Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13. Il Concetto di Distribuzione Condizionata

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1 Il Concetto di Distribuzione Condizionata Se B è un evento, la probabilità di un evento A condizionata a B vale: ponendo: P A B P A B P B A x si giunge al concetto di distribuzione condizionata della v.a. : F x B P x B Per derivazione si ottiene la densità condizionata di : d d x B F x B P x B dx dx 375

2 Il Concetto di Distribuzione Condizionata (segue) Data una v.a., per il Teorema della Probabilità Totale segue che, se B 1,B,...,B N è una partizione di S, allora: 1 1 P x x dx P x xdx B P B P x x dx B P B... P x x dx B P B N N N = 7 Quindi la densità di probabilità di una v.a. può essere espressa in unzione delle densità condizionate: B 1 B 4 B B 3 x x B P B x B P B... x B P B 1 1 N N S B 5 B 6 B 7 376

3 Esempio di Densità Condizionata Se v.a. modella il diametro dei pezzi prodotti da una abbrica che ha due diverse macchine di produzione M 1 e M, per cui: M produce pezzi con diametro ~ N, M produce pezzi con diametro ~ N, deiniti gli eventi: B Il pezzo è prodotto da M 1 1 se PB1 B Il pezzo è prodotto da M p e PB 1 p, la v.a. ha la seguente d.d.p.: 377

4 Esempio di Densità Condizionata (segue) x x p 1 1 p 1 1 x exp exp N( 1 = 5, 1 = 1 mm) N( = 9, = 0.8 mm) Densità condizionata Densità di Probabilità Diametro (mm) p 0.8, ( 1 5 mm, 1 1 mm), ( 9 mm, 0.8 mm) 378

5 Densità Condizionata: Troncamento di una Distribuzione Dalla deinizione di densità condizionata risulta: Se per l'evento condizionante è: P x x dx B xb dx B a b il campo di variabilità di viene troncato x a b dx Quindi x B 0 se x a oppure x b x a b P x xdx, a b P a b, altrimenti è: x F b F a 379

6 Esempio di Troncamento di una Distribuzione diametro dei pezzi prodotti: ~ N, B Si accettano solo pezzi con diametro Densità di probabilità di condizionata all evento B. x B x 1 1 x exp x = F F 0 altrove 380

7 Esempio di Troncamento di una Distribuzione Gaussiana Densità di probabilità In rosso: x x con 0, 1 381

8 Esempio di Troncamento di una Distribuzione Gaussiana.5 Densità di Probabilità In rosso: x x con 0, 1 38

9 Esempio di Troncamento di una Distribuzione Gaussiana Densità di Probabilità In rosso: x x con 0, 1 383

10 Distribuzione Condizionata di Due Variabili Aleatorie La distribuzione di una variabile aleatoria Y condizionata ad una variabile aleatoria è deinita come: Veriica: Ricordando che: P A B ponendo: P A B P B F Y y x 1 FY x,y x x B B y y A A AB x x dx x x dx A Y y, B x x x 384

11 Distribuzione Condizionata di Due Variabili Aleatorie (segue) La P A B è pari alla F Y Y y x e vale: lim F y x F y x xx lim x 0 x 0 Y,, 1 FY x x y FY x y x x che coincide con la deinizione data F Y y x 1 FY x,y x x y y F Y x,y x x dx F x dx,y x x dx 385

12 Densità Condizionata di Due Variabili Aleatorie Per derivazione rispetto a y di F condizionata: 1 Y Y y x = x x y sostituendo la deinizione di densità congiunta: Y y x si ottiene la densità F x,y Y y x Y x x,y y x. A volte Y y x è scritta come Y 386

13 Interpretazione della Densità Condizionata Dato un intervallo x y sul piano x, y: 1 1 Y y x P y Y y y x x x P C B y y Y y x 1 y P BC P B 387

14 Interpretazione della Densità Condizionata (segue) PBC Px xx,yy y y PB Px x x Px xx,y Y yy Px xx Y y x x y x che, passando al limite per x 0, y 0, è l espressione: y x Y Y, x x y 388

15 Teorema della Probabilità Totale per una Coppia di v.a. Ricordando che: Y y Y x,ydx dall'espressione della densità condizionata y x segue: Y y y x xdx Y quest ultima espressione è il Teorema della Probabilità Totale per una coppia di variabili aleatorie. Y 389

16 Formula di Bayes per una Coppia di Variabili Aleatorie Dal Teorema della Probabilità Totale per una coppia di variabili aleatorie segue la ormula di Bayes: x y Y Y Y y x x Y y y x x y x x dx 390

17 Deinizione: Valori attesi condizionati Dato un evento A, si deinisce valore atteso della v.a. Y condizionata ad A la quantità: Deinizione: EY A y Y y Ady Date due variabili aleatorie e Y si deinisce il valore atteso di Y condizionato a la quantità: EY yyy xdy che si può estendere a una unzione gy : Eg Y g y Y y x dy 391

