df = I dl B df = dq v B

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1 Forza Magnetica su un conduttore

2 Forza magnetica agente su un filo percorso da corrente Consideriamo un filo percorso da una corrente in presenza di un campo magnetico. Agirà una forza su ciascuna delle cariche che si muovono nel filo. Quale sarà la forza totale netta df su una porzione di filo di lunghezza dl? Consideriamo una carica dq che si muove con velocità v lungo un filo di sezione A. Forza su ciascuna carica Forza su dq Poichè e I q v df dq v dq d v dt l dt Per un filo di lunghezza L che trasporta una corrente I, la forza agente su di esso è: df I dl F dq N I IL S dl v

3 Forza Magnetica su un conduttore z z df df dl y y dl Se il filo ha una lunghezza finita L e è uniforme allora: b b F I ( dl ) I dl I L a a

4 Forza Magnetica su un conduttore Se il filo è una spira chiusa e è uniforme allora: F I d l 0 poichè dl 0 La forza magnetica netta agente su una spira chiusa immersa in un campo magnetico uniforme è NULLA

5 Conduttore percorso da corrente I, in un campo uniforme e. Consideriamo le due forze agenti: parte rettilinea F I IR 1 l 2 poichè 2 l direzione uscente dal grafico semicirconferenza : df I ds I senθ ds poichè s Rθ e quindi ds Rdθ df IR senθ dθ, diretta verso l'interno del grafico per ottenere F integriamo : 2 2 π Es.: Forza agente su un conduttore semicircolare ( π ) ( ) [ ] F IR senθ dθ IR senθ dθ IR -cosθ IR cos cos0 IR 1 1 2IR F F + F π π

6 Forza su una spira percorsa da corrente Se la spira non è immersa completamente nel campo magnetico, la forza sulla spira può essere 0. F L Corrente I nella spira F R F uscente dalla pagina La forza magnetica sulla parte alta della spira è 0 poichè 0. La forza magnetica sulle due sezioni verticali (sinistra e destra) della spira sono eguali e opposte. La forza totale F tira la spira verso il basso

7 Forza su una spira percorsa da corrente E sempre importante considerare la simmetria. Nella figura in basso un filo che porta una corrente I consiste di due sezioni dritte ed una a semicerchio. dϕ ϕ df dl i F L F R verso l interno della pagina Dividiamo il segmento in 3 sezioni: sinistra e destra dritte più quella semicircolare

8 Forza su una spira percorsa da corrente Le forze sulle sezioni dritte sono eguali e opposte Dividiamo il semicerchio in elementi infinitesimi dl Rdϕ df i dl df irdϕ df ir sinϕdϕ y F X 0 poichè le componenti si cancellano tra loro a causa della simmetria del semicerchio. π π π y ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ F F ir sin d ir sin d ir cos 2iR Si sarebbe potuto ottenere lo stesso risultato notando che: 2R

9 Forza magnetica su una spira percorsa da corrente Consideriamo una spira in un campo magnetico (vedi fig.): Se il campo è al piano della spira, la forza totale agente sulla spira è 0! la forza sul tratto superiore cancella quella sul tratto inferiore (F IL) la forza sul tratto destro cancella quella sul tratto sinistro. (F IL) Se il piano della spira non è al campo, ci sarà un momento torcente non-nullo agente sulla spira! F F I F F F. F

10 Momento torcente (motori elettrici) b b τ F1 sen( θ ) + F3 sen( θ ) ( i a ) b sen( θ ) i ab sen( θ ) 2 2 per N spire τ Nτ N i ab sin θ N i A θ ( ) ( ) sin ( )

11 Forze magnetiche e motori elettrici

12 Calcolo del momento torcente Supponiamo che la bobina abbia larghezza w (il lato che si vede) e lunghezza L (verso l interno dello schermo). Il momento torcente è dato da: Definiamo r 1 e r 2 come i vettori distanza dal centro della spira verso sinistra e destra, essendo L la lunghezza totale. τ r F F 1 r 1 r 2 w/2 w/2 F 2 τ τ + τ 1 2 I vettori τ 1 e τ 2 puntano entrambi all interno della pagina. Anche il momento totale punta all interno della pagina. τ w 0 w 0 w w F1 sin 90 + F2 sin 90 il + il iwl

13 τ IA Calcolo del momento torcente Poichè wl è l area A racchiusa dalla spira, allora In generale, il momento torcente è: τ IA A θ w F F. dove τ AI sinθ A wl area spira r r F A A Notare: se, sinθ 0 0 τ 0 τ massimo quando è parallelo a F

