Probabilità Soggettiva

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1 Probabilità Soggettiva Definizione 3 Dato un evento E, la probabilità P (E) =p dell evento E, secondo un dato individuo in un certo stato di informazione, è la misura numerica (coerente) del suo grado di fiducia nel verificarsi di E. Condizione di coerenza: L individuo deve essere coerente, cioè le sue valutazioni di probabilità per uno o più eventi non devono essere tali da fargli subire una perdita certa. Se indichiamo con G il guadagno aleatorio, si ha Criterio operativo di misura + condizione di coerenza: Criterio della scommessa P (E) =p rappresenta il prezzo che un individuo ritiene equo pagare per ricevere 1 se si verifica E 0 se non si verifica E. Più in generale, se S 2 R, S 6= 0, l individuo deve essere disposto a pagare ps per ricevere S se si verifica E 0 altrimenti. S(1 p), E vero G = S( E p) = ps, E falso. In generale, data una famiglia F n = {E 1,...,E n } ed un assegnazione di probabilità P n =(p 1,...,p n ) su F n, con p i = P (E i ), i =1,...,n, il guadagno aleatorio corrispondente è dato da nx G = S i ( E i p i ), dove S 1,...,S n sono n numeri reali arbitrari (non tutti nulli). i=1 Definizione 4 La valutazione P n si dice coerente se, per ogni scelta di S 1,...,S n, risulta Min G Max G apple 0. G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 64 G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 65 Esempio 18 Sia F = {A, B, A c B c } esiap = (0.4, 0.3, 0.2) una valutazione di probabilità su F. Cioè: Proposizione grado di fid. A p A =0.4 B p B =0.3 A c B c p A c B c =0.2 Ovvero l individuo: In sintesi si ha $10, A, paga $4 per ricevere 0, A c ; $10, B, paga $3 per ricevere 0, B c ; $10, A c B c, paga $2 per ricevere 0, (A c B c ) c. Mostriamo che tali valutazioni di probabilità sono incoerenti in quanto esistono degli importi S 1,S 2,S 3 che rendono positivi tutti i guadagni. Fissiamo i seguenti importi: S 1 = S 2 = S 3 = $10. L espressione del guadagno aleatorio diventa: G = $10( A 0.4) + $10( B 0.3) + $10( A c B c 0.2). paga evento riceve guad. evento riceve guad. $4 A $10 $6 A c $0 $4 $3 B $10 $7 B c $0 $3 $2 A c B c $10 $8 (A c B c ) c $0 $8 I possibili valori del guadagno in corrispondenza dei costituenti saranno: g AB = $10(1 0.4) + $10(1 0.3) + $10( 0.2) = $11 g AB c = $10(1 0.4) + $10( 0.3) + $10( 0.2) = $1 g A c B = $10( 0.4) + $10(1 0.3) + $10( 0.2) = $1 g A c B c = $10( 0.4) + $10( 0.3) + $10(1 0.2) = $1 Avendo trovato una combinazione di scommesse in cui i valori dei guadagni sono tutti positivi ne segue che P è incoerente. G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 66 G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 67

2 Esempio 19 (Sul teorema delle probabilità totali) 4 Consideriamo una gara in cui ci sono tra i vari concorrenti due italiani e precisamente i concorrenti A e B e indichiamo i seguenti eventi E A = vince il concorrente A, E B = vince il concorrente B. Quale è la probabilità di vittoria italiana? Supponiamo che l individuo 0 che tenga il banco valuti uguale a 0.60 la probabilità di vittoria del concorrente A (p A =0.60) e a 0.20 la probabilità di vittoria del concorrente B, ecioèdiaa vincente a 3 contro 2 ( =0.6) e B vincente a 1 contro 4 ( =0.2). Allora è necessario che valuti la probabilità di vittoria italiana uguale a 0.80, ovvero che dia l Italia vincente a 4 contro 1. Figura 17: Casa natale de Finetti, Innsbruck, Austria. Infatti, un competitore che compri a 0.60 euro un buono che vince 1 euro se vince A,eun buono a 0.20 euro che vince 1 euro se vince B, spende in tutto 0.80 euro ed ha un insieme di due buoni che vince 1 euro in caso di vittoria italiana (vince A o B). L individuo che tiene il banco e ha valutato uguale a 0.60 e 0.20 le probabilità di vittoria di A edib, e si è cioè impegnato ad accettare scommesse col