Segnali e Sistemi (Ingegneria Informatica)

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1 Segnali e Sistemi (Ingegneria Informatica) Lezione 2 last update Oct 17, 2004 c 2004 Finesso, Pavon, Pinzoni 1

2 MODELLO MATEMATICO DEI SEGNALI Segnale a tempo continuo È una funzione reale (complessa) di variabile reale. Spesso, ma non sempre, t = tempo. x : [t 1, t 2 ] R (C) t 1 < t 2 + t x(t) 2

3 Segnali a tempo discreto È una successione reale (complessa). Spesso, ma non sempre, n = tempo. x : [n 1, n 2 ] R (C) n 1 < n 2 + n x(n) N.B. nel testo x[n] 3

4 Terminologia - Notazioni - Convenzioni I segnali a tempo continuo si dicono spesso segnali continui (riferendosi alla continuità del dominio non della funzione!) I segnali a tempo discreto si dicono segnali discreti. x( ) denota il segnale, x(t) o x(n) il valore all istante t o n. I segnali definiti su [t 1, t 2 ] finito sono spesso estesi ad R ponendo x(t) = 0, t [t 1, t 2 ]. I segnali definiti su [n 1, n 2 ] finito sono spesso estesi a Z ponendo x(n) = 0, n [n 1, n 2 ]. L insieme dove x( ) 0 è detto supporto del segnale. 4

5 PARAMETRI RIASSUNTIVI Valore medio Segnali continui a supporto limitato [t 1, t 2 ] m x = 1 t 2 t 1 t2 t 1 x(t)dt Segnali discreti a supporto limitato [n 1, n 2 ] m x = 1 n 2 n n 2 n=n 1 x(n) Segnali continui a supporto illimitato m x = lim T 1 2T T Segnali discreti a supporto illimitato T x(t)dt m x = lim N 1 2N + 1 N n= N x(n) 5

6 Energia e Potenza di segnali a supporto limitato A lezione: motivazioni dalla fisica - unità di misura - esempi Energia Potenza (media) E [t1,t 2 ] = t2 t 1 P [t1,t 2 ] = 1 t 2 t 1 x(t) 2 dt t2 t 1 x(t) 2 dt Analoghe definizioni si adottano per x(n) su [n 1, n 2 ] n 2 E [n1,n 2 ] = x(n) 2, P [n1,n 2 ] = 1 n=n 1 n 2 n n 2 n=n 1 x(n) 2 6

7 Energia e Potenza di segnali a supporto illimitato Energia E = T lim T T x(t) 2 dt = x(t) 2 dt Potenza (media) (se esiste) P = lim T 1 2T T T x(t) 2 dt Analoghe definizioni si adottano per x(n) E = n= x(n) 2, P = lim N 1 2N + 1 N n= N x(n) 2 (vedere esempi dati in classe) 7

8 Osservazioni su Energia e Potenza E < segnale a energia finita P < segnale a potenza finita Lemma: Un segnale ad energia finita ha potenza nulla. Dimostrazione: 0 P = lim T 1 2T T T x(t) 2 dt lim T 1 2T E = 0 Equivalentemente: se P > 0 allora E =. Esercizio: Dare esempi di segnali con (E =, P < ), con (E =, P = ) e (più difficili) con (E =, P = 0) o (E =, P non esiste). 8

9 Energia mutua di due segnali Segnali continui a supporto illimitato E x,y = x(t)y(t)dt Segnali discreti a supporto illimitato E x,y = n= x(n)y(n) Se y = x allora E x,x = E, definita in precedenza. Disuguaglianza di Schwarz x(t), y(t) L 2 = E x,y E x E y. è analoga alla disuguaglianza di Schwarz nota dall algebra lineare. 9

10 Insieme dei segnali ad energia finita A tempo continuo a tempo discreto L 2 := l 2 := { x( ) x( ) x(t) 2 dt < n= x(n) 2 < } Lemma x(t), y(t) L 2 = x(t) + y(t) L 2 Dim. x(t) + y(t) 2 dt x(t) 2 + y(t) x(t)y(t) dt < in conseguenza dell ipotesi e della disuguaglianza di Schwarz. Corollario L 2 ed l 2 sono spazi vettoriali su C (vedi lezione) 10

11 MODELLO MATEMATICO DEI SISTEMI Un sistema è una mappa Σ : X Y x( ) y( ) = Σ[x( )] dove X ed Y sono insiemi di segnali. Un sistema è dunque una funzione che ha per dominio e codominio insiemi di funzioni. In matematica Σ si dice operatore. 11

12 Terminologia - Notazioni - Convenzioni Spesso si rappresenta un sistema con x(t) Σ y(t) Si noti l abuso di notazioni x(t) ed y(t) qui rappresentano sia i segnali che i loro valori. x(t) è detto ingresso, y(t) è detto uscita. (X, Y ) segnali a tempo continuo sistema a tempo continuo (X, Y ) segnali a tempo discreto sistema a tempo discreto (X, Y ) tempo continuo e tempo discreto sistema ibrido 12

13 Esempi di sistemi elementari y(t) = d dt x(t) derivatore y(t) = t 0 x(τ)dτ integratore y(t) non dipende da x(t) sistema costante y(t) = x(t) sistema identità 13

14 TRASFORMAZIONI LINEARI DEL TEMPO Sono sistemi del tipo x(t) Σ y(t) = x(αt + β) L uscita ha la stessa forma dell ingresso a meno di cambio di scala e/o traslazione. (Es: moviola sui segnali video). Classificazione cambi di scala (β = 0) 0 < α < 1 espansione temporale (rallentatore) 1 < α compressione temporale (avanti veloce) α = 1 inversione temporale 1 < α < 0 inversione ed espansione temporale α < 1 inversione e compressione temporale traslazioni (α = 1) β > 0 β < 0 traslazione all indietro (anticipo) traslazione in avanti (ritardo) 14

15 Trasformazioni lineari del tempo come sistemi Cambi di scala x(t) S α y(t) = x(αt) Inversione temporale (S 1 si denota anche R) x(t) R y(t) = x( t) Traslazioni x(t) U β y(t) = x(t + β) 15

16 Trasformazioni lineari del tempo generali come sistemi La trasformazione x(t) x(αt + β) è equivalente a x(t) U β z(t) S α y(t) Dim: z(t) = U β (x(t)) = x(t+β), y(t) = S α (z(t)) = z(αt) = x(αt+β) In prosa Prima si trasla x(t) di β poi il risultato si riscala di α. In pratica, per tracciare il grafico di x(αt + β) Tracciare il grafico di x( ). Applicare la traslazione β. Applicare il cambio di scala α. 16

17 Esercizi 1. Scambiando le operazioni il risultato cambia. Dimostrare che x(t) S α z(t) U β y(t) fornisce y(t) = x(αt + αβ) x(αt + β) in generale 2. È possibile prima cambiare scala e poi traslare x(t) S α z(t) U β α y(t) fornisce y(t) = x(αt + β) 17

18 Trasformazioni lineari del tempo per segnali discreti Vale tutto quanto detto nelle due slide precedenti Attenzione: x(αn + β) può solo avere α, β Z La terminologia differisce: per α > 1 si parla di decimazione Attenzione La traslazione è invertibile sia per segnali continui che discreti Il cambio scala è invertibile solo per segnali continui (vedi lezione) 18