14 Applicazioni: strumenti ad indice

15 Momento di Dipolo Magnetico Possiamo definire il momento di dipolo magnetico di una spira percorsa da corrente come segue: modulo : µ AI direzione: al piano della spira nella direzione del pollice della mano destra se le dita indicano la direzione della corrente. θ F θ µ F. Il momento torcente può quindi essere riscritto come: τ AI sinθ τ µ Se vi sono N avvolgimenti (bobina), µ NAI

16 Analogia con il dipolo Elettrico +q τ r F τ r F F q E p 2qa τ F p F p E. -q E θ F θ µ F IL µ NAI τ µ F. (per avvolgimento)

17 Dipolo magnetico

18 Leggi di iot-savart e di Ampère θ r d θ P R i i dl

19 Leggi fondamentali per il calcolo di Legge di iot-savart Legge di Ampere ( forza bruta ) ( elevata simmetria ) Esempio: campo generato da un filo rettilineo da legge di iot-savart da legge di Ampere Forza esercitata su due conduttori paralleli percorsi da corrente

20 Analogia: Calcolo del Campo Elettrico due metodi di calcolo legge di Coulomb E 1 4πε 0 q r 2 rˆ forza bruta" legge Gauss ε 0 E ds q alta simmetria" Quali sono le analoghe equazioni per il Campo Magnetico?

21 Calcolo del Campo Magnetico due metodi di calcolo legge di iot-savart µ 0i ds r d 4π 3 i r forza bruta" legge di Ampere ds µ 0i alta simmetria" Sono equazioni analoghe

22 d r ds θ Legge di iot-savart r X d esperimento: d ds d r d 1 2 r d i d ds d sen θ ( ) i... riassumendo in formula d k m I ds rˆ r 2

23 d r ds θ Legge di iot-savart r d I ds rˆ µ ˆ 0 I ds r k m 2 2 r 4π r 7 T m µ 0 4π 10 2 A permeabilità magnetica X 1 c d ε µ 0 0 Il campo magnetico è distribuito intorno al filo i La legge di -S fornisce il valore del campo magnetico generato in un punto dall elemento di corrente I ds Per calcolare il valore totale occorre sommare vettorialmente i contributi di tutti gli elementi di corrente (integrare)

24 dovuto a un filo rettilineo Calcoliamo il campo in P usando la legge di iot-savart : d µ 0i d r 3 4π r Direzione di? +z θ r d y θ P R i d + µ 0i ( d) r sinθ 3 4π r Il risultato finale è: 2 µ i 0 π R vediamo come...

25 dovuto a un filo rettilineo Calcoliamo il campo in P usando la legge di iot-savart d d + µ 0i d r 3 4π r Direzione di? +z µ 0i ( d) r sinθ 3 4π r scriviamo θ in termini di R : R r sinθ tan R θ y P θ r R θ d i R cot θ 1 quindi, d R dθ 2 sin θ d 2 r dθ R

26 dovuto a un filo rettilineo π µ i dθ 0 0 4π R sin θ θ r d θ P R i µ i π µ 0I 0 sinθdθ [ ] π cosθ 0 4πR 4πR 0 quindi, µ i 0 2πR

27 dovuto ad un filo di lunghezza finita P ϑ2 ϑ2 µ 0 i d d ϑ 4π y µ µ [ sinϑ sin( ϑ )] 1 [ ] 0 0 sinϑ sinϑ2 sin( ϑ1 ) cosϑ ϑ i i 4π y 4π y µ i 4π y θ θ 1 y 2 i y lungh. segmento ϑ ϑ ϑ

28 Esempio 1 Qual è il valore del campo magnetico al centro della spira di raggio R, in cui scorre una corrente i? i R (a) 0 (b) (µ 0 i)/(2r) (c) (µ 0 i)/(2πr) Usiamo iot-savart per calcolare il campo magnetico al centro della spira: µ 0 i ds d 3 4π r Teniamo conto che: ids is sempre perpendicolare a r r è costante (r R) µ i ( ds) R µ i µ i d 0 ds 0 0 (2π R) 4π R 4π R 4π R r µ 0i 2R

29 Elevata simmetria Legge di Ampere L integrale di linea dl lungo un qualsiasi percorso chiuso è uguale a µ 0 I, con I corrente continua totale concatenata col percorso chiuso. dl µ 0I Integrale lungo un cammino sperabilmente uno semplice Corrente racchiusa dal cammino I

30 Calcoliamo il campo a distanza R dal filo usando la legge di Ampere: Scegliamo come linea chiusa un cerchio di raggio R centrato sul filo in un piano al filo. Perchè? dovuto ad un filo rettilineo Il valore di è costante (funzione di R soltanto) La direzione di è parallela al percorso. ds µ i i dl R Calcoliamo l integrale di linea: ds ( 2πR ) La corrente racchiusa dal percorso vale i Applichiamo la Legge di Ampere: µ 0i 2 πr µ i 0 2 πr La legge di Ampere semplifica il calcolo grazie alla simmetria della corrente! (assiale/cilindrica) 0