pubblico su queste basi, si è con ciò implicatamente impegnato ad accettare scommese sulla vittoria italiana implicitamente valutato uguale a =0.80, ha cioè implicitamente valutato uguale a 0.80 la probabilità di vittoria italiana. (L individuo ha applicato il teorema delle probabilità totali P (E A _ E B )=P (E A )+P (E B ), E A E B = ;) Se, invece, egli non comprendesse, e, senza rispettare il teorema delle probabilità totali, valutasse la probabilità di vittoria italiana a 0.75 allora accadrebbe che se un competitore scommettesse 1 euro nel caso di vittoria italiana, 1 euro contro la vittoria di A 4 Sul significato soggettivo della probabilità G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 68 G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 69 e 1 euro contro la vittoria di B e cioè pagasse 0.75 per un buono che vince 1 euro nel caso di vittoria italiana, cioè 1, EA _ E paga 0.75 per ricevere B, 0, E c A ^ Ec B ; e riscuotesse 0.60 e.20 euro impegnandosi a versare 1 euro rispettivamente se vincono A, B, cioè Riportiamo nella Figura 19 come vanno calcolate le probabilità (a partire dalle pseudo probabilità) nelle scommesse a quota fissa. Fonte: AAMS 1, EA, 1, EB, paga per ricevere 0, E c A ; paga per ricevere 0, E c B ; allora avrebbe intascato 5 eurocent (0.05) e sarebbe libero da ogni altro impegno perchè le eventuali vincite e perdite si compensano in ogni caso. Figura 18: Probabilità nelle scommesse a quota fissa. G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 70 G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 71

3 Costituenti. Osserviamo che ^ = echee _ E c =, 8 E. Figura 19: Probabilità e gratta e vinci. Fonte AAMS Sfruttando tali relazioni, considerati due eventi A, B, si possono determinare i costituenti o casi elementari, eliminando le intersezioni impossibili dallo sviluppo della seguente espressione: (A _ A c ) ^ (B _ B c )= (AB _ AB c _ A c B _ A c B c (14) ). In generale, data una famiglia F n = {E 1,...,E n },icasipossibili, C 1,...,C m, con m apple 2 n, si ottengono dallo sviluppo della seguente espressione (eliminando le intersezioni impossibili) (E 1 _ E c 1 ) ^ (E 2 _ E c 2 ) ^ ^ (E n _ E c n )=C 1 _ C 2 _ _ C m dove C k = E 1 E 2 E n, k =1, 2,...,m apple 2n, dove E i = E i, oppure E i = Ec i. G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 72 G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 73 Esempio 20 (Costituenti) Dati 2 eventi A, B con A B si hanno i seguenti costituenti (vedi Figura 20) Infatti l intersezione AB c = ;. C 1 = AB C 2 = A c B C 3 = A c B c. A B Ω Figura 20: A B G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 74 G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 75

4 Esercizio 6 Supponiamo di e ettuare il lancio di un dado. Consideriamo gli eventi: A = Esce il numero 2, B = Esce un numero pari. Calcolare i costituenti relativi alla famiglia F = {A, B}. Esercizio 7 Dati 3 eventi A, B, C con A e C incompatibili e B C. Calcolare i costituenti relativi alla famiglia F = {A, B, C}. Esercizio 8 Da un urna contenente 5 palline bianche e 3 nere si e ettuano 2 estrazioni senza restituzione. Sia A l evento la 1 a pallina estratta è bianca e B l evento la 2 a pallina estratta è bianca. Calcolare, in relazione a ciascun evento, il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, confrontando i valori ottenuti per A e B. Decomposizione di un evento Data una famiglia F n = {E 1,...,E n }, siano C 1,C 2,...,C m i relativi costituenti. Utilizzando la formula di decomposizione per ogni evento E i si ha E i = E i ^ = E i ^ (C 1 _ C 2 _ _ C m )= = E i C 1 _ E i C 2 _ _ E i C m. Facendo distinzione tra i costituenti favorevoli ad E i e quelli contrari si ha la seguente rappresentazione E i = m_ (E i C h )= _ (E i C h ) h:c h *E i (E i C h ). Eliminando le intersezioni impossibili e osservando che, se C