Teoria dei segnali terza edizione

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1 Capitolo 8 Richiami di teoria della probabilità SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI Soluione dell eserciio 8. Si definiscano i seguenti eventi { M } { la persona scelta è malata} { S } { la persona scelta è sana} { TP } { il test è positivo} { TN} { il test è negativo} Poichè l affidabilità del test è pari all 80% risulta Pr TP / M Pr TN / S 0,8 { } { } Si ha, inoltre, che Pr{ M } 0,0 { S} { M} Pr Pr 0,99 Pr { M / TP} La traccia richiede il calcolo della la probabilità. Applicando il teorema di Bayes tale probabilità può essere calcolata mediante la relaione Pr{ M} Pr { TP/ M} Pr { M / TP} ( ) Pr TP { } Essendo, per il teorema della probabilità totale, Pr{ TP Pr TP / M Pr M + Pr TP / S Pr S 0,8 0,0+ 0, dalla ( ) si ricava immediatamente che } { } { } { } { } Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 009 McGraw-Hill

2 G. Bacci e F. Zuccardi Merli 0,0 0,8 Pr { M / TP} , 06 Utiliando la stessa procedura si ricava che Pr M / TP 0,0 { } se l affidabilità del test è del 50%. Pertanto, in tal caso il test è da ritenersi del tutto inaffidabile, cosicché l informaione da esso fornita non migliora le nostre conoscene sullo stato di malattia della persona in esame. Se invece il test è affidabile al 00%, risulta per ovvie ragioni. Soluione dell eserciio 8.3 Si definiscano i seguenti eventi Pr { TP / M } { A } { XYZ ha studiato davvero} { B} { XYZ ha scelto la risposta esatta} La traccia richiede il calcolo della probabilità Pr{ A / B}, la quale, se si applica il teorema di Bayes, può essere valutata mediante la relaione Essendo { A B} Pr / { } { A} { B} Pr B / A Pr Pr Pr { B/ A } Pr{ A} p { B} { B A} { A} + { A} { B A} Pr Pr / Pr Pr Pr / p+ ( p) m si può scrivere che Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 009 McGraw-Hill

3 Teoria dei segnali { A B} Pr / p p+ ( p) m { } Si osservi che, se m, Pr A/ B. Questo risultato può essere interpretato nel modo seguente: se m è molto grande e la risposta è esatta, allora XYZ ha studiato certamente. 3 Soluione dell eserciio 8.4 La trasformaione y gx ( ) alla quale viene sottoposta la variabile aleatoria X per generare Y è illustrate nella figura seguente. Da questa figura si evince immediatamente che la densità di probabilità f Y ( y) assume un valore nullo quando la variabile y assume un valore esterno all intervallo (,). Per determinare, invece, l espressione di fy ( y) nell intervallo (,) si può utiliare il cosiddetto teorema fondamentale, distinguendo, nella sua applicaione, i due casi indicati di seguito. y 3 x Caso : si assume che sia 0 y <. In questo caso le soluioni dell equaione y g( x) sono espresse dalla relaione xi y+ i i 0,,... Risulta, inoltre, y'( x i ) Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 009 McGraw-Hill

4 Teoria dei segnali Pertanto, applicando il suddetto teorema fondamentale, si ricava che y e fy ( y) e e e + + i ( y+ i) y e ( ) i 0 i 0 Caso : si assume che sia < y < 0. In questo caso le soluioni dell equaione y g( x) sono espresse dalla relaione xi y+ i i 0,,... Essendo, inoltre, y'( x i ) l applicaione del teorema fondamentale produce + y ( y i) y e y e fy ( y) e + e + e e e e e i 0 Verifichiamo ora, per eserciio, che la condiione di normaliaione sia verificata dalla densità f ( y ) che abbiamo appena ricavato. Si ha che c.v.d. Y 0 y e y f Y ( y) dy e dy + e dy e e 0 4 Soluione dell eserciio 8.8 Si deve calcolare e ( e )( + e ) e + e e e e dove Pr{ T T < 0min} Pr T T < o r a 3 T istante di arrivo del primo amico T istante di arrivo del secondo amico La densità di probabilità congiunta delle variabili aleatorie T e T è diversa da ero (ed, in particolare, assume valore unitario) solo nella regione quadrata [0,] [0,] del piano Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 009 McGraw-Hill

