e campi magnetici Domande

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1 Capitolo Interazioni magnetiche Domande 1. Se si usa la mano sinistra per determinare il verso della forza magnetica che agisce su una carica positiva in moto in un campo magnetico, si ottiene il verso opposto a quello corretto.. Dato che la particella, la cui velocità è perpendicolare al campo magnetico, attraversando il campo non subisce deflessioni, ne deduciamo che essa è elettricamente neutra. Le particelle 1 e 3 descrivono traiettorie circolari. La figura sotto mostra la direzione della forza magnetica (centripeta) che agisce sulla particella. Orientiamo le dita della mano destra nella direzione del campo (cioè entranti nel foglio), in modo che il pollice punti nella direzione di moto della particella 1, il palmo della mano punta verso il centro della traiettoria circolare descritta dalla particella. Per la prima regola della mano destra possiamo concludere che la particella 1 è carica positivamente. Puntiamo ora le dita della mano destra nella direzione del campo (entranti nel foglio), in modo che il pollice punti nella direzione di moto della particella 3, il palmo della mano punta dalla parte opposta al centro della traiettoria circolare descritta: per la prima regola della mano destra, la particella 3 è carica negativamente. #1 3. In ogni camera la particella descrive un quarto di circonferenza. Il disegno a destra mostra la direzione che deve avere la forza centripeta che agisce sulla particella, in ogni camera, perché essa possa descrivere quella traiettoria. La particella carica può descrivere una traiettoria circolare se viene immessa in una regione in cui è presente un campo magnetico perpendicolare alla direzione della sua velocità. Nella camera 1, se il palmo della mano destra è rivolto nella direzione di in modo che il pollice indichi la direzione di moto della particella, le dita devono uscire dalla pagina. Questa dovrebbe essere la direzione che deve avere il campo magnetico perché una carica positiva descriva la traiettoria indicata nella camera 1. Dato che la particella è negativa, il campo magnetico deve avere verso opposto, cioè deve entrare 4 3 nella pagina. Ragionando analogamente, nel rispetto della regola della mano destra, giungiamo a queste conclusioni: nella regione il campo deve essere uscente dalla pagina, come anche nella regione 3, mentre nella regione 4 il campo deve essere entrante nella pagina. Se la velocità della particella è v quando entra nella camera 1, deve uscire dalla camera 4 con la stessa velocità. La forza magnetica, infatti, è sempre perpendicolare alla velocità della particella e, quindi, non compie lavoro. Di conseguenza, l energia cinetica della particella rimane immutata e la velocità della particella non può cambiare. #3 1 v q Zanichelli 9

2 Capitolo Interazioni magnetiche 4. Il tubo a raggi catodici della televisione consiste in un tubo, nel quale è stato praticato il vuoto, che contiene un cannone elettronico che invia verso lo schermo un sottile fascio di elettroni ad alta velocità. La superficie interna dello schermo è ricoperta con un rivestimento fosforescente che emette un piccolo punto luminoso quando viene colpito dagli elettroni. Il campo magnetico prodotto dagli elettromagneti esercita sugli elettroni in movimento delle forze che ne incurvano la traiettoria e li inviano in punti differenti dello schermo, in modo da ricostruire l immagine. Se poniamo vicino allo schermo una calamita, il campo magnetico di quest ultima modifica le traiettorie degli elettroni e l immagine risulta distorta. 5. Sappiamo che due fili percorsi da corrente nello stesso verso si attraggono, mentre fili percorsi da corrente in verso opposto si respingono. Il filo centrale sarà quindi attratto dal filo alla sua sinistra e respinto da quello a destra: di conseguenza la forza risultante è rivolta a sinistra e il filo centrale si muoverà in quella direzione. Current 6. Il piano dell anello di corrente deve essere perpendicolare all asse magnetico terrestre, come mostra la figura a lato. Nel rispetto della seconda regola della mano destra, la corrente, osservata dal polo nord magnetico, deve circolare in senso orario. Test 1. D. C 3. A 4. D 5. A 6. B 7. B 8. A 9. B 1. C 11. A 1. A 13. B 14. A 15. B Problemi 1. La forza magnetica che agisce su una carica in movimento è q vb sen. Questa forza deve equilibrare la forza peso del protone, per cui: mg q vb sen. Risolvendo in funzione di v, otteniamo Zanichelli 9