h * E i allora E i C h = ;, si ottiene E i = _ (E i C h ). Infine poichè per C h E i si ha E i C h = C h, possiamo scrivere E i = _ C h, ovvero ogni evento E i si può scrivere come unione logica dei costituenti ad esso favorevoli. G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 76 G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 77 Esempio 21 Con riferimento a una data partita di calcio tra la Roma el Inter, si considerino gli eventi: A : la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in vantaggio sull Inter; B : la Roma vince la partita; C : la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in svantaggio sull Inter. I casi possibili relativi agli eventi A, B, C, tenendo conto che A e C sono incompatibili e quindi che gli eventi ABC e AB c C risultano impossibili, sono i seguenti: C 1 = ABC c,cioèa e B veri e C falso; vale a dire: la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in vantaggio sull Inter e vince la partita. C 2 = A c BC, cioèa falso e B e C veri; vale a dire: la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in svantaggio sull Inter e vince la partita. C 3 = A c BC c,cioèa e C falsi e B vero; vale a dire: a cinque minuti dal termine della gara le squadre sono in parità e la Roma vince la partita. C 4 = AB c C c,cioèa vero e B e C falsi; vale a dire: la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in vantaggio sull Inter e non vince la partita. C 5 = A c B c C,cioè A e B falsi e C vero; vale a dire: la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in svantaggio sull Inter e non vince la partita. C 6 = A c B c C c,cioè A, B e C falsi; vale a dire: a cinque minuti dal termine della gara le squadre sono in parità e la Roma non vince la partita. Si ha A = ABC c _ AB c C c, B = C 1 _ C 2 _ C 3, C = C 2 _ C 5. Verifica della coerenza Sia F n = {E 1,...,E n } una famiglia di eventi arbitrari, legati da possibili relazioni logiche. Inoltre, sia P n =(p 1,...,p n ) una assegnazione di probabilità su F n, con p i = P (E i ), i =1,...,n. Siano C 1,...,C m, con m apple 2 n, i costituenti relativi alla famiglia F n. Abbiamo visto che ogni evento E i si può esprimere come unione logica dei costituenti ad esso favorevoli, ovvero E i = _ C h. (15) Se si assegnano le probabilità h = P (C h ) a tutti i costituenti, poichè questi formano una partizione, dev essere nx h 0, h =1,...,m; h =1. (16) Inoltre, dalla (15) segue P (E i )= X h. (17) G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 78 G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 79

5 Si consideri il seguente sistema nelle incognite (non negative) 1,..., m (S) : 8 >< X h = p i, i =1,...,n; h =1, >: h 0, h =1,...,m. Si può dimostrare il seguente risultato Teorema 1 La valutazione di probabilità P n è coerente se e solo se il sistema (S) è risolubile. (18) Indipendenza e dipendenza logica Indipendenza logica. Data una famiglia di n eventi F n = {E 1,E 2,...,E n }, gli eventi di F n si dicono logicamente indipendenti se il numero m di costituenti associati a F n è p a r i a 2 n. Se il numero dei costituenti è inferiore a 2 n si dirà che gli eventi di F n non sono logicamente indipendenti e che esistono relazioni logiche tra gli eventi. Esempio 22 Osserviamo che dati 3 eventi A, B, C, essi sono logicamente indipendenti se, assegnando in tutti i modi possibili il valore logico (vero o falso) a due di essi ( ad esempio B, C), l altro evento (ad esempio A) rimane incerto, potendo risultare sia vero che falso. Eventi logicamente dipendenti. Data una famiglia di eventi F n = {E 1,E 2,...,E n } siano C 1,...,C m i costituenti ad essa associati. Sia E n+1 un ulteriore evento. Diremo che E n+1 è logicamente dipendente dagli eventi E 1,E 2,...,E n se C h E n+1 _ C h E c n+1, per ogni h =1, 2...,m, cioè il valore logico di E n+1 è sempre determinato ogni qual volta si assegna