18 Deinizione: Curva di Regressione Il valore atteso di Y condizionato a è una unzione x E Y x x y Y y x dy che deinisce la curva di regressione di Y su. y () x x x+dx x 39

19 Signiicato della Curva di Regressione y x E y x o x 0 Rappresentazione della Y x,y con curve di livello 393

20 Signiicato della Curva di Regressione (segue) La curva di regressione x per ogni x, rappresenta il baricentro delle masse di probabilità appartenenti alla striscia x,x dx del piano x,y. Proprietà: veriica: E EE Y E Y E x y y x dy dx Y y Y x, ydydx y Y ydy EY 394

21 La Bivariata Gaussiana Deinizione: Una coppia, di variabili aleatorie è una bivariata gaussiana dove q, è una orma quadratica deinita positiva. se: x,xkexp qx,x La densità congiunta si può ricavare considerando una coppia di variabili aleatorie gaussiane ed indipendenti Y,Y 1 Trasormazione Lineare, 1 395

22 Siano Y 1, Y variabili aleatorie indipendenti Gaussiane Standard 1 1 YY y,y 1 1 exp y1 y con a e b costanti positive. 1 = a Y 1 + b Y = - a Y 1 + b Y. Il coeiciente di correlazione tra 1 e vale: Se a = 1, b = 1 Se 1 a, r b a r 0 E b a 1 1 b con costante compresa tra -1 e +1. r 1 396

23 1 x,x 1 1 a, x x x x YY, 1 a b ab b e sono congiuntamente gaussiane con varianze unitarie e coeiciente di correlazione pari a x 1,x exp x 1x1x x

24 La Bivariata Gaussiana (segue) La densità congiunta di, si può scrivere nella orma: x 1,x exp q 1 1 con: 1 q 1 x 11 x1 1 x x 1 1 Saturando rispetto ad si ha la marginale: con E e Var x1 1 x 1 1 exp

25 La Bivariata Gaussiana (segue) La densità condizionata di dato 1: con: x,x x x exp q x x 11 x11 x x x11 1 q 1 ovvero: q 1 x x

26 La Bivariata Gaussiana (segue) La densità condizionata risulta quindi: x x x x1 exp 1 1 Ovvero una densità gaussiana con: Valor atteso (curva di regressione ): E x x x 1 (retta di regressione) Varianza: 1 Var 1 400

27 La Bivariata Gaussiana (segue) Commenti sulla Bivariata Gaussiana: Se 0 si ha una coppia di v.a. gaussiane indipendenti; Se 1 la v.a. Y è completamente determinata da è la bivariata è a lama di coltello. x Retta di regressione pendenza x1 Curve di livello per una Bivariata gaussiana con

28 Bivariata Gaussiana: 0,, r 0 Y Y 1 x y Y x, y exp Y Y 40

29 Bivariata Gaussiana: Y 0, Y, r 0 Curve di livello 403

30 Bivariata Gaussiana: Y 0, 4, Y 1, r x xy y Y x, y exp r 1 r Y 1r Y Y 404

31 Bivariata Gaussiana: Y 0, 4, Y 1, r 0 Curve di livello 405

32 Bivariata Gaussiana: Y 0,, Y, r x xy y Y x, y exp r 1 r Y 1r Y Y 406

33 Bivariata Gaussiana: Y 0,, Y, r 0.7 y Y Y r x Curve di livello e retta di regressione: y 0.7x 407

34 Bivariata Gaussiana: Y 0, 4, Y 1, r x xy y Y x, y exp r 1 r Y 1r Y Y 408

35 Bivariata Gaussiana: Y 0, 4, Y 1, r 0.7 Curve di livello e retta di regressione: y 0.175x 409

36 Bivariata Gaussiana: Y 0,, Y, r x xy y Y x, y exp r 1 r Y 1r Y Y 410

37 Bivariata Gaussiana: Y 0,, Y, r 0.99 Curve di livello e retta di regressione: y 0.99x 411

38 Bivariata Gaussiana: Y 0, 4, Y 1, r x xy y Y x, y exp r 1 r Y 1r Y Y 41

39 Bivariata Gaussiana: Y 0, 4, Y 1, r 0.99 Curve di livello 413

40 Esempio: (importante nella teoria dell aidabilità) La variabile aleatoria è Esponenziale negativa con valore atteso 1. Trovare la densità di condizionata all evento: t. Soluzione Se x t x t dx P x xdx t P x xdx t P x xdx x dx P t P t P t x t P x t altrimenti la densità condizionata è nulla. x t 414

41 Esempio: (segue) Sostituendo: xu x t dx expxu xt dx x tdx P t exp t xt x t e U xt x t cioè la densità condizionata è uguale alla marginale calcolata in x t, cioè non si ha memoria del passato. x x t 0 t x 415