Approssimazione di Stirling

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1 Approssimazione di Stirling Marcello Colozzo Rappresentazione integrale della funzione gamma Ricordiamo il teorema: Teorema 1 Sia ψ (t) la funzione complessa della variabile reale t: z C Rez >, risulta: 1. ψ (t) sommabile in (, ) ψ (t) = t z 1 e t, (z C) 2. La funzione gamma ammette la seguente rappresentazione integrale: Γ (z) = t z 1 e t dt (1) Siamo interessati ai valori reali della variabile indipendente: = t x 1 e t dt, x (, ) (2) Proposizione 2 Γ (x + 1) = x (3) Dimostrazione. Dalla (2): Γ (x + 1) = t x e t dt Eseguendo un integrazione per parti: t x e t dt = t x d ( e t) = [ t x e t] t= t= }{{} = = x t x 1 e t dt, ( e t ) xt x 1 dt onde l asserto. 1

2 Corollario 3 Γ (n + 1) = n!, n N Dimostrazione. Dalla (3) per x = n N Ma dalla (2) Γ (n + 1) = nγ (n) Γ (1) = = n (n 1) Γ (n 2) = n (n 1) (n 2)... 2Γ (1) e t dt = e t t= t= = +1, da cui l asserto. Ne consegue che la funzione gamma è un prolungamento della successione ricorsiva fattoriale di n :! : n N n (n 1) (n 2) da N all intervallo (, ). Abbiamo:! : x (, ) x!, essendo x! = x, x (, ), conservando la convenzione! = 1. In definitiva: x! = { x se x > 1, se x = (4) Riscriviamo la (2): = t x e tdt t La presenza di dt t = d ln t suggerisce di eseguire il cambio di variabile t ln t. Ma prima di eseguire una tale operazione cerchiamo di isolare il termine in x. A tale scopo, consideriamo una funzione di prova χ (x) >, x (, ) e convergente per x +. Dividendo primo e secondo membro per ϑ (x): χ (x) = ( t x χ (x) ) e tdt t Guardando l integrando, segue che la scelta più ovvia è χ (x) = : (5) = ( ) x t e tdt x t (6) E allora il giusto cambio di variabile è: τ = ln 2 ( ) t, x

3 L integrando diventa: ( ) x t e tdt x t = τ) e x(eτ dτ, mentre gli estremi di integrazione: In tal modo la (6) si scrive: Per un assegnato x (, ): < t = xe τ < = x> < e τ < = < τ < = = x=x e x(eτ τ) dτ, (7) dove f (τ) è la funzione reale della variabile reale τ: f (τ)dτ, (8) f (τ) = e x (e τ τ), (9) che dipende parametricamente da x. In fig. 1 è riportato l andamento del grafico della funzione f (τ), da cui vediamo che tale funzione è apprezzabilmente diversa da zero nelle immediate vicinanze dell origine. Η e x Τ Figure 1: Grafico della funzione f (τ) = e x (τ e τ) per x = 1. Il grafico è estremamente piccato intorno all origine, mentre la funzione si annulla rapidamente per x. Si badi che il grafico non è simmetrico rispetto all asse η, poichè f (τ) non ha parità definita. Il massimo assoluto della funzione è maxf = f () = e x. Notiamo poi che per x = la funzione si riduce alla funzione costante f (τ) = 1, e l integrale diverge, come appunto doveva essere. x = dτ = + x=x 3

4 Guardando la (8) si ha che Γ(x) x=x è la misura del rettangoloide generalizzato R (x ) di base R relativo alla funzione f (τ). R (x ) = { (τ,η) R 2 < τ <, η f (τ) } Quindi: Risulta: = misr (x ) <, x (, ) x=x misr (x ) =, x + poichè per x +, per quanto visto sopra, R (x ) è il rettangoloide generalizzato relativo alla funzione costante f (τ) = 1 e che, quindi, ha misura infinita. Studiamo il comportamento nel ite opposto, cioè per x. Innanzitutto osserviamo che: per cui: min f = x x e x = +, x = f (τ) =, τ R Cioè, per x, la funzione f (τ) si riduce alla funzione identicamente nulla. In sintesi x + = f (τ) è la funzione costante ( = 1) x = f (τ) è la funzione identicamente nulla Ciò può essere visto anche graficamente plottando f (τ) per diversi valori di x, come riportato in fig. 2. Η Τ Figure 2: In questa figura plottiamo la funzione f (τ) = e x (e τ τ) per x variabile in {1, 2,..., 1}. All aumentare di x il grafico della funzione tende a schiacciarsi sull asse x, e nel ite per x, tende alla funzione identicamente nulla. 4

5 È noto che: Inoltre: Per quanto visto sopra: x = x x xx = e x (e τ τ) dτ = + = x = x=x o, ciò che è lo stesso: = x Cioè, per x, la funzione Γ è un infinito di ordine inferiore a. Riscriviamo la (8): = F (x ) x=x dove: F (x ) = Come è noto, l approssimazione di Stirling è data da: e x 2π, x=x x cosicchè: F (x ) e x f (τ) dτ (1) 2π x def = S (x) (11) Ciò premesso, tentiamo una approssimazione differente. Per quanto visto, f (τ) è apprezzabilmente diversa da zero in un opportuno intorno di τ =. Ciò suggerisce la seguente approssimazione per la funzione f (τ): f (τ), se τ A (x ) f (τ) =, se τ / A (x ), dove A (x ) è un intorno di τ = la cui ampiezza dipende da x. Per essere più specifici: A (x ) = {τ R f (τ) > ε}, dove < ε < 1 dipende dall approssimazione. Per determinare l ampiezza di A (x ) si risolve dapprima (numericamente) l equazione: f (τ) = ε, che ammette due radici τ 1 <, τ 2 > con τ 1 τ 2 (questa disuguaglianza deriva dal fatto che il grafico di f (τ) non è simmetrico rispetto all asse delle ordinate). Per un assegnato ε 5

6 le radici τ 1 e τ 2 dipendono da x, per cui è τ 1 (x ), τ 2 (x ). Assumiamo come ampiezza di A (x ): δ ε (x ) = max { τ 1 (x ),τ 2 } = τ 1 (x ) Quindi il valore approssimato di F (x ) è: F app (x ) = δ ε(x ) f (τ)dτ (12) δ ε(x ) Dall analisi dell andamento del grafico di f (τ) al variare di x in (, ), si deduce che: δ ε (x ) =, x + δ ε (x ) = + x Cioè al crescere di x l ampiezza dell intervallo di integrazione si riduce progressivamente. Quindi, per x 1 possiamo tentare un qualche sviluppo in serie dell integrando f (τ), dato che in questo ite ci troviamo in un intorno di τ =. Ricordiamo che: avendo posto per definizione: f (τ) = e x g(τ), g (τ) = e τ τ Possiamo allora sviluppare g (τ) in serie di Taylor troncata a un ordine assegnato N. g (τ) = N c k τ k, c k = 1 k! g(k) () k= Abbiamo: F app (x ) = δ ε(x ) e x N k=c k τk dτ, per cui: dove: δ ε(x ) F app (x ) = I k (x ) = N I k (x ), k= δ ε(x ) e x c k τ k dτ In definitiva: δ ε(x ) x=x N I k (x ) k= In forza dell arbitrarietà di x >, possiamo scrivere: N I k (x) (13) 6 k=

7 Si osservi che possiamo dalla (13) possiamo ricavare una equazione esatta, nel ite per N,δ ε, cosicchè: = e k![ x d dτ (eτ τ)] τ k τ= dτ k= 7