Segnali e Sistemi (Ingegneria Informatica)

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1 Segnali e Sistemi (Ingegneria Informatica) Lezione 3 last update Oct 17, 2004 c 2004 Finesso, Pavon, Pinzoni 1

2 SIMMETRIE DEI SEGNALI - Simmetria pari (Definizioni analoghe nel caso discreto) Segnale pari Segnale dispari x(t) = x( t) x(t) = x( t) Parte pari Parte dispari Ricostruzione del segnale x e (t) = x(t)+x( t) 2 x(t) x( t) x o (t) = 2 x(t) =x e (t)+x o (t) x( t) =x e (t) x o (t) La decomposizione è unica (vedi lezione) 2

3 Simmetria reale Il segnale x(t) è reale sse immaginario sse x(t) = x(t) x(t) = x(t) (sse = se e solo se) Dimostrazione: vedi lezione Risultato identico nel caso discreto 3

4 Simmetria hermitiana Definizioni x(t) èhermitianose x(t) èantihermitianose x(t) =x( t) x(t) = x( t) Sia x(t) =Rex(t)+j Im x(t) = x(t) e j arg x(t). Se x(t) è hermitiano allora (vedi lezione) Re x(t) e x(t) sono pari, Im x(t) e argx(t) sono dispari. Se x(t) è antihermitiano cosa si può dire? Tutto analogo per i segnali discreti. 4

5 SEGNALI PERIODICI x : R R è periodico di periodo T 0se x(t) =x(t + T ) t R La restrizione t R è essenziale (vedi lezione). Se T èunperiododix(t) allora anche kt, k Z è un periodo. T 0 indicherà il minimo periodo positivo di un segnale periodico o periodo fondamentale. Se il segnale non è costante T 0 =min{t >0 x(t) =x(t + T ), t R} Per i segnali discreti definizioni analoghe. Indicheremo con N il periodo e con N 0 il periodo fondamentale. 5

6 Funzioni periodiche di segnali periodici Lemma: Siano x 1 (t) ex 2 (t) periodici di periodi T 1 e T 2. Il segnale x(t) =x 1 (t)+x 2 (t) è periodico se T 1 = m, per qualche m, n Z. T 2 n Un periodo di x(t) è T = nt 1 = mt 2. Lo stesso risultato vale, più in generale, per ogni f(x 1 (t),x 2 (t)). Dim: (vedi lezione). Attenzione: Per i segnali periodici discreti la condizione è sempre soddisfatta! 6

7 Energia e potenza in un periodo di segnali periodici Energia in un periodo [T ] := s+t s E [T ] = [T ] x(t) 2 dt l integrale su un periodo, non dipende da s (lezione). Potenza (media) in un periodo P [T ] = 1 T [T ] x(t) 2 dt Analoghe definizioni per i segnali discreti. 7

8 Energia e potenza di segnali periodici Se x(t) è periodico non triviale, allora E =, P = P [T ]. vedi lezione Conclusione: L 2 ed l 2 non contengono segnali periodici! 8

9 Ripetizione periodica di un segnale Si può costruire una versione periodica, di periodo assegnato T p, di qualunque x(t): x p (t) = k= x(t kt p ) (vedi lezione per esempi con x(t) a supporto limitato o illimitato). Vale lo stesso per i segnali discreti. Attenzione: non è una simmetria, non esiste una parte periodica e una parte aperiodica! 9

10 SEGNALI NOTEVOLI A TEMPO CONTINUO Segnali sinusoidali Terminologia ed unità usuali x(t) =A cos(ω 0 t + φ), ω 0 > 0 A ampiezza unità del segnale t tempo secondi φ fase iniziale radianti ω 0 pulsazione rad/sec f 0 = ω 0 2π frequenza cicli/secondo (Hz) T 0 = 2π = 1 ω 0 f 0 periodo secondi Esercizio: Calcolare Energia e Potenza in un periodo. 10

11 Esponenziali immaginari x(t) =Ce jω 0t C, ω 0 R, ω 0 0 Dalla formula di Eulero x(t) =Ce jω0t = C(cos ω 0 t + j sin ω 0 t). Sinotilasimmetriahermitiana x( t) =x(t), ed infatti la parte reale è pari e quella immaginaria dispari. x(t) è periodico (perché?) con periodo T 0 = 2π ω 0 11

12 Esponenziali immaginari energia e potenza E [T0 ] = T0 0 Cejω 0t 2 dt = C 2 T 0 P [T0 ] = P = 1 T 0 T0 0 Cejω 0t 2 dt = C 2 12

