Corso di Laurea in Fisica Unipi G.M.P. Appunti di Fisica _I Primo semestre. Forze conservative

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1 ppunti di Fisica _I Primo semestre Novenmbre 20 Cap.3.v Sommario Fore conservative Il poteniale...2 Conservaione dell'energia...2 Il poteniale e la fora...3 Il poteniale nel campo gravitaionale costante...4 Fore conservative Consideriamo un mobile in un campo di fore F(x,y,) che dipende solo dal punto. Immaginiamo che il mobile si sposti dal punto al punto lungo una traiettoria S. Ecco il lavoro delle fore del campo per muovere il mobile da a lungo il cammino S 0) S F x, y, d s=l, Nota: nel seguito per non appesantire la notaione, le variabili di punto,, O, P individuano le tre coordinate del punto. Per esempio P =(x P,y P, P ) etc. Il lavoro lungo la stessa traiettoria S percorsa in senso inverso da a è L(,)=- L(,) e si capisce perchè il valore dell'integrale dipende dal senso di ds. Supponiamo inoltre che il lavoro calcolato lungo un'altra traiettoria, S 2, che va sempre da a sia ancora L(,). Cioè supponiamo che il lavoro (affermaione ) non dipenda dalla traiettoria : Come conseguena, ne deriva che (affermaione 2) il lavoro lungo una traittoria chiusa è nullo. La dimostraione è banale: si consideri la traiettoria chiusa costituita dai cammini S e S 2 e si calcoli il lavoro partendo da verso su S e poi da ad su S 2. L(,)= L s (,) +L s2 (,)=0 poiché il lavoro non dipende dalla traiettoria, ma il segno dipende dalla direione di percorrena! Prendiamo ora un punto di riferimento O e andiamo con partena proprio da O in, poi in e poi ritorniamo in O. La traiettoria è chiusa, e pertanto il lavoro totale è nullo! L(O,) +L(,) +L(,O)=0 ovvero L(,) = L(O,) -L(O,) o che possiamo anche scrivere come

2 ) F x, y, d s=l, =L O, L O, che ci ricorda tanto la definiione di funione primitiva, cioè (affermaione 3) esiste una funione F(P) = L(O,P)+C (C costante arbitraria) tale che l'integrale curvilineo tra due punti P e P 2 della funione F è proprio, secondo la regola dell'integrale finito, la differena della funione primitiva calcolata in P 2 meno il valore calcolato in P. Nota "O" lo dimentico poiché è arbitrario ed il risultato, come si può facilmente dimostrare non cambia al cambiare di O!. Il poteniale 2) P 2 F x, y, d s= P 2 P e' una funione primitiva P definiamo energia poteniale U P = P La funione U è una primitiva della funione F(P) che esiste proprio perché ( un teorema di matematica che abbiamo praticamente dimostrato!) l'integrale curvilineo di F ( o il lavoro ) su un circuito chiuso è nullo. La funione U che ha solo il segno cambiato rispetto a Φ si chiama energia poteniale del campo di fore F ( o più semplicemente il poteniale del campo di fore F). Ri_notiamo attentamente che il poteniale è definito a meno di una costante, infatti coincide, a parte il segno, con una funione primitiva Φ(P). Variando O in O' la funione primitiva varia di una costante, esattamente pari al lavoro L(O,O') fatto dalle fore del campo per andare da O a O'.! Con i chiarimenti e definiioni di sopra è facile scoprire che il lavoro delle fore del campo fatto da a è L(,)=Φ()-Φ() = U()-U() e ovviamente quello fatto da ad è L(,)= U()-U() di segno contrario a quello di prima. Nota: il poteniale U è una forma di energia e come tale si misura in Joule esattamente come il lavoro o la energia cinetica. Conservaione dell'energia Dal teorema delle fore vive, equaione 2, segue 2) F d s=l, =U U = 2 mv 2 2 mv 2 U 2 mv 2 =U 2 mv 2 2

