzione caratteristica di Z; (iii) la probabilità condizionata α = P (Z 1 Z > 1) P(Z) = varz = φ Z (t) = α = Si ha P(Z) = P(X) + P(Y ) = = 0; var(z) = var(x) + 4var(Y ) + 4cov(X, Y ) = 1 }{{} = 1 =0 Inoltre φ Z (t) = φ X (t) φ Y (t) = φ X (t) φ Y (t) = e iµ Xt 1 (σ Xt) e iµ Y t 1 (σ Y t) = = e i( 1)t 1 ( 1 3 t) e i( 1 )t 1 ( 1 6 t) = e it 1 6 t e it 6 t = e t, t R Quindi, Z è un numero aleatorio con distribuzione normale standard Infine, si ha P (Z 1 Z > 1) = P ( 1 < Z 1) P (Z > 1) = Φ(1) 1 Φ(1) =

47 Cognome e Nome: Matricola CALCOLO DELLE PROBABILITA - 03/Set/008 CdS in Economia e Finanza - Cds in Informatica - Cds SIGAD Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi Tempo a disposizione: ore (INF-EF), ore e trenta (SIGAD) Non è consentito l utilizzo di libri o appunti Gli studenti di Economia e Finanza devono risolvere gli esercizi: 1,, 3, 4EF-S Gli studenti di Informatica devono risolvere gli esercizi: 1,, 3, 4INF Gli studenti del SIGAD devono risolvere gli esercizi: 1,, 3, 4EF-S, 5S 1 Dati 3 eventi E 1, E, E 3 con E 1 e E 3 incompatibili e E E 3 Verificare che l assegnazione P (E 1 ) = 3 10, P (E ) = 10, P (E 3) = 5 è coerente Inoltre calcolare la previsione e la varianza di X = E 1 E + 3 E 3 Coerenza? SI NO P(X) = var(x) = Da un urna contenente 3 palline bianche e 3 nere vengono effettuate estrazioni con restituzione Considerati gli eventi A = nella prima estrazione esce pallina bianca, B = nella seconda estrazione esce pallina nera, C = le due palline estratte hanno lo stesso colore, verificare se: (i) A, B, C sono a due a due stocasticamente indipendenti; (ii) A, B, C sono stocasticamente indipendenti Indipendenti a due a due? Si No ; Indipendenti? Si No ; 3 Un urna U 1 contiene 7 palline bianche e 3 nere, una seconda urna U contiene 3 palline bianche e 7 nere Si sceglie a caso un urna dalla quale si estraggono in blocco 5 palline Sapendo che sono state estratte palline bianche e 3 nere, calcolare la probabilità p che si sia estratto dall urna U p = 4 EF-S Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sull insieme dei punti C = {(0, 0), (, ), (, ), (1, 1), (1, 1)} Considerando il numero aleatorio Z = X Y, determinare: (i) il codominio C Z di Z; (ii) la varianza σz di Z; (iii) la probabilità condizionata P (Z > 0 Y 0) C Z = ; σz = ; P (Z > 0 Y 0) = 4 INF La densità di probabilità di un numero aleatorio continuo X è /5, se 1 x < 3, f(x) = 1/5, se 3 x 4, 0 altrove Calcolare la funzione di ripartizione, la previsione e la varianza di X F (x) = P(X) = var(x) = 48

48 5 S Un sistema S è costituito da due dispositivi in parallelo d 1 e d, con d che entra in funzione nell istante in cui si guasta d 1 I tempi aleatori di durata, espressi in mesi, dei due dispositivi sono due numeri aleatori X e Y, stocasticamente indipendenti e con uguale distribuzione esponenziale di previsione P(X) = P(Y ) = mesi Calcolare la densità di probabilità h(z) e la funzione caratteristica ψ Z (t) del tempo aleatorio Z di durata del sistema S h(z) = ψ Z (t) = 49

