Facoltà di ECONOMIA Università di Pavia 20 Aprile 2004 Prova scritta di Analisi dei dati MODALITÀ A

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1 MODALITÀ A Riportare sul foglio nome, cognome, numero di matricola e modalità del testo d esame. Problema 1 (8 PUNTI) Su un collettivo di 10 clienti iscritti al programma frequent flyer di una nota compagnia aerea sono stati rilevati diversi caratteri, tra cui: Sesso Viaggi Spesa Giudizio Sesso dell intervistato Numero medio di viaggi al mese Spesa media per viaggio (in centinaia di Euro) Giudizio sul servizio offerto: 1=basso, 2=medio, 3=alto Sesso (S) Viaggi (V) Spesa (Sp) Giudizio(G) M F M 3 2,5 3 F 1 3,5 2 M F F M F F Rappresentare graficamente la variabile SESSO e calcolarne un opportuno indice di posizione. 2. Rappresentare tramite una tabella a doppia entrata le variabili SESSO e GIUDIZIO. SESSO e GIUDIZIO sono statisticamente indipendenti? Motivare la risposta. 3. Calcolare la varianza ed il coefficiente di variazione della variabile SPESA. Problema 2 (8 PUNTI) 1. Data la seguente tabella a doppia entrata

2 X/Y ,1 10 0,3 15 0,6 Si calcoli il coefficiente di correlazione lineare tre X e Y e si indichi l equazione della retta di regressione di Y su X. 2. Date le seguenti osservazioni riguardanti un carattere quantitativo trasferibile 2, 3, 5, 8, 4, 6 calcolare le coordinate della spezzata di concentrazione (lasciare indicati i risultati in forma di frazione). 3. Mostrare che 1 N N [x i µ X ] [y i µ Y ] = µ XY µ X µ Y i=1 Problema 3 (9 PUNTI) 1. Calcolare la probabilità che lanciando due volte un dado regolare la somma dei punteggi dei due lanci sia inferiore a Si consideri un urna contenente 4 palline rosse e 3 nere. Si estraggono senza reimmissione due palline dell urna. Calcolare la probabilità che siano entrambe nere. 3. Enunciare e dimostrare il teorema di Bayes. Problema 4 (5 PUNTI) Si consideri il grafico sottostante rappresentante una schermata di SAS 1) Indicare i comandi SAS necessari per ottenere l output in figura. 2) La distribuzione esaminata è simmetrica? Per rispondere si utilizzi un opportuno indice. 3) Scrivere l espressione analitica dell indice utilizzato al punto 2 ed indicarne le proprietà.

3 MODALITÀ B Riportare sul foglio nome, cognome, numero di matricola e modalità del testo d esame. Problema 1 (8 PUNTI) Su un collettivo di 10 clienti di una palestra sono stati rilevati diversi caratteri, tra cui: Sesso Età Abbonamento Giudizio Giorni Sesso dell intervistato Età dell intervistato Annuale (A), Semestrale (S), Mensile(M) Giudizio sul servizio offerto: 1=basso, 2=medio, 3=alto Numero di volte alla settimana in cui si reca in palestra Sesso (S) Età (E) Abbonamento (A) Giudizio(G) Giorni M 18 A 1 4 F 21 M 2 4 M 30 S 3 2 F 19 A 2 5 M 27 M 2 1 F 35 A 3 2 F 35 S 1 2 M 25 M 3 3 F 30 A 2 2 F 28 S Si calcoli la distribuzione di frequenza della variabile GIORNI e se ne fornisca una rappresentazione grafica. 2. Rappresentare tramite una tabella a doppia entrata le variabili ABBONAMENTO e GIUDIZIO. Calcolare la distribuzione di frequenza della variabile GIUDIZIO per i soli clienti che hanno un abbonamento annuale. 3. Calcolare media e varianza della variabile età. Problema 2 (8 PUNTI) 1. Data la seguente tabella a doppia entrata X/Y ,1 10 0,2 15 0,7