5 cartesiano t t rappresentato nella Figura seguente. Nella stessa Figura viene anche indicata una regione ombreggiata associata all evento T T < ora 3. t (ore) t (ore) Risulta, allora, Pr T T < ora 3 area della regione ombreggiata Soluione dell eserciio 8. Per risolvere il problema in esame è utile far riferimento alla Figura riportata di seguito. Si osservi che le variabili aleatorie X ed Y sono uniformemente distribuite sull intervallo [0, l] e che, essendo indipendenti, la loro densità di probabilità congiunta assume valore costante (e pari a / l ) sul dominio [0, l] [0, l]. Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 009 McGraw-Hill

6 l A X l Y B Occorre calcolare L evento { XY < l /4} XY l l Pr < Pr XY < 8 4 individua, in un piano cartesiano, una regione che è delimitata dalla iperbole xy l /4, dai due assi cartesiani, e dalle rette x l ed y l (si veda la figura seguente). Tale regione, evideniata da una ombreggiatura nella Figura seguente, è data dall unione di un rettangolo di lati l ed l /4 (e, quindi, di area l /4) con la regione sottesa dall arco di iperbole compreso fra le ascisse x l /4 ed x l. l l /4 l iperbole xy 4 l /4 l Da queste consideraioni si evince immediatamente che Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 009 McGraw-Hill

7 Teoria dei segnali 6 Soluione dell eserciio 8.3 l l /4x l XY l l l Pr < + dx dx 8 l 4 l + 4 l 4x x l/4 y 0 l/4 l + dx ln 4 0, x 4 4 l /4 Indichiamo con N A ( N B ) il numero della pagina aperta nel libro A (B). Le variabili aleatorie N A ed N B sono indipendenti e possono assumere, con la stessa probabilità, soltanto valori interi appartenenti rispettivamente agli intervalli [,00] e [,300]. Pertanto la loro massa di probabilità congiunta è espressa dalla relaione Pr { NA na, NB nb} per na [,00] ed nb [,300], ed è nulla altrove. Fatte queste premesse, possiamo scrivere che 00 na 00 00(00 + ) Pr { NA > NB} ( ) na 4 n A nb na (00 + ) 99 0, Soluione dell eserciio 8.5 Essendo le variabili aleatorie X ed Y indipendenti ed uniformemente distribuite nell intervallo [0,], nel piano cartesiano x y la loro densità di probabilità congiunta f XY ( xy, ) assume valori non nulli soltanto nel quadrato [0,] [0,] (ove risulta, inoltre, fxy ( x, y ) ). Si noti, inoltre, che la variabile aleatoria Z max ( XY, Y / X ) non può assumere valori negativi, cosicché la sua densità di probabilità fz è nulla per < 0. Per determinare, invece, la funione f ( Z ) per > 0 è utile valutare innanitutto la sua funione di distribuione F ( ) Z, esaminando separatamente i due casi considerati di seguito. Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 009 McGraw-Hill

8 Caso : si assume 0. Per determinare FZ è utile considerare la Figura riportata di seguito. y y x xy x Da questa figura si evince facilmente che { } { } FZ Pr Z Pr XY, Y / X area della regione ombreggiata Caso : si assume >. Come nel caso precedente, per determinare FZ è utile fornire una rappresentaione grafica dell evento di cui si deve calcolare la probabilità (vedi la Figura seguente). Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 009 McGraw-Hill

9 y y x P xy x Da questa figura si evince facilmente che FZ { Z } { XY Y X } Pr Pr, / area della regione ombreggiata Calcolando, quindi, la derivata prima di FZ, si ricava la densità di probabilità 0 per < 0 fz / per 0 (/ ) per > 8 Soluione dell eserciio 8.6 Definiamo, per comodità, gli eventi A { x+ x xn 5} e B { x+ x x n > 5} ed osserviamo che la loro interseione è rappresentata dall evento { x + x x 5, x n n } Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 009 McGraw-Hill

