Segnali e Sistemi (Ingegneria Informatica)

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1 Segnali e Sistemi (Ingegneria Informatica) Lezione 4 last update Oct 22, 2004 c 2004 Finesso, Pavon, Pinzoni 1

2 GRADINO UNITARIO A TEMPO CONTINUO Èilsegnale u(t) = 1 se t 0, 0 se t<0. u(t) t Notazione equivalente u(t) = 1(t). Esercizio: Determinare le parti pari e dispari di u(t). 2

3 Esercizi sul gradino - 1 Attenzione: Se x(t) =g(t)u(t) allora x(t + T )=g(t + T )u(t + T ). Si confrontino questi esempi. Si noti che x 4 (t) =x 1 (t 1) 3

4 Esercizi sul gradino - 2 x 1 (t) =u(t 1) u(t 2) x 2 (t) =tu(t) tu(t 1) x 3 (t) =tu(t)+( t +1)u(t 1) x 4 (t) =tu(t)+( t +1)u(t 1) + ( t +2)u(t 2) + (t 3)u(t 3) 4

5 FUNZIONI GENERALIZZATE Euristica Per rappresentare alcuni segnali notevoli è necessario estendere la definizione di funzione. Le funzioni generalizzate non sono definite localmente (e cioè punto per punto), come le funzioni ordinarie, ma globalmente, specificando il valore di certi integrali. La sezione euristica illustra questa nuova idea. (a) A f integrabile associamo il funzionale lineare L f : C(B) R L f (x) := f(t)x(t)dt (b) Quanto (e come) si può ricostruire di f apartiredal f? Per piccolo definiamo x (t) = 1 t (a, a + ), 0 altrove. Per il teorema del valor medio, in ogni a punto di continuità dif L f (x )= f(t)x (t)dt f(a). 5

6 Un esempio di funzionale lineare Si consideri la mappa lineare L f (x( )) = 0 x(t)dt È facile verificare che in questo caso f = u, il gradino unitario, infatti per ogni x( ): u(t)x(t)dt = x(t)dt. 0 Definizione alternativa: Il gradino u è la funzione corrispondente al funzionale lineare L u (x) = 0 x(t)dt. 6

7 Altri esempi di funzionali Funzionale valore medio: L rt (x) = 1 T T 2 T 2 x(t)dt = r T (t)x(t)dt è lineare: èilvaloremediodix in [ T 2, T 2 ]. La funzione r T è 1 r T (t) = T t T 2, 0 altrove. Funzionale energia: E(x) = x(t) 2 dt non è lineare: non esiste quindi f tale che E(x) =L f (x). Funzionale campionamento in 0 (o valutazione): L δ (x) =x(0) è lineare, ma non esiste f integrabile tale che L δ = L f. (lezione) 7

8 Funzioni generalizzate Le funzioni generalizzate estendono la definizione di funzione e consentono di rappresentare funzionali lineari (continui) sotto forma integrale. Rimandando a corsi successivi lo sviluppo della teoria scriviamo formalmente: f(t)x(t)dt = L f(x( )). dove f è la funzione generalizzata corrispondente al funzionale lineare (continuo) L f (x( )). 8

9 IMPULSO UNITARIO Definizione Al funzionale lineare (continuo) di campionamento L δ (x) =x(0) è associata la funzione generalizzata δ tale che, formalmente, δ(t)x(t)dt = x(0). δ è detta impulso unitario o delta di Dirac. 9

10 Impulso unitario - Costruzione di un approssimazione Proposizione: lim T 0 L r T = L δ Dim.: Mostriamo che x( ) C(B), lim T 0 L rt (x) =L δ (x) =x(0). L rt [x( )] := 1 T T 2 T 2 x(t)dt = x(t T ) per qualche t T [ T 2, T 2 ] (teorema del valor medio). Poiché lim T 0 t T =0edx è continua si conclude. In prosa: Il valor medio con T piccolo approssima il campionamento. In questo senso possiamo scrivere: lim r T = δ T 0 Attenzione questo limite non va interpretato puntualmente! 10

