SOLUZIONE della Prova TIPO B per:

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1 SOLUZIONE della Prova TIPO B per: Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti): 6 dei 10 esercizi numerici (nell effettiva prova d esame verranno selezionati a priori dal docente) domande a risposta multipla (v. ultime due pagine) Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (6 crediti) / CONTROLLI AUTOMATICI : tutti i 10 esercizi numerici (escluse le domande a risposta multipla nelle ultime 2 pagine) ESERCIZIO 1. Si consideri il sistema qui a fianco, costituito da tre serbatoi di liquido in cascata tra loro, al primo dei quali è applicato un flusso di liquido entrante manipolabile direttamente ed in ciascuno dei quali il flusso di liquido uscente è proporzionale al livello di liquido nel serbatoio stesso. Il modello dinamico di tale sistema si ottiene effettuando il bilancio di massa per ogni serbatoio, considerando che la massa contenuta nel serbatoio è data dal livello del liquido moltiplicata per l area della sezione orizzontale del serbatoio stesso e per la densità del fluido, mentre la variazione nel tempo di tale massa è data dalla differenza tra il flusso entrante e quello uscente. Indicando (per l i-esimo serbatoio) il prodotto di queste ultime quantità con P i, il livello del liquido con x i ed coefficiente del flusso in uscita con S i, le equazioni differenziali che descrivono il sistema, sono quindi le seguenti:

2 Si determini il corrispondente modello dinamico nello spazio degli stati, del tipo: fissando le ovvie scelte per stato e ingresso, considerando l uscita: Occorre dividere ciascuna equazione differenziale di partenza per il coefficiente della variabile derivata, cioè rispettivamente P 1, P 2 e P 3 per la prima, seconda e terza equazione. Riordinando opportunamente i termini nelle equazioni per evidenziare l ordine delle variabili di stato e uscita: si possono ricavare agevolmente i coefficienti delle matrici A e B richieste: Le matrici C e D si ottengono dall espressione dell uscita y = S 3 x 3 : poiché tale uscita non dipende dall ingresso D = 0 (sistema puramente dinamico) e la matrice di dimensione 1x3 che estrae la prima variabile dal vettore di stato è: ESERCIZIO 2. Dato il modello ottenuto nell Esercizio 1, si sostituiscano i seguenti valori per i parametri fisici: P 1 = 1; P 2 = 2; P 3 = 0,5; S 1 = 2; S 2 = 2; S 3 = 1;

3 e si verifichi se il sistema sia o meno completamente osservabile, calcolando la matrice di osservabilità ed il relativo rango. Le matrici del sistema diventano: Pertanto: rango(q T ) = 3 Perciò il sistema E / NON E completamente osservabile. ESERCIZIO 3. Per il sistema con i valori numerici indicati nell Esercizio 2, si progetti un osservatore in catena chiusa dello stato (osservatore identità), cioè del tipo: i cui autovalori assegnabili risultino tutti reali ed uguali tra loro (se quelli assegnabili sono più di uno), con un tempo di assestamento (al 5%) di 1 secondo. Poiché il sistema è completamente osservabile (v. Esercizio 2) è possibile assegnare arbitrariamente tutti e tre gli autovalori dell osservatore in catena chiusa. Gli autovalori desiderati sono determinali dalle specifiche dell esercizio ricordando che il tempo di assestamento al 5% del modo corrispondente ad un autovalore reale è: Pertanto, per avere T a = 1 ed autovalori tutti uguali tra loro: λ 1 = λ 2 = λ 3 = -3. Con tale scelta, il polinomio caratteristico desiderato per l osservatore deve essere:

4 La matrice K dell osservatore deve essere di dimensione 3x1, cioè K = [k 1 k 2 k 3 ] T, pertanto la matrice dell osservatore con i coefficienti incogniti di K risulta: Di conseguenza, il polinomio caratteristico dell osservatore risulta: Uguagliando tra loro i coefficienti dei termini di pari grado nel polinomio caratteristico desiderato e nel polinomio caratteristico dell osservatore si ottengono i 3 vincoli per determinare i 3 coefficienti incogniti di K: la cui soluzione finale è: K = [ -1/4-7/4-4 ] T ESERCIZIO 4. Si calcoli l antitrasformata di Laplace della seguente funzione: Applicando la scomposizione in fratti semplici secondo il metodo dei residui, cioè calcolando:

5 nella quale p i sono i poli (-3 e -5 in questo caso) di F(s), n è il grado di D(s) e: ed antitrasformando i fratti semplici così ottenuti, operazione di soluzione immediata ricordando che: si ottiene: f ( t ) = 4 e -3t 2 e -5t ESERCIZIO 5. Si determini la funzione di trasferimento del seguente schema a blocchi: C F u - B - E y A D Y / U = ( B / (1 B C ) A ) x (E / (1 E D )) x (1 F / E) Infatti, spostando a valle di E la diramazione entrante in F, si ottiene il seguente schema equivalente a quello di partenza:

6 u C - B - E F E y A D nel quale si può osservare che: - l anello che include B e C può essere direttamente ridotto alla relativa funzione di trasferimento - tale funzione d anello è in parallelo con il blocco A - L anello che include E e D può essere direttamente ridotto - L ultima parte del diagramma contiene un parallelo tra F/E ed un ramo con guadagno unitario NOTA: il risultato si può ottenere anche spostando a monte di E la diramazione entrante in D. ESERCIZIO 6. Dato lo schema a blocchi della seguente figura: - si calcoli il valore di K tale per cui risulti: qualora ad u sia applicato un gradino unitario:

7 Per lo schema a blocchi considerato è necessario applicare la formula dell errore a regime valida in generale per schemi con retroazione non unitaria e con ingresso di riferimento a gradino unitario. Tale formula, derivante dal teorema del valore finale per le trasformate di Laplace, è: Nel caso considerato: Pertanto: Dalla quale risulta, dopo opportune semplificazioni: K = 120 ESERCIZIO 7. Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi: - si disegni il corrispondente luogo delle radici valido per K > 0 (luogo diretto). NOTA: la funzione di trasferimento di anello ha uno zero (n z = 1) in 3 e tre poli (n p = 3) rispettivamente in -1, -2 e -5, pertanto il luogo ha due asintoti (numero asintoti = n p - n z = 2), disposti con angolo di π/2 e 3/2 π rispetto all asse reale. Il centro degli asintoti è il punto sull asse reale con coordinata: = -11/2

8 Im X X X O Re ESERCIZIO 8. Dato il sistema dal diagramma a blocchi dell Esercizio 7, si determini il valore di K > 0 per cui il sistema risulti semplicemente stabile. Il luogo delle radici disegnato in risposta all Esercizio 7 dimostra in effetti che superando un determinato valore di K il sistema in retroazione diventa instabile, con un polo reale (ramo singolo che tende verso lo zero in 3). Tale valore limite di K corrisponde appunto alla condizione in cui il sistema è semplicemente stabile (o marginalmente stabile). Applicando il criterio di Routh al polinomio a denominatore della funzione di trasferimento ad anello chiuso: si verifica che i due estremi dell intervallo di valori di K per cui il sistema in retroazione risulta stabile sono -126/11 e 10/3. Quest ultimo valore, essendo il primo escluso dal vincolo del testo, determina la risposta, cioè: K = 10/3

9 (refuso nel testo, copiato per errore dal testo dell Esame TIPO A : P 1,2 = valore NON richiesto) ESERCIZIO 9. Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi: - si determini il valore di K tale che il sistema ad anello chiuso risulti avere coefficiente di smorzamento = 0,5 = 1/2 Il denominatore del sistema ad anello chiuso risulta s 2 9 s 20 K Confrontando tale polinomio con il denominatore tipico dei sistemi del secondo ordine: si può notare che il coefficiente del termine di primo grado, corrispondente a 2 indipendente da K. Imporre = 0,5 = 1/2 significa che deve essere = 9. Il coefficiente costante è: 20 K = 2 = 81, sia quindi il risultato finale è: K = 61 ESERCIZIO 10. Dati i seguenti diagrammi di Bode delle ampiezze:

10 si determinino le corrispondenti funzioni di trasferimento G(s) e G c (s), supponendo che siano entrambe a fase minima: NOTA: il grafico tratteggiato è il diagramma di G c (s)*g(s), pertanto per ottenere la funzione di trasferimento di G c (s) è necessario determinare la funzione di trasferimento di G(s) dal grafico non tratteggiato, la funzione di trasferimento corrispondente al diagramma tratteggiato e poi moltiplicare quest ultima per l inversa di G(s), effettuando le opportune semplificazioni per ottenere G c (s) = [G c (s)*g(s)]*g c -1 (s):

11 TEST A RISPOSTA MULTIPLA DOMANDA 1. La matrice di transizione del sistema dinamico: risulta essere: Ο Ο X Ο 0 DOMANDA 2. Il polinomio minimo di un sistema dinamico lineare, stazionario e tempo continuo, è: Il sistema: Ο ha un modo instabile Ο potrebbe avere un modo instabile X ha un modo semplicemente stabile X ha due modi asintoticamente stabili DOMANDA 3. Una retroazione uscita-ingresso per un sistema dinamico, lineare e stazionario, permette di modificarne gli autovalori della parte: Ο controllabile, in modo arbitrario Ο controllabile e osservabile, in modo arbitrario X controllabile e osservabile, ma non in modo arbitrario Ο osservabile, ma non in modo arbitrario DOMANDA 4. Il moto libero di un sistema dinamico, lineare, stazionario, continuo e di ordine due, è del tipo: Il sistema considerato: Ο è completamente controllabile X può essere completamente controllabile X è asintoticamente stabile Ο è instabile NOTA: Non sono fornite indicazioni dal moto libero dei sistema in merito alla proprietà di controllabilità, pertanto può essere completamente controllabile (come non esserlo).

12 DOMANDA 5. Il tempo di assestamento (al /- 5%) del sistema avente la seguente funzione di trasferimento: risulta essere X T a = 1 Ο T a = 2 Ο T a = 3 Ο T a = 3/2 DOMANDA 6. Il valore a regime della risposta al gradino unitario (U(s) = 1 / s) della seguente funzione di trasferimento: Ο è infinito Ο è finito e vale 2 X è finito e vale 2/3 Ο è nullo NOTA: Il valore a regime della risposta al gradino della funzione di trasferimento è pari al valore di limite per s che tende a zero della funzione di trasferimento stessa. DOMANDA 7. Il tempo di salita T s della risposta al gradino di un sistema retroazionato è definito come: Ο il tempo necessario per raggiungere il 50% del valore finale Ο il tempo necessario per raggiungere il 90% del valore finale X il tempo necessario per passare dal 10% al 90% del valore finale Ο il tempo necessario perché l uscita rimanga entro il ±5% del valore finale DOMANDA 8. In una rete anticipatrice, all aumentare di ω da zero all infinito: Ο agisce prima il polo e poi lo zero X agisce prima lo zero e poi il polo X la fase è sempre positiva Ο la fase è sempre negativa