4 Si calcoli il coefficiente di correlazione lineare tre X e Y e si indichi l equazione della retta di regressione di Y su X. 2. Date le seguenti osservazioni 1, 3, 4, 2, 4, 5, 1, 3, 3, 5 valutare attraverso un opportuno indice il livello di eterogeneità. 3. Indicate con Q i e F i le coordinate della spezzata di concentrazione, si mostri che Q i F i per ogni i. Problema 3 (9 PUNTI) 1. Si considerino due urne all apparenza identiche. La prima urna contiene 7 palline bianche e 3 nere, la seconda 6 bianche e 4 nere. Si estrae a caso una pallina da una delle due urne, qual è la probabilità che sia bianca? 2. Una moneta è truccata in modo tale che la probabilità di ottenere testa sia doppia rispetto a quella di ottenere croce. Si supponga di lanciare 4 volte questa moneta. Si calcoli la probabilità di ottenere una sola volta testa. 3. Enunciare e dimostrare il teorema delle probabilità totali. Problema 4 (5 PUNTI) Si consideri il grafico sottostante rappresentante una schermata di SAS 1) Di che grafico si tratta? Indicare i comandi SAS necessari per ottenere l output in figura. 2) A cosa corrispondono i valori indicati in figura? 3) La distribuzione considerata è simmetrica? Motivare la risposta.

5 MODALITÀ C Riportare sul foglio nome, cognome, numero di matricola e modalità del testo d esame. Problema 1 (8 PUNTI) Su un collettivo di 10 clienti di un centro estetico sono stati rilevati diversi caratteri, tra cui: Sesso Sesso dell intervistato Età Età dell intervistato Frequenza Numero di volte al mese che frequenta il centro Tipo di trattamento più richiesto Corpo (C), Viso (V), Lampada(L) Spesa media Spesa media (in decine di Euro) Sesso (S) Età (E) Frequenza (F) Trattamento (T) Spesa (S) F 18 1 C 4 F 21 2 V 2,5 M 30 3 L 1,5 F 19 1 C 4,5 M 27 1 L 1 F 35 2 V 3 F 35 3 C 2 M 25 2 L 1,3 F 30 3 C 3,5 F 28 2 V 2 1. Si calcoli la distribuzione di frequenza della variabile FREQUENZA e se ne fornisca una rappresentazione grafica. 2. Rappresentare tramite una tabella a doppia entrata le variabili FREQUENZA e TRAT- TAMENTO. Quante volte frequentano mediamente il centro estetico coloro che scelgono un trattamento corpo? 3. Quale, tra le variabili FREQUENZA e SPESA, presenta una variabilità maggiore? Problema 2 (8 PUNTI) 1. Si consideri la seguente tabella a doppia entrata X/Y Valutare utilizzando un opportuno indice la connessione tra le variabili esaminate.

6 2. Utilizzando i dati della tabella precedente calcolare di distribuzione di frequenza della variabile W = X Y. 3. Dimostrare che la media degli scarti dalla media è nulla. Problema 3 (9 PUNTI) 1. Siano A e B due eventi tali che P (A) = 0, 3 e P (B) = 0, 8, P (A B) = 0, 2. Dire motivando la risposta se le seguenti affermazioni sono vere o false: i) P (A B) = 0, 9 ii) B è un sottoinsieme di A. iii) A e B sono indipendenti. 2. Si considerino due urne, U 1 e U 2. L urna 1 contiene 7 palline bianche e 3 nere. L urna 2 contiene 8 bianche e 2 rosse. La probabilità di estrarre una pallina dall urna 1 è doppia rispetto alla probabilità di estrarre una pallina dall urna 2. Si estrae a caso una pallina da una delle due urne. Sapendo che la pallina estratta è bianca calcolare la probabilità che l urna scelta sia la Enunciare e dimostrare il teorema delle probabilità totali. Problema 4 (5 PUNTI) Si consideri il grafico sottostante rappresentante una schermata di SAS 1) Indicare i comandi SAS necessari per ottenere l output in figura. 2) Scrivere l equazione della retta di regressione di A su B. Valutare sulla base di un opportuno indice la bontà dell adattamento lineare. 3) Si supponga di aver osservato un nuovo individuo per il quale B = 3. Prevedere sulla base del risultato ottenuto al punto precedente il valore di A.

