RIDUZIONE DEI DIAGRAMMI A BLOCCHI

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1 RIDUZIONE DEI DIARAMMI A LOCCHI Nei controlli automatici spesso il legame fra due variabili viene indicato con un blocco. Ad esempio nella figura seguente si vuole intendere che la variabile (t) è dipendente dalla variabile (t). (t) (t) Se il legame tra tali grandee è lineare, tempoinvariante e statico, ossia espresso da un guadagno, il blocco è puramente algebrico, e istante per istante vale la relaione e il blocco viene indicato come in figura. = Nel seguito supponiamo per semplicità di notaione di avere a che fare con sistemi (e quindi blocchi) statici. Vedremo poi che, anche se il sistema in oggetto è dinamico, qualora esso sia lineare e staionario (ossia sia modellato da una equaione differeniale lineare a coefficienti costanti) allora valgono ancora le consideraioni che faremo nel seguito per sistemi statici, purché si sostituisca al guadagno la funione di trasferimento (s) calcolata con il metodo della trasformata di Laplace. In generale in un sistema complesso oltre alle variabili ai morsetti (ingresso e uscita) vi sono diverse altre grandee, correlate fra loro da un certo numero di relaioni. Pertanto il sistema può essere rappresentato mediante uno schema formato da molti blocchi, legati fra loro, ciascuno dei quali rappresenta un legame semplice fra due grandee. Si parla quindi in generale di sistema interconnesso. Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 1

2 Esaminiamo ora una serie di regole che consentono di trasformare uno schema a blocchi in un nuovo diagramma equivalente al primo ma più semplice e compatto. 1) locchi in parallelo 1 1 Le relaioni espresse nello schema sono: 1 = 1 = = 1 Considerando simultaneamente le equaioni si ha: = 1 =( 1 )=, con = 1 Perciò lo schema di partena si può trasformare in uno più semplice: 1 Si conclude che il parallelo di due o più blocchi è equivalente ad un unico blocco il cui guadagno è pari alla somma algebrica (secondo i segni riportati sul sommatore che realia il parallelo) dei guadagni dei blocchi componenti. Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente

3 ) locchi in cascata o serie Consideriamo lo schema 1 Si ha: = = 1 quindi il diagramma equivalente è: 1 Si conclude che la serie o cascata di due o più blocchi è equivalente ad un unico blocco il cui guadagno è pari al prodotto dei guadagni dei blocchi componenti. ) Scambio di giunioni sommanti Lo schema: w indica l operaione: =()w Per la proprietà associativa e commutativa si ha: =w=(w)=(w) quindi il diagramma precedente è equivalente ai tre schemi seguenti. Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente

4 w w w Si conclude che l ordine di due o più blocchi sommatori consecutivi in un sistema interconnesso è ininfluente. Inoltre due o più blocchi sommatori consecutivi possono essere ridotti ad un unico blocco sommatore. 4) Spostamento di un punto di prelievo a monte di un blocco Lo schema: è evidentemente equivalente al diagramma: Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 4

5 5) Spostamento di un punto di prelievo a valle di un blocco Lo schema: descrive la relaione = ossia = e quindi equivale al diagramma: 1/ Si conclude che è possibile spostare un punto di prelievo da valle a monte o da monte a valle di un blocco purché tale blocco venga opportunamente raddoppiato. Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 5

6 6) Spostamento di una giunione sommante a valle di un blocco Lo schema: descrive la relaione =()= e quindi equivale al diagramma: 7) Spostamento di una giunione sommante a monte di un blocco Lo schema: descrive la relaione ==( ) Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 6

7 e quindi equivale al diagramma: 1 Si conclude che è possibile spostare un sommatore da valle a monte o da monte a valle di un blocco purché tale blocco venga opportunamente raddoppiato. 8) Spostamento di un punto di prelievo a monte di una giunione sommante Lo schema: equivale a 9) Spostamento di un punto di prelievo a valle di una giunione sommante Lo schema: equivale a Si conclude che è possibile spostare un punto di prelievo da valle a monte o da monte a valle di un sommatore purché tale sommatore venga opportunamente raddoppiato. Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 7

8 10) Riduione di un anello in retroaione negativa Lo schema: ramo diretto ingresso e uscita H ramo di retroaione esprime le relaioni: =e, e==h quindi =H, ossia = 1 H e in definitiva lo schema equivalente è il seguente: 1 H 11) Riduione di un anello in retroaione positiva Sia lo schema analogo al precedente, ma con retroaione positiva: Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 8

9 ramo diretto ingresso e uscita H ramo di retroaione Ragionando come nel caso precedente si ha: =H, ossia = 1 H e in definitiva lo schema equivalente è il seguente: 1 H 1) Riduione di un anello in retroaione unitaria (negativa o positiva) Consideriamo ora due schemi analoghi a quelli visti nei precedenti punti 10) e 11), ma con retroaione unitaria: ramo diretto ramo diretto ingresso e uscita ingresso e uscita ramo di retroaione ramo di retroaione Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 9