13 Esponenziali immaginari in relazione armonica Definizione: φ k (t) =e jkω 0t, ω 0 > 0 L insieme { φ k (t) k Z } è costituito di esponenziali con periodo comune T 0 = 2π ω 0. Attenzione: T 0 è il periodo fondamentale di φ 1. φ k ha periodo fondamentale T 0 k per k 0,mentreφ 0 =1. 13

14 Esponenziali immaginari e sinusoidi A cos(ω 0 t + φ) =A Re e j(ω 0t+φ), A R dalla formula di Eulero 14

15 Esponenziali caso generale x(t) =Ce at, C,a C Sia C = ρe jφ e a = α + jω 0, allora x(t) =Ce at = ρe jφ e (α+jω 0)t ovvero x(t) =ρe αt e j(ω0t+φ) = ρe αt [cos(ω 0 t + φ)+jsin(ω 0 t + φ)] Grafici! vedi figura 1.23 per la parte reale ed immaginaria. Il caso C, a R è noto da Matematica A 15

16 SEGNALI NOTEVOLI A TEMPO DISCRETO Segnali sinusoidali x(n) =A cos(ω 0 n + φ) Attenzione: questo segnale non è necessariamente periodico! Condizioni su ω 0 per la periodicità N èunperiodosex(n) =x(n + N), n Z ovvero A cos(ω 0 n + φ) =A cos(ω 0 (n + N)+φ) =A cos(ω 0 n + φ + ω 0 N) La condizione di periodicità è ω 0 N =2πk, per qualche k Z. Il periodo fondamentale è N 0 se per qualche h N dove ω 0 2π = h N 0 h N 0 è una frazione ridotta ai minimi termini. Domanda: cos(3n) è periodico? cos(100πn +0.25) è periodico? 16

17 Esponenziali immaginari discreti Sono i segnali x(n) =Ce jω 0n Sia C = ρe jφ. Per la formula di Eulero x(n) =ρ[cos(ω 0 n + φ)+jsin(ω 0 n + φ)] Essendo somma di due sinusoidi di pulsazione comune, vale la condizione di periodicità già vista per le sinusoidi discrete. Il periodo fondamentale è N 0 se per qualche h N ω 0 2π = h N 0 dove h N 0 è una frazione ridotta ai minimi termini. 17

18 Esponenziali immaginari discreti energia e potenza Esercizio svolto x(n) =Ce jω 0n, C 0 E = n= x(n) 2 = n= C 2 = 1 P = lim n 2N +1 N n= N C 2 = C 2 18

19 Esponenziali immaginari discreti - Periodicità in ω Per gli esponenziali immaginari continui: (a) e jω 0t è periodico ω 0. (b) La frequenza di oscillazione cresce indefinitamente con ω 0. Per gli esponenziali immaginari discreti non vale né (a) né (b). Nel discreto ω 0 ed ω 0 +2kπ, k Z producono lo stesso segnale x(n) =e jω 0n = e j(ω 0+2kπ)n Il segnale è periodico se ω 0 /2π Q e la frequenza di oscillazione cresce 0 ω 0 <π decresce π<ω 0 < 2π Per ω 0 = π il segnale è x(n) =( 1) n : il periodo è N 0 =2il minimo possibile, la frequenza di oscillazione è massima. Per altri esempi vedi figura 1.27 nel libro. 19

20 Esponenziali immaginari discreti in relazione armonica Gli esponenziali complessi φ k (n) =e jk2π N n sono periodici di comune periodo N e costituiscono l insieme finito in relazione armonica { φ k (n) k [0, 1,...,N 1] } Per quanto visto prima φ k = φ k+hn, h Z 20

21 Esponenziali discreti caso generale Il caso generale è x(n) =Ca n, C,a C Nel caso discreto è usuale la notazione a n in luogo di e bn. Sia C = ρe jφ ed a = a e jω 0 (ω 0 =arga), allora x(n) =ρe jφ ( a e jω 0) n = ρ a n [cos(ω 0 n + φ)+j sin(ω 0 n + φ)] Grafici: vedi figura 1.26 per parti reali e immaginarie. 21

22 ESERCIZI VARI Esercizio 1 Sia x(t) nullo per t<3. Determinare i valori di t per cui è sicuramente nullo ciascuno dei seguenti segnali x(1 t)+x(2 t), x(1 t)x(2 t), x( t 3 ) Esercizio 2 Determinare se i seguenti segnali sono periodici (se si determinarne il periodo) x(t) =je j10t, x(t) =e ( 1+j)t Esercizio 3 Determinare il periodo fondamentale degli eventuali segnali periodici x(n) =cos( 8πn 31 ), x(n) =ej7πn, x(n) =1+e j 4 7 πn e j 2 5 πn 22