11 Impulso unitario - Proprietà formali I Dalla definizione di δ ponendo x( ) = 1 si ricava: δ(t)x(t)dt = x(0), δ(τ)dτ =1. Si trova inoltre, applicando la definizione di δ a x(t ) l utile rappresentazione integrale di x: δ(τ)x(t τ)dτ = x(t), È anche utile osservare che δ(τ)x(t τ)dτ = δ(t τ)x(τ)dτ = x(t) che si ricava effettuando il cambio di variabili t τ = τ. 11

12 Impulso unitario - Proprietà formali II Le funzioni generalizzate f(t) eg(t) sono uguali se per ogni x( ) f(τ)x(τ)dτ = g(τ)x(τ)dτ Si ricavano da qui (vedi lezione) le proprietà: δ(at) = 1 δ(t), in particolare δ( t) = δ(t) a x(t)δ(t t 0 )=x(t 0 )δ(t t 0 ), in particolare x(t)δ(t) =x(0)δ(t) Esempi: tδ(t) =0, cos(t)δ(2t) = 1 2 δ(t), ej π 2 t δ(t) =jδ(t), tδ(t 1) = δ(t 1) 12

13 Impulso unitario e gradino Scriviamo la rappresentazione integrale di u(t) nella forma ovvero + δ(τ)u(t τ)dτ = u(t) t δ(τ)dτ = u(t) e, per il teorema di Torricelli-Barrow generalizzato, d dt u(t) =δ(t) Questo risultato lo ritroveremo tra poco, usando la definizione di derivata di una funzione generalizzata. 13

14 Derivata generalizzata di funzioni con discontinuità a salto Esempio 1 Si consideri la funzione sign(t) = 1 t>0, 1 t<0. Pooiché sign(t) = 1+2u(t), si trova d dt sign(t) =2δ(t). Esempio 2 Sia x(t) =tu(t) tu(t 1) (il triangolo x 2 (t) della slide 3), allora d x(t) =u(t)+tδ(t) u(t 1) tδ(t 1) = u(t) u(t 1) δ(t 1) dt Regola generale: Per il calcolo della derivata di funzioni differenziabili ovunque tranne al più in un numero finito di punti di discontinuità a salto: vedi lezione. 14

15 Esercizio importante È noto che d x(t) =δ(t +1) 2δ(t)+δ(t 2) dt determinare x(t), sapendo che x() = 0. Soluzione. È sufficiente integrare! x(t) = t d dτ x(τ)dτ Risultato (convincersene!) x(t) =u(t +1) 2u(t)+u(t 2) Consiglio. Tracciare i grafici sia di x (t) che di x(t). Nel seguito sarà molto utile saper effettuare queste manipolazioni per semplice ispezione del grafico. 15

16 Derivata di funzioni generalizzate Sia f(t) una funzione generalizzata. Definiamo la derivata f (t) assegnando + f (t)x(t)dt = + f(t)x (t)dt Perché questa definizione è naturale? Integrando per parti il LHS (left hand side) si trova + f (t)x(t)dt = f(t)x(t) + f(t)x (t)dt Poiché glix( ) sono a supporto limitato f(t)x(t) =0. Esercizio: Ricavare da questa definizione la relazione u (t) =δ(t). 16

17 Derivata dell impulso unitario - Il doppietto δ (t) (doppietto) èladerivatadiδ, e soddisfa (slide precedente) + δ (t)x(t)dt = x (0) Anche per il doppietto è possibile costruire una sequenza di approssimazioni che aiuta a capirne il significato fisico. (vedi lezione). Ricordiamo la regola (dimostrazione vedi lezione) x(t)δ (t) = x (0)δ(t)+x(0)δ (t) (aggiungere regola convoluzione) 17

18 GRADINO E IMPULSO UNITARI A TEMPO DISCRETO Gradino unitario u(n) = 1 if n 0, 0 if n<0. Impulso unitario δ(n) = 1 if n =0, 0 if n 0. 18

19 Proprietà diδ(n) Definizione di δ(n) analoga alla definizione di δ(t): + k= x(k)δ(k) =x(0) {x( )} Le proprietà di δ(n) sono analoghe a quelle di δ(t). In particolare vale la rappresentazione integrale: + k= δ(n k)x(k) = + k= δ(k)x(n k) =x(n) Relazioni tra gradino e impulso discreti u(n) = n k= δ(k), δ(n) =u(n) u(n 1) (differenza prima del gradino - analogo discreto della derivata) 19