TRIGONOMETRIA: EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE
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- Aldo Genovese
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1 DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO ESERCIZI DI TRIGONOMETRIA: EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE Esercizio 1: Risolvere la seguente equazione Svolgimento: Poiché cos x =. cos 4 π = e cos 5 4 π = e la funzione coseno è periodica di periodo π, l equazione data ha come soluzioni x = 4 π + kπ e x = 5 4 π + kπ, k Z. Esercizio : Risolvere la seguente equazione sin x + π ) = 1. 6 Svolgimento: Poiché sin π = 1 e la funzione seno è periodica di periodo π, l equazione data è soddisfatta se x + π 6 = π + kπ, k Z. Allora si ha da cui si ottiene x = π π 6 + kπ, k Z, x = π + kπ, k Z. Esercizio : Risolvere la seguente equazione cos x + 7 sin x = 5. 1
2 PRECORSO DI MATEMATICA Svolgimento: Innanzitutto è conveniente far comparire nell equazione data solo una funzione trigonometrica. Utilizzando la prima relazione fondamentale della trigonometria si ha sin x + cos x = 1 x R, cos x = 1 sin x x R. Sostituendo tale relazione nell equazione si ottiene e quindi 1 sin x ) + 7 sin x 5 = 0, sin x 7 sin x + = 0. Ponendo y = sin x, l equazione si può riscrivere come le cui soluzioni sono Quindi si ottiene y 7y + = 0, y = y = 1. sin x = sin x = 1. L equazione sin x = non ha soluzione, poichè L equazione sin x = 1 è verificata se 1 sin x 1 x R. x = π 6 + kπ x = 5 6 π + kπ, k Z, che costituiscono le soluzioni dell equazione data. Esercizio 4: Risolvere la seguente equazione sin x + π ) sin x π ) = Svolgimento: Utilizzando le formule di addizione e sottrazione del seno l equazione data si può riscrivere come sin x cos π 4 + cos x sin π 4 sin x cos π 4 cos x sin π ) = 1, 4 da cui segue sin x + cos x sin x + cos x = 1. Allora si ottiene cos x = 1, da cui cos x =.
3 PRECORSO DI MATEMATICA Poiché cos π 4 = e cos π ) = 4 e la funzione coseno è periodica di periodo π, l equazione data ha come soluzioni x = π 4 + kπ e x = π 4 + kπ, k Z. Esercizio 5: Risolvere la seguente equazione 1 cos x = sin x. Svolgimento: Utilizzando la formula di duplicazione del coseno cos x = cos x sin x x R l equazione data si può riscrivere come da cui si ottiene 1 cos x sin x ) = sin x, 1 cos x + sin x = sin x. Dalla prima relazione fondamentale della trigonometria si ha sin x = 1 cos x x R, quindi l equazione data diventa Si ottiene sin x = sin x. sin x sin x 1) = 0, le cui soluzioni sono le soluzioni delle equazioni sin x = 0 sin x 1 = 0. L equazione sin x = 0 ha come soluzioni x = kπ, k Z. L equazione sin x = 1 è verificata se x = π 6 + kπ x = 5 6 π + kπ, k Z. Allora l equazione data ammette come soluzioni x = kπ x = π 6 + kπ x = 5 6 π + kπ, k Z.
4 4 PRECORSO DI MATEMATICA Esercizio 6: Risolvere la seguente equazione sin x = 1 cos x + cos x. Svolgimento: Innanzitutto bisogna imporre la condizione di esistenza + cos x 0, che equivale a le cui soluzioni sono cos x 1, x π + kπ, k Z. Utilizzando la formula di bisezione del seno si ha sin x = ± 1 cos x sin x = 1 cos x. x R Sostituendo tale relazione nell equazione data si ottiene 1 cos x = 1 cos x 1 + cos x), da cui, calcolando il minimo comune multiplo, si ha 1 cos x) 1 + cos x) 1 cos x) 1 + cos x) = 0. Essendo 1 + cos x 0 per la condizione di esistenza, tale equazione equivale a da cui si ottiene e quindi 1 cos x) 1 + cos x) 1 cos x) = 0, 1 cos x) + cos x 1) = 0, 1 cos x) cos x + 1) = 0. L equazione 1 cos x = 0 si può riscrivere come cos x = 1, le cui soluzioni sono x = kπ, k Z, mentre l equazione cos x + 1 = 0 equivale a le cui soluzioni sono cos x = 1, x = π + kπ x = 4 π + kπ, k Z.
