Esperimenti computazionali con Mathematica: la trasformata di Fourier

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1 Matematica Open Source Quaderni di Analisi Matematica 06 Esperimenti computazionali con Mathematica: la trasformata di Fourier Marcello Colozzo Ω

2 LA TRASFORMATA DI FOURIER La trasformata di Fourier Proponiamo un semplice esempio in modo da capire i concetti fondamentali, che ci darà tra l altro, la possibilità di calcolare la trasformata a mano, cioè senza eseguire calcoli mostruosi. Supponiamo di avere una grandezza y variabile in funzione del tempo t, secondo la legge: { A cos ω0 t, se t [ τ f (t) =, ] τ 0, se t / [ τ, ] τ, () essendo ω 0 la frequenza angolare, come riportato in fig.. y A Τ Τ t A Figura : Andamento in funzione del tempo della grandezza y data dalla (). La grandezza f (t) non è periodica, ma è tuttavia esprimibile attraverso uno sviluppo in integrale di Fourier: f (t) = g (ω)e iωt dω, () da cui vediamo che f (t) si esprime come una sovrapposizione lineare di infiniti termini monocromatici (o armonici o componenti di Fourier) di frequenza ω variabile da a. La funzione g (ω) è continua in (, ) ed è tale che g (ω)dω è l ampiezza delle componenti di Fourier la cui frequenza è compresa tra ω e ω + dω. Ne consegue che la funzione g (ω) è la densità spettrale nota anche come trasformata di Fourier della f (t). Invertendo la (): f (t)e iωt dt (3) Per determinare la densità spettrale della () utilizziamo la notazione complessa: { Ae iω 0 f (t) = t, se t [ τ, ] τ 0, se t / [ τ, ] τ (4)

3 LA TRASFORMATA DI FOURIER Quindi A τ/ e i(ω0 ω)t dt τ/ = A i (ω 0 ω) ei(ω 0 ω)t τ/ τ/ = A [ e i(ω 0 ω) τ e i(ω 0 ω) ] τ i (ω 0 ω) = A i sin ( ω 0 ω τ ) i (ω 0 ω) Cioè sin ( ω ω 0 τ ) A (5) π ω ω 0 Tale funzione è definita in R {ω 0 }. Studiamo il comportamento in un intorno di ω 0 : ( lim A ω ω 0 π lim sin ω ω0 τ ) ω ω 0 ω ω 0 Eseguendo il cambio di variabile x = ω ω 0τ, si ha: ( ω ω0 τ ) Quindi: Prolungando per continuità: sin lim ω ω 0 ω ω 0 { = τ lim sin x x 0 x = τ lim Aτ ω ω 0 A sin( ω ω 0 τ) ω ω 0, se ω ω 0 π (6) Aτ, se ω = ω 0 Notiamo che ω 0 è un punto di massimo assoluto per g (ω), mentre i punti di massimo relativo si ottengonon risolvendo: ( ) ω ω0 sin τ =, cioè: ω k = ω 0 + π ( + 4k), k Z τ Inoltre dall espressione analitica di g (ω) vediamo che tale funzione è un oscillazione sinusoidale modulata da (ω ω 0 ), come illustrato in fig.. Inoltre, dalla fig. vediamo che il contributo dominante a f (t) proviene dalle componenti di Fourier con frequenza prossima a ω 0. D altra parte, al crescere della durata τ del segnale, la densità spettrale diviene progressivamente più piccata intorno a ω 0, come mostrato dal grafico di fig. 3. Al limite: Aτ = g (ω) A δ (ω ω 0 ), τ τ dove δ (ω ω 0 ) è la funzione delta di Dirac centrata in ω 0. In tal caso, dalla () abbiamo: f (t) = A = Ae iω 0t, δ (ω ω 0 ) e iωt dω

4 LA TRASFORMATA DI FOURIER AΤ Π Ω Ω 0 Ω Ω Ω Figura : Andamento della densità spettrale della grandezza y = f (t) data dalla (). Ω Figura 3: All aumentare della durata τ, la densità spettrale diviene estremamente piccata intorno a ω 0. Ciò vuol dire che il contributo dominante a f (t) proviene dalle componenti di Fourier con ω ω 0. Viceversa, per ω ω 0, il contributo è trascurabilmente piccolo. 3