3 ovvero, vista l'arbitrarietà di e possiamo concludere che la quantità E = U + /2 mv 2 (detta Energia Meccanica totale) è costante per tutto il moto. Quindi la quantità energia cinetica più energia poteniale è una costante del moto per i campi di fora in cui è possibile definire una funione poteniale, ovvero esiste una funione primitiva del lavoro differeniale elementare. I campi di fora che ammettono un poteniale sono detti campi conservativi. Seconda nota: le affermaioni,2,3 del paragrafo precedente sono equivalenti e basta una di esse per stabilire che una fora posiionale è anche conservativa. Il poteniale e la fora Immaginiamo adesso di conoscere il poteniale a priori: quanto vale la fora in un punto P? Il lavoro elementare fatto da una fora per un trattino s= ( s x, s y, s ) a partire dal punto P si può esplicitamente scrivere 3) F s=f x s x F y s y F s = L P, P s =U P U P s nell'ultimo termine ho scritto esplicitamente il vettore P per indicare il lavoro elementare fatto tra il punto P e il punto spostato di s. D'altra parte il lavoro tra due punti si può esprimere come differena del poteniale calcolato in P e in P+ s. Scegliamo una versore a ed immaginiamo di fare uno spostamento (in modulo) s in quella direione. La 3 diventa. 4) F a s=u P U P a s = U P a s U P che dividendo per s, al limite, coincide con la componente della fora proiettata nella direione del versore a, e cioè F.a Supponiamo allora di scegliere uno spostamento s parallelo all'asse x, cioè x; la 4) si riduce a 5) F x x=u x P, y P, P U x P x, y P, P dividendo i due membri per x e passando al limite per x tendente a ero. 6) Nota il segno meno! U x F x =lim P, y P, P U x P x, y P, P x 0 = U x x 3

4 Da cui : la componente x della fora è uguale alla derivata pariale del poteniale rispetto ad x cambiata di segno, e cosi' via per le altre componenti. Il segno meno deriva dalla definiione di poteniale, vedi 2). Nota: Derivata pariale vuol semplicemente dire che nel caso di una funione a più variabili la derivata rispetto ad una variabile corrisponde alla derivata rispetto a quella variabile mantenendo costanti tutte le altre. Naturalmente se il poteniale dipende da una sola variabile, allora la derivata pariale coincide con la derivata totale rispetto a quella variabile. Come ultimo corollario di quanto sin qui detto ecco un nuovo utile formalismo 7) F d s= U x ds x U y ds y U ds = U d s U x, y, con U U = x, U y, U finalmente F = U dove il simbolo (nabla) è chiamato l'operatore gradiente e trasforma la funione scalare U in un vettore, le cui tre componenti sono, le tre derivate pariali rispetto alle coordinate. Essenialmente sono le tre componenti, a meno del segno, delle fora. In conclusione anche se il poteniale è definito a meno di una costante, poco importa visto che ci serve solo la differena tra due punti o la sua derivata prima! Il poteniale nel campo gravitaionale costante Vediamo adesso il problema di un grave che cade dalla torre. Il campo di fore -mg è costante e sempre nella direione dell'asse che immaginiamo puntare verso l'alto. Il potenialo lo possiamo ricavare in due modi: ) Calcoliamo il lavoro per spostare un grave di massa m dal livello ero ad una altea 8) 0 m g d s= mg d=0 mg=l 0, =U 0 U 0 da cui U =mg il poteiale 4

5 2) o semplicemente ci domandiamo se esiste una funione di che derivata rispetto a e cambiata di segno ci fornisce la fora in applicata sul nostro grave: Ovviamente nel nostro caso esiste ed è V () = mg + Cost. la costante la fissiamo a ero se vogliamo che il poteniale sia nullo al livello ero. bbiamo il poteniale, quindi il sistema è conservativo, cioè l'energia poteniale più quella cinetica si conserva durante tutto il moto. Possiamo immediatamente scrivere la seguente relaione, 8) 2 mv 2 mg=e 0 Dove la costante E 0 dipende evidentemente dalle condiioni iniiali. Ebbene il nostro grave è iniialmente fermo sulla cima della torre, cioè a h=60 m; la sua energia poteniale è data semplicemente da E 0 = mgh. Se lo lascio cadere la sua energia poteniale diminuisce a scapito della energia cinetica e quando arriva al suolo, dove l'energia poteniale è nulla avremo 9) come già avevamo trovato. 2 mv 2 =E 0 =mgh da cui v= 2gh 5