Strumenti matematici per l analisi dei sistemi tempo discreto LT-Cap. 2

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1 Controllo Digitale a.a Strumenti matematici per l analisi dei sistemi tempo discreto LT-Cap. 2 Ing. Federica Pascucci

2 Equazioni alle differenze (ricorsive) f legame tra le sequenze {e k } ed {u k } u k = f (e 0, e 1,..., e k ; u 0, u 1,..., u k 1 ) se f lineare, tempo invariante, a memoria finita u k = a 1 u k 1 a 2 u k 2 a n u k n + +b 0 e k + b 1 e k b m e k m si ottengono equazioni alle differenze ricorsive

3 Equazioni alle differenze Definiamo l operatore differenza u k = u k u k 1 2 u k = u k u k 1 3 u k = 2 u k 2 u k 1. n u k = n 1 u k n 1 u k 1 introducendo in un equazione alle ricorrenze l operatore u k si ottengono equazioni alle differenze.

4 Esempio ES. Riscrivere l equazione u k = a 1 u k 1 a 2 u k 2 + b 0 e k in termini di equazione alle differenze SOL. Si sostituiscono i termini u k, u k 1, u k 2 si ottiene u k = u k u k 1 = u k u k u k 2 = u k 2 u k + 2 u k a 2 2 u k (a 1 + 2a 2 ) u k + (a 2 + a 1 + 1)u k = b 0 e k

5 Soluzione di equazioni alle differenze Si consideri l equazione per k = 2, con u 0 = u 1 = 1 u k = u k 1 + u k 2 se si ipotizza una soluzione del tipo u k = cz k si ottiene cz k = cz k 1 + cz k 2 dividendo per cz k 1 = z 1 + z 2 da cui si ottiene il polinomio caratteristico z 2 z 1 1 = 0 Le radici (z 1, z 2 ) del polinomio formano la soluzione dell equazione alle differenze, (c 1, c 2 ) si trovano imponendo le condizioni iniziali u k = c 1 z k 1 + c 2z k 2

6 Trasformata Z

7 Definizione Sia data una sequenza di valori {x k } R, definita per k = 0, 1, 2,... e nulla per k < 0. La Z-trasformata (unilatera) della sequenza {x k } è la funzione di variabile complessa z definita come segue X(z) = Z[x k ] = = x 0 + x 1 z 1 + x 2 z x k z k + = = x k z k k=0 Se la sequenza x k è ottenuta campionando uniformemente con periodo T il segnale x(t) allora vale la notazione X(z) = Z[x(t)] = Z[x(kT )]

8 Osservazioni 1. Dominio di convergenza: zona esterna ad un cerchio di raggio R (raggio di convergenza) centrato nell origine 2. Z[x(t)] implica un tempo di campionamento T X(z) = Z[X(s)] = Z[L 1 [X(s)] t=kt ] 3. Le funzioni considerate qui saranno del tipo razionale fratto X(z) = b 0z m + b 1 z m b m z n + a 1 z n a n = = b 0z (n m) + b 1 z (n m+1) + + b m z n 1 + a 1 z a n z n

9 Proprietà della Z -trasformata Linearità Traslazione nel tempo Teorema del valor iniziale Teorema del valor finale

10 Linearità Dim. Siano date due sequenze f (kt ), g(kt ), con Z-trasformata F(z), G(z) rispettivamente, e due costanti a, b C, allora la sequenza x(kt ) ottenuta come ha Z-trasformata pari a x(kt ) = af (kt ) + bg(kt ) X(z) = af(z) + bg(z) X(z) k=0 x(kt )z k = = k=0 [af (kt )z k + bg(kt )z k ] = = a k=0 f (kt )z k + b k=0 g(kt )z k = = af(z) + bg(z)

11 Traslazione nel tempo Sia data la funzione x(t), nulla per t < 0, e sia X(z) la Z-trasformata della sequenza x(kt ), che si ottiene campionando x(t) con periodo T, allora Ritardo temporale Z[x(t nt )] = z n X(z) Anticipo temporale con n = 1, 2,... n 1 ] Z[x(t + nt )] = z [X(z) n x(kt )z k k=0

12 Ritardo temporale Dim. Sia data la funzione x(t), nulla per t < 0, e sia X(z) la Z-trasformata della sequenza x(kt ), che si ottiene campionando x(t) con periodo T, allora Z[x(t nt )] = z n X(z) Z[x(kT nt )] k=0 x(kt nt )z k = = z n k=0 x(kt nt )z (k n) = [si pone m = k n] = z n m= n x(mt )z m [ poichè x( kt ) = 0 per k 0] = z n x(mt )z m = z n X(z) m=0

13 Anticipo temporale Dim. Sia data la funzione x(t), nulla per t < 0, e sia X(z) la Z-trasformata della sequenza x(kt ), che si ottiene campionando x(t) con periodo T, allora n 1 ] Z[x(t + nt )] = z [X(z) n x(kt )z k k=0 Z[x(kT + nt )] k=0 x(kt + nt )z k = = z n k=0 x(kt + nt )z (k+n) = [si pone α = n 1 k=0 x(kt )z k ] = z n [ k=0 x(kt + nt )z (k+n) + +α α] = = z n [ k=0 x(kt )z (k) α] = = z n [X(z) α]

