Calcolo delle Probabilità Esercizi

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1 Calcolo delle Probabilità Esercizi Eventi e loro rappresentazione. Un urna contiene quattro palline bianche e sei nere. Da essa vengono estratte senza restituzione tre palline. Rappresentare su un diagramma di Venn i seguenti eventi: A = vengono estratte esattamente due palline bianche, B = vengono estratte almeno due palline bianche, C = le prime due palline estratte sono bianche, D = vengono estratte esattamente tre palline bianche. 2. Nel circuito elettrico della figura siano definiti gli eventi Ei = l interruttore i è chiuso (permette il passaggio di corrente) i =, 2, 3, 4, 5, Esprimere l evento H = tra i due punti A e B c è passaggio di corrente in funzione degli eventi Ei. 3. È noto che l insieme degli anni bisestili è dato da tutti quelli multipli di 4 a cui siano stati tolti quelli multipli di 00, e poi a questi ultimi debbono essere tolti (ossia restituiti ai bisestili) quelli multipli di 400. Determinare con un espressione logica la bisestilità di un anno. Per chiarire le idee osserviamo che 2003 non è bisestile perché non è multiplo di è bisestile perché è multiplo di non è bisestile, lo dovrebbe essere perché 900 è multiplo di 4, però non lo è perché è multiplo di è bisestile lo dovrebbe essere perché 2000 è multiplo di 4 ; non lo dovrebbe essere perché è multiplo di 00, però lo è perché è multiplo di Da un mazzo di carte francesi, vengono estratte 5 carte senza restituzione. Rappresentare con un diagramma di Venn i seguenti quattro eventi: C = si ottengono almeno due carte di uno stesso valore, T = si ottengono almeno tre carte di uno stesso valore, F = si ottengono tre carte di un valore più altre due carte di un altro valore, P = si ottengono quattro carte di uno stesso valore. In che relazione si trovano gli eventi C, T, F, P? 5. Si consideri un esperimento casuale che consiste nel lanciare tre volte una moneta. a. Si calcoli l insieme di tutti i casi possibili S. b. Si calcoli l insieme di tutti i casi possibili R se si desidera osservare il numero di teste nei tre lanci 6. Si consideri l esperimento consistente nell estrazione a caso di due carte da un sacchetto contenete quattro carte contrassegnate con i numeri interi da a 4. c. Si calcoli l insieme di tutti i casi possibili S se la prima carta viene rimessa nel sacchetto prima di estrarre la seconda

2 d. Si calcoli l insieme di tutti i casi possibili R dell esperimento se la carta non viene reimmessa. 7. un esperimento consiste nel lanciare due dadi. e. Si calcoli l insieme di tutti i casi possibili S. f. Si calcoli l evento A in cui la somma dei punti del dado è pari a 7. g. Si calcoli l evento B in cui la somma dei punti del dado sia maggiore di 0. h. Si calcoli l evento C in cui la somma dei punti del dado sia maggiore di Nei circuiti elettrici della figura siano definiti gli eventi Ei = l interruttore i è chiuso (permette il passaggio di corrente) i =, 2, 3 e 4. Esprimere l evento H = tra i due punti A e B c è passaggio di corrente in funzione degli eventi Ei. 2

3 Calcolo Combinatorio. Il Pin (codice identificativo personale) di una carta di credito è dato da un numero di 5 cifre. Calcolare i) il numero di modi di formare un Pin; ii) il numero di modi di formare un Pin con cifre tutte diverse; iii) calcolare il numero di modi di formare un Pin se la prima cifra deve essere diversa da 0; iv) calcolare il numero di modi di formare un Pin con esattamente 2 cifre uguali se la prima cifra deve essere diversa da Si determini la probabilità che in un estrazione del lotto si faccia ambo su una fissata ruota. 3. Si determini la probabilità che in un estrazione del lotto si faccia terna su una fissata ruota. 4. Si determini la probabilità che in un estrazione del lotto si faccia quaterna su una fissata ruota. 5. Si determini la probabilità che in un estrazione del lotto si faccia cinquina su una fissata ruota. 6. Calcolare la probabilità che in quattro successivi lanci di un dado i risultati appaiono in ordine strettamente crescenti. 7. Si consideri un ordinamento casuale dei numeri, 2, 3,..,n. Calcolare la probabilità che i numeri e 2 risultino consecutivi e la probabilità che i numeri, 2, e 3 siano anch essi consecutivi. 8. Un mazzo di 20 chiavi contiene la chiave che apre una determinata serratura. Calcolare la probabilità che, scegliendo ogni volta a caso una chiave diversa, sia la quella giusta. 9. Si scelgano casualmente k numeri dall insieme {0,, 2,..,9}con rimpiazzamento. Calcolare la probabilità che nella sequenza così costituita non sian presenti i numeri 0 e, nonché la probabilità che nella sequenza, supposta di lunghezza non inferiore a 3, il numero 0 appaia esattamente 3volte. 0. Consideriamo tutte le possibili distribuzioni di r palline in n scatole, con la condizione che la prima scatola contenga un numero prefissato r di palline, la seconda un numero prefissato r 2 di palline, ecc. con r + r 2 + r r n = r (r k 0). In quanti modi si possono ripartire le palline? Costituenti. Siano dati 3 eventi A, B, C tali che A B = Φ, A B C, determinare i costituenti. C C C C C C C [ AB C, A BC, A B C, A B C ] 2. Siano dati 2 eventi A, B con A B, determinare i costituenti. C C C [ AB, A B, A B ] Criterio classico di valutazione della probabilità 3. Siano X e Y i risultati del lancio di due dadi. Studiare il numero aleatorio Z=X+Y cioè la somma dei valori che compaiono nella faccia superiore dei due dadi. Calcolare P(Z=i) i=2,3,..,2. 3

