CAMPO MAGNETICO ROTANTE

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1 Università degli studi di Pisa FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Elettrica DISPENSE DI MACCHINE ELETTRICHE TRATTE DAL CORSO TENUTO DAL PROF. OTTORINO BRUNO CAMPO MAGNETICO ROTANTE A cura dello studente Gabriele Giovanni Padovano Con la supervisione del prof. Luca Sani Anno Accademico 2011/12

2 Indice Indice delle figure 1 1 Campo magnetico rotante Distribuzione di f.m.m prodotta da una bobina diametrale Scomposizione del campo magnetico rotante Campo magnetico al traferro generato da un avvolgimento trifase alimentato in corrente alternata i

3 Elenco delle figure 1.1 Statore di un motore asincrono trifase Andamento dell onda di campo nel traferro e della prima armonica Rappresentazione del campo sinusoidale pulsante al traferro Scomposizione del campo magnetico rotante in due campi contro-rotanti Andamento della prima componente del campo magnetico rotante Andamento della seconda componente del campo magnetico rotante Avvolgimento di statore Andamento nel tempo della scomposizione in armoniche del campo magnetico rotante ii

4 Capitolo 1 Campo magnetico rotante In questa parte della dispensa si procedere allo studio del campo magnetico rotante. In particolare, si vuole illustrare come sia possibile scambiare una coppia tra due strutture coassiali. Questo aspetto è la base della conversione elettromeccanica dell energia che si attua nelle macchine rotanti in alternata. Nel corso della trattazione saranno considerate valide le seguenti ipotesi semplificative: le linee di campo entrano ed escono ortogonalmente rispetto alla struttura in ferro; la macchina si comporta in modo lineare; il fenomeno sia piano, ovvero si trascurano gli effetti di bordo. si trascurano, dal punto di vista della conversione elettromeccanica dell energia, gli effetti delle armoniche spaziali di f.m.m prodotte dagli avvolgimenti reali. In altre parole, tale studio considera solo le armoniche fondamentali delle distribuzioni spaziali al traferro; i fenomeni di saturazione, isteresi e correnti parassite sono trascurati, permettendo, così, di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. la caduta di tensione magnetica e presente solamente nel traferro δ, quindi si considera la permeabilita magnetica del ferro infinita rispetto a quella dell aria ossia µ r >> µ 0 e quindi R ferro = 0). L enunciato del teorema di Galileo Ferraris è il seguente: Tre avvolgimenti con lo stesso numero di spire, disposti nello spazio a 2 3 π tra loro e percorsi da una terna equilibrata di correnti alternate, con pulsazione ω e sfasate tra loro nel tempo di 2 3π, originano un campo magnetico rotante con velocità ω e di ampiezza pari a 3 2 il campo massimo, prodotto da ogni singolo avvolgimento. 1

5 CAMPO MAGNETICO ROTANTE Distribuzione di f.m.m prodotta da una bobina diametrale Si consideri la struttura elettromagnetica illustrata in figura rappresentante una bobina di N 1 spire in serie. I conduttori di andata a sinistra, percorsi da corrente uscente dal piano della figura) ed i conduttori di ritorno a destra, percorsi da corrente entrante dal piano della figura) della bobina siano collocati in posizione diametrale e percorsi dalla corrente I, che per il momento si considera una corrente continua fittizia con il solo compito di evidenziare la distribuzione di f.m.m.. Data la simmetria della struttura, si può ritenere che le linee di campo magnetico, prodotte dalla bobina, abbiano l andamento qualitativo illustrato in figura col tratteggio. Secondo la legge della circuitazione magnetica di Ampere, la f.m.m. concatenata da ciascuna linea di campo vale: H dl = NI 2Hδ = NI H = NI 1.1) 2δ Γ Figura 1.1: Statore di un motore asincrono trifase. Tale f.m.m. serve a compensare la caduta di tensione magnetica nei due attraversamenti di traferro relativi ad ogni linea di campo. Pertanto, tenendo conto del verso delle linee di campo, la distribuzione di caduta di tensione magnetica lungo la circonferenza di traferro detta distribuzione di f.m.m. al traferro) assume una forma ad onda quadra. La funzione descritta nella fig.1.2 è una funzione periodica e alternativa, quindi scomponibile in serie di Fourier. Nello sviluppo della serie, tutte le

6 CAMPO MAGNETICO ROTANTE 3 Figura 1.2: armonica. Andamento dell onda di campo nel traferro e della prima armoniche di ordine pari, e tutti i termini in seno, non sono presenti essendo hθ) una funzione pari. La funzione può essere espressa come: h n θ) = n=1,3, A M nπ cos θ 1.2) essendo A M = NI 2δ, la precedente relazione diventa: h n θ) = 2NI nδπ cos θ 1.3) Ai fini dello studio semplificato del campo magnetico rotante assume particolare rilevanza l armonica fondamentale della distribuzione di f.m.m. che si ottiene ponendo n=1: h 1 = 2NI nδπ cos θ = KI cos θ 1.4) da cui si evince che l onda di campo magnetico risulta funzione della corrente I e della coordinata angolare θ. Supponiamo, ora, di inviare nell avvolgimento una corrente non più continua, ma sinusoidale del tipo: it) = I M sin ωt. La distribuzione spaziale di campo al traferro prodotta dalla corrente non rimane, quindi, fissa nello spazio ad ogni istante di tempo, ma verrà a dipendere, istante per istante, dal valore della corrente, oscillando tra un valore massimo Ni 2δ ) e un valore minimo Ni 2δ ). In tal caso: h 1 θ, t) = 2NI M sin ωt δπ cos θ 1.5)

