PROVA SCRITTA DI CONTROLLO DIGITALE A.A. 2006/ giugno 2007

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1 PROVA SCRITTA DI CONTROLLO DIGITALE A.A. 2006/ giugno 2007 TESTO E SOLUZIONE IMPORTANTE: PARTE1 + PARTE2 costituiscono la prova scritta completa, mentre gli esercii della sola PARTE2 formano la seconda prova in itinere.

2 Eserciio 1 (PARTE 1) Si consideri il sistema dinamico lineare, staionario, a tempo discreto descritto dalla seguente funione di trasferimento ( ) G() = K , K R Domanda G() Figura 1: sistema in semplice ciclo di retroaione Si analii la stabilità del sistema descritto da G(), chiuso in semplice ciclo di retroaione come rappresentato in figura, al variare del parametro K R, facendo uso del criterio di Jury. Soluione L equaione caratteristica di ciclo chiuso per il sistema di Figura 1 è pari a 2 ( K) + ( K) = 0 Dato che l equaione considerata è del secondo grado, basta applicare le condiioni preliminari del criterio di Jury 1 In sostana si devono analiare le condiioni p(1) > 0 ( 1) 2 p( 1) > 0 1 > K dove si è indicato con p() il polinomio caratteristico oggetto di studio. Le condiioni appena elencate permettono di arrivare al sistema di disequaioni K > 0 K < < K < K < 1 L intervallo di valori appena determinato per K garantisce la stabilità asintotica per il sistema. Non rimane che analiare il comportamento per i valori di K agli estremi dell intervallo - per K = 0 p() = = 0 1 = 1, 2 = quindi in tal caso il sistema è soltanto semplicemente stabile. 1 Si ricordi che in questo caso (in generale per un equaione del secondo grado) la tabella di Jury si ridurrebbe ad una sola riga, dalla quale si otterrebbe una condiione già imposta dalle 3 condiioni preliminari.

3 - per K = p() = = 0 1, 2 = ± j , 1, 2 = 1 quindi anche in tal caso il sistema è semplicemente stabile. Riassumendo, l analisi ha determinato che al variare del parametro K si può avere stabilità asintotica per 0 < K < ; stabilità semplice per K = 0 e per K = ; instabilità altrove.

4 Eserciio 2 (PARTE 1) Si consideri il sistema a tempo discreto descritto dalle equaioni di stato x 1 (k + 1) = x 2 (k) x 2 (k + 1) = x 3 (k) x 3 (k + 1) = 0.5x 1 (k) 0.1x 2 (k) 0.2x 3 (k) + u(k) y(k) = x 1 (k) + 2x 2 (k) + x 3 (k) k N Domanda 2.1 Determinare, se possibile, gli stati e le uscite di equilibrio corrispondenti all ingresso costante ū = 9. Soluione All equilibrio si ha x 1 = x 2 x 2 = x 3 x 3 = 0.5 x x x 3 + ū ȳ = x x 2 + x 3 Risolvendo il sistema di equaioni appena determinato si trova un solo stato di equilibrio e conseguentemente una sola uscita d equilibrio x 1 = 5 x 2 = 5 x 3 = 5 ȳ = 20 Domanda 2.2 Analiare la stabilità degli stati d equilibrio determinati nella risposta alla domanda 2.1. Che cosa si può dire a proposito della stabilità del sistema? Soluione Il sistema è lineare e tempo invariante: questo significa che la stabilità (o l instabilità) è una proprietà del sistema e non dei singoli stati d equilibrio. Per analiare la stabilità del sistema è sufficiente analiare gli autovalori della matrice A delle equaioni di stato: Il polinomio caratteristico del sistema è A = p(λ) = det (λi A) = λ λ λ + 0.5

5 Per verificare la stabilità o meno del sistema è necessario stabilire se le radici di p(λ) abbiano tutte modulo inferiore all unità oppure no. Non essendo facilmente fattoriabile il polinomio p(λ) risulta opportuno utiliare il criterio di Jury per analiare la stabilità del sistema. Criterio di Jury Le condiioni preliminari sono verificate, come si vede facilmente p(1) > 0 = > 0 ( 1) 3 p( 1) > 0 = < < 1 La determinaione della tabella di Jury porta a costruire una tabella di 3 righe 2 Ora, poiché risulta > 0 allora tutte le radici del polinomio p(λ) hanno modulo inferiore all unità. In definitiva il sistema è asintoticamente stabile e quindi lo stato d equilibrio ottenuto come risposta alla precedente domanda 2.1 risulta asintoticamente stabile. 2 In generale le righe sono 2 n 3, dove n è il grado del polinomio da analiare.