4 4. Si lanci 3 volte una moneta. Calcolare la probabilità che 3 volte esce testa, 2 volte esce testa, volta esce testa, non esce testa. 5. Lanciamo 2 dadi. Sia X il risultato del primo dado e Y il risultato del secondo dado. Sia Z = max{x,y}, calcolare P(Z=i). 6. Lanciamo 2 dadi. Sia X il risultato del primo dado e Y il risultato del secondo dado. Sia Z = min{x,y}, calcolare P(Z=i) Verifica della coerenza e Numero aleatorio semplice 7. Siano dati 3 eventi A, B e A B di probabilità rispettivamente: P(A)=0.6; P(B)=0.7; P(AB)=0.. verificare la coerenza di P(A), P(B), P(AB). [NO coerenza] 8. Siano dati 3 eventi A, B e C tali che: A B C di probabilità rispettivamente: P(A)=p; P(B)=2p; P(C)=4p; P( B c C) = α.. Verificare la coerenza di P(A); P(B); P(C), P( B c C) 2. Trovare l intervallo in cui varia α [ coerenza per p [ 0, ], α [0, ] ] 4 2 A B C =. 9. Siano A, B, C, tre eventi tali che A e B siano incompatibili, inoltre ( ) φ Determinare se la valutazione di probabilità P(A)= 3 2, P(B)= 2, P(C)= 4 è coerente e in caso affermativo calcolare i valori di probabilità coerenti p per l evento A c c c B C [SI coerenza, 0] 20. L architettura di un software è costituito da 3 moduli M, M 2, M 3. Sia A l evento il modulo M i funziona. È noto che se M funziona allora M 2 funziona, se M 2 funziona allora M 3 funziona. Determinare l insieme C dei costituenti generati dagli eventi A i con i=,2,3 6 (tenendo conto dei vincoli logici dati). Supposto che P ( A ) =, P(A 3 ) =, determinare i 4 0 valori di probabilità coerenti p per A 2. C C C C C C 3 [ A A2 A3, A A2 A3, A A2 A3, A A2 A3, p [, ] ] Dati 3 eventi A, B e C con AC=ø, verificare se la valutazione P(A)=P(C)=0.4; P(B)=0.5; P(AB)=P(BC)=0.2 è coerente. Inoltre considerato il numero aleatorio X = A + 2 B + 3C, calcolare il codominio C x dei possibili valori di X. [SI coerenza, C x ={0,,2,3,5}] 22. Dati 3 eventi A, B e C con AB= ø e ( A B) C. Considerato il numero aleatorio X = 2 A + B C, calcolare il codominio C x dei possibili valori di X. [C x ={-,0,}] 23. Dati tre eventi A,B,C, con A BC, P(A) = 0., P(B) = P(C) = 0.6, P(B C) = x, determinare l insieme I dei valori x coerenti. [I = [0.2, 0.6]] 4