3 Capitolo Interazioni magnetiche v. B mg q B sen (1,67 "1 7 kg)(9,8 m/s ) (1,6 "1 19 C)(,5"1 5 T) sen 9, 4,1"1 3 m/s q v sen 5,4 "1 #3 N sen 5 1,1"1 #4 T #8,3"1 #6 C 7,4 "1 6 m/s 3. La velocità dell elettrone si può ricavare dall uguaglianza ev (1/)mv, quindi 19 ( " ) ev 1,6 1 C 19V v " 31 m 9,11" 1 kg 7 8,17 1 m/s La forza magnetica è q vb senθ (1, C)(8, m/s)(,8 T) sen 9, 3,7 1-1 N 4. q vb sen Situazione 1 e q vb sen Situazione Dividendo membro a membro, otteniamo q vb sen q vb sen 1 o sen sen 1 sen5,85 sen "1 (,85) (a) q vb sen 3, (8,4 1 6 C)(45 m/s)(,3 T) sen 3, 5,7 1-5 N, entrante nel foglio. (b) q vb sen 9, (8,4 1 6 C)(45 m/s)(,3 T) sen 9, 1,1 1-4 N, entrante nel foglio. (c) q vb sen 15 (8,4 1 6 C)(45 m/s)(,3 T) sen 15 5,7 1-5 N, entrante nel foglio. 6. q vbsen. Applichiamo questa equazione due volte: 9, q vbsen9, e 38 q vbsen38 Dividiamo membro a membro le due equazioni Zanichelli 9

4 Capitolo Interazioni magnetiche 38 9, q vbsen38 q vbsen9, e ricaviamo sen , # " sen 9, 7. sen q vb dove ma. $ &,7 '1 (3 N % sen 38 # " sen 9, $ & 1,7 '1 (3 N % Quindi # & * sen "1 ma 9,11)1 % ( % $ q vb ( sen"1,, ' 1,6 )1 "19 C +, ( "31 kg) ( 3,5 )114 m/s ) ( 6,8 )16 m/s) ( 8,7 )1"4 T) - / /./ 19,7 8. +z +z +y B y,65 T v +y +x 1 θ +x B x,48 T L intensità 1 della forza magnetica dovuta al campo magnetico di,48t è 1 q vb x sen9,, 1 "5 C ( 4, 13 m/s),48 T 4, 1 "3 N L intensità della forza magnetica dovuta al campo magnetico di,65t è q vb y sen9,, 1 "5 C ( 4, 13 m/s),65 T 5,51 "3 N La parte destra del disegno indica le direzioni della forza ottenute ricorrendo alla prima regola della mano destra, nonché la direzione della forza risultante la cui intensità si ottiene dal teorema di Pitagora , " 1 N + 5,5" 1 N 6,8" 1 N in direzione: 3 1 " " # $ 1 " 1 # 4,% 1 N $ tan tan 36 & ' & " 3 5,5% 1 N ' Zanichelli 9

5 Capitolo Interazioni magnetiche 9. Applicando la regola della mano destra, dato che l elettrone ha carica negativa, deduciamo che l elettrone viene deflesso a sud. a m q vb sen m dove v ( K ) / m. Per cui a q vb sen m q (K) m B sen m ( 1,6 "1 #19 C) (,4 "1 #15 J) 9,11"1 #31 kg 9,11"1 #31 kg (, "1 #5 T) sen 9,,55 "1 14 m/s 1. La forza magnetica è magnetica q vb sen θ, ed essendo θ 9, l espressione diventa magnetica q vb. La forza elettrica vale, invece, otteniamo che il valore della forza risultante è: magnetica 1,81 "6 C + elettrica + ( q E) q vb q vb # ( 3,11 6 m/s) ( 1, 1"3 T) $% q E. Applicando il teorema di Pitagora + E 1,11 " N & '( + 4,6 1 3 N/C 11. La forza magnetica, che corrisponde alla forza centripeta della particella, deve essere rivolta verso il centro della traiettoria circolare (vedi la figura). Se la particella fosse positiva, per la regola della mano destra, la forza dovrebbe avere un verso opposto a quello rappresentato in figura: la particella è, quindi, negativa. v B (uscente) foglio) Il raggio della traiettoria circolare descritta dalla particella è r mv / q B, da cui possiamo ricavarne la massa come 4 ( " ) 8, 1 C,48 T 96 m,7 1 3 kg q Br m " v 14 m/s 1. mv r, da cui q B Zanichelli 9

