1. Il tema per i corsi PNI

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1 I temi della simulaione della prova di Matematica AS 6/7: un primo commento a cura del rof Fabriio Monari Il tema per i corsi NI ROBLEMA E assegnata la funione definita da a studiarne il grafico f b sia un numero reale non nullo Si indichi con M il punto di ascissa sulla curva C che rappresenta il grafico della funione f e il punto di uguale ascissa sulla retta di equaione Calcolare φ M Determinare i limiti lim φ e lim φ, interpretando geometricamente i risultati ottenuti c determinare l area della regione finita di piano definita dalla condiione f g' f d sia g la funione definita da : determinare l espressione analitica di g g e tracciarne il grafico e dallo studio di g dedurre che l equaione g ha una e una sola soluione α compresa fra e, e stabilire una approssimaione di α con una cifra decimale esatta f successivamente, si scriva un programma, codificato in un linguaggio di programmaione n a scelta, che calcoli α con una approssimaione di con n prefissato I tratta di un testo abbastana lineare, che presenta caratteristiche standard Vediamo i vari punti a Si tratta di una ordinaria iperbole, non equilatera, di asintoti ed La semplicità della funione si intuiva pensando in termini di : è una equaione del tipo p,, con p, polinomio di secondo grado Il grafico Non presenta flessi presenta un massimo in e un minimo in b Questo quesito accompagna lo studente verso il riconoscimento della retta di equaione come asintoto della funione I limiti richiesti esistono, sono finiti e valgono c Si tratta di eseguire un ordinario integrale definito si ottiene ln d La funione richiesta è g ln attenione al valore assoluto! Il grafico è piuttosto interessante: presenta un asintoto verticale e un flesso a tangente oriontale per, ed è priva di massimi e minimi La funione e decrescente in ] [ e crescente in ] [ e Essendo continua su ] [ e su ] [, e considerato che g ln è un numero negativo, mentre

2 I temi della simulaione della prova di Matematica AS 6/7: commento al NI a cura di Fabriio Monari g ln è un numero positivo, si può applicare, nell intervallo [,], un noto teorema f Il programma citato è presente in molti testi, e la sua struttura potrebbe essere di questo tipo: program corde uses crt var a,b,:real function f:real:real f:ep- function erocordap,q:real:real erocorda:fp*q-fq*p/fp-fq *dalle cordinate dei due punti ottengo lo ero della corda che li unisce:vedi allegato word* procedure writeln'intervallo tra ',a::5,' e ',b::5 writeln'l''equaione della corda che unisce i punti con queste ascisse è approssimativamente: ',fb-fa/b-a::6,' ',-fb-fa/b-a*afa::6,'' writeln readln :ferocordaa,b *studio la della funione f corrispondente allo ero della corda* if abs< then writeln'lo ero della funione è circa ',erocordaa,b::5 if <- then a:erocordaa,b if > then b:erocordaa,b clrscr a: b: readln end ag /5

3 I temi della simulaione della prova di Matematica AS 6/7: commento al NI a cura di Fabriio Monari ROBLEMA Sulla circonferena di diametro AB r si consideri un punto sia M la proieione di sulla retta perpendicolare in B ad AB a Determinare per quale posiione di sulla circonferena è massima la misura Γ del volume V del solido generato dal trapeio AMB in una rotaione completa intorno a BM b Determinare per quale posiione di sulla circonferena è massima la misura Γ del volume V del solido generato dal trapeio AMB in una rotaione completa intorno ad AB c Dimostrare che Γ è maggiore di Γ Il secondo problema appariva almeno dal punto di vista testuale più compatto In realtà, nascondeva alcune insidie Si poteva, in primo luogo, adottare come incognita sia un angolo che un segmento: ci metteremo nella prima ipotesi Quindi AB : le limitaioni sono ovvie ma esseniali, come in tutti i problemi di massimo e di minimo Ora, ricavare A r cos H r cos sin AH r cos HB r sin è piuttosto semplice Tuttavia, se usiamo queste scritture, l apparato algebrico diventa davvero pesante e difficilmente gestibile Trattandosi di una simulaione, si è voluto avvertire dell opportunità di riflettere bene, prima di avviare i trattamenti algebrici In effetti, riscriviamo le formule precedenti utiliando in maniera opportuna le formule di duplicaione cos cos sin cos sin cos sin le prime due derivano da cos cos sin : si ha una sorta di abbassamento di grado, in virtù del quale il volume richiesto prende la forma: V π π r sin r cos r sin r cos che, con un po di paiena raccoglimenti, soprattutto!!, diventa cos V πr sin Da qui in avanti, lo studio del massimo e del minimo della funione non riserva difficoltà Il volume dell altro solido citato nel problema si calcola nello stesso modo er il tero quesito, è bene ricordare ancora le formula di duplicaione Serviranno ag /5