10 Evidentemente nel caso dello schema in retroaione negativa è sufficiente applicare la formula vista al punto 10) per H=1: = 1 mentre per lo schema in retroaione positiva è sufficiente applicare la formula vista al punto 11) per H=1: = 1 e in definitiva gli schemi equivalenti sono i seguenti: 1 1 In conclusione, nel generico schema in retroaione il guadagno in anello chiuso vale 0 = 1 ± H ovvero è dato dal rapporto del guadagno del ramo diretto (dato dal prodotto di tutti i guadagni dei sistemi eventualmente presenti in serie su tale ramo) e, se la retroaione è negativa (positiva), del risultato tra la somma (differena) dell unità e del guadagno di anello (dato dal prodotto del guadagno del ramo diretto e del guadagno del ramo di retroaione, ovvero dal prodotto di tutti i guadagni dei sistemi presenti in cascata nell intero anello). Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 10

11 ESERCIZI Esempio 1. Si riduca ad un unico blocco il seguente diagramma. 1 4 H 1 H Effettuando la cascata tra 1 e 4 ed il parallelo tra e si ha il seguente diagramma equivalente. 1 4 H 1 H Risolvendo l anello interno si ha: H1 H Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 11

12 Risolvendo la cascata nel ramo diretto si ha ora: 1 4( ) 1 1 4H1 H E in definitiva, risolvendo l anello si ottiene il seguente blocco equivalente: dove 1 4( ) 1 1 4H = ( ) H 1 1 4H1 1 4( ) = 1 1 4H1 1 4( )H Esempio. Si riduca ad un unico blocco il seguente diagramma. 4 A C 1 H Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 1

13 Mentre nell eserciio precedente le diverse connessioni presenti erano facilmente individuabili, in questo caso si osserva che non è così. In particolare, è chiaro che sono presenti due rami di retroaione negativa, corrispondenti ai sommatori A e, i quali tuttavia non si succedono nell ordine corretto (infatti per poter risolvere più anelli questi dovrebbero essere uno dentro l altro). Per districare tali connessioni è sufficiente spostare la posiione di uno di tali sommatori rispetto a quella del blocco avente guadagno : è dunque necessario spostare il sommatore a monte di tale blocco oppure il sommatore A a valle dello stesso blocco, raddoppiando in modo opportuno quest ultimo. Nel seguito seguiamo la prima possibilità, ma la seconda fornisce evidentemente gli stessi risultati. 4 A C 1 H/. A questo punto è possibile eliminare la serie tra e e invertire la posiione dei sommatori A e. 4 A C 1 H/ Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 1

14 È ora possibile risolvere agevolmente l anello più interno. Si ottiene così il diagramma seguente. Anche in questo caso i sommatori e C, corrispondenti alla presena di una retroaione negativa e di un parallelo, non sono nell ordine corretto per risolvere almeno uno di tali collegamenti. Per districare queste due connessioni è ora sufficiente spostare la posiione di uno di tali sommatori rispetto a quella del blocco ottenuto riducendo il precedente anello: è dunque necessario spostare il sommatore a valle di tale blocco oppure il sommatore C a monte dello stesso blocco, raddoppiando in modo opportuno quest ultimo. Nel seguito seguiamo la prima possibilità, ma la seconda fornisce evidentemente gli stessi risultati C H/ C H 1 Invertiamo quindi la posiione dei due sommatori, ottenendo il diagramma che segue. Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 14

15 Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 15 Risolviamo quindi il parallelo e la retroaione (con ramo diretto avente guadagno unitario). In ultimo, eseguiamo una serie. Si ottiene un unico blocco di guadagno come in figura dove si ha = H H H C

16 Esempio. Si riduca ad un sistema a blocchi semplificato il seguente diagramma. d r A 1 H 1 H Si osserva che in questo caso sono presenti due ingressi (il riferimento vero e proprio r(t) e un disturbo d(t)). Pertanto il sistema equivalente semplificato non può essere composto da un unico blocco SISO come negli esercii precedenti. Osserviamo poi che è necessario spostare la posiione del sommatore a monte del guadagno e quindi invertire la posiione del sommatore A con quella del sommatore per poter risolvere l anello più interno. Spostando il sommatore si ha il seguente schema. d / r 1 A H 1 H Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 16

17 Risolvendo l anello che contiene la cascata di e sul ramo diretto e H 1 sul ramo in retroaione si ha lo schema successivo. d r C 1 4 H dove 4 = 1 H1 Si ottiene una situaione simile a quella risolta in precedena, con due sommatori intervallati da un blocco. Spostando quindi il sommatore a monte del guadagno 1 e invertendo la posiione di tale sommatore con quella del primo sommatore C si ha il nuovo diagramma che segue. d 1 r C 1 4 H Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 17

18 Risolvendo l anello che contiene la cascata di 1 e 4 sul ramo diretto e H sul ramo in retroaione si ha lo schema seguente. d 1 r 5 dove H1 1 = = = 1 1 4H 1 1 H1 1 H 1 H 1 H1 e in definitiva lo schema più semplice è il seguente d d r r dove 1 r = 5 = ; 5 d = = 1 H1 1H 1 1 H 1 H 1 Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 18