7 CAMPO MAGNETICO ROTANTE 4 Figura 1.3: Rappresentazione del campo sinusoidale pulsante al traferro. Usando, poi, le formule di prostaferesi la 1.5) diventa: dove H M = 2NI M δπ. sinα cosβ = 1 [sinα β) + sinα + β)] 2 h 1 = 1 2 H Msinωt θ) + sinωt + θ) 1.6)

8 CAMPO MAGNETICO ROTANTE Scomposizione del campo magnetico rotante La precedente relazione permette di scrivere il campo pulsante al traferro come la somma di due funzioni che dipendono dal tempo e dallo spazio. Tali funzioni sono delle onde, cioè delle sinusoidi di ampiezza costante. Il teorema di Galileo Ferraris, infatti, afferma che: un campo magnetico con distribuzione sinusoidale fissa nello spazio e pulsante sinusoidalmente nel tempo può essere scomposto in due onde controrotanti diretta e invers) di campo magnetico non alternative, con velocità ω e di ampiezza costante nel tempo pari a metà del campo alternativo totale. Figura 1.4: Scomposizione del campo magnetico rotante in due campi contro-rotanti. La prima componente del campo, quella diretta, è: h d θ) = 1 2 H M sinωt θ) 1.7) Fissato il tempo t, è possibile tracciare l andamento di h d in funzione di θ: 1. per t=0 h d = 1 2 H M sin θ) curva blu); 2. per il generico t* tale per cui ωt θ = 0 curva rossa). Dalla figura si deduce che h d è una sinusoide che trasla lungo il traferro con velocità θ = ω.

9 CAMPO MAGNETICO ROTANTE 6 Figura 1.5: rotante. Andamento della prima componente del campo magnetico La seconda componente del campo, quella inversa, è: h d θ) = 1 2 H M sinωt + θ) 1.8) Fissato il tempo t, è possibile tracciare l andamento di h i in funzione di θ: 1. per t=0 h i = 1 2 H M sinθ); curva blu) 2. per il generico t* tale per cui ωt + θ = 0 curva rossa). Dalla figura si deduce che h i è una sinusoide che trasla lungo il traferro con velocità θ = ω. Figura 1.6: Andamento della seconda componente del campo magnetico rotante.

10 CAMPO MAGNETICO ROTANTE Campo magnetico al traferro generato da un avvolgimento trifase alimentato in corrente alternata Nelle macchine elettriche l avvolgimento disposto sullo statore è nella grande maggioranza dei casi un avvolgimento trifase. Si supponga l avvolgimento trifase formato da tre avvolgimenti monofase identici tra loro e sfasati di 120 elettrici, come mostrato nella seguente figura. Figura 1.7: Avvolgimento di statore. Le tre fasi siano percorse da una terna equilibrata di correnti sinusoidali, tale che: i 1 t) = I M sin ωt i 2 t) = I M sin ωt 2 3 π) i 1 t) = I M sin 1.9) ωt π) Per il generico avvolgimento di fase di ordine i, il campo avrà la seguente espressione: h i θ) = H M cosnθ i 2 3 π + α n) 1.10) Quindi si ha: n=1 h 1 θ) = n=1 H n cosnθ + α n ) h 2 θ) = n=1 H n cos nθ 2 3 π + α ) n h 3 θ) = n=1 H n cos nθ π + α ) n 1.11)

11 CAMPO MAGNETICO ROTANTE 8 Sapendo che H M = 2NI δπn e sostituendo le espressioni delle correnti, il precedente sistema diventa: h 1 θ, t) = n=1 H Mn sin ωt cosnθ + α n ) h 2 θ, t) = n=1 H Mn sin ωt 2 3 π) cos nθ 2 3 π + α ) n 1.12) h 3 θ, t) = n = 1 H Mn sin ωt π) cos nθ π + α ) n Applicando le formule di prostaferesi e considerando l ipotesi di linearità della macchina, il campo magnetico risultante limitato alla sola prima armonica h σ1 θ, t) è dato dalla somma dei singoli campi di ogni fase, ovvero: h σ1 θ, t) = 1 [ 2 H M sinωt θ α 1 ) + sinωt + θ + α 1 )+ + sin ωt 2 3 π θ + 2 ) 3 π α 1 + sinωt 2 3 π + θ 2 ) 3 π + α sin ωt π θ 2 ) 3 π α 1 + sinωt π + θ + 2 )] 3 π + α 1 Operando le opportune semplificazioni si ottiene: 1.13) h σ1 θ, t) = 1 [ 2 H M 3 sinωt θ α 1 ) + sinωt + θ + α 1 ) + sin ωt + θ 4 ) 3 π + α 1 + }{{} + sin ωt + θ + 4 ) ] 3 π + α 1 }{{} 1.14) Poichè i termini evidenziati costituiscono una terna simmetrica di vettori la cui somma istante per istante è pari a 0, il campo complessivo approssimato alla prima armonica assume la seguente forma: h σ1 θ, t) = 3 2 H M sinωt θ α 1 ) 1.15) Abbiamo dimostrato che se alimentiamo i tre avvolgimenti di statore con una sequenza diretta di correnti si ottiene la componente diretta di campo che si muove con velocità θ = ω. Qualora si alimentassero i tre avvolgimenti di statore con una sequenza inversa di correnti invertendo tra loro le correnti delle fasi 2 e 3, si otterrebbe la componente inversa che si muove con velocità θ = ω. Vediamo, ora, la forma assunta dal campo magnetico rotante per l n-esima

