Esercizi di Analisi Matematica L-B

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1 Esercii di Analisi Matematica L-B Marco Alessandrini Gennaio-Maro 7 Indice Funioni di più variabili reali. Calcolo differeniale Ricerca di massimi e minimi Ricerca di massimi e minimi, anche vincolati Integrali curvilinei. Integrali di campi vettoriali Integrali multipli 5. Integrali tripli Integrali tripli in coordinate cilindriche Funioni di più variabili reali. Calcolo differeniale Derivare la funione g(t) f( t, t), definita tramite f : R R, f(x, y) x y. x(t) t Le componenti di f sono y(t) t. Se si esplicita g(t): g(t) ( t ) t t 4 t g (t) 4t t altrimenti, con la regola della catena: fx (x, y) x f y (x, y) y fx ( t, t) t f y ( t, t) t e Allora: x (t) t y (t) g (t) ( t, t), ( t, ) 4t t. Ricerca di massimi e minimi Determinare i punti critici della funione f : R R, f(x, y) log(x x + y ). Il dominio della funione è D (x, y) R x x + y > }. f x x x + y ( x ) x f y x x + y y y I candidati sono P (, ) e P (, ). Per P : x x + y > > x ± y

2 che è vero, dunque P appartiene al dominio. P invece non appartiene al dominio, perché + > è falso. Dunque l unico candidato è (, ) in esso calcolo le derivate seconde pariali. f xx 6x(x x + y ) ( x )( x ) (x x + y ) x4 6xy 9 (x x + y ) f xx (, ) 4 da cui l hessiana è: f yy (x x + y ) y y (x x + y ) f yy (, ) f xy y(x x ) (x x + y ) f xy (, ) H(, ) ( ) per cui, studiando i minori principali, quello di ordine è negativo e H(, ) < : quindi la matrice è indefinita, e (, ) è punto di sella.. Ricerca di massimi e minimi, anche vincolati Determinare i punti critici della funione: f : R R, f(x, y, ) x + y 4x y Calcolo le derivate pariali: f x x 4 f y y f 4x y x y x y 8 x y 6 6 quindi i candidati sono (,, ) e (, 6, 6). Dopo aver calcolato le derivate seconde pariali costruisco le matrici hessiane, una per ciascun punto candidato: 4 4 H(,, ), H(, 6, 6) 4 4 Studiando i minori principali: l hessiana del punto (,, ) è indefinita (l ordine dei minori è, 4, -48), quindi il punto è di sella l hessiana del punto (, 6, 6) è definita positiva (l ordine dei minori è, 4, 48), quindi il punto è di minimo. Determinare i punti di massimo e minimo della funione: f : A R R, f(x, y) x + xy xy A (x, y) R x y } Calcolo le derivate pariali: fx x + y y f y xy x x + y y x(y ) x x y y x x y y x + y x ± quindi i candidati sono (, ), (, ) (punti di frontiera, che quindi non considero perché l annullamento del gradiente mi consente di studiare i soli punti interni se, alla fine, saranno punti critici, ciò verrà ugualmente

