Controllo Digitale. Docente Prof. Francesco Amato

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1 Controllo Digitale Docente Prof. Francesco Amato 1

2 I vantaggi esibiti dai controllori digitali sono: Basso costo Flessibilità Possibilità di implementare leggi di controllo comunque complesse Integraione delle funionalità proprie di un sistema di controllo con funionalità di altra natura (supervisione, diagnostica, etc.) Il controllore digitale è in pratica un processore, cioè un sistema a tempo-discreto, che va interfacciato in modo opportuno con il processo da controllare. 2

3 Controllore digitale r e A/D e* u* D/A u y Processo Sistema a Tempo-continuo Sistema a Tempo-discreto Si evidenia l interaione tra sistemi a tempo-continuo e a tempo-discreto; per questo motivo si parla di sistemi di controllo ibridi. 3

4 Si può avere una descriione del processo complessivo Dal punto di vista continuo Dal punto di vista discreto Dunque lo studio dei sistemi di controllo digitale richiede la conoscena dei Sistemi a tempo-continuo (Fondamenti di Automatica + prima parte di questo corso) Sistemi a tempo-discreto (la seconda parte di questo corso) 4

5 I sistemi a tempo-discreto sono caratteriati dal fatto che la variabile temporale è intera invece che reale. Dunque ingresso e uscita sono sequene di numeri u ( ) N y( ) N e sono più semplicemente denotati con u() e y(). 5

6 Esempio 1 Si consideri il processo di ammortamento di un capitale C mediante rate semestrali. Per tale processo si può considerare come ingresso la rata da pagare semestralmente e come uscita il capitale restante da ammortare. Se si indica con i il tasso di interesse annuo si ha che il sistema è descritto dalla seguente equaione alle differene i y( ) 1 y( 1) u( ) 2 6

7 Esempio 2 Questo esempio evidenia come un algoritmo di calcolo possa essere visto come un sistema a tempo-discreto. Supponiamo di voler calcolare l integrale di una funione u(t) con il metodo dei trapei u(t) h t0 t 1 t 2 t 1 t t 7

8 Si può vedere l integraione della funione con il metodo dei trapei come un processo che alla sequena di ingresso u(t ) associa y(t ), dove u(t ) rappresenta il valore della funione all istante t y(t ) rappresenta il valore dell integrale da t 0 a t Si ha y t yt 1 u( t ) u( t 1) 2 h Ponendo t si ha y y 1 u( ) u( 2 1) h 8

9 Funione di trasferimento dei sistemi discreti la Z-trasformata La Z-trasformata gioca per i sistemi discreti lo stesso ruolo che la trasformata di Laplace gioca per i sistemi continui. Data una funione discreta f(), la trasformata Z di f() è definita come F ( ) Z f ( ) f ( ) 0 9

10 Principali proprietà della Z-trasformata Anticipo Z f ( 1) F ( ) f (0) Ritardo Z 1 f ( 1) F( ) 10

11 Teorema del valore finale lim f ( ) lim 1( 1) F( ) Teorema del valore iniiale f ( 0) lim F ( ) 11

12 Coppie di Z-trasformate di interesse Impulso ( ) 1 Gradino Potena 1( ) 1 12

13 13 Posto arctan 2 2 j e j Si ha 2 2 sen 2 2 cos 2 2 cos b a sen a b a

14 Modi di evoluione di un sistema LTI tempo-discreto: modi aperiodici 14

15 Modi di evoluione di un sistema LTI tempo-discreto: modi pseudoperiodici 15

16 Per trovare l antitrasformata di una data funione F() bisogna, al solito, effettuare uno sviluppo in fratti semplici e quindi antitrasformare ogni addendo utiliando le trasformate fondamentali viste prima. Si noti che, per quanto riguarda l antitrasformata di una data F(), nello svilupparla in fratti semplici conviene mettere in evidena una. 16

17 Funione di trasferimento U() W() Y f ()=W()U() La fdt di un sistema discreto è il rapporto tra la trasformata Z dell uscita e quella dell ingresso. W( ) Y( ) U( ) 17

18 Esercitaione Calcolare la risposta forata al gradino (risposta indiciale) per gli Esempi 1,2. 18

19 Eserciio Calcolare la risposta forata del sistema avente fdt W ( ) 2 1/ 3 3/ 4 1/ 8 per u()=sen(/6 ). 19