SOLUZIONE della Prova TIPO F per:

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1 SOLUZIONE della Prova TIPO F per: Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti): 6 dei 10 esercizi numerici (nell effettiva prova d esame verranno selezionati a priori dal docente) + domande a risposta multipla (v. ultime due pagine) Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (6 crediti) / CONTROLLI AUTOMATICI : tutti i 10 esercizi numerici (escluse le domande a risposta multipla nelle ultime 2 pagine) ESERCIZIO 1. Si consideri il seguente circuito elettrico passivo: Applicando le leggi di Kirchhoff e le formule di base dei componenti RLC, si ottiene il seguente modello matematico: Si determini il corrispondente modello dinamico nello spazio degli stati, del tipo: considerando le ovvie scelte per stato e ingresso, mentre l uscita sia fissata.

2 Le equazioni fornite sono già predisposte per una immediata riscrittura in forma compatibile con la definizione delle matrici di sistema A, B, C, D: Dalle quali risulta appunto: e poiché y = x 1, l uscita non dipende dall ingresso (D = 0, sistema puramente dinamico) e la matrice di dimensione 1x3 che estrae la prima variabile dal vettore di stato è: ESERCIZIO 2. Dato il modello ottenuto nell Esercizio 1, si sostituiscano i seguenti valori per i parametri fisici: R = 2; C 1 = 0,25; C 2 = 0,5; L = 0,25; e si verifichi se il sistema sia o meno completamente osservabile, calcolando la matrice di osservabilità ed il relativo rango. Con i parameri fissati, la matrice A (la matrice B non interessa ai fini dell analisi di osservabilità) diventa:

3 Pertanto la matrice di osservabilità è: rango(q T ) = 1 Perciò il sistema E / NON E completamente osservabile. ESERCIZIO 3. Per il sistema con i valori numerici indicati nell Esercizio 2, si progetti un osservatore in catena chiusa dello stato (osservatore identità), cioè del tipo: i cui autovalori assegnabili risultino tutti reali ed uguali tra loro (se quelli assegnabili sono più di uno), con un tempo di assestamento (al 5%) di 0,1 secondi. La matrice K dell osservatore deve essere di dimensione 3x1, cioè K = [k 1 k 2 k 3 ] T, pertanto la matrice dell osservatore con i coefficienti incogniti di K risulta: Di conseguenza, il polinomio caratteristico dell osservatore risulta: Si noti che prima di espandere i prodotti tra i termini, si può raccogliere polinomio di primo grado dipendente da k 1 ed uno di secondo grado NON dipendente dai coefficienti di K:

4 Da questo si deduce che vi è un solo autovalore assegnabile, condizione dovuta al rango della matrice di osservabilità pari a 1. Il valore di tale autovalore (soluzione di p (λ) = 0) è esattamente k 1 2. NOTA: allo stesso risultato si poteva arrivare anche osservando la struttura triangolare a blocchi della matrice dell osservatore: dalla quale si deduce che gli autovalori della matrice sono quelli del blocco 1x1 in alto a sinistra (i.e. k 1 2, appunto) e del blocco 2x2 in basso a destra. Affinchè l autovalore assegnabile abbia tempo di assestamento 0,1 secondi, è necessario che esso sia pari a 30 (T a = 3 / λ = 0,1 λ = 3 / 0,1 ) e quindi k 1 =28. Poiché gli altri due parametri della matrice K sono ininfluenti, possono assumere un valore arbitrario, e la soluzione finale è: K = [ 28 arbitrario arbitrario] ESERCIZIO 4. Si calcoli la risposta impulsiva del sistema descritto dal seguente modello matematico ingressouscita nel dominio del tempo: La risposta impulsiva del sistema è l antitrasformata di Laplace della funzione di trasferimento ingressouscita. Quest ultima, può essere ottenuta in modo molto semplice dalla trasformata di Laplace del modello matematico fornito, ricordando il teorema della trasformata di Laplace per la derivata di un segnale: Da cui si ottiene:

5 la cui antitrasformata è il risultato immediato: ESERCIZIO 5. Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi: + + si determini l intervallo di valori di K tali per cui il sistema ad anello chiuso risulti essere ASINTOTICAMENTE STABILE. Il denominatore del sistema ad anello chiuso, ottenuto risolvendo la retroazione tra il blocco dipendente da K e il parallelo di 2/(s+1) con un ramo unitario negativo, risulta: s s 2 + (1 3 K) s + 3 K Applicando a quest ultimo il criterio di Routh si ottiene la condizione: 0 < K < 1/2 ESERCIZIO 6. Si determini la funzione di trasferimento del seguente schema a blocchi: u A B + C y D E F

6 Y / U = (A + D) ( B C ) / ( 1 + C F + B C E F) Lo schema è equivalente al seguente, ottenuto scambiando di ordine i due nodi sommatori dopo il blocco A e spostando la diramazione che precede il blocco E a monte di F: + w + u y u A + D B C E F F I due anelli di retroazione presenti possono essere ridotti in successione, a partire da quello più interno (per il quale risulta y / w = C / (1 + CF)). ESERCIZIO 7. Si tracci l andamento qualitativo del luogo delle radici per un sistema in retroazione la cui funzione di trasferimento d anello abbia poli (x) e zeri (o) come indicato in figura: K > 0 K < 0 N.B.: polo con molteplicità doppia! K > 0 K < 0 N.B.: polo con molteplicità doppia!