3 ( ) ( ) scoperto studiando la frontiera al passo successivo),, e, (punti interni). A questi bisogna aggiungere (poiché il dominio è un quadrato definito da A) i quattro vertici e i punti ricavati dalla varietà, definita come unione delle 4 varietà costituenti i lati del quadrato. Nei punti interni calcolo f(x, y): f ( ), ( ) e f 7, 7 Vista la semplicità delle equaioni della frontiera, invece di applicare i moltiplicatori di Lagrange si riduce la funione f(x, y) a funione di una sola variabile (una funione per ogni lato di frontiera) per ognuna di queste si applica la condiione necessaria di punto di massimo o di minimo, cioè si pone la derivata uguale a. Sul lato di ascissa x : f(, y) y + y f (, y) y + y quindi nel punto f(, ) la funione di questo lato ha un massimo o un minimo (o un flesso a tangente oriontale, visto è che funione di una sola variabile). Sulla ascissa x : f(, y) + y y f (, y) y y quindi nel punto f(, ) la funione di questo lato ha un massimo o un minimo (o un flesso a tangente oriontale). Sull ordinata y : f(x, ) x f (x, ) x x quindi nel punto f(, ) (che avevamo già trovato prima) la funione di questo lato ha un massimo o un minimo (o un flesso a tangente oriontale). Sull ordinata y : f(x, ) x f (x, ) x x quindi nel punto f(, ) (che avevamo già trovato prima) la funione di questo lato ha un massimo o un minimo (o un flesso a tangente oriontale). Nei quattro vertici del quadrato: f(, ) f(, ) f(, ) f(, ) Visto che i vertici assumono valori superiori o inferiori a tutti gli altri, tra essi ci sono i minimi e i massimi. Ciò consente di risparmiarci la verifica sui punti critici di ogni lato (sono presenti un massimo, un minimo e due flessi) e di dichiarare i punti (, ) e (, ) massimi relativi, mentre (, ) e (, ) sono minimi relativi. Integrali curvilinei. Integrali di campi vettoriali Determinare l integrale di lavoro F ds, relativo alla poligonale orientata ABC di cui sono fornite le coordinate dei punti, della funione F (x, y). F (x, y) ( log( + y ) y ) x, x + y A (, ), : B (4, ) C (4, 4)

4 Il dominio è x >. Se il campo è esatto, allora esiste l integrale di lavoro calcolabile come differena di poteniale agli estremi di integraione: allora verifico (tramite le derivate pariali miste) se il campo ha poteniale. F y F x x + y y? y + y x che è falso, dunque il campo non è esatto. Calcoliamo l integrale di lavoro con la definiione. Scomponendo la curva in due parti ottengo +, AB, BC. Parametriando: Allora, separatamente: F ds (t) (t, ), t 4 e (t) (4, t), t 4 F ds Per concludere, poiché (t) (t) log() t dt log (t) (t) t ( log( + ), t) (, ) dt t + dt log [ t ( log( + t ), ] 4 t + t log ) (, ) dt t + t dt [ log( + t ) ] 4 log 7 log F ds F ds + F ds: F ds log + log 7 log log + log 7 log 4 Dato il campo F (x, y), dopo aver determinato se è esatto sul dominio assegnato H calcolarne F ds sulla poligonale ABC dell eserciio precedente. ( ) F (x, y) y +, x (y + ), H x R, y > } Se il campo è chiuso, allora è esatto. Con le derivate pariali: F y F x? (y + ) (y + ) che è vero, dunque il campo è esatto e possiamo calcolare il lavoro come differena di poteniale tra i due punti estremi. È necessario trovare un poteniale generico. U x F e U y F Usando la prima relaione, che è più semplice da integrare: U F dx y + dx y + x + h(y) che è l espressione incompleta di U. Derivandola, e confrontandola con F si ricava h(y) con cui definire completamente il poteniale: du dy x (y + ) + h (y)? x (y + ) h (y) h(y) dy + c c da cui U y + x + c Il lavoro tra i punti (, ) e (4, 4) è: F ds U(4, 4) U(, ) 5 4 4

5 Integrali multipli. Integrali tripli Determinare l integrale (x + y + ) dxdyd, in cui il dominio di integraione I è il cubo di lato unitario. I I (x, y, ) x, y, } Col metodo di Cavalieri, tutte le funioni sono costanti, quindi: [ y + y + y [ x ] (x + y + ) dxdyd ] + xy + x dyd ( d + ) + d ( ) + y + dyd [ + ] +. Integrali tripli in coordinate cilindriche x Dato il dominio di integraione A, integrare x + y dxdyd. A (x, y, ) x, y,, x + y } A + La forma del dominio si presta alla conversione in coordinate cilindriche. x r cos ϑ y r sin ϑ Visto che x e y, allora: cos ϑ sin ϑ Le condiione su si scrivono come: ϑ π r r Allora, ricordando che passando da coordinate cartesiane a polari si ha dxdyd r drddϑ: π π r cos ϑ r r drddϑ cos ϑ [ π r ] ddϑ cos ϑ π cos ϑ 6 dϑ 6 π ( ) ddϑ r cos ϑ drddϑ π [sin ϑ] π 6 ( ) 6 [ ] cos ϑ dϑ 5