6 ( 7, 13 m/s) B mv 3,6 1 "5 kg q r +1,6 1 "19 C,1 m,14 T Capitolo Interazioni magnetiche 13. The speed of a proton can be found from Equation mv r, q B v q Br m ( C)(.3 T)(.5 m) m/s kg The magnitude c of the centripetal force is given by Equation, c mv r ( kg)( m/s).5 m N 14. Il raggio della circonferenza descritta da una particella carica in un campo magnetico è Per un elettrone: ( "31 kg) 9, 16 m/s r mv 9,111 q B 1,6 1 "19 C ( 1, 1"7 T) 4,31 m mv r. q B Per un protone: ( "7 kg) 9, 16 m/s r mv 1,67 1 q B 1,6 1 "19 C ( 1, 1"7 T) 7,8 1 5 m 15. Il raggio di curvatura di una particella carica in uno spettrometro di massa è: nostro caso la particella ha una carica uguale a +e, quindi: r mv eb ( 1, 13 V) ( 1,6 1 "19 C),5 T 3,7 1 "5 kg,94 m mv r. Nel eb 16. Indicando con A e B le situazioni, inziale e finale rispettivamente, il principio di conservazione dell energia (essendo l energia gravitazionale trascurabile) si scrive 1 mv B { U B 1 mv A U A Energia cinetica finale Energia potenziale elettrica finale Energia cinetica iniziale Energia potenziale elettrica iniziale Zanichelli 9

7 Capitolo Interazioni magnetiche Ma l energia potenziale elettrica vale U q V, quindi 1 1 mvb + qv B mv A + qva Dato che v A m/s, ricaviamo v B q ( V A V B) m # +1,6 "1 19 C & $% '( 1, "16 V 6,64 "1 7 kg 1,8"1 7 m/s q v B Bsen ( 1,6 "1 #19 C) ( 1,8 "17 m/s) (, T ) sen9, 7,6 "1 #1 N Il raggio della traiettoria è: ( "7 kg) 1,8 17 m/s (, T ) r mv 6,64 1 B q B 1,6 1 "19 C,1 m 17. Il diametro della traiettoria circolare descritta dal carbonio-1 è indicato come r 1, mentre quello del carbonio-13 è indicato come r 13. La separazione spaziale dopo che i due isotopi hanno percorso una semicirconferenza è: v r 1 B (uscente) r 13 # d r 13 " r 1 m 13 v & # % $ eb ( " m 1 v & % ' $ eb ( v ' eb m 13 " m 1 ( 6,667 )1 5 m/s) ( 1,6 ) 1 "19 C) ( (,85 T ) 1,59 )1"7 kg "19,93)1 "7 kg) 1,63 ) 1 " m 18. Quando la particella carica cade verso i punti a potenziale più basso, perde energia potenziale e acquista energia cinetica: il principio di conservazione dell energia allora si esprime come 1 q V mv o v q V m Con questa espressione della velocità, il raggio della traiettoria descritta è mv m q V 1 mv r q B q B m B q Zanichelli 9

8 Capitolo Interazioni magnetiche La carica dello ione ionizzato una volta è +e, mentre la carica dello ione ionizzato due volte è +e. Il rapporto tra i raggi delle traiettorie descritte diventa: 1 mv r1 B e 1,41 r 1 mv B e 19. Analizzando la figura del testo, si comprende che, applicando la regola della mano destra, la forza magnetica sulla particella carica positivamente è diretta verso il basso della pagina. Inoltre, se l intensità della forza totale agente sulla particella è doppia della sola forza magnetica, dobbiamo dedurre che la forza elettrica deve avere la stessa intensità della forza magnetica. In formula: q E q vb sen, da cui E vb sen 7m/s (,5T) ( 1,) 14V/m. Il raggio della traiettoria circolare descritta dalla particella è r mv/( q B) e inoltre B E o q vb q E, da cui v E/B Sostituendo questa espressione della velocità nella relazione precedente e risolvendo in funzione di q m, otteniamo q m E rb 3,8 1 3 N/C 4,3 1 " m,36 T 6,8 15 C/kg 1. Il protone non raggiungerà la lamina opposta, se la distanza tra le due lamine è uguale al raggio della traiettoria circolare che descrive all interno del campo magnetico, ovvero se r mv / q B. Possiamo quindi ricavare d ( 3,516 m/s) (,3 m ) B mv 1,67 1 "7 kg q r 1,6 1 "19 C,16 T. 8 s r " mv # m (6,$ 1 kg) 3 t 8,7$ 1 s v v v % q B & q B 6 ' ( (7,$ 1 C)(3, T) 3. r mv / q B dove K v, quindi m Zanichelli 9