5 24. Siano dati tre eventi A, B e C, con C C A = φ, e tali che P(A) =, P(B) =, P(C) =. Si C C C ponga P = ( A B C) = ε, e p( AB C) = λ, e si individui sul piano ( ε, λ ) la regione Q di coerenza. 25. Siano dati tre eventi A, B e C, con C C A = φ, e tali che P(A) = 3, P(B) = 5 2, P(C) = 5 2. Si ponga C C P = (ABC) = ε, e p( A B C) = λ, si individui sul piano ( ε, λ ) la regione Q di coerenza. Previsione, varianza, covarianza 26. Dati tre eventi A, B, C, con A B, BC = Φ, sia X = A + 2 B C. Supposto P(A)=x, P(B)=0.4, P(C)=y, calcolare l insieme I delle coppie (x,y) coerenti e il minimo m della previsione di X. [I=[0,0.4]x[0,0.6], -0.2] 27. Siano dati 2 eventi A, B con P(A)=0.3, P(B)=0.4, P(AB)=0., sia X = 2 A B, calcolare la previsione e la varianza di X. [0.2,.6] 28. Dati 3 eventi A, B, C, con A e C incompatibile e B C. Verificare che l assegnazione 2 3 P(A)=, P(B)=, P(C)= è coerente. Inoltre calcolare la previsione e la varianza di X = A 2 B + 3C. [.3, 8.929] 29. Una pallina bianca e una nera vengono distribuite a caso in due urne U e V. Siano X il numero di palline bianche in U e Y il numero di urne non vuote. Calcolare Cov(X,Y) e ρ XY. [0,0] 30. Consideriamo due urne U, V contenenti ciascuna una pallina bianca e una nera. Da U si estrae a caso una pallina e la si inserisce in V. Siano X il numero di palline bianche in U e Y il numero di palline bianche in V. Determinare ρ XY. [-] 3. Un mazzo di 4 chiavi contiene una sola chiave adatta ad aprire una certa serratura. Provando a caso le chiavi una dopo l altra, occorre effettuare un numero aleatorio X di tentativi per aprire la serratura. Calcolare Var(X). [.25] Probabilità condizionate, Teorema di Bayes 32. Dati due eventi E, H di probabilità positiva e minore di, con P(EH)= 2, stabilire se la valutazione P(E\H)= è coerente. Se gli eventi sono stocasticamente indipendenti, 5 mantenendo la precedente valutazione di P(EH) ed assegnando P(E)= 8, determinare la 5 corrispondente assegnazione coerente di P(H). 5 [NO coerenza, P(H)= 4 3 ] 33. (gioco della roulette russa) In una pistola a 6 colpi viene inserito un solo proiettile e il tamburo viene fatto girare vorticosamente. Quindi 6 prigioniere sono costretti a sottoporsi alla prova della roulette russa. Considerati gli eventi E i = il proiettile esplode all i-esimo colpo, i=, 2,..,6, verificare che tali eventi hanno tutti probabilità 6. 5

6 34. In un urna ci sono 6 palline: bianca, 3 nere e 2 rosse. Si effettuano due estrazioni senza restituzione. Siano definiti gli eventi: BBi = la i-esima pallina estratta è bianca, i=,2 N j = la j-esima pallina estratta è nera, j=,2 R k = la k-esima pallina estratta e rossa, k=,2 Calcolare P(N BB2) e P(R 2 ) [, ] In una fabbrica di biscotti le 3 linee di produzione A, B, C sfornano rispettivamente il 55%, il 30% e il 5% della produzione totale. Supposto che le percentuali di biscotti bruciati che provengono dalle 3 linee siano rispettivamente il 2%, il 3% e il 6%, calcolare la probabilità p che un biscotto scelto a caso tra la produzione totale sia bruciato e la probabilità p 2 che un biscotto bruciato provenga dalla linea C. [0.029, 0.3] 36. Una ditta riceve merce da tre fornitori A, B, C nelle seguenti proporzioni: il 42% della merce è fornita da A, il 4% da B, e la restante merce da C. E noto che la probabilità che un pezzo sia difettoso è, rispettivamente, 0.05, 0.04, 0., a seconda che sia fornito da A, B, C. Calcolare la probabilità α che un pezzo estratto da quelli ricevuti dalla ditta sia difettoso. Inoltre, esaminato un pezzo e supposto che sia difettoso, calcolare la probabilità p che esso provenga dal fornitore B. 37. In una ditta che vende dispositivi di un certo tipo il 60 % proviene da una fabbrica A, il 30 % da una fabbrica B e il 0 % da C. Le percentuali di lampadine difettose prodotte da A, B, C sono rispettivamente il 2 %, il 4 % e il 5 %. Calcolare la probabilità α che un dispositivo venduto dalla ditta e risultato difettoso sia stato prodotto da C. 38. Date tre urne A (contenente 3 palline bianche e nera), B (contenente pallina bianca e 3 nere) e C (contenente pallina bianca e nera), da C si estrae una pallina. Se è bianca (evento H) viene effettuata una seconda estrazione da A, in caso contrario (evento H c ) da B. Posto E = la seconda pallina estratta è nera, calcolare la probabilità che la prima pallina estratta sia bianca, supposto di aver osservato pallina nera nella seconda ovvero P(H E) 39. Un lotto `e costituito da 00 componenti, dei quali 40 sono stati costruiti da una macchina M e 60 da una macchina M2. Il generico componente risulta difettoso con probabilità 5 se prodotto da M e con probabilità 5 2 se prodotto da M2. Dal lotto viene estratto a caso un componente e viene esaminato. Definiti gli eventi E = Il pezzo esaminato risulta non difettoso ed H = Il pezzo esaminato è stato prodotto dalla macchina M, calcolare il rapporto r tra le probabilità P(H E) e P(H C E). 40. Dati 2 eventi A, B tali che P(A) = /2, P(B A) = /4, P(A B) = /5 stabilire se ognuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa:. gli eventi A, B sono incompatibili; 2. A implica B; 3. P(A c B c ) = 0; 4. P(A B) + P(A B c ) = ; [ 4 ] [ 9 8 ] 6

