Sviluppo in Serie di Fourier

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1 Capitolo Sviluppo in Serie di Fourier. Proprietà della Serie di Fourier Un segnale reale tempo continuo e periodico di periodo, per il quale sono valide le condizioni di Dirichlet vedi pag. 4 [], può essere espresso tramite la combinazione lineare seguente s t = S n e jπn t. Le funzioni esponenziali complesse sono fasori rotanti a velocità angolare multipla della fondamentale, pari a ω = π = πf. Il termine per n = rappresenta la costante. I pesi dei fasori, i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier, sono in generale numeri complessi e si trovano come S n = s te jπn t. [ ] dove l integrale è esteso ad un intervallo pari ad un periodo. I coefficienti S n sono numeri complessi e possono essere scritti come S n = R n + ji n dove R n è la parte reale e I n è la parte immaginaria. È inoltre possibile scrivere S n in forma polare S n = S n e jθn dove S n è il modulo si S n e θ n ne è la fase... Segnale Reale Vediamo le proprietà dei coefficienti dello sviluppo in Serie di Fourier nel caso di segnale s t reale. Possiamo riscrivere la. nel seguente modo

2 CAPITOLO. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER = = [ ] [ ] s t cos S n = [ ] s t cos πn t πn t s te jπn t = j T j sin πn t s t sin [ ] = πn t.3 L integrale a sinistra essendo s t reale, è esso stesso reale. Lo stesso si può dire per l integrale a destra, che essendo moltiplicato per la costante immaginaria j, diviene la parte immaginaria di S n. Detto questo possiamo scrivere S n = con [ ] s tcos πn t j T s t sin πn t = R n +ji n [ ].4 R n = s t cos πn t [ ] I n = s t sin πn t [ ] Vediamo adesso la relazione intercorrente tra S n e S n nel caso di segnali reali. Per questo sostituiamo a n, n nella.7 ottenendo S n = [ ] s t cos πn t j T s t sin πn t [ ] Visto che il coseno è pari e il seno è dispari, si ottiene S n = [ ] s t cos πn t + j T s t sin πn t = [ ] = R n ji n = S n.5 Riassumendo possiamo dire che condizione necessaria e sufficiente affinché un segnale tempo continuo periodico e per il quale può essere calcolato lo Sviluppo in Serie di Fourier, sia reale è che

3 .. PROPRIETÀ DELLA SERIE DI FOURIER 3 e quindi S n = S n.6 R n = R n I n = I n.7.. Segnale Pari o Dispari Vediamo le proprietà dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier nel caso di segnale pari o dispari, indipendentemente dal fatto che esso sia reale, immaginario puro o in generale complesso. S n = [ ] Segnale Pari s tcos πn t j T s tsin πn t.8 [ ] Consideriamo il caso di segnale pari, ovvero per il quale s t = s t t, la.8 può essere scritta come S n = [ ] s t pari cos πn t pari j [ ] s t pari sin πn t dispari.9 Essendo l argomento del primo integrale il prodotto di una funzione pari con una pari, è esso stesso pari, mentre l argomento del secondo risulta dispari. Se l intervallo di integrazione di ampiezza è preso in modo simmetrico rispetto all origine si vede facilmente come l integrale a destra nella equazione precedente risulta nullo, mentre il primo si può scrivere come S n = T s t cos πn t Dalla precedente si evince anche che S n = S n. Ricordiamo che questo risultato è stato ottenuto per un segnale generico, sia esso reale, immaginario puro o in generale complesso. Segnale Dispari Consideriamo il caso di segnale dipari, ovvero per il quale s t = s t t, la.8 può essere scritta come S n = s t [ ] dispari cos πn t pari j s t [ ] dispari sin πn t dispari.

4 4 CAPITOLO. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER Essendo l argomento del primo integrale il prodotto di una funzione dispari con una pari, è esso stesso dispari, mentre l argomento del secondo risulta pari, visto che è ottenuto come prodotto tra due funzioni dispari. Se l intervallo di integrazione di ampiezza è preso in modo simmetrico rispetto all origine si vede facilmente come l integrale a sinistra nella equazione precedente risulta nullo, mentre il secondo si può scrivere come S n = j T s tsin πn t Dalla precedente si evince anche che S n = S n. Riassumendo i risultati precedenti possiamo dire che condizione necessaria e sufficiente affinché un segnale tempo continuo periodico e per il quale può essere calcolato lo Sviluppo in Serie di Fourier, sia pari è che S n = S n. Mentre condizione necessaria e sufficiente affinché un segnale tempo continuo periodico e per il quale può essere calcolato lo Sviluppo in Serie di Fourier, sia dispari è che S n = S n. s t = s t t S n = S n s t = s t t S n = S n..3 Forma Trigonometrica dello Sviluppo in Serie di Fourier Se riscriviamo lo Sviluppo in Serie di Fourier. utilizzando la formula di Eulero cfr..7 e considerando S n = R n + ji n si ottiene s t = +j R n cos πn t R n sin πn t j I n sin πn t I n cos πn t +. Se il segnale è reale per cui valgono le.7 si ha che gli ultimi due termini dell equazione precedente sono nulli. Infatti i prodotti all interno delle due sommatorie, rispettivamente R n sin πn t e I n cos πn t sono dispari rispetto a n. Essendo gli argomenti delle prime due sommatorie funzioni pari in n possiamo scrivere