9 Capitolo Interazioni magnetiche r mv m q B ( K ) m q B m ( K ) q B ( 9,11 1 "31 kg) (, 1"17 J) ( 1,6 1 "19 C) ( 5,3 1"5 T),71 m 4. La forza magnetica è uguale alla forza centripeta mv / r. La distanza percorsa dalla s 1 r, ma la particella si muove a velocità costante particella è un quarto di circonferenza, 4 quindi vale anche la relazione s vt : possiamo, allora, ricavare s ( vt) r E, quindi, la forza magnetica diventa mv r mv " vt % $ ' # & mv t 7, ( 1 )8 kg 85 m/s, ( 1 )3 s 4,4 ( 1 )3 N L espressione della forza magnetica è anche q vb sen, quindi q vb sen9,, 4,4 1 "3 N 85 m/s (,31 T) sen9, 1,7 1"4 C 5. La forza che agisce sul filo conduttore è: ILB sen. Possiamo, allora, ricavare B I L sen,15 N 75 A ( 45 m) sen6, 5,1 " 1#5 T 6. ILB sen, da cui, risolvendo in funzione di θ, otteniamo # sen "1 & ), % ( sen "1 + 5,46N. $ ilb ' * + ( 1,A )(,655m) (,47T) -. 57,6 7. La forza su ciascun lato vale ILB sen θ. Per il lato superiore, θ 9,, quindi (1 A)(,3 m)(,5 T) sen 9,,96 N La forza sul lato inferiore è uguale a quella sul lato superiore, quindi,96 N. Per gli altri due lati θ, e, quindi, la forza N. 8. Il verso della corrente nel lato AB è opposto a quello del campo magnetico, quindi corrente e campo formano un angolo θ 18 e l intensità della forza su questo lato è: AB ILB sen ILB sen18 N Zanichelli 9

10 Capitolo Interazioni magnetiche Per il lato BC, l angolo θ vale 55,, la sua lunghezza è,m L 3,49m cos55, Quindi, la forza magnetica vale BC ILB sen ( 4,7A) ( 3,49m) ( 1,8T)sen55, 4,N e, per la prima regola della mano destra, è uscente dal foglio. Per il lato AC, θ 9,, la sua lunghezza è L (, m) tan 55,,86 m E la forza magnetica vale AC ILB sen ( 4,7A) (,86m) ( 1,8T)sen9, 4,N e, per la prima regola della mano destra, è entrante nel foglio. La forza risultante sul triangolo è la somma vettoriale delle forze che agiscono sui tre lati. Cioè N + 4,N + ( " 4,N) N 9. Le molle si allungheranno se la forza magnetica sulla barretta di rame sarà diretta verso il fondo della pagina: ponendo, allora, la mano destra in modo che le dita puntino nella direzione uscente dalla pagina e il palmo sia rivolto verso il fondo della pagina, il pollice sarà orientato da sinistra verso destra. Quindi, perché le molle si allunghino, la corrente deve circolare da sinistra a destra. La forza magnetica sulla barretta di rame, vale: ILB sen ( 1A) (,85cm) (,16T)sen9, 1,6N Per la legge di Hooke x kx, dove k è la costante di elasticità della molla. Dato che ci sono due molle, la forza magnetica esercitata sulla corrente deve essere uguale a kx. Da cui 1,6 N x 1,1 1 m k (75 N/m) 3. Dato che la barretta non ruota, il momento torcente totale deve essere uguale a zero. I momenti magnetici sono due e sono determinati uno dalla forza magnetica e l altro dalla forza peso della barretta. Supponiamo che entrambi agiscano sul centro di gravità della barretta, che coincide con il suo centro geometrico. Per la regola della mano destra, la forza magnetica agisce perpendicolarmente alla barretta ed è diretta verso l alto e a sinistra del disegno: quindi il momento magnetico è antiorario (e positivo). L intensità dei due momenti torcenti è : magnetico + ILB { 13 L / e peso " { mg $ %( L / ) cos #& ' forza braccio forza braccio Uguagliando a zero la somma dei due momenti, otteniamo: + ( ILB) ( L / ) ( mg) # $ ( L / ) cos "% ILB & ' cos " mg # " cos 1 ( 4,1 A (,94 kg $ ( (,45 m) (,36 T) 9,8 m/s % ) ) 44 &) Zanichelli 9