7 ESERCIZIO 8. Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi: si calcoli il valore di p per il quale il sistema chiuso in retroazione risulti avere tempo di assestamento pari a 0,3 secondi. Il denominatore della funzione di trasferimento ad anello chiuso risulta: il cui termine di primo grado corrisponde al termine del tipico denominatore di un sistema del secondo ordine. Ricordando che per tale tipo di sistema il tempo di assestamento è:, dal vincolo di progetto si ottiene: = 20 = 10 + p da cui: p = 10 NOTA: il coefficiente costante del polinomio, cioè il quadrato della pulsazione naturale, non è associato ad alcun vincolo. ESERCIZIO 9. Si calcoli la risposta y(t) del sistema avente funzione di trasferimento ed al quale è applicato un ingresso a gradino unitario (trasformata di Laplace u(s) = 1/s): Applicando il metodo della scomposizione in fratti semplici alla funzione ottenuta da

8 Y(s) = G(s) U(s), avente poli in 0 (dalla funzione del gradino in ingresso), 3 e 4 (poli di G(s)), si ottiene: y(t) = 2 e 3t e 4t ESERCIZIO 10. Dato il seguente diagramma di Bode delle ampiezze: si determinino le incognite della corrispondente funzione di trasferimento, supposta a fase minima: K = 20 a = 1/2 (punto di rottura a pulsazione = 2) m a = 2 b = 1/300 (punto di rottura a pulsazione = 300) n b = 1

9 TEST A RISPOSTA MULTIPLA DOMANDA 1. La stabilità di un sistema lineare e stazionario: Ο È funzione delle condizioni iniziali di un sistema Ο È funzione del valore degli ingressi Ο È funzione del valore dei disturbi X È funzione degli autovalori del sistema DOMANDA 2. L ingresso u(t) e l uscita y(t) di un sistema sono legati dalla relazione Tale sistema: Ο ha una funzione di trasferimento pari a G(s) = Y(s) / U(s) = s X ha una funzione di trasferimento pari a G(s) = Y(s) / U(s) = 1 / s Ο ha una funzione di trasferimento pari a G(s) = Y(s) / U(s) = 1 / (s+1) X è puramente dinamico NOTA: Il modello del sistema in questione equivale ad un modello nello spazio degli stati con:. Riconducendo questo modello a quello di un generico modello nello spazio degli stati, si può notare come le matrici (di dimensione 1x1) del sistema siano A=0, B=1,C=1 e D=0. Pertanto, il sistema è puramente dinamico e la corrispondente funzione di trasferimento è G(s) = C(sIA) 1 B = 1/s. DOMANDA 3. La matrice di trasferimento del sistema dinamico lineare, stazionario e tempo continuo: è data da: Ο X Ο Ο DOMANDA 4. Il luogo delle radici di una funzione di trasferimento di anello avente n poli e m zeri, con n > m, presenta almeno un asintoto reale: X Ο quando K > 0 (luogo diretto) e n m è dispari quando K > 0 (luogo diretto) e n m è pari

10 X X quando K < 0 (luogo inverso) e n m è dispari quando K < 0 (luogo inverso) e n m è pari NOTA: Se n > m il luogo delle radici presenta sempre almeno un asintoto. Nel caso in cui sia K < 0 il primo asintoto ha sempre un angolo nullo rispetto all asse reale, pertanto coincide con il semiasse reale positivo. Se invece K < 0 ed n m è dispari, sempre in base alla regola sugli angoli degli asintoti, uno degli asintoti avrà angolo π rispetto all asse reale, pertanto coinciderà con il semiasse reale negativo. DOMANDA 5. Sia F(s) una funzione razionale fratta nella variabile di Laplace s. La scomposizione in fratti semplici mediante il metodo dei residui, cioè: nella quale i valori p i sono i poli (tutti distinti) di F(s), n è il grado di D(s), m è il grado di N(s) e: Ο è sempre possibile Ο è possibile solo se la funzione F(s) è propria (m n ) X è possibile solo se la funzione F(s) è strettamente propria (m < n) Ο è sempre impossibile DOMANDA 6. Il criterio di Routh per lo studio di stabilità di un sistema retroazionato: X è un criterio necessario e sufficiente Ο è un criterio solo sufficiente Ο si applica solo a sistemi ad anello aperto che siano stabili Ο è un metodo basato sull approssimazione DOMANDA 7. Posto 0 < b < a, il sistema avente la funzione di trasferimento: risulta essere: Ο una rete anticipatrice a guadagno statico (i.e. G(0)) unitario Ο una rete anticipatrice a guadagno statico (i.e. G(0)) non unitario Ο una rete ritardatrice a guadagno statico (i.e. G(0)) unitario X una rete ritardatrice a guadagno statico (i.e. G(0)) non unitario DOMANDA 8. Il sistema avente la seguente funzione di trasferimento:

11 può essere reso asintoticamente stabile con uno schema ad anello chiuso che includa: Ο un regolatore P Ο un regolatore PI X un regolatore PD Ο un filtro passabasso del primo ordine NOTA: La G(s) in questione ha due poli nell origine, perciò la sua risposta armonica (diagramma di Bode) ha fase = 180 per ogni pulsazione. Ciò significa che per qualsiasi valore di K il Margine di Fase sarà nullo ed il sistema chiuso in retroazione marginalmente (i.e. semplicemente) stabile. Per ottenere un Margine di Fase positivo e quindi la stabilità asintotica è necessario un regolatore che introduca un anticipo di fase, cioè una rete anticipatrice o equivalentemente un regolatore PD.