6 Eserciio 3 (PARTE 1) Si consideri ancora il sistema dinamico descritto dalle equaioni di stato x 1 (k + 1) = x 2 (k) x 2 (k + 1) = x 3 (k) x 3 (k + 1) = 0.5x 1 (k) 0.1x 2 (k) 0.2x 3 (k) + u(k) y(k) = x 1 (k) + 2x 2 (k) + x 3 (k) k N Domanda 3.1. Determinare l espressione analitica completa della risposta y(k) del sistema, a partire da condiioni iniiali 1 x(0) = 2 2 quando l ingresso u(k) è dato da u(k) = 3.6 1(k), k N Soluione In termini di Z trasformata l espressione della soluione cercata vale Y () = C (I A) 1 x(0) + C (I A) 1 B U() dove A, B, C sono le matrici delle equaioni di stato del sistema, U() è la Z trasformata del segnale d ingresso. Il polinomio caratteristico del sistema è dato da det (I A) = = () mentre è ( I A) = ( I A) 1 = 1 () In definitiva si arriva alle seguenti espressioni per la risposta libera Y l () e la risposta forata Y f (): Y l () = ( ) Y f () = 36 ( + 1) 2 ( ) ( 1) Ora non rimane che antitrasformare le espressioni appena determinate. Per quanto riguarda il polinomio p() = si possono trovare 3 le radici approssimate = , 2, ± j Per esempio applicando il noto metodo di biseione.

7 così da poter scrivere p() = ( ) ( j 0.72) ( 0.31 j 0.72) Antitrasformata della risposta libera Tramite lo sviluppo in fratti semplici dell espressione Y l() si arriva all espressione Y l () Conviene ricordare le Z trasformate notevoli x(k) = a k sin (ω k) 1(k) X() = x(k) = a k cos (ω k) 1(k) X() = e riscrivere l espressione di Y l () nel modo seguente Y l () [ cos(1.16) cos(1.16) a sin ω 2 2a cos ω + a 2 2 a cos ω 2 2a cos ω + a 2 ] 0.78 sin(1.16) cos(1.16) Antitrasformata della risposta forata In maniera analoga a quanto fatto per la risposta libera si ottiene l espansione in fratti semplici per la risposta forata Y f () Sfruttando anche stavolta le espressioni delle trasformate notevoli richiamate in precedena, si arriva all espressione [ Y f () ] 0.78 cos(1.16) cos(1.16) sin(1.16) cos(1.16) In definitiva, antitrasformando ora termine a termine le due espressioni, si arriva a { [ ] } y l (k) ( 0.82) k (0.78) k (cos 1.16k sin 1.16k) 1(k) { [ ]} y f (k) ( 0.82) k (0.78) k (cos 1.16k sin 1.16k) 1(k) L espressione analitica della risposta del sistema cercata è quindi la seguente: { } y(k) ( 0.82) k (0.78) k [ 0.98 cos(1.16k) sin(1.16k)] 1(k) Commenti Si noti come la soluione trovata (anche se approssimata) permette di calcolare correttamente il valore di regime della risposta stessa 4 e che tale valore corrisponde all uscita d equilibrio ottenibile applicando l ingresso costante prescelto 5. Ad ulteriore prova della bontá dell approssimaione ottenuta nella determinaione della risposta del sistema nelle condiioni assegnate, nella figura 2 é riportato il confronto tra l evoluione della risposta esatta del sistema (determinata per via numerica tramite il software Matlab ) e l evoluione della risposta approssimata ottenuta in precedena. 4 Essendo un sistema asintoticamente stabile al quale viene applicato un ingresso a gradino, certamente a regime l uscita assumerá valore costante. Perché? 5 Perché?

8 risposta esatta risposta approssimata Figura 2: Confronto tra risposta esatta del sistema (in blu) e risposta approssimata (in rosso).

9 Eserciio 4 (PARTE 1) Si consideri lo schema a blocchi raffigurato nella figura seguente d(k) r(k) + B() + + y(k) A() C() Figura 3: schema a blocchi dove si ha A() = , B() = 0.01, C() = Domanda 4.1. Determinare il guadagno statico della funione di trasferimento diretta, di ciclo aperto, tra l ingresso r(k) e l uscita y(k) e successivamente il guadagno statico della funione di trasferimento di ciclo chiuso, sempre tra l ingresso r(k) e l uscita y(k). Soluione L espressione della FdT diretta, di ciclo aperto è pari a: L r, y () = B() A() = (2 + 1) ( )(3 1) mentre la funione di trasferimento di ciclo chiuso è data da F r, y () = Per il guadagno statico si trova nei due casi: B() A() 1 + B() A() C() = (2 + 1) FdT diretta, ciclo aperto: µ L = lim 1 L r, y () = FdT di ciclo chiuso: µ F = lim 1 F r, y () = Domanda 4.2. Sfruttando la risposta alla domanda 4.1, si supponga che il segnale d ingresso r(k) sia uno scalino unitario; si chiede di determinare il valore di regime della risposta y(k) del sistema descritto dalla FdT diretta, di ciclo aperto, tra r(k) e y(k); determinare il valore di regime della risposta y(k) del sistema a ciclo chiuso. Soluione Poiché il guadagno statico è il medesimo nei due casi considerati, il valore di regime nella risposta allo scalino unitario sarà identico nelle due situaioni di ciclo chiuso e di ciclo aperto. Infatti L r, y () = y = F r, y () = y =