11 Capitolo Interazioni magnetiche 31. Sulla barra di alluminio agiscono tre forze: il suo peso mg, la forza magnetica e la forza normale N. Per la regola della mano destra, la forza magnetica è diretta verso sinistra, come mostra il disegno. La barra non ha accelerazione, quindi la somma delle forze applicate deve essere nulla. Orientiamo l asse x in direzione dei binari e imponiamo che Σ x ma x, da cui cos3, + mg sen3, La forza magnetica vale ILB sen θ, dove θ 9, Current (out of paper) N Aluminum rod mg x 3. o Conducting rail Uguagliando le due espressioni della forza, possiamo, infine, ricavare l intensità della corrente come: I 3. mg sen3, ( ( LB sen9, )( cos3, ),kg) ( 9,8m/s )( sen3, ) ( 1,6m )(,5T) ( sen9, )# 14A N I ABsen" N I # r " Bsen" L dove r. Quindi * N I (" r ) Bsen# N I " $ L ' -, & ) /, % " + ( / Bsen# N I L B sen# 4". Il momento torcente massimo si avrà per φ 9,, per cui max $ cos3, # ( 1)( 4,3 A)( 7,$ 1 m) (,5 T) N I L B # 3 sen 9, sen 9, 4,19$ 1 N $ m 4" 4" 33. τ NIAB senφ da cui, notando che φ 9, dato che abbiamo il valore del momento torcente massimo, ricaviamo I NAB sen" 5,8 N # m, A 1, T 1,1 # 1 $ m sen9, Zanichelli 9

12 Capitolo Interazioni magnetiche 34. max NI" r1 B1 e max NI" r B Bobina 1 Bobina Dividendo le due espressioni membro a membro, otteniamo max NI" r B1 r ovvero 1 B 1 NI" r B r B max 1 1 Da cui r B,18T 5, cm 3,3cm 1 r1 B, 4T 35. Il modulo del momento torcente massimo sulla bobina è: NIABsen" ( 75) ( 4,4A),35m sen55 17N # m 1,8T La bobina percorsa da corrente immersa nel campo magnetico tenderà a ruotare in modo che la perpendicolare alla sua superficie si allinei con il campo. Inizialmente la normale alla spira forma un angolo di 55 con il campo e, dato che questo angolo diminuisce mentre la bobina ruota, ne consegue che l angolo di 35 aumenta. 36. ( 1) I quadrato A quadrato B sen I cerchio A cerchio B sen " quadrato " cerchio I quadrato I cerchio A A cerchio quadrato 1 16 " L # $ % 4 & ' 1, 7 L 37. quadrato rettangolo rettangolo ( / 4) IAquadratoB L 1,13 IA B L / µ NIA, dove N 1 ; " 19 6 q ( 1,6 # 1 C)(, # 1 m/s) " 11 r v " " ( 5,3 1 m) ( 8,8 1 m ) $ q $ I # $ t / 5,3# 1 m A 11 1 r # #. Quindi " 3 1,6 1 A µ NIA 1 1, 6" 1 A 8,8" 1 m 9,3" 1 A " m e Zanichelli 9

13 Capitolo Interazioni magnetiche 39. Il campo magnetico al centro della spira di raggio r è: B µ I/(R), quindi 1 A r µ I 4 " 1 #7 T " m/a B 1,8 " 1 #4 T 4, " 1 # m 4. Il campo magnetico a distanza r da un conduttore percorso dalla corrente I è B µ I/(πr). Quindi r " 7 ( 4 # 1 T # m/a)( 48A) µ I B 8, 1 T " 5 ( # ) 41. B µ N I, da cui ricaviamo N B µ I 7, T 4,1 "7 T # m/a,1m (, #1 A),8#14 avvolgimenti/m 4. sen q vb e B µ I ( r ) /, per cui " q v µ I % $ # r ' sen( & ( 6, ) 1 *6 C) m/s 5, ) 1 * m ( 4 )1*7 T ) m/a) 67, A sen9, 1,1 ) 1 *4 N La direzione della forza magnetica è perpendicolare al filo e diretta verso l esterno. 43. Il campo magnetico prodotto da una bobina percorsa da corrente è B Nµ I/(R), in direzione perpendicolare al piano della bobina. I campi prodotti dalle due bobine sono tra di loro perpendicolari, quindi per trovarne la risultante possiamo utilizzare il teorema di Pitagora. B tot 1 Nµ I $ # &+ Nµ I $ # & " R % " R % ( 4' (1 )7 T ( m/a) ( 1,7A ) (,4m) Nµ I $ # & " R % 3,8(1 )5 T Zanichelli 9

