S.Barbarino - Appunti di Microonde. Cap. 17. Modi TE e TM in cavi coassiali.

Transcript

1 SBarbarino - Appunti di Microonde Cap 17 Modi TE e TM in cavi coassiali Soluzioni dell equazione di Helmholtz per modi TE e TM - Frequenza di cut-off Consideriamo un cavo coassiale: il conduttore interno di raggio a e quello esterno di raggio b P ρ,θ,z a θ ρ b P fig171-1 Scriviamo l equazione di Helmholtz in coordinate cilindriche, per esempio, consideriamo modi TM, quindi per E z 2 E z + 1 E z ρ ρ E z θ 2 + h2 E z = Al solito, poichè alle coordinate ρ, θ, z e ρ, θ + 2π, z corrisponde lo stesso punto, E z sarà funzione periodica di θ con periodo 2π; la sviluppiamo quindi in serie di Fourier Ovviamente il dominio che stiamo considerando è quello compreso fra i due conduttori E z = n=0 dove A n ρ e B n ρ sono funzioni solo di ρ [ ] A n ρ cos nθ + B n ρ sinnθ

2 SBarbarino - Appunti di Microonde Sostituendo la 1712 nella 1711 avremo: [ d 2 A n d + 1 ρ n=0 da n dρ n2 A n d 2 B n + d + 1 db n ρ dρ n2 B n + h 2 A n + h 2 B n cos nθ+ ] sinnθ = Perchè questo sia vero occorre e basta: d 2 A n d + 1 da n ρ dρ + d 2 B n d + 1 db n ρ dρ + h 2 n2 h 2 n2 Ponendo x = hρ e dividendo per h 2 nelle 171 e 1715 si ha: d 2 A n dx da n 1 x dx + n2 x 2 1 n2 d 2 B n dx db n x dx + x 2 A n = B n = A n = B n = Come sappiamo queste equazioni ammettono come soluzioni le funzioni di Bessel di 1 a e di 2 a specie, ciò è accettabile essendo il punto ρ = 0 escluso dalla nostra trattazione Pertanto si ha: A n = C n J n x + D n N n x 1718 B n = E n J n x + F n N n x 1719 Sostituendole nella 1712 si ha: E z = n=0 {[ ] [ ] } C n J n x + D n N n x cos nθ + E n J n x + F n N n x sin nθ Le condizioni al contorno sono: E z = 0 per ρ = a e per ρ = b, quindi deve essere: C n J n ha + D n N n ha = E n J n ha + F n N n ha = C n J n hb + D n N n hb = E n J n hb + F n N n hb = e, poichè sono, a due a due, l una combinazione lineare dell altra si riducono a: C n J n ha + D n N n ha = C n J n hb + D n N n hb =

3 SBarbarino - Appunti di Microonde si è cioè posto E n = C n e F n = D n Per C n e D n si assumono valori tutti nulli tranne per un particolare valore m per cui si ha: Soluzione per C m e D m non nulli esiste solo se C m J m ha + D m N m ha = C m J m hb + D m N m hb = J m han m hb J m hbn m ha = Questa equazione è soddisfatta solo per un discreto set di valori di h Posto u = ha e tenendo conto che hb = b a ha = b u = αu si ha a J m un m αu J m αun m u = Le radici di questa equazione sono date in alcuni testi contenenti tavole di funzioni, per esempio - Handbook of mathematical functions - edited by Abramowitz p15 - Questo contiene soltanto le soluzioni per m = 0 e m = 1 che comunque sono sufficienti per capire l andamento delle frequenze di cut-off Per un dato valore di α il più piccolo valore di u mr avviene per m = 0; questo dà la più piccola frequenza di cut-off per questi modi Per α significa b quindi u mr 0, cioè h 0, cioè la propagazione si comporta come se avvenisse nello spazio libero r ma radice dell equazione J 0 un 0 αu N 0 uj 0 αu = 0 dove u = ha e α = b/a è un dato del problema α α 1 u 01 u 02 u 03 u 0 u

4 SBarbarino - Appunti di Microonde r ma radice dell equazione J 1 un 1 αu N 1 uj 1 αu = 0 dove u = ha e α = b/a è un dato del problema α α 1 u 11 u 12 u 13 u 1 u Vediamo, adesso, di trovare una formula analitica per i valori delle tabelle Per valori di u sufficientemente grandi e nel nostro caso va abbastanza bene essendo α certamente non grande ma maggiore di 1 possiamo esprimere le funzioni J m u, J m αu, N m u, N m αu con le loro forme asintotiche J m u πu cos N m u πu sin J m αu παu cos N m αu παu sin u 2m + 1 π u 2m + 1 π αu 2m + 1 π αu 2m + 1 π Riscriviamo l equazione da risolvere u 1, u m αu 1, αu m J m un m αu J m αun m u =

5 SBarbarino - Appunti di Microonde sostituendo le e si ha: cos u 2m + 1 π Posto β = u 2m + 1 o ciò che è lo stesso: cioè sin αu 2m + 1 π = sin u 2m + 1 π cos π e γ = αu 2m + 1 π la ci restituisce αu 2m + 1 π cos β sinγ sinβ cos γ = sinγ β = 0 sinαu u = 0 = αu u = rπ r = 1,2, Posto u = ha e α = b/a nella 17123, si ha: hb ha = rπ e finalmente La frequenza di cut-off, quindi è: h = rπ b a 1712 ν c = hc 2π = c 2π rπ b a = c 2 r b a La lunghezza d onda di cut-off è λ c = 2b a r NB Le formule valgono anche per modi alti m > 1 purchè siano valide le approssimazioni La prima cosa importante è che se applichiamo le formule analitiche così approssimate, osserviamo che i valori sono molto simili a quelli delle tabelle; questo perchè pur essendo u piccolo per α grande αu è grande e quindi la Jαu e la Nαu approssima bene anche se la Ju e la Nu approssima male Si badi che la frequenza di cut-off analitica è indipendente dall indice m cioè dall ordine delle funzioni di Bessel É chiaro quindi che hanno una validità più forte per m =

6 SBarbarino - Appunti di Microonde Esempio a = 05cm b = 08 3 cm = b a = 0 3 cm b a = α = 1 6 MODO TM 01 π h analitico = = = ν canalitica = 5GHz ha tabella = = h tabella = = = ν ctabella = 85GHz a Da ciò si vede che, dimensionando opportunamente il cavo, tenendo anche conto dell attenuazione, si possono sopprimere i modi TM Modi TE Per i modi TE si considera l equazione 1711 riferita ad H z con le condizioni al contorno H z = 0 per ρ = a e ρ = b ρ questo porta al sistema: C m J mha + D m N mha = C m J mhb + D m N mhb = Posto al solito u = ha e hb = αu con α = b/a il sistema ammette soluzioni se J mun mαu J mαun mu = Per m = 0 si ha la relazione J 0u = J 1 u e lo stesso per la funzione di Neumann quindi i modi TE 0r si ottengono risolvendo la J 1 un 1 αu J 1 αun 1 u = Da quanto detto prima e dalla tabella questi modi hanno frequenza di cut-off maggiore dei modi TM 0r quindi possono più facilmente essere soppressi Fine del Cap