il valore logico a tutti gli eventi E 1,E 2,...,E n. Esempio 23 Estrazioni con restituzione da un urna contenente 1 pallina bianca e 1 nera. Gli eventi E i = la i-ma pallina estratta è bianca, i = 1, 2,...,5, sono logicamente indipendenti. G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 80 G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 81 Esempio 24 Si e ettuano 5 estrazioni senza restituzione da un urna contenente 2 palline bianche e 3 nere. Gli eventi E 1,E 2,E 3 sono logicamente indipendenti? Se E 1 è vero ed E 2 è falso, allora E 3 può essere sia vero che falso; però, se E 1,E 2 sono entrambi veri (cioè le prime due palline estratte sono bianche) allora la terza pallina è certamente nera equindie 3 è necessariamente falso (si ha che l intersezione E 1 E 2 E 3 è impossibile). Quindi E 1,E 2,E 3 non sono logicamente indipendenti. L evento E 3 è logicamente dipendente da E 1,E 2? La risposta è no. Vi sono relazioni logiche tra gli eventi E 1,E 2,E 3? La risposta è si. Invece, l evento E 5 è logicamente dipendente da E 1,...,E 4, nel senso che il suo valore logico è univocamente determinato da quello dei primi quattro. Infine osserviamo che E i,e j, con i 6= j, sono logicamente indipendenti. Interpretazione Geometrica della Coerenza Sia F n = {E 1,...,E n } una famiglia di eventi arbitrari, legati da possibili relazioni logiche. Inoltre, sia P n =(p 1,...,p n ) una assegnazione di probabilità su F n, con p i = P (E i ), i =1,...,n. Siano C 1,...,C m, con m apple 2 n, i costituenti relativi alla famiglia F n. Ad ogni costituente C h si può associare un vertice, Q h =(q h1,...,q hn ),dell ipercubo unitario di R n secondo la regola: 1, se Ch E j, q hj = 0, se C h E c j, j =1, 2,...,n. Indichiamo con I n l involucro convesso generato dai punti Q 1,...,Q m, ovvero l insieme formato dai punti P di R n che sono combinazioni lineare convesse dei punti Q h,cioè I n = {P 2 R n : P = hq h, h =1, h 0}. Abbiamo visto che la condizione di coerenza di P n su F n coincide con la risolubilità del sistema (S). A sua volta si può verificare che il sistema (S) si può scrivere, sfruttando i punti Q h, nella seguente formulazione (S 0 ) q hj h = p j, j =1,...,n; h =1, h 0. G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 82 G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 83

6 ovvero (S 0 ) P n 2 I n. Teorema. Le seguenti tre condizioni sono equivalenti: (i) P n su F n è coerente; (ii) il sistema (S) è risolubile; (iii) P n 2 I n. Pertanto, un assegnazione di probabilità P n su una famiglia di eventi (non condizionati) F n è coerente se e solo se il punto P n (di R n ) appartiene all involucro convesso generato dai punti Q h. Coerenza e proprietà della probabilità Verifichiamo che le tre Proprietà fondamentali della probabilità P1. P (E) 0, per ogni evento E; P2. P ( ) =1; P3. se AB = ;, allorap (A _ B) =P (A) +P (B). sono condizioni necessarie per la coerenza. (Vedi la cartella tre eventi nella sezione approfondimenti del sito web) Inoltre, possiamo a ermare che l insieme delle assegnazioni coerenti di probabilità P n su F n coincide con I n, che in generale è un sottoinsieme dell ipercubo unitario e coincide con esso se e solo se m =2 n, nel qual caso gli eventi E 1,...,E n sono logicamente indipendenti. In generale, a causa di relazioni logiche tra gli eventi E 1,...,E n,risulterà m<2 n. Sia E un evento, ricordiamo che il guadagno aleatorio associato alla valutazione P (E) =p, èdatoda S(1 p), E vero G = ps, E falso. La condizione di coerenza Min G Max G apple 0, 8S 6= 0 diventa S(1 p)( ps) = p(1 p)s 2 apple 0, che è soddisfatta se e solo se 0 apple p apple 1. Pertanto la Proprietà P1 è condizione necessaria (ma anche su ciente) per la coerenza di G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 84 G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 85 una valutazione