14 Capitolo Interazioni magnetiche 44. Il modulo del campo magnetico creato dalla bobina interna nel centro è B i IiNi /( Ri ), mentre quello creato nello stesso punto dalla bobina esterna è B e IeNe / ( Re ). Perché il modulo del campo totale sia nullo, i due campi devono avere moduli uguali, quindi: I N I N R R i i e e i e Da cui I e I i $ $ # N i &# R e & # N &# " e R & %" i % ( 7, A # 14 avvolgimenti )# 18 avvolgimenti " $ &# &# %" $,3 m & &,15 m 8,6 A % Perché il verso dei due campi sia opposto, la corrente nella bobina esterna deve circolare in verso opposto a quello della bobina interna. 45. B Nµ I / ( r ), dove N L e r B N µ I $ L $ # & # & µ I $ # & µ LI " r % " 'r %" r % 4'r $ ( 4' (1 )7 T ( m/a) L#,3(13 A& " L % 4',14m 1,4 (1 ) T V 1V I R L 3 ( 5,9" 1 #/m) 3,3" 1 A L. Quindi 46. Le forze che agiscono su ciascun filo sono la forza magnetica, la forza gravitazionale e la tensione della corda. Il sistema è in equilibrio, quindi, per la seconda legge di Newton T 144 sen 7, e T 1 cos 44 7,5 44 mg 3 " x " y Risolvendo la prima equazione in funzione di T e sostituendo il risultato nella seconda, otteniamo (dopo qualche semplificazione) tan 7,5 mg I L La forza magnetica esercitata da ogni filo sull altro è µ. Sostituendo questa espressione d di nell equazione precedente, possiamo risolvere in funzione della corrente, ottenendo: I m$ # &g tan7,5 'd $ # & " L % " % µ (,5kg/m) ( 9,8m/s ) tan7,5 µ ( ',31m + * - )*,- 3A Zanichelli 9

15 Capitolo Interazioni magnetiche 47. Le correnti che circolano nei tre fili producono, nel vertice vuoto, i campi magnetici rappresentati nella figura, le cui direzioni si sono ottenute applicando la seconda regola della mano destra. I campi create dalle correnti 1 e nel vertice in questione sono uguali e valgono B 1 B µ I / r. Inoltre, questo due campi sono tra loro perpendicolari, quindi: B 1+ B 1 + B " µ I % " $ ' + µ I % $ ' # r & # r & µ I r La corrente 3 determina il campo B 3 e, dato che nel vertice considerato il campo totale deve risultare nullo, B 3 deve avere verso opposto a B 1+, quindi deve puntare verso sinistra: per la seconda regola della mano destra, la corrente nel filo 3 deve essere uscente dal foglio. Per di più B 3 e B 1+ devono avere lo stesso modulo, quindi, sapendo che la distanza del filo 3 dal vertice vuoto è d r + r r possiamo imporre l uguaglianza B µ I3 µ I B " r da cui ricaviamo I I ( r) 48. Il flusso magnetico attraverso il cerchio è: BAcos" B (#r ) cos" (,78 T )#,1 m cos5, $1 %3 Wb Wire 1 X r B 3 B 1 X Wire 3 Wire B B Il flusso magnetico attraverso la porta è massimo quando le linee di forza del campo magnetico sono perpendicolari alla porta, per cui 1, e 1 max BA(cos, ) BA. Quando la porta ruota di un angolo, il flusso magnetico attraverso la porta diventa un terzo del valore massimo precedente, quindi 1, per cui 3 max BAcos " 1 3 BA # cos " 1 3 o " cos ,5 5. Il campo magnetico B è parallelo alle tre superfici formate dai due lati del triangolo e dal lato di,5 m, quindi il flusso attraverso ciascuna di queste tre superfici è Wb. Il flusso attraverso la superficie di lati 1, m e,3 m è (,5 T)(1, m)(,3 m) cos,,9 Wb La superficie di lati da 1, m e,5 m forma con il campo magnetico B un angolo Zanichelli 9