49 Soluzione 1 Dati 3 eventi E 1, E, E 3 con E 1 e E 3 incompatibili e E E 3 Verificare che l assegnazione P (E 1 ) = 3 10, P (E ) = 10, P (E 3) = 5 è coerente Inoltre calcolare la previsione e la varianza di X = E 1 E + 3 E 3 Coerenza? SI NO P(X) = var(x) = I costituenti, come si evince dalla Figura 1, sono C 1 = E 1 E c Ec 3 C = E c 1 E E 3 C 3 = E c 1 Ec E 3 C 4 = E c 1 Ec Ec 3 Consideriamo il seguente sistema (S) nelle incognite x 1, x 5 x 1 = 3 10 x = 10 (S) x + x 3 = 4 10 x 1 + x + x 3 + x 4 = 1 x i 0, i = 1 4 Il sistema (S) è risolvibile, pertanto l assegnazione data è coerente Si ha X {0, 1, 3} con le seguenti probabilità x 1 = 3 10 x = 10 x 3 = 10 x 4 = 3 10 P (X = 0) = P (C 4 ) = 3 10, P (X = 1) = P (C 1) + P (C ) = 5 10, P (X = 3) = P (C 3 ) = 10 Quindi, si ottiene P(X) = = 11 10, P(X ) = = 3 10, var(x) = P(X ) [P(X)] = = Ω E 1 E 3 E C 1 C 3 C C 4 Figura 1: Da un urna contenente 3 palline bianche e 3 nere vengono effettuate estrazioni con restituzione Considerati gli eventi A = nella prima estrazione esce pallina bianca, B = nella seconda estrazione esce pallina nera, C = le due palline estratte hanno lo stesso colore, verificare se: (i) A, B, C sono a due a due stocasticamente indipendenti; (ii) A, B, C sono stocasticamente indipendenti Si ha Indipendenti a due a due? Si No ; Indipendenti? Si No ; P (A) = P (B) = 1, P (C) = P (ABc ) + P (A c B) = 1 50

50 Inoltre si ha P (AB) = 1 4 P (AC) = P (AB c ) = 1 4 P (BC) = P (A c B) = 1 4 = P (A)P (B) = P (A)P (C) = P (B)P (C) quindi A, B, C sono a due a due stocasticamente indipendenti D altro canto, poichè ABC =, si ha P (ABC) = P ( ) = = P (A)P (B)P (C); pertanto A, B, C non sono stocasticamente indipendenti 3 Un urna U 1 contiene 7 palline bianche e 3 nere, una seconda urna U contiene 3 palline bianche e 7 nere Si sceglie a caso un urna dalla quale si estraggono in blocco 5 palline Sapendo che sono state estratte palline bianche e 3 nere, calcolare la probabilità p che si sia estratto dall urna U p = Indichiamo con H i l evento l urna scelta è U i, i = 1, e con X il numero aleatorio di palline bianche estratte Si ha p = P (H X = ) = P (X = H )P (H ) [P (X = H )P (H ) + P (X = H 1 )P (H 1 )], con le seguenti probabilità Pertanto si ha p = 5 6 P (H 1 ) = P (H ) = 1, P (X = H 1 ) = (7 )( 3 3) ( 10 5 ) = 1 1, P (X = H ) = (3 )( 7 3) ( 10 5 ) = EF-SIGAD Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sull insieme dei punti C = {(0, 0), (, ), (, ), (1, 1), (1, 1)} Considerando il numero aleatorio Z = X Y, determinare: (i) il codominio C Z di Z; (ii) la varianza σz di Z; (iii) la probabilità condizionata P (Z > 0 Y 0) C Z = ; σz = ; P (Z > 0 Y 0) = Si ha C Z = {0, 1, 3, 6, 10} con P (Z = z) = 1 5, per ogni z C Z Pertanto quindi P(Z) = = 4,, P(Z ) = σz = = 5 5 Inoltre, indicando con p(x, y) = P (X = x, Y = y), si ha = 146 5, P (Z > 0 Y 0) = p(, ) + p(1, 1) p(0, 0) + p(, ) + p(1, 1) = 3 4 INF La densità di probabilità di un numero aleatorio continuo X è /5, se 1 x < 3, f(x) = 1/5, se 3 x 4, 0 altrove Calcolare la funzione di ripartizione, la previsione e la varianza di X F (x) = 51 P(X) = var(x) =

51 Per x < 1 si ha F (x) = 0; per 1 x < 3 si ha F (x) = x 1 5 dt = 5 (x 1); per 3 < x 4 si ha F (x) = x dt = (x 3) 5 = x+1 5 ; per x > 4 si ha F (x) = 1 In sintesi si ha Si ha Inoltre P(X ) = P(X) = F (x) = 0, x < 1; (x 1) 4 5 xdx xdx = [ x x dx x dx = [ x , 1 x < 3; x+1 5, 3 x 4; 1, x > 4 ] ] [ x 3 3 ] 4 [ x 3 = 5 ] 4 3 = = = = In conclusione si ha var(x) = P(X ) [P(X) ] = = SIGAD Un sistema S è costituito da due dispositivi in parallelo d 1 e d, con d che entra in funzione nell istante in cui si guasta d 1 I tempi aleatori di durata, espressi in mesi, dei due dispositivi sono due numeri aleatori X e Y, stocasticamente indipendenti e con uguale distribuzione esponenziale di previsione P(X) = P(Y ) = mesi Calcolare la densità di probabilità h(z) e la funzione caratteristica ψ Z (t) del tempo aleatorio Z di durata del sistema S { ( 1 ) h(z) = z e 1 z, z > 0; 0, altrove ψ Z (t) = ( 1 ) 1 it 5

