Forze Conserva,ve S 1 S 2

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1 Forze Conserva,ve Teorema: Il lavoro svolto da una forza conservativa non dipende dal percorso. Muovendoci da P a Q lungo il cammino 1 o lungo il cammino 2 avremo sempre: w PQ,1 = w PQ,2 (ipotesi) S 1 S 2 Q Ma il lavoro fatto durante l andata più il lavoro fatto durante il ritorno deve essere nullo w PQ,1 + w QP,2 = 0 ovvero w PQ,1 = -w QP,2 e sostituendo il valore di w PQ,1 nell ipotesi avremo che -w QP,2 = w PQ,2 (conseguenza) P Una forza è conservativa quando il lavoro svolto lungo un cammino chiuso è nullo. Il lavoro dipende solo dalle posizioni iniziale e finale.

2 Forze non conserva,ve Le forze sono non conservative quando il lavoro fatto lungo un cammino chiuso è diverso da zero: Attrito Nel caso (b) l attrito compie lavoro sia se va da P a Q lungo il tragitto 1, sia se si va da Q a P lungo il tragitto 2. Quindi la forza d attrito è una forza non conservativa. w w PQ,1 PQ,1 = µ mg s + w QP,2 1 w = µ mg QP,2 ( s s ) 0 1 = µ mg s 2 2 S 1 Q S 2 P

3 Conservazione dell energia e del momento angolare

4 Energia potenziale Si chiama Energia potenziale, l Energia associata alla configurazione di un sistema di corpi Un bilanciere sospeso o una molla compressa sono esempi di energia potenziale L energia che ha il bilanciere di figura (b) sta nella sua ipotesi di caduta La modifica del sistema terra-bilanciere o la modifica della distanza fra le spire è dovuta all applicazione di una qualche forza L energia potenziale è l energia di un sistema di più corpi

5 Energia Potenziale e Forze conserva,ve Porre una tegola su un soffitto o comprimere una molla aumentano la loro energia potenziale. In entrambi i casi si modifica la configurazione del sistema. Sia la forza di gravità, che la forza elastica, devono fare un lavoro negativo per dare alla palla e alla molla più energia potenziale, scriveremo quindi che la variazione di energia potenziale è pari al lavoro fatto: ΔU = - w Si fa un lavoro w 1 per variare la configurazione del sistema e si fa lavoro w 2 per ripristinarla. Ovviamente w 1 = w 2 se la forza che ha fatto il lavoro è una forza conservativa.

6 L energia meccanica (energia cine,ca più energia potenziale) Se le forze sono conservative, l energia meccanica si conserva, quindi: Em = T + U Abbiamo visto che un lavoro w causa una variazione dell energia potenziale ΔU, la quale può trasformarsi in variazione di ΔT, ΔT = - ΔU ΔT + ΔU = 0 Δ(T+ U) = 0 T + U = cost In un sistema isolato l energia meccanica si conserva mg mg w g = F g. ds = mgh h

7 Forze conserva,ve: Il pendolo Un pendolo ideale è formato da un filo inestensibile e da una massa puntiforme. Il pendolo trasforma la sua energia potenziale datagli dallo spostamento che lo ha portato ad una quota h in energia cinetica e poi di nuovo in energia potenziale. Il processo durerebbe all infinito se non ci fossero attriti e altre resistenze vincolari. In un sistema isolato la variazione dell energia meccanica è nulla

8 Forza derivata da un potenziale Dalla relazione base che definisce il lavoro abbiamo: dw = F(x) dx E dalla relazione che lega il lavoro con la variazione dell energia potenziale sappiamo che dw = - du(x) Quindi una forza si può ricavare dalla derivata del potenziale con il segno cambiato F(x) = - du(x)/dx Esempi: 1) U(x) = ½ kx 2 (potenziale elastico) 2) U(y) = mgy (potenziale gravitazionale) Se il potenziale ha una forma analitica, la forza è individuata calcolando l opposto della derivata del potenziale 1) F(x) = - d(½ kx 2 )/dx = - kx 2) F(y) = - d(mgy)/dy = - mg

9 Curve dell energia potenziale Se la forma del potenziale non è una funzione semplice possiamo trovare l espressione della forza facendo uno studio di funzione. Più esattamente la forza avrà la forma della derivata della funzione potenziale cambiata di segno. Ricordando che, l energia meccanica è E mecc = U(x) + E k conoscendo l energia potenziale nel punto 0 cioè U(0) quando la E k è nulla, potremo conoscere la velocità in ogni punto della curva potenziale. In quali punti l accelerazione è: positiva, negativa, massima, zero?

10 Conservazione del momento angolare Le grandezze fisiche che si conservano rivestono un ruolo importante perché permettono di prevedere la dinamica dei moti a seguito di eventi significativi. τ tot = dl/dt. Se il momento delle forze è nullo e il sistema è isolato, L sarà costante; cioè L f = L i. La natura vettoriale di L implica la conservazione lungo tutte e tre le direzioni dello spazio

11 Conservazione del momento angolare L è l equivalente rotazionale della quan,tà di moto p, ovvero è l equivalente del prodoco massa per velocità; potremo pertanto scrivere Iω f = Iω i mr f2 ω f = mr i2 ω i. Nell esempio 1: Contraendo le braccia, I si è ridoco perché r f si è ridoca (la distribuzione media della massa si è ridoca). Per la conservazione di L, se I si riduce, ω deve aumentare. Nell esempio 2: Il satellite è un sistema isolato e per cambiare direzione basta aumentare o diminuire la velocità angolare dei volani.

12 Ancora sulla conservazione di L Nella figura è riportato uno studente seduto su uno sgabello girevole fermo. In mano, ha un volano in movimento dotato di momento angolare L. Se lo studente ruota di 180 l asse del volano lo sgabello e lo studente inizieranno a ruotare. Il cambiamento di direzione imposto al volano determina che il momento angolare dello sgabello più lo studente dovrà essere: L vi = - L vf + 2L. Cosa sarebbe successo se il volano avesse avuto originariamente un momento angolare orizzontale?