16 Capitolo Interazioni magnetiche " 1 #,3m $ 9 " tan % 53, 4m & ' ( Quindi, (,5 T)(1, m)(,5 m) cos 53,9 Wb BA ( 7,4T)" 4 #1 $ m Wb 3,7Wb 5. Dato che i due fili sono posti uno vicino all altro, il campo magnetico risultante è dovunque parallelo a s nella figura.39. Inoltre, il campo magnetico B ha la stessa intensità in ogni punto della traiettoria circolare, perché tutti questi punti si trovano alla stessa distanza dai fili. Quindi, nel teorema di Ampère B B, I I1 + I, per cui B "s B ("s) µ ( I 1 + I ), ovvero B( r) µ ( I1 + I) Quando le correnti sono nello stesso verso: B µ ( I 1 + I ) ( 4 "1 7 T " m/a) 8 A +1 A r,7 m 1,1"1 5 T Quando le correnti circolano in verso opposto: B µ ( I 1 I ) ( 4 "1 7 T " m/a) 8 A 1 A r,7 m 4,4 "1 6 T 53. Per la legge di Ampère B "s µ I. Il campo magnetico è dappertutto perpendicolare al piano del foglio e, quindi, è dappertutto perpendicolare alla traiettoria circolare e non ha nessuna componente parallela alla traiettoria. Quindi B "s µ I, cioè la corrente totale attraverso la circonferenza è zero. 54. Il teorema di Ampère può essere utilizzato per rispondere a entrambi i quesiti utilizzando i cammini chiusi consigliati dal suggerimento. Circular path, radius r Copper cylinder Zanichelli 9

17 Capitolo Interazioni magnetiche La figura mostra una sezione del cilindro di rame. I punti sulla circonferenza indicano che la corrente è uscente dal foglio stampato. La circonferenza tratteggiata di raggio r è il cammino chiuso considerato e ha il suo centro sull asse del cilindro. Per il teorema di Ampère, B "s µ I : per la simmetria della disposizione B B per tutti i s del cammino considerato, quindi B "s B ("s) µ I dove I è la corrente che circola nel tubo di rame. Dall equazione precedente, allora, possiamo ricavare, individuando la Σ s come la circonferenza del cerchio: B ("s) B( # r) µ I o B µ I # r Per calcolare il campo magnetico dentro il cilindro, utilizziamo una circonferenza interna di raggio r. In questa situazione attraverso il cammino tratteggiato non circola corrente, perché essa circola solo all esterno del percorso e, quindi B µ I r T 55. Circular path, radius r Copper cylinder La figura rappresenta la situazione illustrata nel testo del problema. Per il teorema di Ampère B "s µ I. La simmetria del sistema indica che B B per tutti i s Quindi, il teorema di Ampère diventa B "s B "s µ I La corrente I è quella parte della corrente totale che attraversa l area r individuata dalla linea tratteggiata e può essere calcolata ricorrendo alla corrente per unità di sezione del cilindro, per cui " I # Ir I $ %( r ) & R ' R 1443 densità di corrente E, infine I B ("s) µ I o B( # r) µ r & $ & % R ' ) ) ( da cui B µ I r # R 56. Il campo magnetico all interno del solenoide è B µ ni (4 "1 7 T " m/a) ( 14 avvolgimenti/m)(3,5 A) 6, "1 3 T Zanichelli 9