5 PRECORSO DI MATEMATICA 5 Allora l equazione data ha come soluzioni x = kπ x = π + kπ x = 4 π + kπ, k Z. Esercizio 7: Risolvere la seguente equazione cos x sin x = 1. Svolgimento: Tale equazione è lineare in seno e coseno e si può risolvere utilizzando le formule parametriche sin x = t 1 t, cos x = 1 + t 1 + t x π + kπ, k Z, dove t = tan x. Per poter usare queste formule bisogna imporre che x π + kπ, k Z. Ponendo x = π + kπ, k Z, nell equazione e tenendo conto del fatto che le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo π si ha cos π sin π = , quindi x = π + kπ, k Z, non sono soluzioni dell equazione data. Sostituendo nell equazione le formule parametriche si ottiene Facendo il minimo comune multiplo si ha 1 t 1 + t t 1 + t = 1. 1 t t 1 t 1 + t = 0, da cui segue t t 1 + t = 0. Essendo 1 + t > 0, tale equazione equivale a e quindi a le cui soluzioni sono Allora si ha t t = 0, t t + 1) = 0, t = 0 t = 1. tan x = 0 tan x = 1. L equazione tan x = 0 ha come soluzioni x = kπ, k Z,
6 6 PRECORSO DI MATEMATICA da cui segue Infine l equazione tan x e quindi se = 1, è verificata se x = kπ, k Z. x = π 4 + kπ, k Z, x = π + kπ, k Z. Allora l equazione data ha come soluzioni x = kπ x = π + kπ, k Z. Esercizio 8: Risolvere la seguente equazione sin x 1 + ) sin x cos x + cos x = 0. Svolgimento: Tale equazione è omogenea di secondo grado e per risolverla conviene dividere entrambi i membri per cos x : tale passaggio è lecito solo se cos x 0. Se cos x = 0 allora Sostituendo tali valori nell equazione si ha sin π ) + kπ 1 + ) sin = 1 = 1 0, 1 + ) x = π + kπ, k Z. π + kπ ) cos π + kπ ) + cos π + kπ ) quindi x = π + kπ, k Z, non sono soluzioni dell equazione data. Dividendo entrambi i membri dell equazione per cos x 0 si ottiene tan x 1 + ) tan x + = 0. Ponendo y = tan x tale equazione di scrive come y 1 + ) y + = 0, le cui soluzioni sono Allora si ha y = 1 y =. tan x = 1 tan x =. L equazione tan x = 1 è verificata se x = π 4 + kπ, k Z,
7 PRECORSO DI MATEMATICA 7 mentre l equazione tan x = ha come soluzioni x = π + kπ, k Z. Quindi le soluzioni dell equazione data sono x = π 4 + kπ x = π + kπ, k Z. Esercizi: Risolvere le seguenti equazioni 1. sin x =. cos x = sin x cos x. tan x ) = tan π x ) 4. 5 ) 5 cos x = sin x 5. sin x + cos x = 0 6. cos x + sin x = cos x cos x + sin x = sin x sin x = 0 cos x + cos x = sin x 1) sin x 1) = sin x sin x cos x cos x = 0 π ) π ) 1. cos 6 + x + cos 6 x = 1. cos x sin x cos x sin x + sin x = sin x cos x sin x + tan x = tan x) tan 5π + x) = cos x + sin x =