7 [F, V, V, F] 4. Da un urna, contenente sei palline, di cui due numerate con il numero 0, tre con il numero e una con il numero 2, si effettuano due estrazioni senza restituzione. Indicando con X il risultato della prima estrazione e con Y il risultato della seconda estrazione, sia Z = X+Y. Calcolare la probabilità dell evento (Z 0). [ 5 ] 42. Date tre urne A, B, C, contenenti ciascuna pallina bianca e nera, dalle urne B e C si estrae a caso una pallina che (senza osservarne il colore) viene inserita in A. Successivamente da A si estrae una pallina che risulta bianca (evento E). Definiti gli eventi: F = la pallina estratta da B è bianca, K = la pallina estratta da C è bianca, Hr = r delle 2 palline inserite in A sono bianche, r = 0,, 2, Calcolare la probabilità dell evento condizionato H E. [ 2 ] 43. Siano dati 2 eventi A, B con P ( A) =, P(B A) = P( A B) =. Calcolare P ( A c B c ) 2 4 [ 4 ] 44. Siano date 3 urne A, B, C così composte: l urna A contiene pallina bianca e nera, l urna B contiene 3 palline bianche, l urna C contiene 3 palline nere. Svuotiamo in A o l urna B o la C. Definiti gli eventi H = viene svuotata in A l urna B, E = viene estratta da A una pallina bianca(dopo aver svuotato in A una delle due urne B o C). Calcolare P ( H E). Distribuzioni discrete 45. Da un urna, contenente pallina bianca e 4 nere, si effettuano n estrazioni con restituzione. Indicando con X il numero aleatorio di volte in cui esce pallina bianca e con h un valore possibile di X, calcolare la probabilità p h = P(X = h). Inoltre, considerando l evento E = nella a estrazione esce pallina bianca, calcolare la probabilità condizionata γ = P(E X ). [ 5 ] 4 n ( ) Da un lotto contenente 5 pezzi, di cui 2 difettosi, si prelevano a caso 3 pezzi. Sia Hr l evento fra i 3 pezzi prelevati dal lotto ce ne sono r difettosi, r = 0,, 2. Calcolare la probabilità p che nei 3 pezzi prelevati dal lotto siano capitati entrambi i pezzi difettosi. Successivamente, viene esaminato a caso uno dei 3 pezzi prelevati dal lotto. Sia E l evento il pezzo esaminato risulta difettoso. Calcolare la probabilità γ che nei 3 pezzi prelevati dal lotto siano capitati entrambi i pezzi difettosi, supposto che il pezzo esaminato sia difettoso. 47. Sia dato un triangolo di vertici A, B, C. Una formica, posizionata inizialmente in A, si sposta a caso in uno degli altri due vertici, continuando in questo modo negli spostamenti successivi. Sia X il numero aleatorio di passi fino alla prima volta in cui la formica si sposta nel vertice C. Calcolare P(X > n) e IP(X) [ 5 4 ] [ 2 ] 7