19 Quindi l espressione dell uscita del sistema (t) rispetto ai due ingressi r(t) (ingresso vero e proprio o variabile manipolabile) e d(t) (disturbo o variabile non manipolabile) è la seguente: 1 (t) = rr(t) dd(t) = r(t) d(t) = 1 H 1 H 1 1 H 1 H 1 1 r(t) d(t) = 1 H1 1H Si osservi che l espressione (t) = rr(t) dd(t) esprime il principio di sovrapposiione degli effetti per il sistema interconnesso complessivo. Tale principio vale infatti poiché il sistema completo è lineare essendolo tutti i sistemi elementari che lo compongono. Si ha in altre parole: (t) = r(t) d(t) = 0 d(t) r(t) = 0 dove la prima componente dell uscita r (t) è dovuta al solo ingresso r(t) e la seconda componente dell uscita d (t) è dovuta al solo ingresso d(t). Essendo il sistema statico, vale: r(t) = rr(t), d(t) = dd(t) dove r e d sono i guadagni precedentemente calcolati. Nel seguito risolviamo lo stesso eserciio applicando un metodo alternativo che fa uso del principio della sovrapposiione degli effetti. In altre parole, sulla base del ragionamento precedente è sufficiente determinare i guadagni statici incogniti r e d. Per determinare r, ovvero la componente dell uscita r (t) dovuta al solo ingresso r(t), si pone d(t)=0. Il sistema equivalente per d=0 diventa il seguente. Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 19

20 r 1 r H 1 H Effettuando la serie tra e e risolvendo l anello interno si ha dunque: r 1 1 H1 r H Applicando ancora la serie e risolvendo l anello si ha il blocco equivalente cercato r r r con r 1 1 H1 1 = = 1 1 H 1 H 1 1 H 1 H1 che coincide con il guadagno già determinato con il primo metodo. Per determinare d ovvero la componente dell uscita d (t) dovuta al solo disturbo d(t) si pone r(t)=0. Il sistema diventa il seguente. Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 0

21 d A d H 1 1 H Ed effettuando il parallelo dei due rami in retroaione si ha d d (H 1 1 H ) Effettuando la serie sul ramo in retroaione e spostando il segno negativo del blocco ottenuto in tale ramo sul sommatore si ha: d d (H 1 1 H ) Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 1

22 Risolvendo l anello e applicando la serie si ha un blocco equivalente d d d con d = = 1 (H 1 1 H ) 1 H 1 1 H che coincide con quanto già determinato con il primo metodo. Questo secondo metodo di soluione si conclude applicando il principio della sovrapposiione degli effetti, per cui dove e in definitiva il sistema diventa = (t) r(t) d(t) = 0 d(t) r(t) = 0 r(t) = rr(t), d(t) = dd(t) (t) = rr(t) dd(t) = 1 = r(t) d(t) = 1 H 1 H 1 1 H 1 H 1 1 r(t) d(t) = 1 H 1 H 1 quindi il sistema equivalente complessivo è quello già trovato con il primo metodo e rappresentato in figura. Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente

23 d d r r Esempio 4. Utiliando le regole di equivalena degli schemi a blocchi, si determini il guadagno in anello chiuso del sistema seguente. A C 1 Invertiamo innanitutto i sommatori A e (in modo da evideniare la connessione parallelo) e riportiamo a monte del blocco il sommatore C (per riportare all esterno della retroaione introdotta con il sommatore A quella introdotta dal sommatore C). A C 1 1/ Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente

24 A questo punto risolviamo il parallelo, invertiamo i sommatori A e C e risolviamo la serie. C A 1 1 1/ Possiamo ora o risolvere prima la retroaione più interna e poi quella esterna o, più semplicemente, osservare che i due rami di retroaione sono in parallelo. Il sistema diventa quindi / Risolviamo quindi la retroaione e moltiplichiamo per il primo blocco in serie. Otteniamo il seguente sistema equivalente dove Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 4

25 ( 1 1) ( ) = ( 1 1) = Esempio 5. Utiliando le regole di equivalena degli schemi a blocchi, si determini il guadagno in anello chiuso del sistema A 1 C Invertiamo innanitutto i sommatori e C in modo da evideniare la connessione parallelo. A 1 C 1 Risolviamo il parallelo e osserviamo che i punti di prelievo 1 e prelevano lo stesso segnale (l uscita del sistema). Pertanto il sistema è equivalente al seguente diagramma a blocchi. Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 5

26 A 1 1 A questo punto possiamo risolvere la retroaione più interna Risolviamo quindi la retroaione, ottenendo il seguente sistema equivalente dove ( ) ( 1 1) ( 1 1) = = = ( 1 1) 1 ( 1 1) 1 ( 1 1 ) 1 1. Copright 011 Mariagraia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduione e la distribuione del presente 6