8 8 PRECORSO DI MATEMATICA 17. sin 4 x sin x cos x + 4 cos 4 x = cos x cos x = cos 4x cos x 19. cos x cos x = 1 0. sin 5x = cos x cos x = 0. tan x ) tan x + = 0. sin x cos x = sin x cos x 1 4. sin x = cos x π ) 6 5. cos x + cos x = 1 6. sin x 1 + cos x + cot x = 7. 4 sin x cos x = 1 + sin x 8. tan x = 1 9. sin x + cos x 1 = cos x 1 cos x = cot x sin x 1. 5 cos x 4 sin x = cos x. tan x cos x tan x = 0. sin x cos x = 4 4. sin x = 1 sin π x) 5. 4 sin x 1 sin x sin x + 1 = 7 sin x 6. cos x 1 = 0 7. cos x + tan x = 5
9 PRECORSO DI MATEMATICA 9 8. sin x = sin x 9. tan x = 40. cos x + cos x = sin x + cos x = tan 4x = sin x = sin x 44. sin x + cos x) = cos x 45. sin x cos x = cos x = sin x sin x cos x sin x sin x cos x + cos x = sin x + sin 5x = cos x 49. sin x + π ) + 1 = sin x = 51. cos x cos x 1 = sin x + sin x 1 sin x = 0 5. sin x + cos x = cos x = 1 cos x sin x 5 ) 1 π = cos x 56. cos x = cos x) = sin π x) 1 + cos x 58. sin x sin x = cos x + cos x 59. sin x = cos x π )
10 10 PRECORSO DI MATEMATICA tan x tan x = tan x + tan x 61. cos x = 1 6. sin x cos x + cos x = 1 + sin x π ) 6. sin + x = cos x sin x + cos x = ) sin x sin x cos x = sin x cos 4x 67. cos x 5 cos x = cos x + cot x = cos x 1 + sin x ) cos x + sin x cos x = sin 4 x 16 sin x cos x = sin x + sin x = sin x + cos x = 1 + cos x 7. cos x + π ) sin x + π ) + sin x = sin 5x sin x = cos x 74. sin x + 1 sin x + cos x = tan x + tan π + x) = cos x + cos x = 6 + cos x) 77. sin x + 1 = tan x + cot x = cos x = 4 sin x + 1 cos x) 80. tan x) = cos x sin x = sin x 1 + cos x
11 PRECORSO DI MATEMATICA sin x = cos x sin x + 1 = cos x sin 4 x sin x cos x = sin x cos x 85. cos x = cos x 86. tan x + π ) π ) + tan 6 x 87. cos 8x cos 4x = sin 6x 88. tan 4 x 4 tan x + = sin x sin x sin 4x sin x = cos x + 6 cos x + = sin x + 7 = 0 9. tan x π ) = sin x + tan x = cos x = sin x cos x = sin x + tan π x) = 0 = 97. cos x + sin x = sin x sin x + 1 = tan x + cos x = cos x cos x 5 cos x cos x = sin x + cos x = 10. tan π x) = tan x) 10. sin x tan x = 5 1 cos x 104. sin x + 0 ) + = 0
12 1 PRECORSO DI MATEMATICA cos x = sin x 4 sin x) 106. sin x = tan x 107. sin x + sin x cos x cos x = cos 4x 4 = sin x cos x cos x sin x + sin x = tan x tan x = sin x 4 ) = sin x 11. cos x π ) = tan x sin x = sin x 114. cos x x sin = cos x 115. tan x π ) = 116. cos x + cos x + 1 = sin x = cos x 118. sin x cos x cos x + sin x = sin x = cos x 10. cos x sin x ) = cos x sin x) 11. cos 6x + cos x = cos 4x 1. cos x + sin x = sin π x) 1. cos x 5 = sin x + sin x = 15. tan 4x 1 = cos x + π ) = cos x + 1 ) 1 1 π 17. tan x cot x = 18. sin x cos x = cos x cos x + sin x 1 cos x = sin x 4 cos x = 1.
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