8 48. Un cassetto contiene 6 chiavi, delle quali 2 sono adatte ad aprire una certa serratura. Dal cassetto si prendono in blocco 3 chiavi, una delle quali scelta a caso viene utilizzata per cercare di aprire la serratura. Definiti gli eventi Hr = fra le 3 chiavi prese in blocco ve ne sono r adatte ad aprire la serratura, r = 0,, 2; E = la chiave scelta a caso apre la serratura, calcolare P(H2 E). 49. Siano dati due lotti L ed L2, contenenti ciascuno componente difettoso e 4 buoni. Da ognuno dei due lotti si estraggono in blocco 2 componenti, con i quali si forma un lotto L3. Indicando con X il numero aleatorio di pezzi difettosi contenuti in L3, calcolare, per ogni valore possibile x di X, la probabilità px dell evento (X = x). (Nota: indicare con Y (risp., Z) il numero di pezzi difettosi estratti da L (risp., L2)). 50. Fra 28 scatole di componenti elettronici, una contiene pezzi di cui il 25% sono buoni, mentre le altre 27 contengono in parti uguali pezzi difettosi e pezzi buoni. Si estrae a caso una scatola e da questa si estraggono con restituzione 3 pezzi, che risultano tutti buoni (sia E questo evento). Se H0 è l evento la scatola estratta è quella che contiene il 25% di pezzi buoni, calcolare P(H0 E) e determinare se E ed H0 sono stocasticamente indipendenti. 5. In un controllo di qualità, si estrae (senza restituzione) un campione di n = 6 pezzi da un lotto che ne contiene N = 30 fra i quali x difettosi. Il lotto viene accettato (sia H questo evento) se nel campione non c e alcun pezzo difettoso: calcolare la probabilità di H nell ipotesi x = 2. [0.63] 52. Dati due lotti A e B, ciascuno contenente 6 componenti buoni e 2 difettosi, da entrambi si effettuano 3 estrazioni con restituzione, ottenendo X pezzi difettosi fra quelli estratti da A ed Y pezzi difettosi fra quelli estratti da B. Considerato il numero aleatorio discreto Z = X+Y, calcolare la previsione m e la varianza σ 2 di Z; (Si noti che X e Y sono stocasticamente indipendenti). 3 9 [, ] Un lotto è costituito da 5 componenti simili, dei quali 0 costruiti da una macchina M e 5 da una macchina M2. Ogni componente, prodotto da M o da M2, è non difettoso con probabilità 0.8 e gli eventi Ei = l i-esimo componente è difettoso, per i =,...,5, sono stocasticamente indipendenti. Indicati con X e Y i numeri aleatori di pezzi difettosi fra quelli prodotti rispettivamente da M e M2, calcolare la probabilità dell evento (X + Y = 2), il coefficiente di correlazione ρ X+Y,Y dei numeri aleatori (X + Y ) e Y. Determinare inoltre la probabilità dell evento condizionato (X = X + Y = 2). 9 [ 25 [0.23, 54. Un lotto formato da 8 componenti elettronici, uno dei quali è difettoso, è stato suddiviso a caso in 2 gruppi, A e B, di 4 componenti ciascuno. Dal gruppo A vengono prelevati a caso 2 componenti. Definiti gli eventi E = i 2 componenti prelevati da A sono entrambi non difettosi, H = il componente difettoso sta nel gruppo B, calcolare la probabilità dell evento condizionato H E. 2, , [ 5 2 ] , 2 ] ] [ 3 2 ] 8

9 55. Con riferimento a una data estrazione al lotto, si supponga che Tizio abbia giocato i numeri {,2,3,4,5}. Consideriamo gli eventi: A = Tizio fa esattamente un terno oppure esattamente una quaterna; B = i numeri e 2 vengono estratti. Calcolare P(A), P(B), P(A B). [ , , ] 56. L insieme dei valori possibili di un numero aleatorio discreto X è C = {0,,..., 8}, con h 8 h 8 2 P(X = h) =, h = 0,,..., 8. h 3 3 Calcolare la previsione di X e la probabilità dell evento (X 6). [0.9974] 57. Tre palline numerate da a 3 vengono inserite a caso in due scatole s, s2. Sia X il numero di palline in s e Y il numero di palline con numero dispari in s. Determinare se X ed Y sono stocasticamente indipendenti. Calcolare IP(X), Cov(X, Y ). (Suggerimento: sia Ei l evento la pallina con il numero i viene inserita nella scatola s per i =, 2, 3) 3 [, ] Da un lotto contenente 3 pezzi difettosi e 6 buoni si estraggono in blocco 4 pezzi. Indicando con X il numero aleatorio di pezzi difettosi fra i quattro estratti, calcolare la probabilità α che al massimo uno dei pezzi estratti sia difettoso, supposto che al massimo due dei pezzi estratti siano difettosi. 59. Il numero aleatorio X di telefonate che arrivano ad un centralino tra le 0 e le ha una distribuzione di Poisson di parametro λ. Sapendo che il numero medio di arrivi (nell ora considerata) è pari a 4, calcolare : la previsione di X 2 e la probabilità P(A) dell evento A = arrivano meno di 3 telefonate. Inoltre, sapendo che arrivano almeno 2 telefonate (evento B), calcolare la probabilità che ne arrivano al più 3 (evento C). [20, 0.24, 0.38] 60. Siano X e Y due numeri aleatori stocasticamente indipendenti con distribuzione di Poisson di parametri rispettivamente λ = 2 e λ2 = 3. Dimostrare che il numero aleatorio Z = X + Y ha distribuzione di Poisson e calcolarne la previsione di Z. [5] 6. Un canale di trasmissione trasmette simboli binari, ognuno dei quali vale con probabilità 3. Inoltre, quando viene trasmesso 0, la probabilità di ricevere 0 `e pari a, mentre 5 4 quando viene trasmesso la probabilità di ricevere `e pari a 3 2. Sia Ei l evento l i-mo simbolo trasmesso è ricevuto correttamente e si assumano indipendenti gli eventi E,E2,.... Calcolare la probabilità p di Ei e la probabilità α che, su 4 simboli trasmessi, 2 siano ricevuti correttamente. Inoltre, supposto che il primo simbolo ricevuto sia, calcolare la probabilità β che sia stato trasmesso 0. (Sugg. Indicare con T0 il simbolo trasmesso è 0, con T il simbolo trasmesso è, con R0 il simbolo ricevuto è 0 e con R il simbolo ricevuto è ) 3 3 [, ] Da uno studio condotto durante la fine della seconda guerra mondiale emerse che il numero aleatorio N di bombe cadute nell area di 0.25km 2 a sud di Londra poteva essere [ 8 5 ] 9