di probabilità su un evento. Se E =, siha La condizione di coerenza Min G = Max G = G = S(1 p). S(1 p) S(1 p) apple 0, 8S 6= 0 ovvero S 2 (1 p) 2 apple 0 8S 6= 0richiede G = S(1 p) =0, per ogni S 6= 0. Pertanto, la condizione di coerenza richiede p = P ( ) =1, ovvero la Proprietà P2 è condizione necessaria per la coerenza. Essa è anche su ciente, infatti P ( ) =1è una valutazione coerente poichè implica G =0per ogni S. Analogamente si prova che condizione necessaria e su ciente per la coerenza di una valutazione su un evento impossibile è P (;) =0. Per quanto riguarda la dimostrazione della necessità della proprietà additiva (P3) consideriamo dapprima una partizione di, costituita da n eventi {H 1,...,H n }, di probabilità p 1,...,p n e dimostriamo che condizione necessaria per la coerenza di p 1,...,p n è che p 1 + p p n =1. (In realtà la condizione è anche su ciente) Il guadagno totale relativo ad n scommesse simultanee sugli eventi H 1,...,H n, con importi S 1,...,S n,è G = S 1 ( H 1 p 1 )+ + S n ( H n p n ). Poichè H H n =1,perS 1 = = S n = S si ottiene Min G = Max G = G = = S[1 (p p n )]. Per la condizione di coerenza, dev essere G =0. Allora, segue p p n =1, ovvero P (H 1 )+ + P (H n )=1. (19) Dim. che la proprietà additiva è condizione necessaria per la coerenza: dati due eventi incompatibili A, B, per la partizione {A _ B, (A _ B) c } deve essere soddisfatta la condizione P (A _ B) +P [(A _ B) c ]=1. D altra parte, per la partizione {A, B, (A _ B) c } deve valere da cui si ottiene : P (A) +P (B) +P [(A _ B) c ]=1, P (A _ B) =P (A) +P (B). (20) G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 86 G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 87

7 La formula (20) nel caso di n eventi E 1,...,E n a due a due incompatibili diventa (Teorema delle probabilità totali) P (E 1 _ _ E n )=P (E 1 )+ + P (E n ). (21) Allora, considerato un evento E con r casi favorevoli, ad esempio E = C 1 _ _ C r, dalla formula ( 21) si ottiene P (E) =P (C 1 )+ + P (C r )= r m, cioè la probabilità di E è pari al rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili. Dimostrate le proprietà fondamentali del calcolo classico delle probabilità, ne scende che tutti i risultati di tale calcolo non sono che conseguenze della definizione che abbiamo data della coerenza. Un individuo che nel giudicare delle probabilità di certi eventi contraddice un teorema del calcolo delle probabilità non è coerente: un competitore potrebbe scommettere con lui assicurandosi la vincita a colpo sicuro. 5 Osservazione 2 (criterio classico di valutazione) Se in un dato esperimento aleatorio si hanno m casi possibili C 1,...,C m giudicati ugualmente probabili, poichè P (C 1 )+ + P (C m )=1, segue P (C k )= 1 m, k =1,...,m. 5 Bruno de Finetti, Sul significato soggettivo delle probabilità, Fundamenta Mathematica (1931), pp G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 88 G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 89 Esempio 25 Dati tre eventi A, B, C, con A ^ C = ;, verificare se la valutazione P (A) =P (B) =P (C) =0.4, P (A ^ B) =P (B ^ C) =0.2 è coerente. Soluzione. I costituenti sono Osserviamo che si ha C 1 = AB c C c C 2 = ABC c C 3 = A c BC c C 4 = A c BC C 5 = A c B c C C 6 = A c B c C c. A = C 1 _ C 2 B = C 2 _ C 3 _ C 4 C = C 4 _ C 5 AB = C 2 BC = C 4, pertanto il sistema (S) diviene 8 P (A) =0.4 =x 1 + x 2 >< P (B) =0.4 =x 2 + x 3 + x 4 P (C) =0.4 =x 4 + x 5 P (AB) =0.2 =x >: 2,P(BC) =0.2 =x 4 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 =1, x i 0, i =1...6 Tale sistema ammette la soluzione (0.2, 0.2, 0, 0.2, 0.2, 0.2) quindi la valutazione data è coerente. Esercizio 9 Provare che il sistema relativo alla valutazione di probabilità P = (0.4, 0.3, 0.2) su F = {A, B, A c B c } non ammette soluzioni. Esempio 26 Siano A, B, C tre eventi tali che A e B siano incompatibili, inoltre (A _ B) ^ C = ;. Determinare se la valutazione di probabilità P (A) = 2 3,P(B) = 1 12,P(C) =1 4 è coerente, e in caso a ermativo calcolare i valori di probabilità coerenti p per l evento A c ^ B c ^ C c. Soluzione Esempio 26. Si ha A ^ B = A ^ C = B ^ C = ; e quindi i costituenti sono C 1 = A ^ B c ^ C c = A, C 2 = A c ^ B ^ C c = B, C 3 = A c ^ B c ^ C = C, C 4 = A c ^ B c ^ C c. Allora, per la coerenza, dev essere: P (A) +P (B) +P (C) apple 1, ed essendo P (A) +P (B) +P (C) =1l assegnazione è coerente. Inoltre, dalla relazione P (A) +P (B) +P (C) +P (A c ^ B c ^ C c )=1, segue: p = P (A c ^ B c ^ C c )=0. G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 90 G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 91

8 Esercizio 10 L architettura di un software è costituita da 3 moduli M 1,M 2,M 3.Sia A i l evento il modulo M i funziona. E noto che se M 1 funziona allora M 2 funziona, se M 2 funziona allora M 3 funziona. Determinare l insieme C dei costituenti generati dagli eventi A i con i =1, 2, 3 (tenendo conto dei vincoli logici dati). Supposto che P (A 1 )= 1 4,P(A 3)= 6 10, determinare i valori di probabilità coerenti p per A 2. Esercizio 11 In base a un indagine sanitaria condotta su una fabbrica di carta viene valutata pari a 0.1 la probabilità dell evento E, che una persona che vi lavora da almeno 5 anni so ra di disturbi polmonari, 0.15 la probabilità dell evento H che so ra di cefalea, e 0.8 la probabilità dell evento S che sia sana. E coerente tale assegnazione? Condizioni sulla probabilità dell Unione. Dati due eventi A e B e due valutazioni di probabilità P (A) e P (B), consideriamo l evento unione A _ B. Dalla proprietà di monotonia segue che quindi P (A) apple P (A _ B), P(B) apple P (A _ B), (22) Osservando, inoltre, che P (A _ B) apple 1 eche P (A _ B) max {P (A),P(B)}. (23) segue P (A _ B) =P (A) +P (B) P (AB) apple P (A) +P (B), P (A _ B) apple min {1,P(A) +P (B)}. (24) La (23) e la (24), assegnati P (A) e P (B), stabiliscono delle limitazioni per P (A _ B). Esempio 27 (03-Aprile-2012-N.1) Dati due eventi A, B logicamente indipendenti e assegnata una valutazione di probabilità (x, y) 2 [0, 1] [0, 1] con P (A) = x, P (B) =y determinare, in funzione di (x, y), l intervallo [z 0,z 00 ] dei valori coerenti per z = P (A _ B). z 0 = z 00 = G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 92 G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 93 A nchè il sistema (S) sia risolubile devono essere soddisfatte le seguenti condizioni: A C4 C2 C1. C3 B. (i) 2 = x 1 0 ) 1 apple x; (ii) 3 = y 1 0 ) 1 apple y; (iii) da (i), (ii) segue che 1 apple min{x, y}; (iv) 4 0 ) 1 x + y 1; (v) 1 0; (vi) da (iv), (v) segue che 1 max{x + y 1, 0}. Figura 21: Costituenti relativi alla famiglia {A, B} Poichè gli eventi A, B sono logicamente indipendenti si hanno 2 2 =4costituenti, ovvero C 1 = AB, C 2 = AB c, C 3 = A c B, C 4 = A c B c. Consideriamo la situazione generale. Data un assegnazione di probabilità (x, y), con 0 apple x apple 1, 0 apple y apple 1, su {A, B}, con x = P (A),y = P (B), studiamo la risolubilità del seguente sistema (S) nelle incognite 1,..., 4. 8 x = >< ; y = (S) ; >: = 1; i 0, i = >< ovvero (S) >: 2 = x 1; 3 = y 1; 4 = 1 (x + y 1); i 0, i = Osserviamo che i valori coerenti per z = P (E _ H) sono i valori z = = 1 + x 1 + y 1 = x + y 1 per il quali il sistema (S) è risolubile, pertanto l estensione z = P (EH) è coerente se e solo se z 2 [z 0,z 00 ] con z 0 = x + y min{x, y} = max{x, y} e z 00 = x + y max{x + y 1, 0} = min{x + y, 1}. Osserviamo che per il calcolo di z 0, poichè z è funzione decrescente di 1, abbiamousato il piu grande valore coerente per 1, e per il calcolo di z 00 abbiamo usato il piu piccolo valore coerente di 1. G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 94 G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 95