Esercizio assegnato in data 28 novembre

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1 Esercizio assegnato in data 28 novembre Un commerciante all ingrosso acquista articoli da regalo a 10 al pezzo. Su tutta la merce acquistata, ottiene uno sconto del 10% sul prezzo d acquisto, se ordina più di pezzi all anno. Rivende poi gli articoli a 16 l uno, sostenendo per la distribuzione costi fissi annuali di e spese di pubblicità pari allo 0.008% del quadrato del totale degli articoli venduti. Determinare: 1. quanti articoli deve acquistare e rivendere per non essere in perdita; 2. quanti articoli deve acquistare e rivendere per minimizzare il costo medio unitario, e l ammontare di tale costo medio; 3. quanti articoli deve acquistare e rivendere per avere il massimo utile, e quanto vale tale massimo utile. Rispondere poi alle medesime domande nell ipotesi aggiuntiva che gli articoli siano acquistati e rivenduti in confezioni indivisibili di 1000 pezzi. Rispondere infine alle medesime domande nell ipotesi che lo sconto sia applicato solo all eccedenza rispetto ai primi pezzi (ossia: i primi vengono regolarmente acquistati a 10 l uno, ai successivi viene applicato lo sconto del 10%). dic

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4 Il grafico che interessa è costituito dai due archi di parabola evidenziati. Dalla lettura del grafico si ottengono immediatamente le risposte ai quesiti 1 e 3: per non essere in perdita: 7397 x (come di consueto, trattandosi di problema nel discreto si devono scegliere i valori interi che soddisfano ai requisiti, ossia corrispondono a punti del grafico non al di sotto dell'asse x) per avere il massimo utile: x = ; U max = Nel caso che gli articoli siano acquistati e rivenduti in confezioni indivisibili di 1000 pezzi, le risposte si modificano nel modo seguente: per non essere in perdita: 8000 x per avere il massimo utile: x = ; U max = (Attenzione: per quest'ultima risposta si dovrà scegliere e non 43000, in quanto tra i due è quello che risulta più vicino all'ascissa del vertice, e ciò determina un valore maggiore di y trattandosi di parabola con la concavità rivolta verso il basso) dic

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7 Il grafico che interessa è ancora una volta costituito dai due archi di parabola evidenziati. Dalla lettura del grafico si ottengono immediatamente le risposte ai quesiti 1 e 3: per non essere in perdita: 7397 x (come di consueto, trattandosi di problema nel discreto si devono scegliere i valori interi che soddisfano ai requisiti, ossia corrispondono a punti del grafico non al di sotto dell'asse x) per avere il massimo utile: x = ; U max = Nel caso che gli articoli siano acquistati e rivenduti in confezioni indivisibili di 1000 pezzi, le risposte si modificano nel modo seguente: per non essere in perdita: 8000 x per avere il massimo utile: x = ; U max = (Attenzione: per quest'ultima risposta si dovrà scegliere e non 43000, in quanto tra i due è quello che risulta più vicino all'ascissa del vertice, e ciò determina un valore maggiore di y trattandosi di parabola con la concavità rivolta verso il basso) dic

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11 Problema di scelta tra più alternative la decisione non riguarda il valore di una certa variabile d'azione x ma piuttosto una funzione che, nel suo complesso, deve rispondere ai requisiti di massimo/minimo richiesti. nov

12 2. Per attivare un contratto di connessione a Internet veloce, ho la possibilità di scegliere tra le seguenti offerte di due gestori diversi: Offerta A: canone mensile di 115 più 0.25 per ogni ora di connessione; Offerta B: canone mensile di 58 più 1.2 per ogni ora di connessione. Quale offerta mi conviene? [ovviamente la scelta dipende dal tempo di connessione che prevedo di effettuare!!! ] ott

13 Indicando con x il numero di ore di connessione, le due alternative sono espresse dalle seguenti relazioni: A: y = 0.25 x B: y = 1.2 x + 58 che sul piano cartesiano sono evidentemente rappresentate da due rette incidenti. È necessario determinare il punto di intersezione di tali rette (basta risolvere il sistema formato dalle relative equazioni i calcoli sono svolti sotto il grafico della figura seguente); la soluzione del problema consiste evidentemente nello scegliere, al variare di x, la retta che sta al di sotto delle altre (ossia che corrisponde al valore minore di y). Si ha il seguente prospetto dei risultati: per 0 x < 60 risulta più conveniente l'alternativa B per x > 60 risulta più conveniente l'alternativa A per x = 60 le alternative A e B risultano equivalenti (costo mensile = 130 ) dic

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15 Una ditta che produce articoli da vendere a domicilio deve assumere rappresentanti di commercio ai quali offre le seguenti tre possibilità di retribuzione: A: stipendio fisso mensile di 1000 più 0.25 per ogni articolo venduto B: stipendio fisso mensile di 800 più 0.50 per ogni articolo venduto C: stipendio fisso mensile di 500 più 0.65 per ogni articolo venduto. Qual è la retribuzione più conveniente per un rappresentante? [Lo stipendio dipende dal numero di articoli venduti dal rappresentante e il problema consiste nel determinare quale alternativa è più conveniente in base al numero di articoli venduti] nov

16 Indicando con x il numero di articoli venduti mensilmente, le tre alternative sono espresse dalle seguenti relazioni: A: y = 0.25 x B: y = 0.50 x C: y = 0.65 x che sul piano cartesiano sono evidentemente rappresentate da tre rette a due a due incidenti. È necessario determinare il punto di intersezione di ciascuna coppia di rette (basta risolvere il sistema formato dalle relative equazioni); la soluzione del problema consiste evidentemente nello scegliere, al variare di x, la retta che sta al di sopra delle altre (ossia che corrisponde al valore maggiore di y). Si ha il seguente prospetto dei risultati: per 0 x < 800 risulta più conveniente l'alternativa A per 800 < x < 2000 risulta più conveniente l'alternativa B per x > 2000 risulta più conveniente l'alternativa C per x = 800 le alternative A e B risultano equivalenti (stipendio mensile = 1200 ) per x = 2000 le alternative B e C risultano equivalenti (stipendio mensile = 1800 ) dic

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18 Una ditta che produce lattine per bibite ha la possibilità di impiegare tre diversi macchinari per la lavorazione, che comportano i seguenti costi di produzione: A: costo fisso mensile di 1000 più 0.25 per ogni oggetto prodotto B: costo fisso mensile di 800 più 0.50 per ogni oggetto prodotto C: costo fisso mensile di 500 più 0.65 per ogni oggetto prodotto. Qual è la scelta più conveniente per la ditta? dic

19 Indicando con x il numero di lattine prodotte mensilmente, le tre alternative sono espresse dalle seguenti relazioni: A: y = 0.25 x B: y = 0.50 x C: y = 0.65 x che sul piano cartesiano sono rappresentate dal medesimo grafico dell'esercizio precedente. La soluzione del problema impone però in questo caso di scegliere, al variare di x, la retta che sta al di sotto delle altre (ossia che corrisponde al valore minore di y). Si ha il seguente prospetto dei risultati: per 0 x < 1250 risulta più conveniente l'alternativa C per x > 1250 risulta più conveniente l'alternativa A per x = 1250 le alternative A e C risultano equivalenti (costo mensile = ) dic

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