10 approssimato con una distribuzione di Poisson di parametro λ = Calcolare la probabilità p 0 che in tale regione non sia caduta nessuna bomba e la probabilità p + 2 che siano cadute 2 o più bombe. Infine, calcolare la previsione di N 2. [0.394, ,.8] 63. Dati 2 numeri aleatori X, Y indipendenti e con distribuzione geometrica di parametro p= 2 sia Z = X+Y, calcolare la previsione di Z e P(2.5 Z 4.2) [4, 6 7 ] 64. Dati 3 numeri aleatori X, Y, Z indipendenti e con distribuzione geometrica di parametro p. Calcolare la previsione di (X+Y-Z), la probabilità P(2.5 X+Y+Z 4.2) e σ UV con U=X+Y e V=X-Y. Funzione di ripartizione 3 [, p ( + 3q), 0] p c c 65. dati 4 eventi A, B, C, D, con A B C, CD=Φ, P(D)=0.4, P( A) = P( A B) = P( B C) = p. - Calcolare l insieme dei valori coerenti di p - Considerato il numero aleatorio X = A B + C D, calcolare la previsione di X - Assumendo p=0. calcolare la funzione di ripartizione F(x) 0 x < 0.4 x < 0 [ 0 p 0.2, 2 p 0.4, F(x) = ] x < x 0 x < 0 0 x < Data la funzione di ripartizione: F ( x) = x < 2 del numero aleatorio X, determinare x < 3 5 x 3 il codominio di X e la probabilità dei seguenti eventi: E = X, H = X 3, E H [C X ={0,,2,3},,, ] Distribuzioni continue 67. Un numero aleatorio continuo X ha una densità di probabilità f(x) = a(x ) 2, 0 x 2, con f(x) = 0 altrove. Calcolare il valore della costante a. 68. La funzione di ripartizione di un numero aleatorio X, continuo e non negativo, è [ 2 3 ] 0

11 2 e x per x 0 F(x) = 0 altove Posto Y = 3X+, calcolare: (i) la previsione di Y ; (ii) la probabilità p dell evento (7 Y 6); (iii) la funzione di sopravvivenza di Y. [ 5 y 2 4 0, e e, S y = e y Y ( ) 3 ] 2 0 altrove 69. Il tempo di attesa T (in minuti) di arrivo del primo cliente ad uno sportello è un numero aleatorio con distribuzione esponenziale. Supposto che il tempo medio di attesa sia pari a 2 minuti calcolare la probabilità p che il primo cliente arrivi entro minuto dall apertura. Inoltre, sapendo che nei primi 2 minuti non è arrivato nessun cliente, calcolare la probabilità p2 che il primo cliente arrivi nei successivi 3 minuti Un n.a. X ha distribuzione uniforme nell intervallo, 2 2, calcolare: - la densità di probabilità, - la funzione di ripartizione F(x) confrontare P 2 X e P X Un n.a. X ha distribuzione uniforme nell intervallo, 2 3, calcolare: la densità di probabilità, la funzione di ripartizione F(x), la previsione IP(X) e la varianza Var(X). 72. La quantità di rifiuti solidi smaltiti da un industria in ciascuna giornata è un n.a. X con 2 x 0 x densità: f ( x) = a(2 x) < x < 2. Calcolare il valore della costante a. 0 altrove 73. La densità di probabilità di un n.a. X è data da: Determinare la funzione di ripartizione F(x) x 2 4 x f ( x) = x < x 4 altrove 74. Sia X [0,2] un n.a. continuo, con densità di probabilità f(x) = ax+ con 0 x 2. Calcolare: ) la costante a, 2) P(X > ) 3) la densità di probabilità g(y) del n.a. Y = 2X per ogni y [0; 4]. 75. Un n.a. X [ a, + [ ha in tale intervallo una densità f(x) = be x. )Calcolare la costante b e la previsione m di X