4 I temi della simulaione della prova di Matematica AS 6/7: commento al NI a cura di Fabriio Monari I quesiti per i corsi NI Q Si tratta di costruire il grafico di una funione in base ad un insieme di condiioni assegnate: il risultato è un oggetto orribile, dotato di un asintoto oriontale, un asintoto verticale, quattro eri e, udite udite, un flesso a tangente verticale andiamo a fare un ripassino? cosa accade alla derivata prima?, un punto di massimo in cui la funione non risulta derivabile Q Applicando De l Hôpital, si ha immediatamente il limite richiesto / Bisogna tuttavia conoscere un teorema importante riguardo a funioni del tipo F f t dt Q In primo luogo, affinché si possa parlare di affinità, occorre che k sia diverso da Dopo aver ricavato k occorre interpretare bene tale risultato Non è possibile ricavare k in una equaione e sostituirla nell altra Facendo variare k anche sostituendo alcuni valori numerici si riconosce come il sistema precedente descriva i punti di una retta quale? Il luogo richiesto è dunque una retta, privata di un punto Q Derivando la funione rispetto a t, ed imponendo che per t 6 la derivata prima sia nulla, si ha k 6 si tenga presente che il testo cita esplicitamente k positivo Si tratta solo di applicare bene le regole di derivaione Q5 Si può utiliare la prima equaione per ricavare t ln In corrispondena di quale t e istante t il punto coincide con A? solo per t Gli intervalli in cui t e t essa risulta invertibile sono ] [ e ] [ Detta g la funione inversa, si ha g ' e f ' e Q6 L equaione può anche essere interpretata in termini di, di notevole evidena grafica Altrimenti, si può ragionare sulla funione, far vedere che è continua nell intervallo richiesto, e che le condiioni per l applicaione del noto teorema sono verificate Si può quindi applicare biseione, o uno qualsiasi dei metodi studiati Q7 Si iniia osservando vedi figura accanto che DBC e BCD sono complementari er la similitudine richiesta, anche DCE è complementare di DBC a ag /5

5 I temi della simulaione della prova di Matematica AS 6/7: commento al NI a cura di Fabriio Monari ag 5/5 Q8 Sono i quattro punti che si ottengono risolvendo il sistema L equaione g f equivale a g f Q9 Il determinante della matrice completa si annulla per k k er tutti i valori di k diversi dai due segnalati, il sistema è di Cramer e quindi ha una sola soluione, da calcolare con un po di paiena er k, esso diventa : alla luce del Teorema di Rouché Capelli, esso ha infinite soluioni della forma er k, esso diventa : tale sistema è privo di soluioni Q Le palline bianche, in tutto, sono 5: visto che 5 sono di vetro, 9 saranno di plastica Fra le 5 palline di vetro, solo 7 saranno nere: il totale delle palline nere è quindi di 5 Si tratta ora di applicare lo schema della probabilità composta / N V N V N Da notare la / N V : la probabilità di estrarre una pallina di vetro non è infatti indipendente dal fatto che essa sia bianca o nera