Esercizi sul campionamento

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1 Capitolo 5 Esercizi sul campionamento 5.1 Esercizio 1 Dato il segnale x(t) = s(t) cos (2π 0 t) con s(t) a banda limitata s e supponendo di introdurre il segnale x(t) come ingresso di un sistema non lineare con uscita y(t) = x 2 (t) si calcoli: 1. la requenza di campionamento minima per poter campionare il segnale x(t) senza perdere inormazione; 2. la requenza di campionamento minima per permettere una peretta ricostruzione di y(t) a partire dai suoi campioni. Primo quesito Lo spettro di s(t) può essere rappresentato come: S() s Come primo passo si determina lo spettro del segnale x(t): X() = F{x(t)} = S() 1 2 [δ ( 0) + δ ( + 0 )] = 1 2 [S( 0) + S( + 0 )] Graicamente quindi X() è: 47

2 48 CAPITOLO 5. Esercizi sul campionamento X() 0 s 0 s Per il teorema del campionamento la requenza minima di campionamento deve essere almeno due volte la banda del segnale; indicando con x la banda del segnale x(t): cmin x = 2 x In questo caso: x = 0 + s Secondo quesito Poichè y(t) = x 2 (t) esiste una precisa relazione ra le bande dei due segnali: y = 2 x Perciò: cmin y = 2 y = 2 2 x = 4 ( 0 + s ) 5.2 Esercizio 2 Il segnale: x(t) = 1 [ ( ) ] πt π 2 t 2 sin 2 sin 2 (πt) 2 viene campionato. Determinare quale deve essere la minima requenza di campionamento per ricostruire il segnale perettamente partendo dai suoi campioni. Come primo passaggio è necessario rielaborare l espressione di x(t): ( ) πt sin 2 2 x(t) = π 2 t 2 sin2 (πt) π 2 t 2

3 5.2. Esercizio 2 49 Ricordando la trasormata notevole: ( ) πt T sin 2 T F π 2 t 2 = tri( T) e osservando che T = 2 nella prima parte e T = nella seconda si può esplicitare l espressione necessaria per usare la trasormata notevole: ( ) πt x(t) = 2 sin 2 2 π 2 t 2 2 [ sin 2 (πt) π 2 t 2 1 ] A questo punto: X() = F{x(t)} = ( 2 tri 2 ) ( tri 1 ) Si indica con:. X 1 () = ( 2 tri 2 ) ; (. X 2 () = tri 1 ) ; Graicamente il segnale X 1 () è: X 1 () /2 /2 /2 Mentre il segnale X 2 () è: X 2 () /2

4 50 CAPITOLO 5. Esercizi sul campionamento Il risultato dell addizione dei due segnali è il segnale X(): X() /2 Poichè la banda del segnale è allora: cmin = Esercizio 3 Si considerino due segnali:. x 1 (t) con banda limitata 1 ;. x 2 (t) con banda limitata 2. Si costruisca il segnale y(t) come: y(t) = x 1 (t) x 2 (t) Volendo campionare tale segnale, si determini quale deve essere la sua requenza di campionamento minima. La relazione che caratterizza y(t) scritta nel dominio delle requenze è: Y () = X 1 () X 2 () Per le proprietà della convoluzione nel dominio temporale la banda di y(t) risulta essere: y = quindi anche nel dominio spettrale: Y () = 0 per > ( ) La minima requenza di campionamento è pertanto: cmin = 2 ( )

5 5.4. Esercizio Esercizio 4 Il segnale: ( x(t) = sin 500t + π ) 6 deve essere campionato e ricostruito esattamente dai suoi campioni. Si determini: 1. quale deve essere il massimo intervallo ammissibile ra due campioni; 2. quale deve essere il minimo numero N di campioni necessari per ricostruire il segnale. Lo spettro del segnale x(t) è: X() = 20 δ () j [δ ( 0) δ ( + 0 )] e j π 6 Siccome: 500 = ω 0 = 2π 0 = 0 = 500 2π = 79.6Hz Primo quesito La requenza minima di campionamento è: cmin = 2 0 = 159.2Hz Pertanto il tempo massimo di intervallo ra due campioni non può essere superiore a: Secondo quesito T cmax = 1 cmin = Hz = s = 6.28ms Poichè il periodo massimo è pari a 6.28 ms il segnale si può ricostruire con almeno: N = 1s 1s = T cmax s = Il numero di campioni non può essere un numero decimale perciò si prende l intero ineriore: N = 159

6 52 CAPITOLO 5. Esercizi sul campionamento 5.5 Esercizio 5 Si consideri il segnale: dove:. x 1 (t) = x(t) cos (2π 0 t);. x 2 (t) = x(t) cos (2πN 0 t). y(t) = x(t) + x 1 (t) + x 2 (t) Supponendo x(t) strettamente limitato in banda, con = 1 khz e che y(t) deve essere campionato in modo tale da essere ricostruito perettamente con una requenza c = 10kHz, si determinino 0 e N in modo tale che:. i segnali di ingresso siano perettamente separati;. si abbia una peretta ricostruzione di y(t);. N sia massimo. Analiticamente: y(t) = x(t) [1 + cos (2π 0 t) + cos (2πN 0 t)] Il suo spettro è quindi: [ Y () = X() δ () δ ( 0) δ ( + 0) δ ( N 0) ] 2 δ ( N 0) = X() X( 0) X( + 0) + Graicamente: X( N 0) X( + N 0) Z() 0 N 0

7 5.5. Esercizio 5 53 Come si può vedere dal graico i segnali sono spettralmente separati solo se: 0 2 Inoltre per ricostruire perettamente il segnale occorre che: c 2 y = 2 (N 0 + ) Con queste due equazioni a sistema si possono ricavare 0 ed N: { kHz 0 2kHz = c 2 (N 0 + ) N 0 + c = N c I parametri c e sono noti; imponendo 0 = 2kHz: N 10kHz 2 2kHz 1kHz 2kHz = = 2

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