12 2) calcolare le costanti c e d tali che il n.a. Y = cx + d abbia distribuzione esponenziale di parametro λ = Un sistema S è costituito da 2 dispositivi D e D2 in parallelo funzionanti simultaneamente. Siano T, T2, T i tempi aleatori di durata di D, D2 ed S rispettivamente. Supposto che T, T2 siano stocasticamente indipendenti ed ugualmente distribuiti, con distribuzione esponenziale di parametro λ = 3, calcolare: a. la probabilità pt che il sistema non si guasti in un fissato intervallo [0; t] b. la densità di probabilità f(t) di T per ogni t 0 c. la funzione di sopravvivenza S(t) 77. Il tempo di funzionamento fino al guasto di una data apparecchiatura è un n.a. continuo X x (2 + x) e con densità di probabilità f(x) = x 0 3. Calcolare, per ogni x > 0 la funzione 0 altrove di rischio h(x) di X. 78. Un sistema S è costituito da due dispositivi D e D2 in parallelo funzionanti simultaneamente (quindi S funziona finchè almeno uno dei due dispositivi funziona). Siano X, Y, Z i tempi aleatori di durata di D, D2, S rispettivamente. La densità congiunta di (X, Y ) è f(x; y) = 2x 3y 6e per x 0, y 0. 0 altrove Calcolare la probabilità che D si guasti prima di D2 e, per ogni z 0, la funzione di ripartizione F Z (z) e la funzione di rischio h Z (z) di Z. 79. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con parametri m = 3, σ = 2. Posto Y = ax + b, con a > 0, determinare i valori di a e b tali che risulti P(Y >.96) = P(Y <.96) Sia X un numero aleatorio con distribuzione normale standard, e sia Y = 3X a. Calcolare il valore di a tale che P(Y ) = Φ0,(2). 8. Sia X un numero aleatorio con distribuzione normale di parametri m X = 2 e σ X =.5. Posto Y= X +, calcolare la previsione m Y e lo scarto quadratico medio σ Y di Y.Determinare inoltre la covarianza σ XY di X e Y. 82. in un ufficio postale il tempo di attesa per la clientela, espresso in minuti, ha distribuzione normale con media 20 e varianza 6. a) Determinare la probabilità che un individuo in coda debba attendere più di 25 minuti. b) Si sa che nell ufficio il 20% della clientela richiede unicamente prodotti postali (per i quali esiste uno sportello specifico) e per tale tipo di clientela la probabilità di attendere meno di 0 minuti (evento E) vale 0,05. Sapendo, inoltre, che per il complesso della clientela la probabilità che si verifichi l evento E vale 0,0062, determinare la probabilità dell evento E condizionatamente alla clientela che non richiede unicamente prodotti postali. c) Sapendo che il 40% della clientela trascorre il tempo di attesa leggendo il giornale, determinare la probabilità che su 6 clienti presi a caso più di 4 leggano il giornale. 2

13 83. Un macchinario produce lampade la cui durata (in migliaia di ore) si distribuisce secondo una distribuzione normale con media 2,5 e varianza pari a 00. Determinare la probabilità che, presa a caso una lampada prodotta dal macchinario, questa presenti durata inferiore a 2,2. Vettori aleatori 84. L insieme dei possibili valori di un vettore aleatori discreto (X; Y ) è C = {(0, 0); (0, 2); (, ); (2, 0); (2, 2)} con P(X = ; Y = ) = p = α, p hk = β per (h, k) (, ). - Calcolare l insieme I delle coppie (α, β) coerenti, - Cov(X, Y ), - p = P[(X + Y = 2) (X = Y )]. 85. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha una densità di probabilità f(x, y) = ( x + y) per (x, 3 y) C = {( x, y) x 2, y 2} con f(x, y) = 0 altrove. - Stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti. - Determinare le densità marginali condizionate. x( y + ) per (x, y) C x sia f(x, y) = la 0 altrove densità congiunta di un vettore aleatorio (X, Y ).. Calcolare la probabilità p dell evento (X + Y 0), 2. Le densità marginali, 3. Stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti. 86. Dato l insieme C = {(, y) 0 x, - y } 87. Si abbia la seguente distribuzione del vettore aleatorio (X, Y ) Y X - 0 '' p k 0 /2 /4 0 /3 /6 /4 /4 2/3 ' p h /4 /2 /4 Determinare le distribuzioni marginali il coefficiente di correlazione. ' p h e p '' k (scrivere i valori nelle rispettive caselle) e Statistica descrittiva [ ρ = ] 4. Da un collettivo di 20 individui si è rilevata la seguente distribuzione relativa ai caratteri età, sesso, numero di automibili possedute : 3