31 Esempio 2 Una corrente i fluisce in un filo rettililineo infinito nella direzione +z (vedi fig.). Un cilindro infinito concentrico di raggio R porta una corrente 2i nella direzione -z. Quanto vale il campo magnetico (a) nel punto a, appena al di fuori del cilindro? (a) (a) < 0 (b) (a) 0 (c) (a) > 0 Lo schema ha una simmetria cilindrica Applicando la legge di Ampere, si vede che il campo nel punto a deve essere il campo prodotto da un filo infinito percorso da una corrente i nella direzione z! i y a b i 2i

32 Esempio 3 Una corrente i fluisce in un filo rettililineo infinito nella direzione +z (vedi fig.). Un cilindro infinito concentrico di raggio R porta una corrente 2i nella direzione -z. Quanto vale il campo magnetico (a) nel punto b, appena dentro il cilindro? (a) (b) < 0 (b) (b) 0 (c) (b) > 0 y a b i 2i Questa volta, il percorso di Ampere racchiude solo la corrente i in direzione +z il percorso è interno al cilindro! La corrente nel tubo cilindrico non contribuisce al valore di nel punto b. i

33 Domanda Come facciamo a verificare il risultato precedente? Ci aspettiamo che generato dal filo sia i/r. Misuriamo la FORZA agente sul filo che porta la corrente, dovuta al campo generato da UN SECONDO FILO attraversato da corrente! d F i b i a Come dipende questa forza dalle correnti e dalla distanza di separazione?

34 F su 2 Fili Paralleli percorsi da corrente Calcoliamo la forza su una lunghezza L del filo b dovuta al campo generato da a: Il campo in b dovuto ad a è : L i a F i b d a µ 0ia 2πd Modulo di F agente su b F b i b L a µ 0iai 2πd b L Calcoliamo la forza sulla lunghezza L del filo a dovuta al campo generato da b: Il campo in a dovuto a b è : µ 0ib b Modulo di F F 2πd a ia agente su a L L i a b i b µ 0iaibL 2πd d F

35 Forza tra due conduttori paralleli Correnti parallele e concordi si attraggono, mentre correnti parallele e discordi si respingono. La forza che agisce tra le correnti è utilizzata per definire l ampere: L Ampere è quella corrente costante che, se mantenuta in due conduttori rettilinei di lunghezza infinita, di sezione circolare trascurabile, e posti ad 1 m di distanza, producono su ognuno di questi conduttori una forza pari a N per m di lunghezza.

36 all interno di un filo rettilineo infinito Supponiamo che una corrente totale i scorra attraverso il filo di raggio a verso l interno dello schermo. Calcoliamo in funzione di r,, la distanza dal centro del filo. r a Il campo è funzione solo di r scegliamo un percorso circolare di raggio r: dl (2πr) Corrente che scorre nella sezione di raggio r : Legge di Ampere : dl µ i i r a 2 racchiusa 2 0 o racchiusa 2 i µ i r 2π a

37 all interno di un filo rettilineo infinito All interno del filo: (r < a) µ 0i r 2π a 2 a All esterno del filo: ( r > a ) µ 0i 2π r r

38 di un Solenoide Un campo magnetico costante può essere prodotto (in linea di principio) da una lamina di corrente. In pratica, però, si preferisce usare un solenoide. Un solenoide è caratterizzato da una corrente I che score in un filo avvolto a spirale n volte per unità di lunghezza intorno ad un cilindro di raggio a e lunghezza L. Se a << L, è, in prima approssimazione, contenuto all interno del solenoide, in direzione assiale, con intensità costante. In queste condizioni (ideali), calcoliamone il valore con la legge di Ampere. L a

39 di un Solenoide Per calcolare il campo di un solenoide usando la legge di Ampere, giustifichiamo l ipotesi che sia nullo all esterno del solenoide. Consideriamo il solenoide come composto da 2 lamine di corrente. I campi risultano concordi nella regione interna e discordi in quella esterna (cancellandosi). Disegnamo un percorso rettangolare di l w: dl l ( solo il contributo di l interno 0) I nli µ ni 0 w l

40 Toroide Il Toroide è descritto da un numero totale N di spire percorse dalla corrente i. 0 all esterno! (Supponiamo di integrare lungo un cerchio esterno) Per trovare all interno interno, consideriamo un cerchio di raggio r, centrato al centro del toroide. dl I (2π r) Ni Applichiamo Ampere: dl µ 0I µ 0Ni 2πr r

41 Origini del magnetismo moto orbitale elettroni: complessivamente si cancella momento intrinseco di spin: sempre presente, in alcuni materiali dà origine ad un momento magnetico totale macroscopico Effetto di magnetizzazione indotta

42 Proprietà magnetiche della materia