10 Notiamo, inoltre, che gli eventi { } e { } x+ x xn x n sono mutuamente indipendenti in quanto di riferiscono a variabili aleatorie diverse ed indipendenti per ipotesi. Risulta, quindi, { AB} { x+ x + + xn xn } Pr { x + x x 5} Pr{ x } Pr Pr... 5, n n Risulta, inoltre, e Pr{ x n } n Pr { x+ x +... xn 5} 5 n 5 5 ( n ) 5 n se n 5 (cioè se n 6 ), e { } Pr x+ x +... xn 5 0 altrimenti. Pertanto, si ha che n n se n 6 Pr { AB} 5 0altrimenti 9 Soluione dell eserciio 8.7 Con semplici consideraioni geometriche si può dimostrare che lo spostamento è espresso dal prodotto S d Z ove X Z Y Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 009 McGraw-Hill

11 è una variabile aleatoria che può assumere valori non negativi. Se determiniamo, quindi, la densità di probabilità fz della variabile aleatoria Z, possiamo ricavare la densità f S () s di S, utiliando il teorema fondamentale relativo alla trasformaione di una variabile aleatoria. Per ricavare fz, determiniamo prima la funione di distribuione F ( Z ), che è data da X FZ Pr{ Z } Pr Y Assumendo sia X che Y valori non negativi, possiamo allora scrivere che { } F Pr X Y Z x+ + x 0 y x/ f ( x) f ( y) dxdy Quindi, sostituendo le espressioni delle densità di probabilità di X e di Y nell integrale dell ultima relaione, si ottiene che x y x y + x+ + x+ η η η η FZ e e dydx e e dx y η X x 0 y x/ x 0 y x/ x+ x y x x + + η η η e e d e dx η x η x 0 x 0 + x + η e espressione valida per > 0, assumendo Z valori non negative. Si ha, quindi, che FZ u [ ] u [ ] + + espressione da cui si deduce che d fz FZ u[ ] d ( + ) Infine, essendo S d Z, si può scrivere che s fs() s fz d d Risulta, dunque, Y Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 009 McGraw-Hill

12 G. Bacci e F. Zuccardi Merli Teoria dei segnali d fs () s u[] s u[] s d s ( d + s) + d 0 Soluione dell eserciio 8.8 La funione di distribuione condiionata FZ/ A( Z/ A) è espressa dalla relaione Pr { Z A, } FZ/ A( Z / A) Pr{ A} Per valutarla occorre determinare, quindi, le probabilità Pr { Z A, } e Pr{ A }. Per quanto riguarda il calcolo di Pr{ A }, osserviamo che, nel piano cartesiano x y, l evento A individua la regione ombreggiata che viene rappresentata nella Figura riportata di seguito. Essendo X ed Y variabili aleatorie indipendenti ed uniformemente distribuite nell intervallo [0,], la loro densità di probabilità congiunta assume valore unitario sul quadrato [ 0,] [0,] ed è nulla altrove. Pertanto, risulta Pr{ A } y x + y x + y x Per quanto riguarda il calcolo di P{ Z, A} di seguito., occorre distinguere i quattro casi analiati Caso : si assume. Allora, risulta (vedi la Figura precedente) Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 009 McGraw-Hill

13 essendo { Z A, } un evento impossibile. { Z A} Pr, 0 Caso : si assume < 0. In tal caso l evento { Z A, } ombreggiata della Figura seguente. Risulta, quindi, individua la regione { } P Z, A Area della regione ombreggiata + ( + ) ( + ) 4 y + P, x Caso 3: si assume 0. In tal caso l evento ombreggiata della Figura seguente. Si ha, quindi, che < { Z A, } { A} P Z, Area della regione ombreggiata ( ) individua la regione Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 009 McGraw-Hill

14 y + P, x Caso 4: si assume >. In tal caso, l evento { Z A, } coincide con A e, quindi, si ha che Pr { Z, A} Pr{ A} I risultati acquisiti nei 4 casi esaminati permettono di scrivere che 0 ( + ) - < 0 F Z/ A( Z / A) ( + ) 0 < > espressione dalla quale si ottiene, infine, che 0 d + < 0 fz/ A( Z / A) FZ/ A( Z/ A) d 0 < 0 > Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 009 McGraw-Hill