14 unità Età Sesso M M F M F M F F M M M F F M F M M M F M N. auto si costruiscano le distribuzioni di frequenza semplici per i tre caratteri - si consideri il carattere età suddiviso nelle seguenti classi: [30, 39]; [40, 49]; [50, 59]; [60+], e si costruiscano le corrispondenti distribuzioni di frequenza assolute, relative e percentuali. - Rappresentare mediante i grafici ritenuti più idonei le distribuzioni di frequenze assolute del sesso, del numero di automobili e dell età suddivisa in classi. 2. La seguente tabella riporta le votazioni ottenute da una classe alla fine di un corso universitario Voto totale N. studenti Calcolare la distribuzione delle frequenze cumulate relative del voto d esame. - Calcolare la distribuzione delle frequenze cumulate relative avendo suddiviso il carattere nelle seguenti classi: 8-22, 23-24, 25-26, 27-28, Disegnare i grafici delle distribuzioni trovate nei due punti precedenti - Quanti sono gli studenti che hanno ottenuto un voto inferiore o uguale a 26? - Quanti sono gli studenti che hanno ottenuto un voto non superiore a 24? 3. Per i primi 5 giorni di un mese viene rilevato il ritardo (espresso in minuti) accumulato da un determinato treno rispetto all orario previsto di arrivo. Di seguito sono riportati i dati rilevati, che presentano segno negativo nel caso di anticipo sull orario di arrivo: giorno ritardo Calcolare la moda, la mediana, la media aritmetica e la varianza della distribuzione. - Dopo aver raggruppato le osservazioni relative ai primi 5 giorni del mese nelle classi: [- 0, 0]; ]0, 0]; ]0, 60] calcolare media e varianza in questa nuova situazione. 4. Per otto famiglie viene rilevato il risparmio medio annuo (espresso in migliaia di euro) come segue: Famiglia A B C D E F G H risparmio Determinare la media, la varianza, e la mediana. - Supponendo che la variabile risparmio assuma valori nell intervallo [0, 0]; sintetizzare la serie osservata in una distribuzione con quattro classi di frequenza, tutte della stessa ampiezza e con estremo superiore incluso, e determinare i valori assunti in questo caso dalla media e dalla varianza delle otto osservazioni. - Supponendo che si rendano disponibili le informazioni per altre due famiglie, rispetto alle quali il carattere considerato presenta media pari a 5 e devianza pari a 2, determinare 4

15 la media e devianza del carattere per il complesso delle 8+2=0 famiglie. (Si definisce 2 devianza il numero ( x i x) ) n i= 5. La distribuzione di 40 individui secondo il numero di battiti cardiaci al minuto (variabile X) è la seguente intrvalli totale Frequenza assoluta n i Determinare media aritmetica e varianza della distribuzione. - Sapendo che tra i 40 individui vi sono 0 sportivi e che per questi si registrano mediamente 5 battiti al minuto, con varianza pari a 6., determinare media e varianza del carattere X per i rimanenti 30 individui. 6. Consideriamo le Importazioni e le Esportazioni (in migliaia di milioni di dollari) dei paesi partecipanti all Organizzazione per la Cooperazione e lo Sviluppo Economico (OCSE) avvenute nel 986: Paese Importazioni Esportazioni Danimarca Irlanda Inghilterra Olanda Belgio Germania Francia Italia Spagna Portogallo Grecia Islanda.. Norvegia Svezia Finlandia Svizzera Austria Turchia, 7.4 USA Canada Giappone Calcolare il baricentro - Costruire il grafico di dispersione delle variabili Importazioni rispetto Esportazioni - Costruire la retta di regressione delle Importazioni rispetto alle Esportazioni 7. Consideriamo il peso (in kg) e l altezza (in cm) di 0 individui riportati nella seguente tabella Peso altezza Costruire il grafico di dispersione per i due caratteri. 5

16 - Determinare la retta di regressione che pone l altezza in funzione del peso. 8. In un indagine statistica è stato chiesto a 29 madri, occupate come libere professioniste, di indicare il N. di figli e il N. di ore di lavoro casalingo svolto giornalmente: Madre N. figli N. ore di lavoro casalingo Costruire il grafico di dispersione per i due caratteri. - Stimare la retta di regressione che considera il N. di ore di lavoro casalingo in funzione del N. di figli. - Commentare la relazione tra i due caratteri in base ai risultati precedenti. 6