52 Cognome e Nome: Matricola CdS CALCOLO DELLE PROBABILITA - 17/Set/008 CdS in Economia e Finanza - Cds in Informatica - Cds SIGAD Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi Tempo a disposizione: ore (INF-EF), ore e trenta (SIGAD) Non è consentito l utilizzo di libri o appunti Gli studenti di Economia e Finanza devono risolvere gli esercizi: 1,, 3, 4 Gli studenti di Informatica devono risolvere gli esercizi: 1,, 3, 4 Gli studenti del SIGAD devono risolvere gli esercizi: 1,, 3, 4, 5 1 Siano E 1, E, E 3 tre eventi ognuno dei quali implica il successivo Data una valutazione di probabilità per {E 1, E, E 3 }, con P (E 1 ) metà della probabilità di E, che a sua volta ha probabilità metà di quella di E 3, determinare l insieme I dei valori coerenti p di P (E 1 ) Infine calcolare in funzione di p la previsione e la varianza del numero aleatorio X = E 1 + E + E 3 I = {p [0, 1 ]} P(X) = 7p var(x) = 15p 49p 4 Si effettuano n lanci di un dado regolare Si consideri il generico evento E i = si presenta la faccia 1 all i-esimo lancio, i = 1,, n Supponendo gli eventi E 1, E,, E n stocasticamente indipendenti ed equiprobabili calcolare, in funzione di n, la probabilità δ n che si presenti almeno una volta la faccia 1 Infine, calcolare il minimo valore n 0 di n tale che la probabilità che si presenti la faccia 1 almeno una volta sia maggiore o uguale a 1 δ n = 1 5n 6 n n 0 = 4 ; 3 Il colore degli occhi di una persona è determinato da un unico paio di geni Se entrambi i geni sono quelli degli occhi azzurri, allora la persona avrà gli occhi azzurri; se entrambi i geni sono quelli degli occhi castani, allora la persona avrà gli occhi castani; se uno di essi è quello degli occhi azzurri e l altro è quello degli occhi castani, allora la persona avrà gli occhi castani (infatti si dice che il gene degli occhi castani è dominante rispetto al gene degli occhi azzurri) Un neonato riceve indipendentemente un gene del colore degli occhi da ognuno dei genitori e il gene che riceve da essi può essere in modo ugualmente probabile uno dei due geni del genitore Supponiamo che Giacomo ed entrambi i suoi genitori abbiano gli occhi castani, ma che la sorella di Giacomo abbia gli occhi azzurri, calcolare la probabilità α che Giacomo abbia un gene degli occhi azzurri Supponiamo ora che la moglie di Giacomo abbia gli occhi azzurri Qual è la probabilità β che il loro primo figlio abbia gli occhi castani? α = 3 β = 3 4 Sia X la durata aleatoria in migliaia di chilometri di una certa auto Il sig Rossi acquista l auto dopo che essa ha percorso 10 mila chilometri Calcolare la probabilità p e (risp p u ) che l auto percorra altri 0 mila chilometri supponendo che X abbia una distribuzione esponenziale di parametro 1 0 (risp X abbia distribuzione uniforme in [0, 40]) p e = e 1 p u =

53 5 Un sistema S è costituito da due dispositivi in parallelo d 1 e d che entrano in funzione contemporaneamente I tempi aleatori di durata, espressi in mesi, dei due dispositivi sono due numeri aleatori X e Y, stocasticamente indipendenti e con uguale distribuzione esponenziale di previsione P(X) = P(Y ) = mesi Calcolare la densità di probabilità f(t) e la funzione di rischio h(t) del tempo aleatorio T di durata del sistema S Infine, calcolare P (T > 1 T < ) f(t) = { e 1 t (1 e 1 t ) t > 0 0 altrove ; h(t) = (1 e 1 t ), t > 0; P (T > 1 T < ) = 1 (1 e 1 ) (1 e 1 ) =