18 Capitolo Interazioni magnetiche E il momento torcente sulla bobina vale NIABse n" (5)(,5 A)(1, #1 3 m )(6, #1 3 T)(sen 9, ) 1,9 #1 4 N # m 57. La forza agente su ognuna delle particelle è q 1 v 1 B sen e q v B sen Particella 1 Particella Dividiamo membro a membro, ricordando che v 1 3v, e otteniamo q 1 v 1 B sen q v B sen 58. # max NI" r B NI" L & % ( $ " ' " 1 q 1 v 1 q v E, risolvendo in funzione di L, otteniamo B ( 1)( 3,7A)(,75T) 4" 4 8, 4# 1N # m max L, 6m NIB o q 1 q v v 1 v 3v Nella figura.6a il campo magnetico esistente nel punto in cui si trovano i fili è diretto verso l alto, cioè uscente dalla pagina stampata. Dato che le correnti che circolano in entrambi i fili sono uguali, anche i campi prodotti nel punto in cui essi si trovano saranno uguali: quindi, per annullare la repulsione tra i fili sarà sufficiente aggiungere un campo magnetico esterno, di intensità uguale a quella prodotta da ciascuno dei due fili, ma rivolto in basso, cioè entrante nella pagina stampata. Il modulo del campo esterno deve essere: B µ I ( 4 "1 7 T " m/a) ( 5 A ) r 3,1"1 4 T,16 m 6. t d v r q Br / m B q / m (,7 T)(5,7 "1 8 C/kg) 1,5"1 8 s 61. Indichiamo con I 1 la corrente che circola nel filo di sinistra e con I quella che circola nel filo di destra. Nel punto A: B 1 è uscente e B è entrante: quindi B 1 µ I 1 /(π d 1 ) µ (8, A)/[π (,3 m)] B µ I /(π d ) µ (8, A)/[π (,15 m)] Zanichelli 9

19 Capitolo Interazioni magnetiche e B A B 1 B 4,3 1-5 T Nel punto B: B 1 e B sono entrambi entranti. Quindi B 1 µ (8, A)/[π (,6 m)] B µ (8, A)/[π (,6 m)] e B B B 1 + B 5,3 1-5 T 6. Una particella carica che si muove perpendicolarmente a un campo magnetico, descrive una traiettoria circolare. La figura sotto mostra la particella che inizialmente si muoveva in direzione orizzontale (lungo l asse delle x positive) e poi descrive una traiettoria circolare che interseca l asse delle ordinate alla distanza maggiore possibile dall origine (distanza che corrisponde al doppio del raggio della traiettoria circolare). y ymax r Particle v x Quando la particella passa per l origine, la sua velocità è parallela all asse delle ascisse, per cui. La massima distanza possibile vale: y max r mv $ ( # & ( 3,8 '1 8 kg) 44 m/s + # " q B & * - * % ( 7,3'1 6 C )* )( 1,6 T - ),-,9 m 63. q vb sen 9,, q ε AE, quindi ( AE)vB $ % 8,85 " 1 #1 C /(N " m ) & ' 7,5 " 1#4 m ( 17 N/C) 3 m/s ( 3,6 T) 1,3 "1 #1 N Applicando la prima regola della mano destra, ricaviamo che la forza magnetica è perpendicolare al piano della pagina e uscente da essa, cioè rivolta verso il lettore. Zanichelli 9

20 Capitolo Interazioni magnetiche 64. L intensità del campo magnetico vale B 1 B µ I/(π r) µ (85, A)/[π (,15 m)] 1, T La direzione di B 1 è 3, al di sotto dell asse orizzontale e verso destra; la direzione B è 3, al di sotto dell asse orizzontale e verso sinistra. Le componenti di B 1 e B sono B 1x +B 1 cos 3, + 9, T B 1y B 1 sen 3, 5, T B x B cos 3, 9, T B y B sen 3, 5, T Per cui B x B 1x + B x, e B y B 1y + B y (5, T) 1, T Il campo magnetico risultante, infine B B + B 1,13" 1 T, entrante nella pagina. 4 x y µ m NIA # q # q # q (15 rad/s)(4,$ 1 C) 5 ; I 9,5$ 1 A T " / " " A r (, m),13 m Quindi 5 5 µ m NIA (1)(9,5 1 A)(,13 m ) 1, 1 A m Olimpiadi della fisica 1. A. B 3. B Test di ammissione all Università 1. A. A 3. A Zanichelli 9

21 Capitolo Interazioni magnetiche Prove d esame all Università 1. B µ I 1 d 4 "1#7 N/A 1A 1"1 # m "1#4 T o 4 4 ILBsen9 (A)(1m)( " 1 T) 4" 1 N ; attrattiva ( 1" 1 kg)( 1" 1 m/s) mv q " RB - ( 5" 1 m)(,5t) C 6 3 qvb 4" 1 C 1" 1 m/s,5t mn L J B,5T I 5A " µ n 4 # 1 7 N/A 8# 1 4 m -1 Zanichelli 9