12 CAMPO MAGNETICO ROTANTE 9 armonica: h σn θ, t) = 1 [ 2 H Mn sinωt nθ α n ) + sinωt + nθ + α n )+ + sin ωt 2 ) 3 π nθ + n2 3 π α n + sinωt 2 ) 3 π + nθ n2 3 π + α n + + sin ωt + 2 ) 3 π nθ n2 3 π α n + sinωt + 2 )] 3 π + nθ + n2 3 π + α n Raccogliendo e semplificando, si ha: 1.16) h σn θ, t) = 1 [ 2 H Mn sinωt nθ α n ) + sinωt + nθ + α n )+ + sin ωt nθ + n 1) 2 ) 3 π α n + sinωt + nθ n + 1) 2 ) 3 π + α n + + sin ωt nθ n 1) 2 ) 3 π α n + sinωt + nθ + n + 1) 2 )] 3 π + α n E possibile distinguere tre gruppi di armoniche: 1. primo gruppo tale per cui n=3k; 2. secondo gruppo tale per cui n=3k+1; 3. terzo gruppo tale per cui n=3k+2. Sia k=1,2,3..., allora si ha: 1.17) ARMONICHE DEL PRIMO GRUPPO: sono tutte quelle multiple di 3 3,6,9...); ponendo k=1 si ottiene n=3. Sostituendo nella 1.17) il valore n=3, si ottengono due terne simmetriche ed equilibrate di vettori, la cui somma è nulla. Quindi tutte le armoniche del 1 gruppo, hanno come campo risultante un campo nullo per ogni valore di k. ARMONICHE DEL SECONDO GRUPPO: sono la 4,7,13...; ponendo k=1 si ottiene n=4. Questa armonica non è presente essendo pari; quindi si pone k=2 e si ha n=7. Sostituendo nella 1.17) il valore n=7 si ha: h σ7 θ, t) = 1 [ 2 H M7 sinωt 7θ α 7 ) + sinωt + 7θ + α 7 )+ + sin ωt 7θ + 7 1) 2 ) 3 π α 7 + sinωt + 7θ 7 + 1) 2 ) 3 π + α sin ωt 7θ 7 1) 2 ) 3 π α 7 + sinωt + 7θ ) 2 )] 3 π + α )

13 CAMPO MAGNETICO ROTANTE 10 Operando le opportune semplificazioni si ottiene: h σ7 θ, t) = 3 2 H M7 sinωt 7θ α 7 ) 1.19) con H M7 = 2NI M 7δπ ARMONICHE DEL TERZO GRUPPO: sono la 5,8,11...; ponendo k=1 si ottiene n=5. Sostituendo nella 1.17) il valore n=5 si ha: h σ5 θ, t) = 1 [ 2 H M5 sinωt 5θ α 5 ) + sinωt + 5θ + α 5 )+ + sin ωt 5θ + 5 1) 2 ) 3 π α 5 + sinωt + 5θ 5 + 1) 2 ) 3 π + α sin ωt 5θ 5 1) 2 ) 3 π α 5 + sinωt + 5θ ) 2 )] 3 π + α 5 Operando le opportune semplificazioni si ottiene: 1.20) h σ5 θ, t) = 3 2 H M5 sinωt + 5θ α 5 ) 1.21) con H M5 = 2NI M 5δπ Nella seguente figura si riporta l andamento della fondamentale, della quinta e della settima armonica. Figura 1.8: Andamento nel tempo della scomposizione in armoniche del campo magnetico rotante. Dal grafico si deduce che:

14 CAMPO MAGNETICO ROTANTE 11 l armonica fondamentale, si annulla per un istante generico t tale che ωt θ α 1 = 0 t = θ + α 1 ω la settima armonica ha un ampiezza pari a 1 7 ruota nello stesso verso con velocità θ = ω 7 ; della fondamentale e la quinta armonica ha un ampiezza pari a 1 5 ruota in verso opposto con velocità θ = ω 5. della fondamentale, ma