5 .. PROPRIETÀ DELLA SERIE DI FOURIER 5 s t = R + n= [ R n cos πn t I n sin πn t ]...4 Forma Polare dello Sviluppo in Serie di Fourier Se riscriviamo lo Sviluppo in Serie di Fourier. per un segnale reale, utilizzando la formula di Eulero cfr..7 e considerando e quindi s t = S n = S n e jθn S n e jπn t.3 se consideriamo elementi della serie con indici opposti S m e S m, il contributo di questi termini per la ricostruzione del segnale è S m e jπm t + S m e jπm t = = S m e jθm e jπm t + S m e jθ m e jπm t = S m cos πm t + θ n = quindi sostituendo nell equazione.3, si ottiene lo sviluppo in Serie di Fourier in forma polare per segnali reali. s t = R + S n cos πn t + θ n

6 6 CAPITOLO. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER. Sviluppo in Serie di Fourier di alcuni segnali.. Onda a dente di sega t Figura.: Segnale a Dente di Sega Il segnale è reale e dispari. Di conseguenza i coefficienti della Serie di Fourier SF sono immaginari e dispari cfr... e il coefficiente per n= vale. I coefficienti per n quindi si trovano come S n = j T s tsin πn t Sostituendo il valore del segnale nell intervallo, che risulta pari a s t = + t si ottiene S n = j T = j T = j πn + t sin πn t [ cos πn t sin πn t j T = t ] j T sin πn t t sin πn t = L integrale a sinistra può essere risolto per parti

7 .. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI ALCUNI SEGNALI 7 S n = j πn [ cos πn] j 4 T = j πn [ cos πn] + j 4 T = j πn [ cos πn] + j 4 T = j πn [ cos πn] + j 4 T = j πn πn { πn { πn t d cos πn t T πn t d cos [ t cos [ T πn t πn t ] cos πn [ cos πn] + j T πn cos πn j 4 T ] πn = = πn t sin sin πn} πn cos πn t il secondo ed il terzo termine si annullano a vicenda, mentre il quarto termine vale zero essendo n intero. Quindi i coefficienti risultano } = } = { se n = S n = j πn se n.4 S n - - n Figura.: Spettro di Ampiezza dell Onda a Dente di Sega S n π n π Figura.3: Spettro di Fase dell Onda a Dente di Sega

8 8 CAPITOLO. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER Consideriamo adesso il segnale in figura.4. Il segnale può essere visto come l onda a dente di sega di figura. traslato di. Anche questo caso il segnale è dispari e i coefficienti possono essere trovati come nel caso precedente, utilizzando la formula.., dove però il valore del segnale nell intervallo, risulta pari a s t = t. t Figura.4: Segnale a Dente di Sega Il calcolo dei coefficienti per n risulta quindi S n = j T t sin πn t = = +j T πn cos πn = j cos πn πn = j πn n π S n n π Figura.5: Spettro di Fase dell Onda a Dente di Sega di figura.4 Se confrontiamo i coefficienti ottenuti con quelli della prima onda a dente di sega studiata, si vede come il modulo dei coefficienti non cambia, mentre si modifica la fase. Si dimostrerà in seguito che un ritardo temporale di valore T a applicato al segnale, comporta una variazione della fase del coefficiente complesso con indice n pari a π n T a. In questo caso avremo quindi una variazione della fase pari a π n = nπ. In figura.5 riportiamo la

9 .. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI ALCUNI SEGNALI 9 rappresentazione della fase dei coefficienti. Si tenga conto del fatto che è stato scelto di rappresentare la fase dei coefficienti utilizzando l intervallo π, π. Si ricorda inoltre che il modulo del coefficiente per n= è pari a.

10 CAPITOLO. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER

11 Bibliografia [] Luigi Landini 5 Fondamenti di Analisi di Segnali Biomedici con Esercitazioni in Matlab, Plus Pisa University Press ed. [] Marco Luise, Giorgio M. Vitetta 9 Teoria dei Segnali McGraw Hill ed. [3] Lucio Verrazzani 983 Teoria dei Segnali. Segnali Determinati ETS ed.