Segnali e Sistemi (Ingegneria Informatica)

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1 Segnali e Sistemi (Ingegneria Informatica) Lezione 5 last update Oct 22, 2004 c 2004 Finesso, Pavon, Pinzoni 1

2 MODELLO MATEMATICO DEI SISTEMI (da lezione 2) Un sistema è una mappa Σ:X Y x( ) y( ) =Σ[x( )] dove X ed Y sono insiemi di segnali. Un sistema è dunque una funzione che ha per dominio e codominio insiemi di funzioni. In matematica Σ si dice operatore. 2

3 Terminologia - Notazioni - Convenzioni (da lezione 2) Spesso si rappresenta un sistema con x(t) Σ y(t) Si noti l abuso di notazioni x(t) ed y(t) qui rappresentano sia i segnali che i loro valori. x(t) è detto ingresso, y(t) è detto uscita. (X, Y ) segnali a tempo continuo sistema a tempo continuo (X, Y ) segnali a tempo discreto sistema a tempo discreto (X, Y ) tempo continuo e tempo discreto sistema ibrido 3

4 ESEMPI DI SISTEMI Sistema meccanico: Massa molla con forza esterna applicata. Se x(t) = forza esterna, ed y(t) = elongazione molla, my (t)+ky(t) =x(t), Legge di Newton. Sistema elettrico: Resistenza R attraversata da corrente. Il legame ingresso-uscita è fornito dalla legge di Ohm Se x(t) = tensione ai capi di R ed y(t) = corrente attraverso R, y(t) = 1 R x(t), Legge di Ohm. Sistema finanziario: Conto corrente bancario Se x(n) = depositi prelievi al mese n-esimo ed y(n) = saldo al mese n-esimo, ed il tasso di interesse mensile èdi 1 12 di punto, allora ( y(n) = 1+ 1 ) y(n 1) + x(n), Bilancio di massa. 12 4

5 INTERCONNESSIONI DI SISTEMI Cascata Connettere sistemi è un buon modo per ottenere nuovi sistemi. Cascata di sistemi x(t) Σ 1 w(t) Σ 2 y(t) L uscita di Σ 1 è l ingresso di Σ 2. La relazione ingresso/uscita è y(t) =Σ 2 (w(t)) = Σ 2 ((Σ 1 (x(t))) In matematica: cascata di sistemi = composizione di operatori. Attenzione: la cascata non è necessariamente commutativa. In generale Σ 1 Σ 2 Σ 2 Σ 1. Abbiamo già vistocheu T R RU T. Attenzione informatici: La cascata ΣΣ è il primo passo di una funzione ricorsiva! 5

6 Interconnessioni di sistemi Parallelo vedi lezione 6

7 Interconnessioni di sistemi Feedback al prof. Beghi 7

8 SISTEMI NOTEVOLI Sistemi statici Un sistema è statico se esiste una funzione f(x, t) taleche y(t) =Σ[x( )] = f(x(t),t). y(t) può dipendere da x(t) et, ma non da x(τ) perτ t. Si dice anche sistema algebrico, o istantaneo, o senza memoria. Ognuno di questi termini suggerisce una naturale interpretazione. Esempio: y(t) =(t +1)x(t). Controesempio: y(t) =t x(t +1). Esempio fisico: tensione e corrente in una resistenza ideale. 8

9 Sistemi statici II Cosa è un sistema costante? Abbiamo definito un sistema come una mappa Σ:X Y x( ) y( ) =Σ[x( )] dove X ed Y sono insiemi di segnali. Se esiste una funzione f(t) tale che, per ogni x( ) X, risulta y(t) =f(t) allora diremo che il sistema è costante. L uscita è sempre la stessa funzione, non necessariamente una funzione costante! Esempio: y(t) =sin(ωt). È il fischio che si sente alla radio (la portante a il modulatore del trasmettitore è guasto. ω 2π Hz) quando 9

10 Sistemi dinamici Un sistema non statico è dinamico. y(t) =Σ[x( )] y(t) può dipendere dall intero x( ). Si dice anche sistema con memoria. Attenzione: questa locuzione è fuorviante. Se t è il presente diciamo passato la semiretta (,t), futuro la semiretta (t, ). La memoria del sistema può riferirsi alla dipendenza di y(t), l uscita presente, dal solo passato, dal solo futuro, o da una mistura di passato e futuro del segnale di ingresso. Esempi dei tre tipi: y( ) =U T [x( )], y( ) =U T [x( )], y( ) =(U T + U T )[x( )] 10

11 Sistemi causali y(t) =Σ[x( )] = f({x(τ),τ (,t]}) y(t) non dipende dal futuro di x(t). Esempio: y(t) =(t +1)x(t 1), Controesempio: y(t) =(t 1)x(t +1). Esempio fisico: Se x( ) è l andamento temporale del livello del Po a Torino, U 48 [x( )] è l andamento a Porto Tolle (t =ore). Nota: tutti i sistemi statici sono causali. 11

12 Sistemi anticausali y(t) =Σ[x( )] = f({x(τ),τ [t, )}) y(t) non dipende dal passato di x(t). Esempio: y(t) =(t 1)x(t +1), Controesempio: y(t) =(t +1)x(t 1). Esempio fisico:?? Non credo ce ne siano a livello macroscopico. Si veda però la discussione sulla soluzione all indietro delle EDO. Nota: tutti i sistemi statici sono anticausali. 12

13 Sistemi causali ed anticausali I sistemi statici sono contemporaneamente causali ed anticausali, ma in modo triviale. È più interessante notare che esistono sistemi dinamici che sono contemporaneamente causali ed anticausali. Esempio: y(t) = d dt x(t) dove X = C1 (R), (vedi lezione). 13

14 Sistemi BIBO-stabili Un sistema è stabile se manda segnali limitati in segnali limitati. (BIBO = bounded input bounded output) Il segnale z(t) è limitato se: z(t) M z <, t R, ovvero M z := sup t R z(t) <. Formalmente un sistema è BIBO stabile se x(t) M x <, t R = y(t) M y <, t R < Si noti che: (a) non è imposto un legame tra M x ed M y, (b) non èimpostochesup x( ) X sup t R y(t) <. Esempio: y(t) =e x(t), Controesempio: y(t) =tx(t) A lezione: y(t) = d dt x(t), e y(t) = t x(τ)dτ non sono BIBO-stabili. 14

15 Sistemi tempo-invarianti Un sistema è tempo-invariante se: Σ U T = U T Σ T Interpretazione: Se all ingresso x(t) corrisponde l uscita y(t), allora all ingresso x(t + T ) deve corrispondere l uscita y(t + T ). Con metafora biologica diciamo che il sistema non invecchia. Esempio: y(t) =x(t +1), Controesempio: y(t) =x( t +1). 15

16 Sistemi lineari Il sistema L è lineare se, x 1 ( ), x 2 ( ), x( ) X, a C valgono: L[x 1 ( )+x 2 ( )] = L[x 1 ( )] + L[x 2 ( )] L[ax( )] = al[x( )] Questa definizione è equivalente a: x 1 ( ), x 2 ( ) X, a 1,a 2 C L[a 1 x 1 ( )+a 2 x 2 ( )] = a 1 L[x 1 ( )] + a 2 L[x 2 ( )] Esempio: y(t) =t 2 x(t), Controesempio: y(t) =tx 2 (t) Nota: Se L è lineare, allora L(0) = 0 (vedi lezione). A lezione: Se L è lineare e causale allora supp(y( )) supp(x( )). 16