5 LA TRASFORMATA DI FOURIER CON MATHEMATICA da cui prendendo la parte reale: f (t) = A cos ω 0 t, t R Viceversa, al diminuire di τ la distribuzione g (ω) delle frequenze tende ad allargarsi, come mostrato in fig. 4. Ω 0 Ω Figura 4: Al diminuire della durata τ, la densità spettrale tende ad allargarsi intorno a ω 0. Ciò vuol dire che le componenti di Fourier con ω ω 0 forniscono un contributo non trascurabile. Per τ 0, abbiamo un segnale y = f (t) impulsivo, i.e. deltiforme: y = Aδ (t) a cui contribuiscono tutte le componenti di Fourier con ω da a. Infatti: A δ (t)e iωt dt = A e iω 0 = A, ω (, ) La trasformata di Fourier con Mathematica Per quanto visto nella sezione precedente, assegnata una funzione f (t) sufficientemente regolare, più precisamente appartenente allo spazio funzionale L (R), abbiamo la seguente rappresentazione integrale: f (t) = g (ω)e iωt dω, (7) dove g (ω) è la trasformata di Fourier di f (t): f (t)e iωt dt 4

6 LA TRASFORMATA DI FOURIER CON MATHEMATICA In termini operatoriali, l equazione precedente si scrive: dove F t [f (t)] (ω), f L (R), (8) F t [f (t)] (ω) = f (t)e iωt dt, f L (R) (9) In altri termini, il risultato dell applicazione dell operatore F t all elemento f dello spazio funzionale L (R), è la trasformata di Fourier di f. La (7) ci dice che tale operatore è dotato di inverso: f (t) = F t [g (ω)] (t) (0) Esistono alcune convenzioni riguardo al coefficiente moltiplicativo () / e al segno dell esponente nell esponenziale immaginario. Ad esempio, possiamo scrivere: f (t) = g (ω)e iωt dω e viceversa. Oppure: f (t) = f (t)e iωt dt g (ω)e iωt dω f (t)e iωt dt La scelta delle singole convenzioni è legata all ambito applicativo della trasformata di Fourier. Mathematica utilizza la seguente espressione generale: b () a f (t)e ibωt dt dove a, b sono coefficienti tali che a {0,, }, b {, }. Più precisamente:. Fisica moderna: a = 0, b =. Queste sono le impostazioni di default dell istruzione FourierTransform con cui Mathemtica calcola la TF. Quindi: f (t) = g (ω)e iωt dω () f (t)e iωt dt. Matematica, ingegneria: a =, b =. f (t) = g (ω)e iωt dω f (t)e iωt dt () 5

7 LA TRASFORMATA DI FOURIER CON MATHEMATICA 3. Fisica classica: a =, b =. f (t) = g (ω)e iωt dω f (t)e iωt dt (3) 4. Teoria dei segnali: a = 0, b = f (t) = g (ν) = g (ν)e iνt dν f (t)e iνt dt (4) Ciò premesso, proviamo a calcolare con Mathematica (nelle impostazioni di default) la TF di un segnale modulato in ampiezza: f (t) = Ae kt U (t) sin ω 0 t, (5) dove k > 0 è una costante con le dimensioni dell inverso di un tempo, mentre U (t) è la funzione unit step. Per ω 0 = 0 3 s, k = 0 s, A =, la trasformata di Fourier è: π iω 00ω, (6) Plottando g (ω) logaritmicamente su entrambi gli assi, fornisce il grafico di fig. 5, da cui vediamo che il contributo dominante proviene dalle componenti di Fourier di frequenza ω Ω Figura 5: Grafico del modulo della densità spettrale del segnale modulato in ampiezza (5). Proviamo ora a calcolare la TF della funzione: {, se x a f (t) = 0, se x > a, (7) il cui grafico è riportato in fig. 6. La trasformata di Fourier per a = è 6

8 LA TRASFORMATA DI FOURIER CON MATHEMATICA a a t Figura 6: Grafico della funzione (7) Ω 0. Figura 7: Grafico della TF della funzione (7) per a =. 7

9 LA TRASFORMATA DI FOURIER CON MATHEMATICA sin ω π ω, (8) graficata in fig. 7. Se proviamo ad aumentare a, ad esempio ponendo a = 4, vediamo che la densità spettrale diviene più piccata intorno a ω = 0, come illustrato nel grafico di fig Ω Figura 8: Grafico della TF della funzione (7) per a = 4. Nel limite per a, riesce δ (ω). Il file pdf contenente il codice Mathematica per eseguire la TF degli esempi proposti può essere prelevato da questa risora on-line. 8