14 Teorema del valor iniziale e finale Sia data la funzione x(t), nulla per t < 0, e sia X(z) la Z-trasformata della sequenza x(kt ), che si ottiene campionando x(t) con periodo T, allora Teorema del valor iniziale (se esiste x(0)) x(0) = lim z X(z) Teorema del valor finale (se esiste il lim) lim x(kt ) = lim [(1 k z 1 z 1 )X(z)]

15 Teorema del valor iniziale Sia data la funzione x(t), nulla per t < 0, e sia X(z) la Z-trasformata della sequenza x(kt ), che si ottiene campionando x(t) con periodo T, allora x(0) = lim z X(z) Dim. lim X(z) = lim z z x(kt )z k = k=0 = lim z [x(0) + x(t )z 1 + x(2t )z ] = = x(0)

16 Teorema del valor finale Dim. Sia data la funzione x(t), nulla per t < 0, e sia X(z) la Z-trasformata della sequenza x(kt ), che si ottiene campionando x(t) con periodo T, allora lim x(kt ) = lim [(1 k z 1 z 1 )X(z)] lim [(1 z 1 z 1 )X(z)] = lim [X(z) z 1 X(z)] = z 1 = lim [ k=0 x(kt )z k + z 1 k=0 x((k 1)T )z k ] = = [x(kt ) x((k 1)T )] = k=0 = lim k x(kt )

17 Trasformate notevoli Impulso di Kronecker Gradino unitario Rampa unitaria Funzione esponenziale Funzione sinusoidale

18 Impulso di Kronecker δ 0 (t) = { 1 se t = 0 0 altrove δ 0 (kt ) = {1, 0, 0,... } Z[δ 0 (kt )] = δ 0 (kt )z k = k=0 = 1 + 0z 1 + 0z 2 + = = 1

19 Gradino unitario δ 1 (t) = { 1 se t 0 0 altrove δ 1 (kt ) = {1, 1,... } Z[δ 1 (kt )] = δ 1 (kt )z k = k=0 = 1 + z 1 + z 2 + = 1 = = z 1 z 1 z 1

20 Rampa unitaria δ 2 (t) = δ 2 (kt ) = {kt } { t se t 0 0 altrove Z[δ 2 (kt )] = T kz k = k=0 = T (z 1 + 2z ) = = Tz 1 (1 + 2z ) = = T z (z 1) 2

21 Funzione esponenziale { e at se t 0 x(t) = 0 altrove x(kt ) = {e akt } Z[x(kT )] = e akt z k = k=0 = 1 + e at z 1 + e 2aT z 2 + = 1 = = z 1 e at z 1 z e at

22 Funzione sinusoidale { sin (ωt) se t 0 x(t) = 0 altrove x(kt ) = {sin (ωkt )} Z[x(kT )] = [formule ( di Eulero] ) = j = 1 e jωt z 1 1 e jωt z 1 = 1 (e jωt e jωt )z 1 2j = 1 (e jωt +e jωt )z 1 +z 2 z = 1 sin(ωt ) z sin(ωt ) = 1 2z 1 cosωt +z 2 z 2 2zcos(ωT )+1

23 Metodi per antitrasformare 1. Lunga divisione (successione) 2. Computazionale (successione) 3. Scomposizione in fratti semplici (forma chiusa) 4. Integrale di inversione (forma chiusa)

24 Metodo della lunga divisione Consente di calcolare i valori della sequenza {x(kt )} Ricordando che e che si ottiene che X(z) = x(kt )z k k=0 = x(0) + x(1) z + x(2) z X(z) = N(z) D(z) = c 0 + c 1 z + c 2 z c 0 = x(0) c 2 = x(2) c 1 = x(1)...

25 Osservazioni 1. Il metodo può essere applicato quando non è di interesse calcolare una forma chiusa per x(kt ), ma si vogliono conoscere solo alcuni campioni per caratterizzare la risposta di un sistema 2. Siano m = deg(n(z)) e n = deg(d(z)), allora si avrà n m = 0 c 0 0 n m = k c 0 = = c k 1 = 0

26 Metodo computazionale Consente di calcolare i valori della sequenza {x(kt )} Ricordando che X(z) = X(z) U(z) = N(z 1 ) D(z 1 ) dove U(z) = Z[δ 0 (kt )] si ottiene da cui (trasl. in avanti) X(z)D(z 1 ) = U(z)N(z 1 ) x k + a 1 x k a n x k n = b 0 u k (n m) + b 1 u k (n m+1) + + b m u k n Metodo per implementare eq. alle differenze

27 Scomposizione in fratti semplici Consente di calcolare {x(kt )} in forma chiusa Si scompone X(z)/z in termini di cui l antitrasformata è nota X(z) l r i R i,j = z (z p i ) j i=1 j=1 si antitrasformano i singoli termini (prop. linearità) dopo aver moltiplicato per z e calcolato R i,j con la formula per i residui { } 1 d r R i,j = (r i j)! lim i j z p i dz r i j [(z p i) r i R(z)] NB La funzione deve essere strettamente propria

28 Metodo dell integrale di inversione Consente di calcolare {x(kt )} in forma chiusa ed è il metodo più generale (vale anche con trasformate Z non razionali fratte) Formula matematica x(kt ) = 1 2πj C X(z)z k 1 dz, k = 0, 1, 2,...