7 MODALITÀ D Riportare sul foglio nome, cognome, numero di matricola e modalità del testo d esame. Problema 1 (8 PUNTI) Su un collettivo di 10 studenti del primo anno della facoltà di Giurispudenza sono stati rilevati diversi caratteri, tra cui: Sesso Età Vive a Pavia Numero di esami sostenuti Giorni Sesso dell intervistato Età dell intervistato Sì, No Numero di giorni di lezione alla settimana Sesso (S) Età (E) Vive a Pavia(P) Esami(E) Giorni M 19 SÌ 2 4 F 20 NO 4 4 M 19 SÌ 3 2 F 22 NO 2 5 M 30 NO 2 1 F 19 SÌ 3 2 F 20 NO 1 2 M 21 SÌ 3 3 F 20 NO 5 5 F 25 SÌ Calcolare moda media e mediana della variabile GIORNI. 2. Calcolare la covarianza tra ESAMI e GIORNI. Sulla base del risultato ottenuto potete dire qualcosa riguardo alla dipendenza lineare tra le due variabili esaminate? 3. Rappresentare la variabile ETÀ con un istogramma avente classi [18, 21), [21, 25), [25, 30]. Problema 2 (8 PUNTI) 1. Si consideri la seguente tabella a doppia entrata X/Y p X 5 0,2 10 0,5 15 0,3

8 Mantenendo invariata la marginale di X completare la tabella in modo tale che Φ = 1 ma ρ Date le seguenti osservazioni riguardanti un carattere quantitativo trasferibile 10, 3, 5, 8, 4, 6 calcolare le coordinate della spezzata di concentrazione (lasciare indicati i risultati in forma di frazione). 3. È possibile che due variabili indipendenti in correlazione non siano statisticamente indipendenti? Motivare la risposta. Problema 3 (9 PUNTI) 1. Si considerino due urne all apparenza identiche. La prima urna contiene 7 palline rosse e 3 nere, la seconda 4 rosse e 6 nere. Si estrae a caso una pallina da una delle due urne, qual è la probabilità che sia rossa? 2. Una moneta è truccata in modo tale che la probabilità di ottenere testa sia tripla rispetto a quella di ottenere croce. Si supponga di lanciare 3 volte questa moneta. Si calcoli la probabilità di ottenere una sola volta croce. 3. Enunciare e dimostrare il teorema di Bayes. Problema 4 (5 PUNTI) Si consideri il grafico sottostante rappresentante una schermata di SAS 1) Indicare i comandi SAS necessari per ottenere l output in figura. 2) Valutare attraverso un opportuno indice la connessione tra A e B. 3) Fornire l espressione analitica dell indice considerato. Specificare chiaramente le quantità coinvolte.

9 I turno Gli studenti immatricolati prima dell anno devono svolgere questo esercizio al posto del problema 3 Problema 5 (9 PUNTI) 1. Dimostrare che N i=1 (x i a) 2 1 N 2. Si considerino i dati della tabella sottostante è minima quando a = µ. X Y i=1 x i = 30, 7 i=1 x2 i = 198, 7 i=1 y i = 28, 7 i=1 y2 i = 140, 7 i=1 x iy i = 112 Calcolare l equazione della retta di regressione di Y su X. 3. Calcolare il coefficiente di determinazione R 2.

10 II turno Gli studenti immatricolati prima dell anno devono svolgere questo esercizio al posto del problema 3 Problema 5 (9 PUNTI) 1. Mostrare che 1 N N [x i µ X ] [y i µ Y ] = µ XY µ X µ Y. i=1 2. Si considerino i dati della tabella sottostante X Y i=1 x i = 31, 7 i=1 x2 i = 203, 7 i=1 y i = 28, 7 i=1 y2 i = 140, 7 i=1 x iy i = 113 Calcolare l equazione della retta di regressione di Y su X. 3. Calcolare il coefficiente di determinazione R 2.